高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 分层限时跟踪练13
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第3讲 函数的奇偶性与周期性课件
12/11/2021
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【变式训练 1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝ x2－1＋ 1－x2； (2)f(x)＝|x＋43－|－x23. 解 (1)定义域为{x|x＝±1}，化简得 f(x)＝0， 故 f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)∵－2≤x≤2 且 x≠0，∴f(x)＝ 4－x x2，又 f(－x)＝－ f(x)，∴f(x)为奇函数．
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板块 二 (bǎn kuài)
典例探究·考向突破
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考向 函数奇偶性的判断 例 1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]； (2)f(x)＝log2(x＋ x2＋1)； (3)f(x)＝xx22＋ －xx， ，xx><00， . 解 (1)由于 f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]的定义域不是 关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数．
(4)函数 f(x)为 R 上的奇函数，且 f(x＋2)＝f(x)，则 f(2018) ＝2018.( × )
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2．[2017·北京高考]已知函数 f(x)＝3x－13x，则 f(x)(
)
A．是奇函数，且在 R 上是增函数
B．是偶函数，且在 R 上是增函数
C．是奇函数，且在 R 上是减函数
3．对称性的三个常用结论 (1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，即 f(a－x)＝f(a＋x)，则 函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称； (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝ f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称； (3)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，即 f(－x＋b)＋f(x＋b) ＝0，则函数 y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．
高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标8 指数与指数函数
1 课时达标 第8讲 指数与指数函数 [解密考纲]本考点主要考查指数的运算、指数函数的图象与性质、简单的复合函数的单调性等，通常以选择题、填空题的形式呈现，分值为5分，题目难度中等或中等偏上． 一、选择题
1．设a＝22.5，b＝2.50，c＝122.5，则a，b，c的大小关系是( C ) A．a>c>b B．c>a>b C．a>b>c D．b>a>c
解析 b＝2.50＝1，c＝122.5＝2－2.5， 则2－2.5<1<22.5，即c2．已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是( B )
解析 |f(x)|＝|2x－2|＝ 2x－2，x≥1，2－2x，x<1， 易知函数y＝|f(x)|的图象的分段点是x＝1， 且过点(1,0)，(0,1)，－1，32. 又|f(x)|≥0，所以B项正确．故选B． 3．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( C ) A．[9,81] B．[3,9] C．[1,9] D．[1，＋∞) 解析 由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因为f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9，可知C项正确．故选C．
4．(2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x－13x，则f(x)( B ) A．是偶函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是增函数 C．是偶函数，且在R上是减函数 D．是奇函数，且在R上是减函数
解析 由f(－x)＝13x－3x＝－f(x)，知f(x)为奇函数，因为y＝13x在R上是减函数， 2
所以y＝－13x在R上增函数，又y＝3x在R上是增函数，所以函数f(x)＝3x－13x在R上是增函数．故选B． 5．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是( C ) A．(－2,1) B．(－4,3) C．(－1,2) D．(－3,4)
导数大题拔高练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)
导数大题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数()1e ln ax f x x x-=+，a ∈R ．(1)当1a =时，求函数()f x x -的最小值；(2)若函数()f x x 的最小值为a ，求a 的最大值．2．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知函数()(π)sin b f x a x x =--，[π,)x ∈+∞(1)1b =时，若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；(2)12b =，()f x 在3π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有极值点0x ，求证：00()πf x x +>．3．（2023秋·浙江宁波·高三期末）已知函数1()ln ,0f x x k x k x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭.(1)当3k =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若对()()0,1,0x f x ∀∈<恒成立，求k 的取值范围；(3)求证：对(0,1)x ∀∈，不等式22e 11ln x x x x x-<+恒成立.4．（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）已知0a >，函数()e x f x x a =-，()ln g x x x a =-.(1)证明：函数()f x ，()g x 都恰有一个零点；(2)设函数()f x 的零点为1x ，()g x 的零点为2x ，证明12x x a =.5．（2023春·广东·高三统考开学考试）已知函数()()2ln 2R f x a x x a a x=+++∈．(1)证明函数()f x 有唯一极小值点；(2)若e 04a <<，求证：()e 2x f x x x +<+．6．（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()sin ()cos f x x x a x =-+（a 为常数），函数3211()32g x x ax =+.(1)证明：（i ）当0x >时，sin x x >；（ii ）当0x <时，sin x x <；(2)证明：当0a ≥时，曲线()y f x =与曲线()y g x =有且只有一个公共点.7．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知函数()ln a f x x x=+．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)令()()()2ln ln g x f x x x x =+--,若0x 是函数()g x 的一个极值点,且()02g x =-,求实数a 的值．8．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数()ln m x n f x x+=在()()1,1f 处的切线方程为1y =.(1)求实数m 和n 的值；(2)已知()(),A a f a ，()(),B b f b 是函数()f x 的图象上两点，且()()f a f b =，求证：()()ln ln 1a b ab +<+.9．（2023秋·吉林松原·高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末）已知函数()21e 12ax f x ax x =---．(1)当1a ≥时，证明：对任意的0x ≥，都有()0f x ≥；(2)证明：()()**112ln 1ln 2,nk n n k n k =>+-∈∈∑N N ．10．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第五中学校校考开学考试）已知函数2()ln 2x f x x =-，()(1)g x k x =-+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若存在01x >，当()01,x x ∈时，1()()2f xg x +>，求实数k 的取值范围.11．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）设函数()()()e 2,x f x ax x a =--∈R .(1)若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为2e ，求a 的值；(2)若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <，且对任意[]()20,,0x x f x ∈<恒成立，求实数a 的取值范围.12．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知函数()()2e x f x x -=-．(1)求()f x 的单调区间；(2)若a ，b 为两个不相等的实数，且满足()e e 2e e b a b a a b -=-，求证：6a b +>．13．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知函数32()61()f x x ax x a =+-+∈R ，且(1)6f '=-．(1)求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若函数()()g x f x m =-在区间[2,4]-上有三个零点，求实数m 的取值范围．14．（2023·安徽安庆·统考二模）已知函数()21ln e x f x a x bx -=+，a ，b ∈R .e 2.71828≈ .(1)若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程是ln 2y x =+，求a 和b 的值；(2)若e a =，且()f x 的导函数()f x '恰有两个零点，求b 的取值范围.15．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考一模）设21()sin 2f x x x x =-+．（1）当0x ≥时，求证：()0f x ≥；（2）证明：对一切正整数n ，都有2222111111sin1sin sin sin sin 23422(1)n n +++++>-+ ．16．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数21()ln 2f x x kx x =-+(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，证明：212()()22k f x f x -<-17．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠在点()()11,A x f x 处的切线为1l ：11y k x b =+，函数()log (0,1)a g x x a a =>≠在点()()22,B x g x 处的切线为2l ：22y k x b =+.(1)若1l ，2l 均过原点，求这两条切线斜率之间的等量关系.(2)当e a =时，若12l l ∥，此时12b b -的最大值记为m ，证明：53ln 22m -<<.18．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知函数()e 3x f x x =+．(1)求()f x 在()3,-+∞上的极值；(2)若()()213,,32x ax x f x ∀∈-+∞≤-，求a 的最小值．19．（2023秋·江苏扬州·高三校考期末）已知函数()e 1ln x k f x x x+=+，其中0k ≥．(1)求函数()f x 的最小值；(2)证明：()11ln *,221n n n n ++>-∈≥+N ．20．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知()()()2212ln 212f x x x x a x a x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭，0a >．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求a 的值．21．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知函数2()()2ln f x x a x =++．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()122x f x x <<．22．（2023秋·河北唐山·高三唐山市丰南区第一中学校考期末）已知函数()()2ln 0f x x x a x a =-->.(1)求()f x 的单调区间；(2)①若()0f x ≥，求实数a 的值；②设*n ∈N ，求证：()2111111ln 124n n n ⎛⎫⎛⎫++++++>+ ⎪⎝⎭⎝⎭ .23．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）已知函数()11e ln -=-+kx f x x kx x.(1)求证：()0f x ≥；(2)若()0,x ∀∈+∞，都()211e ≥+f x ，求k 满足的取值范围．24．（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）已知函数()2ln f x ax x =-.(1)讨论()f x 的单调性；(2)设函数()2g x x =-，若对于任意31,e x ⎡⎤∈⎣⎦，都有()()f x g x ≥，求a 的取值范围.25．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）已知函数()()2ex f x x x b =--(1)讨论函数()f x 的单调性(2)若()f x 有两个极值点1212,()x x x x >，且()()213,ef x f x ≥，求b 的取值范围26．（2023·山东枣庄·统考二模）已知函数()e sin x f x x x =-．(1)当π2x ≤时，求证：()0f x ≥；(2)当0x >时，函数()f x 的零点从小到大依次排列，记为{}()*n x n ∈N 证明：（i ）1sin sin n n x x +>；（ii ）212π2πn n x n x -+<<.27．（2023秋·湖北十堰·高三统考阶段练习）已知函数()()21e x f x x m x nx m=--+，且曲线()y f x =在0x =处的切线为=2y -.(1)求m ，n 的值和()f x 的单调区间；(2)若()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，证明：120x x +>.28．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）已知函数()()ln 3(R)f x x a x x a a =--+-∈．(1)若0a =，求()f x 的极小值．(2)讨论函数()f x '的单调性；(3)当2a =时，证明：()f x 有且只有2个零点．29．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数()()e R x f x ax a =-∈，()πe cos 2x g x x =+.(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)求函数()g x 在()0,∞+上的单调性；(3)求函数()()21e sinπ1x h x g x x -=--⎡⎤⎣⎦在()0,∞+上的零点个数.30．（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知函数e 1()e 1x x f x -=+（e 为自然对数的底数）.(1)若不等式e 1()e 1f x ->+恒成立，求实数x 的取值范围；(2)若不等式1()ln 23f x ax a <+-在(ln 2,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.。
全国近年高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第4讲幂函数与二次函数学案(2021年整理)
（全国版）2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第4讲幂函数与二次函数学案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国版）2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第4讲幂函数与二次函数学案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第4讲幂函数与二次函数板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点幂函数的图象和性质1．五种幂函数图象的比较2．幂函数的性质比较[必会结论]1．一元二次不等式恒成立的条件(1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0)恒成立的充要条件是错误!(2）ax2＋bx＋c＜0(a≠0）恒成立的充要条件是错误!2．二次函数表达式的三种形式(1）一般式:y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．（2）顶点式：y＝a（x＋h)2＋k（其中a≠0,顶点坐标为(－h，k））．（3）两根式：y＝a(x－x1)(x－x2）(其中a≠0，x1，x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标)．[考点自测］1．判断下列结论的正误．（正确的打“√"，错误的打“×”）(1）幂函数的图象都经过点（1,1)和（0,0)．( )（2)二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R)，不可能是偶函数．（)(3）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是错误!.( )(4）当α<0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．( )答案(1)×(2）×(3）×(4)×2．[2018·济南诊断］已知幂函数f(x)＝kxα的图象过点错误!，则k＋α＝( )A.错误!B．1C。
2020版导与练一轮复习理科数学课件：第十三篇 导数及其应用(选修1-1) 第10节 导数的概念及运算 .pdf
第10节 导数的概念及运算考点专项突破知识链条完善 把散落的知识连起来知识梳理1.导数的概念(1)函数y=f(x)在x=x 0处的导数()()00f x x f x x+∆-∆(2)函数f(x)的导函数函数f′(x)= 为f(x)的导函数.()()0lim x f x x f x x ∆→+∆-∆2.导数的几何意义函数y=f(x)在点x 0处的导数f′(x 0)的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的 ,过点P的切线方程为 .斜率y-y 0=f′(x 0)(x-x 0) 3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=C(C为常数)f′(x)= .f(x)=x α(α∈Q *)f′(x)=.0αx α-1f(x)=sin x f′(x)= .f(x)=cos x f′(x)= .f(x)=e x f′(x)= .f(x)=a x(a>0,且a≠1)f′(x)= .f(x)=ln x f′(x)=f(x)=loga x(a>0,且a≠1)f′(x)=cos x-sin xe xa x ln a1lnx a1x4.导数的运算法则若f′(x),g′(x)存在,则有(1)[f(x)±g(x)]′= ;(2)[f(x)·g(x)]′= ;f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ()()()()()2f xg x f x g x g x ''-⎡⎤⎣⎦【重要结论】1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.2.函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.1.(教材改编题)曲线y=x 3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15解析:因为y=x 3+11,所以y′=3x 2,所以y′|x=1=3,所以曲线y=x 3+11在点P(1,12)处的切线方程为y-12=3(x-1),令x=0,得y=9.对点自测C2.已知f(x)=xln x,若f′(x0)=2,则x等于( )解析:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1,由f′(x0)=2,即ln x+1=2,解得x0=e.B3.(2018·天津卷)已知函数f(x)=e x ln x,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为 .答案:e答案:x-y+1=05.下面四个结论中正确的是 .(1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x附近的平均变化率.(2)函数f(x)=sin(-x)的导数f′(x)=cos x.(3)求f′(x0)时,可先求f(x),再求f′(x).(4) 曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.解析:(1)f′(x0)表示y=f(x)在x=x0处的切线斜率,(1)错误.(2)f(x)=sin(-x)=-sin x,则f′(x)=-cos x,(2)错误.(3)求f′(x)时,应先求f′(x),再代入求值,(3)错误,只有(4)正确.答案:(4)考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 导数的运算(多维探究)考查角度1:利用求导法则运算【例1】 求下列函数的导数:(1)y=e x ln x;反思归纳(1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提,求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)如函数为根式形式,可先化为分数指数幂,再求导.【跟踪训练1】 求下列函数的导数:考查角度2:抽象函数的导数运算【例2】 已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(2) +ln x,则f′(2)= .反思归纳(1)准确活用求导法则是解题的关键,另外一定注意f′(x0)(x是变量x某一取值)是一个常数,不是变量.(2)求解该类问题时要善于观察题目特征,恰当赋值,重视方程思想的运用.【跟踪训练2】 已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+ln x,则f′(1)等于( )(A)-e (B)-1 (C)1 (D)e考点二 导数的几何意义(多维探究)考查角度1:求切线方程或切点坐标【例3】 (1)已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为 ;答案:(1)x-y-1=0(2)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 ;解析:(2)令x≥0,则-x≤0,f(-x)=e x-1+x,又f(x)为偶函数,所以x≥0时,f(x)=e x-1+x,所以f(1)=2,f′(x)=e x-1+1,f′(1)=2,所求切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.答案:(2)y=2x(3)若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是 .答案:(3)(e,e)反思归纳(1)求曲线在点P(x0,y)处的切线,则表明P点是切点,只需求出函数在P处的导数,然后利用点斜式写出切线方程,若切线垂直于x轴,则切线方程为x=x.(2)求曲线过点P的切线,则P点不一定是切点,应先设出切点坐标,然后列出切点坐标的方程解出切点坐标,进而写出切线方程.求出切点坐标是解题的关键.【跟踪训练3】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )(A)y=-2x(B)y=-x(C)y=2x(D)y=x解析:(1)法一 因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),由此可得a=1,故f(x)=x3+x,f′(x)=3x2+1,f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.法二 因为f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,所以f′(x)=3x2+2(a-1)x+a为偶函数,所以a=1,即f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.答案:(1)D答案:(2)(1,1)考查角度2:求参数的值或取值范围【例4】 (1)(2018·开封模拟)函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是( )(A)(-∞,2] (B)(-∞,2)(C)(2,+∞) (D)(0,+∞)答案:(1)B答案:(2)-8反思归纳(1)求解与曲线切线有关的参数问题,其实质是利用导数的几何意义求曲线切线方程的逆用.(2)解题的关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.答案:(1)1(2)已知曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则实数a+b的值为 .解析:(2)因为两曲线的交点为(0,m),所以m=acos 0,m=02+b×0+1.所以m=1,a=1.因为曲线f(x),g(x)在(0,m)处有公切线,所以f′(0)=g′(0),所以-sin 0=2×0+b,所以b=0.所以a+b=1.答案:(2)1备选例题【例2】 (2018·西安质检)已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数, f′(x)为f(x)的导函数.若f′(1)=3,则a的值为 .答案:3【例3】 已知函数f(x)=-f′(0)e x+2x,点P为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线l上的一点,点Q在曲线y=e x上,则|PQ|的最小值为 .点击进入应用能力提升。
202新数学复习第二章函数导数及其应用2.2.2利用导数证明不等式学案含解析
第2课时利用导数证明不等式构造函数证明不等式：构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式,构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有:(1）直接构造法:证明不等式f(x）〉g(x)（f（x)<g(x))转化为证明f(x)－g（x）>0（f（x）－g(x）〈0），进而构造辅助函数h（x）＝f(x）－g(x)；(2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩,二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，e x≥x＋1，ln x〈x<e x（x〉0),错误!≤ln（x＋1)≤x（x>－1）；(3)特征分析构造法：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构"构造辅助函数；(4）构造双函数:若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f（x)和g(x)，利用其最值求解．方法1直接构造差函数法【例1】已知函数f(x)＝1－错误!,g(x)＝错误!＋错误!－bx(e为自然对数的底数），若曲线y＝f(x)与曲线y＝g（x）的一个公共点是A（1,1）,且在点A处的切线互相垂直．(1）求a，b的值；(2)求证：当x≥1时,f（x）＋g(x)≥错误!.【解】（1）因为f（x)＝1－ln x x，所以f′（x)＝错误!，f′（1)＝－1。
因为g(x)＝错误!＋错误!－bx，所以g′(x）＝－错误!－错误!－b。
因为曲线y＝f(x）与曲线y＝g(x）的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g（1）＝1，且f′（1)·g′(1)＝－1，即g(1）＝1＋a－b＝1，g′（1）＝－a－1－b＝1，解得a＝－1，b＝－1。
（2)证明：由(1)知,g（x）＝－错误!＋错误!＋x,则f(x)＋g（x)≥2x⇔1－错误!－错误!－错误!＋x≥0.令h(x)＝1－错误!－错误!－错误!＋x(x≥1),则h′(x)＝－错误!＋错误!＋错误!＋1＝错误!＋错误!＋1.因为x≥1，所以h′(x)＝ln xx2＋错误!＋1>0，所以h(x）在[1，＋∞)上单调递增，所以h（x)≥h（1)＝0,即1－错误!－错误!－错误!＋x≥0,所以当x≥1时,f(x)＋g(x）≥错误!。
高考数学一轮专项复习ppt课件-利用导数研究恒成立或存在性问题(通用版)
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②当 a＜1 时，由 h′(x)＝0，x≥0， 解得 x＝ 1－a， 当 x∈(0， 1－a)时，h′(x)＜0；当 x∈( 1－a，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)min＝h( 1－a) ＜h(0)＝0，这与 h(x)≥0 矛盾，应舍去． 本例中的函数 h(x)，隐藏有一个信息 h(0)＝0，欲使 h(x)≥0 恒成立，在 x＝0 的右侧区 间不可能单调递减． 综上可知，实数 a 的取值范围为[1，＋∞)．
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对点练 1 已知函数 f(x)＝12x2－(a＋2)x＋2aln x(a∈R)． (1)若 a＞2，讨论函数 f(x)的单调性； (2)设函数 g(x)＝－(a＋2)x，若至少存在一个 x0∈[e,4]，使得 f(x0)＞g(x0)成立，求实数 a 的取值范围．
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这个转化很对，发散思维，∀s∈D1，∃t∈D2，满足 f(s)≥g(t)⇔f(s)min≥g(t)min. 由(1)可知在区间12，2上，g(x)的最大值为 g(2)＝1. 在区间12，2上，f(x)＝ax＋xln x≥1 恒成立等价于 a≥x－x2ln x 恒成立． 使问题转化为恒成立求参问题，再使用参变分离法求 a. 设 h(x)＝x－x2ln x，x∈12，2，h′(x)＝1－2xln x－x， 令 m(x)＝xln x，由 m′(x)＝ln x＋1＞0 得 x＞1e. 从而知函数的单调递增区间12，2⊆1e，＋∞，所以 m(x)在12，2上单调递增．
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对点练 3 已知函数 f(x)＝42x－2－x7，x∈[0,1]． (1)求 f(x)的单调区间和值域； (2)设 a≥1，函数 g(x)＝x3－3a2x－2a，x∈[0,1]．若对于任意 x1∈[0,1]，总存在 x0∈[0,1]， 使得 g(x0)＝f(x1)成立，求实数 a 的取值范围． 解：(1)f′(x)＝－4x22＋－1x62x－7 ＝－2x－21－2xx2－7，x∈[0,1]． 令 f′(x)＝0，解得 x＝12或 x＝72. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表，
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性课件
板块二 典例探究·考向突破
考向 函数奇偶性的判断 例 1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]； (2)f(x)＝log2(x＋ x2＋1)； (3)f(x)＝xx22＋ －xx， ，xx><00， . 解 (1)由于 f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]的定义域不是 关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数．
(2)定义域是 R，关于原点对称， 且 f(－x)＝log2(－x＋ x2＋1) ＝log2x＋ 1x2＋1＝－log2(x＋ x2＋1) ＝－f(x)，故 f(x)是奇函数． (3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原 点对称，又当 x>0 时，f(x)＝x2＋x，则当 x<0 时，－x>0， 故 f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当 x<0 时，f(x)＝x2－x，则当 x>0 时，－x<0，故 f(－ x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
命题角度 2 利用奇偶性求参数值 例 3 [2015·全国卷Ⅰ]若函数 f(x)＝xln (x＋ a＋x2)为 偶函数，则 a＝___1_____. 解析 解法一：由题意得 f(x)＝xln (x＋ a＋x2)＝f(－x) ＝－xln( a＋x2－x)，所以 a＋x2＋x＝ a＋1x2－x，解得 a ＝1. 解法二：由 f(x)为偶函数有 ln (x＋ a＋x2)为奇函数， 令 g(x)＝ln (x＋ a＋x2)，有 g(－x)＝－g(x)，以下同解法一．
命题角度 3 利用奇偶性求解析式 例 4 f(x)为 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝－2x2 ＋3x＋1，求 f(x)的解析式．
解 当 x<0 时，－x>0，则 f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋ 1＝－2x2－3x＋1.
(江苏专版)高考数学一轮复习第二章第2讲函数的定义域与值域分层演练直击高考文
第2讲 函数的定义域与值域1．函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，|x |－5≠0，得x ≥4且x ≠5.[答案] {x |x ≥4，且x ≠5}2．若x 有意义，则函数y ＝x 2＋3x －5的值域是________． [解析] 因为x 有意义，所以x ≥0.又y ＝x 2＋3x －5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－94－5，所以当x ＝0时，y min ＝－5. [答案] [－5，＋∞) 3．函数y ＝1x 2＋2的值域为________． [解析] 因为x 2＋2≥2，所以0<1x 2＋2≤12. 所以0<y ≤12.[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |0<y ≤124．(2018·南京四校第一学期联考)函数f (x )＝x 2－5x ＋6lg （2x －3）的定义域为________．解析：要使f (x )有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＞0lg （2x －3）≠0x 2－5x ＋6≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＞32x ≠2x ≥3或x ≤2，所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪[3，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪[3，＋∞)5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2 014]，则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是________．[解析] 令t ＝x ＋1，则由已知函数y ＝f (x )的定义域为[0，2 014]可知，0≤t ≤2 014，故要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 014，解得－1≤x ≤2 013，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 013]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 013，x －1≠0，解得－1≤x <1或1<x ≤2 013.故函数g (x )的定义域为[－1，1)∪(1，2 013]． [答案] [－1，1)∪(1，2 013]6．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________． [解析] y ＝x －x ＝－(x )2＋x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14， 即y max ＝14.[答案] 147．(2018·南昌模拟)定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]，则函数f (x )的值域为________．[解析] 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈（1，2]，当x ∈[－2，1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1，2]时，f (x )∈(－1，6]．故当x ∈[－2，2]时，f (x )∈[－4，6]．[答案] [－4，6]8．已知集合A 是函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1x的定义域，集合B 是其值域，则A ∪B 的子集的个数为________．[解析] 要使函数f (x )的解析式有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0，x ≠0，解得x ＝1或x ＝－1，所以函数的定义域A ＝{－1，1}．而f (1)＝f (－1)＝0，故函数的值域B ＝{0}，所以A ∪B ＝{1，－1，0}，其子集的个数为23＝8.[答案] 89．已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c的最小值为________．[解析] 由二次函数的值域是[0，＋∞)，可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，因此有a ＞0，4ac －14a ＝0，从而c ＝14a ＞0.又c ＋2a ＋a ＋2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋8a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋4a 2≥2×4＋2＝10，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝8a ，14a 2＝4a 2，即a ＝12时取等号，故所求的最小值为10.[答案] 1010．函数y ＝2x －1－13－4x 的值域为________． [解析] 法一：(换元法)设13－4x ＝t ， 则t ≥0，x ＝13－t24，于是y ＝g (t )＝2·13－t24－1－t＝－12t 2－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6，显然函数g (t )在[0，＋∞)上是单调递减函数， 所以g (t )≤g (0)＝112，因此函数的值域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，112. 法二：(单调性法)函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤134，当自变量x 增大时，2x －1增大，13－4x 减小， 所以2x －1－13－4x 增大，因此函数f (x )＝2x －1－13－4x 在其定义域上是单调递增函数， 所以当x ＝134时，函数取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝112，故函数的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，112.[答案] ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，11211. (1)求函数f (x )＝lg （x 2－2x ）9－x2的定义域． (2)已知函数f (2x)的定义域是[－1，1]，求f (x )的定义域．[解] (1)要使该函数有意义，需要⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x >0，9－x 2>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >2，－3<x <3，解得－3<x <0或2<x <3， 所以所求函数的定义域为(－3，0)∪(2，3)．(2)因为f (2x)的定义域为[－1，1]， 即－1≤x ≤1，所以12≤2x≤2，故f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 12．已知函数g (x )＝x ＋1, h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域．[解] (1)f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a ](a >0)． (2)函数f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14， 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，f (x )＝F (t )＝tt 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2， 当t ＝4t 时，t ＝±2∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，又t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，t ＋4t 单调递减，F (t )单调递增，F (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.1．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，则a ＝________，b ＝________．[解析] 因为f (x )＝12(x －1)2＋a －12，所以其对称轴为x ＝1.即[1，b ]为f (x )的单调递增区间． 所以f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.[答案] 3232．(2018·徐州质检)已知一个函数的解析式为y ＝x 2，它的值域为{1，4}，这样的函数有________个．[解析] 列举法：定义域可能是{1，2}、{－1，2}、{1，－2}、{－1，－2}、{1，－2，2}、{－1，－2，2}、{－1，1，2}、{－1，1，－2}、{－1，1，－2，2}．[答案] 93．已知函数f (x )＝log 13(－|x |＋3)的定义域是[a ，b ](a 、b ∈Z )，值域是[－1，0]，则满足条件的整数对(a ，b )有________对．[解析] 由f (x )＝log 13(－|x |＋3)的值域是[－1，0]，易知t (x )＝|x |的值域是[0，2]，因为定义域是[a ，b ](a 、b ∈Z )，所以符合条件的(a ，b )有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)共5对．[答案] 54．(2018·常州调研)设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x <g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ），则f (x )的值域是________．[解析] 令x <g (x )，即x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2；令x ≥g (x )，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.当x <－1或x >2时，函数f (x )>f (－1)＝2；当－1≤x ≤2时，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f (x )≤f (－1)，即－94≤f (x )≤0，故函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞) 5．若函数f (x )＝ （a 2－1）x 2＋（a －1）x ＋2a ＋1的定义域为R ，求实数a 的取值范围．[解] 由函数的定义域为R ，可知对x ∈R ，f (x )恒有意义，即对x ∈R ，(a 2－1)x 2＋(a －1)x ＋2a ＋1≥0恒成立． ①当a 2－1＝0，即a ＝1(a ＝－1舍去)时，有1≥0，对x ∈R 恒成立，故a ＝1符合题意；②当a 2－1≠0，即a ≠±1时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a －1）2－4（a 2－1）×2a ＋1≤0，解得1<a ≤9. 综上，可得实数a 的取值范围是[1，9]．6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a 、b 为常数，且a ≠0)满足条件：f (x －1)＝f (3－x )，且方程f (x )＝2x 有等根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m ＜n )，使f (x )定义域和值域分别为[m ，n ]和[4m ，4n ]？如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由．[解] (1) f (x )＝－x 2＋2x .(2)由f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，知f (x )max ＝1，所以4n ≤1，即n ≤14＜1.故f (x )在[m ，n ]上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝4m ，f （n ）＝4n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0，所以存在m ＝－2，n＝0，满足条件．7．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． [解] (1)因为函数的值域为[0，＋∞)， 所以Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0 ⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32.(2)因为对一切x ∈R 函数值均为非负数， 所以Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32.所以a ＋3>0.所以g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174⎝ ⎛⎭⎪⎫a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. 因为二次函数g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减， 所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4.所以g (a )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4.。
导数与函数的单调性-高考数学复习
（
√
）
（3）若函数 f （ x ）在定义域上都有f'（ x ）＞0，则 f （ x ）在定义
域上一定是增函数.
（
× ）
目录
高中总复习·数学
2. 如图是函数 y ＝ f （ x ）的导函数 y ＝f'（ x ）的图象，则下列判断正
确的是（
）
A. 在区间（－2，1）上 f （ x ）单调递增
数的单调性，得出函数的极值、最值等性质，利用数形结合的方法确
定不等式的解集.
目录
高中总复习·数学
考向3 已知函数单调性求参数
【例5】 （2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数 f （ x ）＝ a e x －ln x 在区
间（1，2）上单调递增，则实数 a 的最小值为（
A. e2
B. e
C. e－1
）
1
）在（－∞，ln
1
）上单调递减，在（ln
，＋∞）上单
调递增.
综上可知，当 a ≤0时， f （ x ）在（－∞，＋∞）上是减函数；当
a ＞0时， f （ x
1
）在（－∞，ln
1
）上单调递减，在（ln
，＋
∞）上单调递增.
目录
高中总复习·数学
解题技法
讨论函数 f （ x ）单调性的步骤
（1）确定函数 f （ x ）的定义域；
D. e－2
目录
高中总复习·数学
解析：
法一
1
1
x
x
由题意，得f'（ x ）＝ a e － ，∴f'（ x ）＝ a e －
1
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1 分层限时跟踪练(十三) (限时40分钟) [基 础 练]扣教材 练双基
一、选择题 1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于( ) A．－e B．－1 C．1 D．e
【解析】 ∵f′(x)＝2f′(1)＋1x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，即f′(1)＝－1. 【答案】 B 2．(2015·豫东、豫北十所名校联考)已知f(x)＝2exsin x，则曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为( ) A．y＝0 B．y＝2x C．y＝x D．y＝－2x 【解析】 ∵f(x)＝2exsin x，∴f(0)＝0，f′(x)＝2ex·(sin x＋cos x)，∴f′(0)＝2，∴曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x. 【答案】 B 3．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
【解析】 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选B. 【答案】 B 4．(2015·吉林模拟)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A．e B．－e
C.1e D．－1e
【解析】 y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1x，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x 2
＝x0＝1x0，切线方程为y－ln x0＝1x0(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1e.
【答案】 C 5．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值等于 ( ) A．2 B．－1 C．1 D．－2
【解析】 依题意知，y′＝3x2＋a，则 13＋a＋b＝3，3×12＋a＝k，k＋1＝3，由此解得 a＝－1，b＝3，k＝2，所以2a＋b＝1，选C. 【答案】 C 二、填空题 6．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝ . 【解析】 ∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1. 又f(1)＝a＋2， ∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1. 【答案】 1 7．已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(0)＝ . 【解析】 令g(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f(x)＝xg(x)， ∴f′(x)＝g(x)＋xg′(x)，∴f′(0)＝g(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120. 【答案】 －120 8．经过原点(0,0)作函数f(x)＝x3＋3x2图象的切线，则切线方程为 ． 【解析】 f′(x)＝3x2＋6x.当(0,0)为切点时，f′(0)＝0，故切线方程为y＝0. 当(0,0)不为切点时，设切点为P(x0，x30＋3x20)，则切线方程为y－(x30＋3x20)＝(3x20＋6x0)(x－x0)，又点(0,0)在切线上，所以－x30－3x20＝－3x30－6x20，解得x0＝0(舍去)或x0＝－32，故切线方程为9x＋4y＝0.
【答案】 y＝0或9x＋4y＝0 3
三、解答题 9．已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． 【解】 (1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1. ∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13. ∴切线的方程为y＋6＝13(x－2)， 即y＝13x－32. (2)设切点坐标为(x0，y0)， 则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1， y0＝x30＋x0－16，
∴直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16. 又∵直线l过坐标原点(0,0)， ∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16， 整理得，x30＝－8， ∴x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， 得切点坐标(－2，－26)， k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． 10．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 【解】 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得 f0＝b＝0，f′0＝－aa＋2＝－3， 解得b＝0，a＝－3或a＝1. (2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线， ∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0， 即4a2＋4a＋1>0，
∴a≠－12. 4
∴a的取值范围为－∞，－12∪－12，＋∞. [能 力 练]扫盲区 提素能
1．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为( ) A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2
【解析】 y＝ln x的导数为y′＝1x，由1x＝12，解得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其
代入直线方程y＝12x＋b，可得b＝ln 2－1. 【答案】 C 2．已知曲线方程f(x)＝sin2x＋2ax(x∈R)，若对任意实数m，直线l：x＋y＋m＝0都不是曲线y＝f(x)的切线，则a的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(－1,0) B．(－∞，－1)∪(0，＋∞) C．(－1,0)∪(0，＋∞) D．a∈R且a≠0，a≠－1 【解析】 f′(x)＝2sin xcos x＋2a＝sin 2x＋2a，直线l的斜率为－1. 由题意知关于x的方程sin 2x＋2a＝－1无解， 所以|2a＋1|＞1， 解得a＜－1或a＞0. 【答案】 B 3．已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为 ． 【解析】 设切点坐标为(t，t3－at＋a)． 由题意知，f′(x)＝3x2－a， 切线的斜率为k＝f′(t)＝3t2－a，① 所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t)．② 将点(1,0)代入②式得－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，
解得t＝0或t＝32.
分别将t＝0和t＝32代入①式， 5
得k＝－a和k＝274－a， 由题意得它们互为相反数得a＝278. 【答案】 278 4．曲线y＝ln 2x上任意一点P到直线y＝2x的距离的最小值是 ．
【解析】 如图，所求最小值即曲线上斜率为2的切线与y＝2x两平行线间的距离， 也即切点到直线y＝2x的距离． 由y＝ln 2x，
则y′＝1x＝2，
得x＝12， y＝ln2×12＝0，
即与直线y＝2x平行的曲线y＝ln 2x的切线的切点坐标是12，0，y＝ln 2x上任意一点P到直线y＝2x的距离的最小值，即15＝55. 【答案】 55 5．设函数f(x)＝13x3－ax(a＞0)，g(x)＝bx2＋2b－1.若曲线y＝f(x)与y＝g(x)在它们的交点(1，c)处有相同的切线，求实数a，b的值，并写出切线l的方程． 【解】 因为f(x)＝13x3－ax(a＞0)，g(x)＝bx2＋2b－1，所以f′(x)＝x2－a，g′(x)＝2bx. 因为曲线y＝f(x)与y＝g(x)在它们的交点(1，c)处有相同的切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)，
即13－a＝b＋2b－1，且1－a＝2b，
解得a＝13，b＝13，得切点坐标为(1,0)． 6
切线方程为y＝23(x－1)，即2x－3y－2＝0. 6．已知函数f(x)＝x－1＋aex(a∈R，e为自然对数的底数)． (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； (2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．
【解】 (1)f′(x)＝1－aex，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，
所以f′(1)＝1－ae＝0，解得a＝e. (2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋1ex，f′(x)＝1－1ex. 设切点为(x0，y0)， ∵f(x0)＝x0－1＋1ex0＝kx0－1，①
f′(x0)＝1－1ex0＝k，②
①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0. 若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e. ∴l的直线方程为y＝(1－e)x－1.