2011北京师大附中高二数学期中试卷-高三期中考试试卷2010
2010-2011学年北京市师大附中八年级(下)期中数学试卷
2010-2011学年北京市师大附中八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）函数的定义域是（）A．x≥2 B．x＞2 C．x＞0 D．x≥02．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣2，3）沿x轴正方向向右平移3个单位得到点Q，则点Q关于x轴的对称点的坐标是（）A．（﹣1，3）B．（5，3）C．（﹣5，﹣3）D．（1，﹣3）3．（3分）已知点A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y24．（3分）（2004•徐州）函数y=6﹣x与函数y=（x＞0）的图象交于A、B两点，设点A的坐标为（x1，y1），则边长分别为x1、y1的矩形面积和周长分别为（）A．4，12 B．4，6 C．8，12 D．8，65．（3分）若一个多边形共有20条对角线，则它是（）边形．A．六B．七C．八D．九6．（3分）在平行四边形ABCD中，已知BC=12cm，CD=8cm，BE平分∠ABC交AD于E，那么ED的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm7．（3分）在菱形ABCD中，E、F分别是BC和CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD，那么∠EAF等于（）A．45°B．55°C．60°D．75°8．（3分）若正方形ABCD的边长为6，E为BC边上一点，BE=4，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的AD 边于点F，且BF=AE，则BM的长为（）A．B．C．D．9．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，则C、D两点到直线AN的距离之和是（）A．a B．C．D．10．（3分）（2005•北京）如下图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=5，BC=3，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动．设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化．在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题2分，共16分）11．（2分）若一次函数y=kx+b与y轴交点的纵坐标为﹣2，且与两坐标轴围成的直角三角形面积为1，则k=_________．12．（2分）如图，A，B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，交x轴于点C，BD平行于y轴，交x轴于点D，则四边形ADBC的面积为_________．13．（2分）已知：正比例函数y=k1x与反比例函数的图象交于点M（a，1），MN⊥x轴于点N，若△OMN的面积等于2，则k1k2的值是_________．14．（2分）菱形ABCD中，若对角线BD=24，AC=10，则此菱形的边长等于_________．15．（2分）（2010•咸宁）如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n 的解集为_________．16．（2分）（2007•咸宁）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数=_________度．17．（2分）如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF，若∠BEC=60°，则∠EFD 的度数为_________．18．（2分）如图，点O（0，0），B（0，1）是正方形OBB1C的两个顶点，以它的对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1，以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2，再以正方形OB2B3C2的对角线OB3为一边作正方形OB3B4C3，…，依次进行下去，则点B6的坐标是_________．三、解答题（本题共54分）19．（6分）（2009•成都）已知一次函数y=x+2与反比例函数y=，其中一次函数y=x+2的图象经过点P（k，5）．（1）试确定反比例函数的表达式；（2）若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标．20．（4分）（2010•常州）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．21．（6分）如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一个动点．（1）当点E在AC上运动时，EB和ED总有怎样的关系成立，并证明；（2）延长BE交AD于F，当∠BED=150°时，求∠EFD的度数．22．（8分）（2010•茂名）张师傅驾车运送荔枝到某地出售，汽车出发前油箱有油50升，行驶若干小时后，图中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．（1）汽车行驶_________小时后加油，中途加油_________升；（2）求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式；（3）已知加油前、后汽车都以70千米/小时匀速行驶，如果加油站距目的地210千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用？请说明理由．23．（4分）（2010•青岛）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．（1）求证：BE=DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．24．（6分）（2010•宁波）如图1，有一张菱形纸片ABCD，AC=8，BD=6．（1）请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四边形，在图2中用实线画出你所拼成的平行四边形；若沿着BD剪开，请在图3中用实线画出拼成的平行四边形；并直接写出这两个平行四边形的周长．（2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4中用实线画出拼成的平行四边形．（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）周长为_________周长为_________．25．（8分）如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）则点C的坐标是_________，点D的坐标是_________；（2）若将此平行四边形ABCD沿x轴正方向向右平移3个单位，沿y轴正方向向上平移2个单位，则点C的坐标是_________，点D的坐标是_________；（3）若将平行四边形ABCD平移到第一象限后，点B的坐标是（a，b），则点C的坐标是_________，点D的坐标是_________；（4）若点M在平面直角坐标系内，则在上图的直线AB上，并且在第一、第二象限内是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．26．（8分）将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=8，如图在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，记作E点；（1）求点E的坐标及折痕DB的长；（2）在x轴上取两点M、N（点M在点N的左侧），且MN=4.5，求使四边形BDMN的周长最短的点M、点N的坐标．27．（2分）已知直线与双曲线交于点A，将直线向右平移个单位后，与双曲线（x＞0）交于点B，与x轴交于点C，若，则k=_________．28．（2分）如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长．2010-2011学年北京市师大附中八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）函数的定义域是（）A．x≥2 B．x＞2 C．x＞0 D．x≥0考点：函数自变量的取值范围．专题：计算题．分析：根据二次根式的性质的意义，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．解答：解：根据题意得：x≥0，则x≥0．故选D．点评：本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．2．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣2，3）沿x轴正方向向右平移3个单位得到点Q，则点Q关于x轴的对称点的坐标是（）A．（﹣1，3）B．（5，3）C．（﹣5，﹣3）D．（1，﹣3）考点：坐标与图形变化-平移；关于x轴、y轴对称的点的坐标．专题：常规题型．分析：先根据向右平移3个单位，横坐标加3，纵坐标不变，求出点Q的坐标，再根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反解答．解答：解：∵将点P（﹣2，3）沿x轴正方向向右平移3个单位得到点Q，∴点Q的坐标是（1，3），∴点Q关于x轴的对称点的坐标是（1，﹣3）．故选D．点评：本题考查了坐标平移与关于x轴、y轴对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．3．（3分）已知点A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2考点：反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．分析：根据反比例函数的增减性，k＜0，函数图象位于二、四象限，又位于第二象限，则y1最大，对B、C、两点由性质判断出y2＜y3，由此得出答案．解答：解：∵k＜0，∴反比例函数图象的两个分支在第二四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大；又∵B（1，y2）、C（2，y3）是双曲线上的两点，且2＞1＞0，∴y2＜y3＜0；又∵点A（﹣2，y1）在第二象限，故0＜y1，∴y2＜y3＜y1．故选C．点评：在反比函数中，已知两点的横坐标，比较纵坐标的大小，首先应区分两点是否在同一象限内．在同一象限内，按同一象限内点的特点来比较，不在同一象限内，按坐标系内点的特点来比较．4．（3分）（2004•徐州）函数y=6﹣x与函数y=（x＞0）的图象交于A、B两点，设点A的坐标为（x1，y1），则边长分别为x1、y1的矩形面积和周长分别为（）A．4，12 B．4，6 C．8，12 D．8，6考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：数形结合．分析：由于矩形的边长分别为x1、y1，故把点A的坐标代入函数的解析式中，就可得到矩形的边长的积与边长的和，就能求得矩形的面积和周长．解答：解：∵点A（x1，y1）在函数y=上，∴x1y1=4，矩形面积=|x1×y1|=4，∵点A（x1，y1）在函数y=6﹣x上，∴x1+y1=6，∴矩形周长=2（x1+y1）=12．故本题选A．点评：解决本题的关键是利用函数图象上的点都适合这个函数解析式，来得到矩形面积和周长所需要的值．5．（3分）若一个多边形共有20条对角线，则它是（）边形．A．六B．七C．八D．九考点：多边形的对角线．专题：计算题．分析：根据多边形的对角线公式，列出方程求解即可．解答：解：设这个多边形是n边形，则=20，∴n2﹣3n﹣40=0，（n﹣8）（n+5）=0，解得n=8，n=﹣5（舍去）．故选C．点评：本题考查了多边形的对角线的公式，熟记公式是解题的关键．6．（3分）在平行四边形ABCD中，已知BC=12cm，CD=8cm，BE平分∠ABC交AD于E，那么ED的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm考点：平行四边形的性质．专题：计算题．分析：先根据题意画出草图，然后根据平行线的性质得出△ABE为等腰三角形，从而可得出ED=AD﹣AE=BC﹣AB，这样也就得出了答案．解答：解：∵BE平分∠ABC，AD∥BC，∴∠ABE=∠EBC=∠AEB，∴AB=AE，又∵BC=12cm，CD=8cm，ED=AD﹣AE=BC﹣AB=4cm．故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质，难度不大，解答本题时注意要先画出图形，这样对分析题意很有帮助．7．（3分）在菱形ABCD中，E、F分别是BC和CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD，那么∠EAF等于（）A．45°B．55°C．60°D．75°考点：菱形的性质．专题：计算题．分析：连接AC，由题意可得，△ABC是等边三角形从而得到∠EAC=30°，同理可求得∠FAC的度数，从而不难求得∠EAF的度数．解答：解：连接AC，由题意可知，△ABC是等边三角形，AE平分∠BAC，所以∠EAC=30°；同理可得，∠FAC=30°，所以∠EAF=∠EAC+∠FAC=60°．故选C．点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定和性质，属于基础题，比较容易解答．8．（3分）若正方形ABCD的边长为6，E为BC边上一点，BE=4，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的AD 边于点F，且BF=AE，则BM的长为（）A．B．C．D．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．专题：计算题；综合题．分析：作出草图，根据边角边定理可以证明△ABE与△BAF全等，根据全等三角形对应边相等得到AF=BE，从而可以证明四边形ABEF是矩形，根据的对角线互相平分以及勾股定理即可求出BM的长度．解答：解：①如图，在正方形ABCD中，∠ABE=∠BAF=90°，AD∥BC，在Rt△ABE与Rt△BAF中，，∴△ABE≌△BAF（HL），∴AF=BE，又∵AD∥BC，∴AF∥BE，∴四边形ABEF是矩形，∵正方形ABCD的边长为6，AF=BE=4，∴在Rt△ABF中，BM=BF==×=．故选B．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的对角线互相平分，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，是小综合题，但难度不大，作出图形形象直观，有助于问题的解决．9．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，则C、D两点到直线AN的距离之和是（）A．a B．C．D．考点：矩形的性质；等腰直角三角形．分析：分别在图中作出C、D两点到直线AN的垂线段，这两个线段分别是等腰直角三角形的两个直角边，且斜边知道能够求出，从而得解．解答：解：作DE，CF分别垂直于AN交AN于E，F两点，过D点作DH∥AN，交CF的延长线于H点，∴四边形DEHF是矩形，∴DH=EF，DE=HF，∵AN平分∠DAB，∴△DEG和△CFG是等腰直角三角形，∴DE+CF=EG+FG=EF=HF+FC=HC，∴△DHC是等腰直角三角形，∵DC=AB=a，设HC=DH=x，由勾股定理得：x2+x2=a2，∴x=a，∴HC=DH=a，即则C、D两点到直线AN 的距离之和是a．故选C．点评：本题考查矩形的判定定理和性质定理以及等腰直角三角形的判定定理，和勾股定理的应用．10．（3分）（2005•北京）如下图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=5，BC=3，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动．设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化．在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：动点型．分析：本题考查动点函数图象的问题，先求出函数关系式在判断选项．解答：解：当点P在CD上运动时，y 为三角形，面积为：×3×x=x，为正比例函数；当点P在CB上运动时，y 为梯形，面积为×（x﹣5+3）×=，为一次函数．由于后面的面积的x的系数＞前面的x的系数，所以后面函数的图象应比前面函数图象要陡．故选A．点评：本题需注意的知识点是：两个在第一象限的一次函数，比例系数大的图象较陡．二、填空题（每小题2分，共16分）11．（2分）若一次函数y=kx+b与y轴交点的纵坐标为﹣2，且与两坐标轴围成的直角三角形面积为1，则k=±2．考点：一次函数图象上点的坐标特征．专题：函数思想．分析：根据题意，画出一次函数y=kx+b的大体图象所在的位置，然后根据直角三角形的面积公式求得该函数图象与x轴的交点，再将其代入函数解析式，求得k值．解答：解：根据题意，知一次函数y=kx+b的图象如图所示：∵S△AOC=1，OC=2，∴1=×OA•OC，∴OA=1；①∴一次函数y=kx+b的图象经过点（0，﹣2）、（﹣1，0），∴，解得，k=﹣2；②同理求得OB=1，∴一次函数y=kx+b的图象经过点（0，﹣2）、（1，0），，∴k=2；故答案是：±2．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上的点，一定满足该函数的关系式．12．（2分）如图，A，B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，交x轴于点C，BD平行于y轴，交x轴于点D，则四边形ADBC的面积为2．考点：反比例函数综合题．分析：根据题意，得到四边形ADBC是平行四边形，则平行四边形的面积即为三角形AOC的面积的4倍．根据点A是反比例函数图象上一点，则三角形AOC的面积即为=，从而求得四边形的面积．解答：解：∵A，B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，∴OA=OB，OC=OD，xy=1，∴四边形ADBC是平行四边形，三角形AOC的面积是．∴平行四边形的面积=三角形AOC的面积的4倍=2．故答案为2．点评：此题考查了中心对称的性质、平行四边形的判定及性质以及反比例函数的性质．注意：从反比例函数图象上任意一点向x轴或y轴引垂线，则这点、原点、垂足所组成的三角形的面积是．13．（2分）已知：正比例函数y=k1x与反比例函数的图象交于点M（a，1），MN⊥x轴于点N，若△OMN的面积等于2，则k1k2的值是1．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：此题只要求出M点的坐标，就解决问题了，根据M点在正比例函数y=k1x的图象与反比例函数的图象上，把M点坐标用a表示出来，又根据△OMN的面积等于2，求出a值，从而求出M点坐标．解答：解：∵MN⊥x轴，点M（a，1），∴S△OMN==2，∴a=4，∴M（4，1），∵正比例函数y=k1x的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于点M（4，1），∴，解得，∴正比例函数的解析式是，反比例函数的解析式是．∴k1k2的值=×4=1，故答案为1．点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用正比例函数和反比例函数的性质，用待定系数法求函数解析式，还考查了面积公式．14．（2分）菱形ABCD中，若对角线BD=24，AC=10，则此菱形的边长等于13．考点：菱形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：先画出草图，然后根据菱形的性质对角线互相垂直且互相平分利用勾股定理求得菱形的边长．解答：解：菱形ABCD的对角线AC=24，BD=10，则菱形的边长==13．故答案为13．点评：本题考查菱形的性质以及勾股定理的运用，比较简单，在解答此类题目中，要注意先画出草图，这对分析题意很有帮助．15．（2分）（2010•咸宁）如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n 的解集为x≥1．考点：一次函数与一元一次不等式．专题：数形结合．分析：把y=2代入y=x+1，求出x的值，从而得到点P的坐标，由于点P是两条直线的交点，根据两个函数图象特点可以求得不等式x+1≥mx+n的解集．解答：解：把y=2代入y=x+1，得x=1，∴点P的坐标为（1，2），根据图象可以知道当x≥1时，y=x+1的函数值大于y=mx+n相应的函数值．因而不等式x+1≥mx+n的解集是：x≥1．故答案为：x≥1．点评：本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．16．（2分）（2007•咸宁）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数=60度．考点：线段垂直平分线的性质；菱形的性质．专题：计算题．分析：根据菱形的性质求出∠ADC=100°，再根据垂直平分线的性质得出AF=DF，从而计算出∠CDF的值．解答：解：连接BD，BF∵∠BAD=80°∴∠ADC=100°又∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD∴AF=BF，BF=DF∴AF=DF∴∠FAD=∠FDA=40°∴∠CDF=100°﹣40°=60°．故答案为：60．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质．17．（2分）如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF，若∠BEC=60°，则∠EFD 的度数为15°．考点：正方形的性质；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：要求∠EFD的度数，求∠CFD和∠CFE即可，因为CE=CF，所以∠CFE=45°，要求∠CFD，求△BCE≌△DCF 即可．解答：解：在△BCE和△DCF中，由，可证△BCE≌△DCF，∴∠CFD=∠BEC=60°，∵CE=CF，且∠DCF=90°，∴∠CFE=45°，∴∠EFD=∠CFD﹣∠CFE=15°，故答案为15°．点评：本题考查了全等三角形的证明，考查了等腰直角三角形底角相等的性质，解本题的关键是△BCE≌△DCF 的求证．18．（2分）如图，点O（0，0），B（0，1）是正方形OBB1C的两个顶点，以它的对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1，以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2，再以正方形OB2B3C2的对角线OB3为一边作正方形OB3B4C3，…，依次进行下去，则点B6的坐标是（﹣8，0）．考点：正方形的性质；坐标与图形性质．专题：规律型．分析：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以，所以可求出从B到B6的后变化的坐标．解答：解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以，∵从B到B6经过了6次变化，∵45°×6=270°，∴位置在x轴的负半轴上．∵（）6=8．∴点B6的坐标是（﹣8，0）．故答案为：（﹣8，0）．点评：本题考查正方形的性质正方形的四边相等，四个角都是直角，对角线平分每一组对角．以及考查坐标与图形的性质．三、解答题（本题共54分）19．（6分）（2009•成都）已知一次函数y=x+2与反比例函数y=，其中一次函数y=x+2的图象经过点P（k，5）．（1）试确定反比例函数的表达式；（2）若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标．考点：反比例函数综合题．专题：待定系数法．分析：（1）一次函数y=x+2的图象经过点P（k，5），所以x=k，y=5是y=x+2的解，代入可求k值，既而确定反比例函数的表达式；（2）点Q是交点，则其坐标是的解即求点Q的坐标．解答：解：（1）一次函数y=x+2的图象经过点P（k，5），∴5=k+2，∴k=3，∴反比例函数的表达式为y=．（2）由消去，得x2+2x﹣3=0，即（x+3）（x﹣1）=0，∴x=﹣3或x=1，可得y=﹣1或y=3，于是或；∵点Q在第三象限，∴点Q的坐标为（﹣3，﹣1）．点评：本题考查了反比例函数的综合应用，能够熟练运用待定系数法求得函数解析式是解决此题的关键．20．（4分）（2010•常州）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．考点：矩形的判定；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：已知四边形ABDE是平行四边形，只需证得它的一个内角是直角即可；在等腰△ABC中，AD是底边的中线，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得∠ADC是直角，由此得证．解答：证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BC，AB=DE，AE=BD．∵D为BC中点，∴CD=BD．∴CD∥AE，CD=AE．∴四边形ADCE是平行四边形．∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，∴平行四边形ADCE是矩形．点评：此题主要考查了等腰三角形三线合一的性质以及矩形的判定方法．21．（6分）如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一个动点．（1）当点E在AC上运动时，EB和ED总有怎样的关系成立，并证明；（2）延长BE交AD于F，当∠BED=150°时，求∠EFD的度数．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据正方形的对角线平分对角知∠BCA=∠DCA．故连接EB、ED，应用SAS可证明△CBE≌△CDE；（2）由（1）可得∠CEB的度数，根据三角形内角和可得∠AFB的度数，利用外角求∠EFD．解答：解：（1）EB=ED．理由如下：连接EB、ED．∵ABCD是正方形，AC是对角线，∴BC=CD；∠BCA=∠DCA=45°，又CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴EB=ED；（2）∵△BCE≌△DCE，∴∠BEC=∠DEC=∠BED=×150°=75°．∵∠BCA=∠DCA=45°，∴∠EBC=180°﹣75°﹣45°=60°，∴∠AFB=60°，∠EFD=180°﹣60°=120°．点评：此题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识点，综合性较强．22．（8分）（2010•茂名）张师傅驾车运送荔枝到某地出售，汽车出发前油箱有油50升，行驶若干小时后，图中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．（1）汽车行驶3小时后加油，中途加油31升；（2）求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式；（3）已知加油前、后汽车都以70千米/小时匀速行驶，如果加油站距目的地210千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用？请说明理由．考点：一次函数的应用．分析：（1）由题中图象即可看出，加油的时间和加油量；（2）设函关系式y=kx+b，将（0，50）（3，14）代入即可求解；（3）由路程和速度算出时间，再求出每小时的用油量，判断油是否够用．解答：解：（1）3，31．（2）设y与t的函数关系式是y=kt+b（k≠0），根据题意，将（0，50）（3，14）代入得：因此，加油前油箱剩油量y与行驶时间t的函数关系式是：y=﹣12t+50．（3）由图可知汽车每小时用油（50﹣14）÷3=12（升），所以汽车要准备油210÷70×12=36（升），因为50升＞36升，所以油箱中的油够用．点评：本题考查了对函数图象的理解以及由函数图象求函数关系式的问题．23．（4分）（2010•青岛）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．（1）求证：BE=DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：几何综合题．分析：（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ABE≌△ADF；（2）由于四边形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD；联立（1）的结论，可证得EC=CF，根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM，则EF、AM互相垂直平分，根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即可判定四边形AEMF是菱形．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）∴BE=DF；（4分）（2）解：四边形AEMF是菱形，理由为：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角），BC=DC（正方形四条边相等），∵BE=DF（已证），∴BC﹣BE=DC﹣DF（等式的性质），即CE=CF，在△COE和△COF中，，∴△COE≌△COF（SAS），∴OE=OF，又OM=OA，∴四边形AEMF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∵AE=AF，∴平行四边形AEMF是菱形．（8分）点评：此题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质及菱形的判定．24．（6分）（2010•宁波）如图1，有一张菱形纸片ABCD，AC=8，BD=6．（1）请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四边形，在图2中用实线画出你所拼成的平行四边形；若沿着BD剪开，请在图3中用实线画出拼成的平行四边形；并直接写出这两个平行四边形的周长．（2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4中用实线画出拼成的平行四边形．（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）周长为26周长为22．考点：作图—应用与设计作图．分析：（1）利用菱形对角线的性质和勾股定理易得菱形的边长为5，动手操作易得两个平行四边形，新平行四边形的一组对边为原来菱形的边长，另一组对边为剪开线；第一个平行四边形的一组邻边长分别为8，5；第二个平行四边形的一组邻边长分别为6，5；相加后乘2即为平行四边形的周长；（2）根据平行四边形的一组邻边平行且相等可得只要在原菱形上任意截取一个梯形，把截取的梯形与剩下梯形重新组合为平行四边形即可．解答：解：（1）∵菱形的两条对角线长分别为6，8，∴对角线的一半分别为3，4，∴菱形的边长分别为5，∴第一个平行四边形的周长为2×（5+8）=26；第二个平行四边形的周长为2×（5+6）=22；（2）点评：本题用到的知识点为：菱形的对角线互相垂直平分；过菱形一组对边的直线把菱形分成的两部分可组合为平行四边形．25．（8分）如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）则点C的坐标是（3，0），点D的坐标是（6，4）；（2）若将此平行四边形ABCD沿x轴正方向向右平移3个单位，沿y轴正方向向上平移2个单位，则点C的坐标是（6，2），点D的坐标是（9，6）；（3）若将平行四边形ABCD平移到第一象限后，点B的坐标是（a，b），则点C的坐标是（a+6，b），点D 的坐标是（a+9，b+4）；（4）若点M在平面直角坐标系内，则在上图的直线AB上，并且在第一、第二象限内是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：平行四边形的性质；解一元二次方程-因式分解法；菱形的性质；坐标与图形变化-平移．分析：（1）根据解一元二次方程即可求得A点的坐标，即可求得D点的纵坐标，根据AD的长即可求C的坐标，即可解题；（2）根据平移的性质可直接写出平移后的坐标；（2）由点B的坐标求出平移的规律，然后直接写出平移后的坐标即可；（4）假设存在这样的F点，根据题意求出F点的坐标，看其是否符合题意即可．。
巩义中学2010-2011学年下学期期中考试试卷(高二数学文)
巩义中学2010-2011学年下学期期中考试试卷高二数学（文）注意事项：1、 试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
2、 答第Ⅱ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上，每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3、 第Ⅱ卷答案写在答题卷上，答题前将密封线内的项目填写清楚。
4、不交第Ⅰ卷，只交第Ⅰ卷的答题卡和答题卷。
参考公式：处理相关变量x 、y 的公式：相关系数21211)()())((∑∑∑===----=ni ini ini i iy yx xy y x xr ；回归直线的方程是：a bx y+=ˆ，其中x b y a x xy y x xb ni ini i i-=---=∑∑==,)())((211；相关指数21122)()ˆ(1∑∑==---=n i i ni i iy y yyR ，总偏差平方和：21()nii y y =-∑，残差平方和：21ˆ()niii y y=-∑，其中i yˆ是与i x 对应的回归估计值. 第Ⅰ卷一、 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1、i 是虚数单位，52ii-= （ ）A ．1+2i B. -1-2i C.1-2i D. -1+2i2. 反证法证明命题： “三角形的内角中至少有一个不大于 60°”反设正确的是A.假设三内角都不大于 60°B.假设三内角都大于 60°C.假设三内角至多有一个大于 60°D.假设三内角至多有两个大于 60°3. 已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为a bx y+=ˆ必过点A .(2,2)B .(1,2)C .(1.5,0)D ．(1.5,4)学校___________ 班级_________ 姓名__________ 考场___________ 考号_________ 座号_______4．在复平面内，复数2)31(1i i iz +++=对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5. 把x=-1输入程序框图可得( ) A.-1B.0C.不存在D.16探索以下规律：则根据规律，从2010到2012，箭头的方向依次是( )A.向上再向右B.向右再向上C.向下再向右D.向右再向下7. 某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有下表关系y 与x 的线性回归方程为5.175.6ˆ+=x y，当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为（ ） A .10 B .20 C .30 D .408.若复数2(2)(11)()a a a i a R --+--∈不是纯虚数，则a 的取值范围是( ) (A )1a ≠-或2a ≠ (B )1-≠a 且2≠a (C ) 1a ≠- (D) 2≠a 9．定义A D D C C B B A ****,,,的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4),(5)、(6) ( )(1) (2) (3) (4) (5) (6)A.D A D B **,B.C A D B **,C.D A C B **,D.D A D C **, 10.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是4和3及x ，那么x 的值的个数为：A ． 1个 B. 2个 C.2个以上但有限 D.无数个11．已知f(x)= 3x x + ,a,b,c ∈R,且a+b>0,a+c>0,b+c>0,则f(a)+f(b)+f(c)的值A.一定大于零B.一定等于零C.一定小于零D.正负都有可能 12、观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=（ ）A.()f xB.()f x -C.()g xD.()g x -x2 4 5 6 8 y30 40 60 50 701257 91011 …… ， 3 4 8 06第Ⅱ卷二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.复数ii i )1)(1(+-在复平面中所对应的点到原点的距离是_____________14.梯形中位线长10cm ，一条对角线将中位线分成的两部分之差是3cm ，则该梯形中较大的底是___________15．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）○●○○●○○○●○○○○●若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2010个圆中有实心圆的个数为 ；16. 回归直线方程为81.05.0ˆ-=x y，则25=x 时，y 的估计值为_____________ 三 解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17. (本小题满分10分)实数a,b,c,d 满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证: a,b,c,d中至少有一个是负数18. (本小题满分12分)某产品的广告费支出x(单位:百万元)与销售额y(单位:百万元)之间有如下数据:(1)画出散点图.(2)求y 关于x 的回归直线方程.(3)预测广告费为9百万元时的销售额是多少?19(本小题满分12分)已知()f x 是定义在R 上的恒不为零的函数，且对于任意x,y 都满足f(x)f(y)=f(x+y)。
北京市海淀区首都师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中练习数学试题
上的最大值与最小值的和为__________．
三、多选题
18．将数列{an} 中的所有项排成如下数阵：
a1 a2 a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9 …… 已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数 a1 ， a2 ， a5 ，……，成等差数列，
故
a4
+
a2
+
a0
=
1+ 81 2
=
41 ，
故选：B.
9．B 【分析】首先将 4 名男同学分配到 3 个志愿服务站，再将 3 名女同学分配到 3 个志愿服务 站，即可得到答案.
【详解】首先将
4
名男同学分配到
3
个志愿服务站共有
C24C12C11 A22
× A33
=
36
种，
答案第31 页，共22 页
将 3 名女同学分配到 3 个志愿服务站共有 A33 = 6 种，
试卷第51 页，共33 页
1．A
参考答案：
【分析】根据复合函数求导公式求解即可.
【详解】
y¢
=
x
1 +
1
(
x
+
1)¢
=
1. x +1
故选：A 2．B 【分析】利用等比中项性质列式求解
【详解】等比数列 {an }
中，
ìíîaa332
= =
a1a5 a1q2
Þ
a3
=
a1a5 = 4 .
故选：B.
北京市师大附中近年-近年学年高二数学下学期期中试题(含解析)(最新整理)
由基本不等式得 ，当且仅当 ，即 时取等号。
∴函数 的最大值是
故答案为 。
【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，。利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定,三相等"的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正;二定是，其次要看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小）；三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用 或 时等号能否同时成立）。
【分析】
利用 ，求出 ,然后利用等差数列求和公式即可求解
【详解】 是等差数列， ， ，得出 ，又由
【点睛】本题考查利用等差数列的性质求和，属于基础题
19.已知 ，则函数 的最大值是__________。
【答案】
【解析】
【分析】
由函数 变形为 ，再由基本不等式求得 ，从而有 ，即可得到答案。
【详解】∵函数
20.已知 满足 ，则 的最大值为_________。
【答案】14
【解析】
【分析】
（1）列出约束条件及目标函数(2)画出约束条件所表示的可行域（3)在可行域内求目标函数的最优解及最值即可.
详解】
如图，根据题意画出可行域，令 ，得到直线 ，平移该直线至 处，明显可见, 过点 ，所以，可得 为所求答案
【点睛】本题考查线性规划求最优解问题，属于基础题
点睛:等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an,Sn，一般可以“知三求二"，通过列方程(组）可迎刃而解．
3.如果 依次成等比数列,那么（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析：由等比数列的性质，等比中项的定义求解，注意等比数列中奇数项同号，偶数项同号。
北京市师大附中2010-2011学年七年级数学下学期期中抽测试卷 人教新课标版
市师大附中2010-2011学年下学期初中七年级期中抽测数学试卷本试卷满分100分，考试时间为100分钟。
一、选择题：（本题共20分，每小题2分） 1. 由123=-yx ，可以得到用x 表示y 的式子（ ） A. 322-=x yB. 3132-=x y C. 232-=xyD. 322x y -= 2. 下列因式分解正确的为（ ）A. )2(122x x xx +=+B. )1)(1(1224-+=-a a aC. 3)2(322++=++x x x x D. 222)31(9132b a b ab a -=+-3. 下列四个算式中，正确的个数有（ ）①1234a a a =⋅②1055a a a =+③a a a =÷55④633)(a a =A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4. 下列计算结果错误的是（ ）A. 224644)2()2(b ab a b a b a ++=+÷+ B. 63313212)4()3(bc a c abc a n n ++-=⋅-C. 1)1)(1)(1)(1(922-=+-+++-a a a a a a a D. ÷+)36(23a a a a a 612212+= 5. 如果二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+ay x ay x 4的解是二元一次方程03053=--y x 的一个解，那么a 的值是（ ）A. 3B. 2C. 7D. 66. 若方程组⎩⎨⎧=++=+3313y x k y x 的解y x ,满足10<+<y x ，则k 的取值X 围是（ ）A. 04<<-kB. 01<<-kC. 80<<kD. 4->k7. 若=-+--=-=-22)()2(,1,2a c c b a c a b a 则（ ）A. 10B. 9C. 2D. 18. 若方程组⎩⎨⎧=-=+1293y x y ax 无解，则a 的值为（ ）A. -6B. 6C. 9D. 309. 若多项式242+-mx x 可以分解因式，则整数m 可取的值共有（ ）A. 6个B. 5个C. 8个D. 7个10. 已知m m Q m P 158,11572-=-=（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（ ）A. Q P >B. Q P =C. Q P <D. 不能确定二、填空题：（本题共20分，每小题2分）11. 用科学记数法表示0.000000328=_____________。
2010-2023历年—北京师大附中初二第二学期期中考试数学试卷
2010-2023历年—北京师大附中初二第二学期期中考试数学试卷第1卷一.参考题库(共25题)1.如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线AB与x轴的交点为C。
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求的面积；（3）若点D与点O、B、C能构成平行四边形，试写出点D坐标（只需写出坐标，不必写解答过程）2.如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC轴于点C，则的面积是（）A. 4B. 3C. 2D. 13.如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB、A C于点E、G，连接GF。
下列结论中正确的有①；②；③四边形AEFG是菱形；④BE＝2OG。
4.如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H。
（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设的面积为，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；5.已知点都在反比例函数的图象上，则（）A．B．C．D．6.下列函数中，自变量x的取值范围为的是（）A．B．C．D．7.一次函数的图象与y轴交于点，且与两坐标轴围成的三角形面积是20，求该一次函数的解析式。
8.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F。
求证：四边形AECF是平行四边形。
9.如图，ABCD是正方形，G是BC上的一点，于E，于F。
猜想DE、EF、FB之间的数量关系，并对你的猜想加以证明。
10.（1）如图1，已知正方形ABCD和正方形CGEF（），B、C、G在同一条直线上，M为线段AE的中点。
北京高二高中数学期中考试带答案解析
北京高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设全集,集合M=，集合N=，则=( ) A．B．C．D．2.已知集合，，则（）A．B．C．D．R3.集合的真子集的个数为（）A．6B．7C．8D．94.已知，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．5.“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.若p是真命题，q是假命题，则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．非p是真命题D．非q是真命题7.不等式的解集是（）A．B．C．R D．8.若不等式的解是一切实数，则的取值范围是（）A．B．C．D．9.复数（）A．B．C．D．10.若复数，则它的共轭复数（）A．B．C．D．11.若，为虚数单位，且则（）A．，B．C．D．12.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限13.曲线在点处的切线斜率为（）A． 1B． 2C．D．14.若曲线在点处的切线方程是，则（）A．B．C．D．15.设变量x,y满足,则的最大值和最小值分别为（）A．1，1B．2，2C．1，2D．2，1二、填空题1.若，则2.已知函数在区间[2，+）上是增函数，则实数的的取值范围是 .3.已知命题，则命题的否定是。
4.已知函数（）,当时,函数有最值是。
5.已知点的坐标满足,点为坐标原点,则的最小值为，最大值为6.设为非空数集，若，都有，则称为封闭集．下列命题：①实数集是封闭集；②全体虚数组成的集合是封闭集；③封闭集一定是无限集；④若为封闭集，则一定有；⑤若为封闭集，且满足，则集合也是封闭集，其中真命题是．（写出所有的真命题编号）三、解答题1.解下列不等式（1）（2）（3）（4）2.已知复数z=（）（1）当满足什么条件时，z是实数？（2）当满足什么条件时，z是虚数（3）当满足什么条件时，z是纯虚数？3.若集合，，且，求实数的取值范围。
2023-2024学年北京市首都师大附中昌平学校高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市首都师大附中昌平学校高二（上）期中数学试卷一、选择题（每题4分）1．设A （3，2，1），B （1，0，5），则AB 的中点M 的坐标为（ ） A ．（﹣2，﹣2，4） B ．（﹣1，﹣1，2） C ．（2，1，3）D ．（4，2，6）2．直线x +y −√3=0的倾斜角为（ ） A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°3．已知以点A （2，﹣3）为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M （5，﹣7）与圆O 的位置关系是（ ） A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．无法判断4．已知向量a →=（﹣3，2，5），b →=（1，x ，﹣1)，且a →⊥b →，则x 的值为（ ） A ．3B ．1C ．4D ．25．点（1，1）到直线x ﹣y ﹣1＝0的距离是（ ） A ．12B ．√22C ．1D ．√26．如图，在平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，若AB →=a →，AD →=b →，AA ′→=c →，则BM →=（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →7．平面α的法向量为（3，1，﹣2），平面β的法向量为（﹣1，1，k ），若α⊥β，则k ＝（ ） A ．﹣2B ．2C ．1D ．﹣18．已知直线l 经过点A （1，1，2），B （0，1，0），平面α的一个法向量为n →=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A ．l ∥α B ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交，但不垂直9．已知在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，那么直线A 1C 与平面AA 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）A ．√66B ．√356C ．√33D ．√6310．已知a →=（x ，4，2），b →=（3，y ，5），若a →⊥b →，则x 2+y 2的取值范围为（ ） A ．[2，+∞）B ．[3，+∞）C ．[4，+∞）D ．[5，+∞）二、填空题（每题5分）11．已知a →=(−3，2，5)，b →=(1，5，−1)，则a →⋅(a →+3b →)等于 ． 12．圆x 2+y 2﹣2x +6y +9＝0的圆心坐标是 ，半径是 ．13．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，异面直线AD ，BD 1所成角的余弦值为 ． 14．两条直线l 1：3x ﹣4y ﹣2＝0与l 2：3x ﹣4y +8＝0之间的距离是 ．15．过点（1，0）且与直线2x ﹣y ﹣1＝0平行的直线l 1的方程是 ；过点（1，0）且与直线2x ﹣y ﹣1＝0垂直的直线l 2的方程为 ．16．已知直线l ：kx ﹣y ﹣k +1＝0（k 为常数）和圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4，给出下列四个结论： ①当k 变化时，直线l 恒过定点（﹣1，1）； ②直线l 与圆C 可能无公共点；③若直线l 与圆C 有两个不同交点M ，N ，则线段MN 的长的最小值为2√3； ④对任意实数k ，圆C 上都不存在关于直线l 对称的两个点． 其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（17-19题13分，20题14分，21题15分，22题12分） 17．（13分）已知点A （1，3）、B （3，1）、C （﹣1，0），求： （1）AB 边上的中线所在直线的方程； （2）三角形ABC 的面积．18．（13分）如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长是2，点E 为BB 1的中点． （1）求证：BC 1∥平面AD 1E ； （2）求直线BC 1到平面AD 1E 的距离．19．（13分）已知圆C ：x 2+y 2﹣2x +4y ﹣4＝0，圆C 1：（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝4及点P （3，1）．（Ⅰ）判断圆C和圆C1的位置关系；（Ⅱ）求经过点P且与圆C相切的直线方程．20．（14分）已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D，E两点，且|DE|=2√3，求直线l的方程．21．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，M、N分别是AA1，BB1的中点，AB＝AA1＝2，AC＝1．（Ⅰ）求证：C1M⊥CN；（Ⅱ）求直线CN与平面BCM所成角的正弦值；（Ⅲ）求平面BCM与平面ABB1A1所成角的余弦值．22．（12分）在xOy平面上，我们把与定点F1（﹣a，0）、F2（a，0）（a＞0）距离之积等于a2的动点的轨迹称为伯努利双纽线，F1、F2为该曲线的两个焦点．已知曲线C：（x2+y2）2＝9（x2﹣y2）是一条伯努利双纽线．（1）求曲线C的焦点F1、F2的坐标；（2）判断曲线C上是否存在两个不同的点A、B（异于坐标原点O），使得以AB为直径的圆过坐标原点O．如果存在，求点A、B坐标；如果不存在，请说明理由．2023-2024学年北京市首都师大附中昌平学校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分）1．设A （3，2，1），B （1，0，5），则AB 的中点M 的坐标为（ ） A ．（﹣2，﹣2，4） B ．（﹣1，﹣1，2）C ．（2，1，3）D ．（4，2，6）解：∵A （3，2，1），B （1，0，5），∴AB 的中点坐标为M （2，1，3）． 故选：C ．2．直线x +y −√3=0的倾斜角为（ ） A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°解：由x +y −√3=0，得y ＝﹣x +√3，∴直线x +y ﹣3＝0的斜率为﹣1，其倾斜角是135°． 故答案为：D ．3．已知以点A （2，﹣3）为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M （5，﹣7）与圆O 的位置关系是（ ） A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．无法判断解：AM =√(5−2)2+(−7+3)2=5，所以点M 在⊙A 上． 故选：B ．4．已知向量a →=（﹣3，2，5），b →=（1，x ，﹣1)，且a →⊥b →，则x 的值为（ ） A ．3B ．1C ．4D ．2解：因为向量a →=（﹣3，2，5），b →=（1，x ，﹣1)，且a →⊥b →，a →⋅b →=−3×1+2x +5×(−1)=0，解得x ＝4． 故选：C ．5．点（1，1）到直线x ﹣y ﹣1＝0的距离是（ ） A ．12B ．√22C ．1D ．√2解：根据题意，点（1，1）到直线x ﹣y ﹣1＝0的距离d =|1−1−1|√1+1=√22，故选：B ．6．如图，在平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，若AB →=a →，AD →=b →，AA ′→=c →，则BM →=（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →解：∵在平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，AB →=a →，AD →=b →，AA ′→=c →，∴BM →=BB ′→+B ′M →=AA ′→+12BD →=AA ′→+12（BA →+AD →）=c →+12（−a →+b →）=−12a →+12b →+c →．故选：A ．7．平面α的法向量为（3，1，﹣2），平面β的法向量为（﹣1，1，k ），若α⊥β，则k ＝（ ） A ．﹣2B ．2C ．1D ．﹣1解：因为α⊥β，所以3×（﹣1）+1×1+（﹣2）×k ＝0，解得k ＝﹣1． 故选：D ．8．已知直线l 经过点A （1，1，2），B （0，1，0），平面α的一个法向量为n →=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A ．l ∥α B ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交，但不垂直解：根据题意，A （1，1，2），B （0，1，0），则AB →=（﹣1，0，﹣2），而平面α的一个法向量为n →=（﹣2，0，﹣4），则有n →=2AB →，即n →∥AB →，必有l ⊥α， 故选：B ．9．已知在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，那么直线A 1C 与平面AA 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）A ．√66B ．√356C ．√33D ．√63解：连接A 1D ，如图所示：在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，CD ⊥平面AA 1D 1D ， 故直线A 1C 与平面AA 1D 1D 所成角为∠CA 1D ，在长方形AA 1D 1D 中，A 1D =√AD 2+A 1A 2=√5，CA 1=√A 1D 2+CD 2=√6 在Rt △CA 1D 中，sin ∠CA 1D =CDCA 1=1√6=√66， 故选：A ．10．已知a →=（x ，4，2），b →=（3，y ，5），若a →⊥b →，则x 2+y 2的取值范围为（ ） A ．[2，+∞）B ．[3，+∞）C ．[4，+∞）D ．[5，+∞）解：∵a →=（x ，4，2），b →=（3，y ，5），a →⊥b →， ∴a →⋅b →=3x +4y +10＝0，即3x +4y +10＝0．则x 2+y 2的取值表示直线上的点M （x ，y ）到原点O 的距离的平方，故当OM 垂直于直线3x +4y +10＝0时，x 2+y 2的取得最小值，且它没有最大值． 由于点O 到直线3x +4y +10＝0的距离为d =9+16=2，故x 2+y 2的取得最小值为4，故x 2+y 2的取值范围为[4，+∞）， 故选：C ．二、填空题（每题5分）11．已知a →=(−3，2，5)，b →=(1，5，−1)，则a →⋅(a →+3b →)等于 44 ． 解：由a →=(−3，2，5)，b →=(1，5，−1)，可得a →+3b →=(−3，2，5)+(3，15，−3)=(0，17，2)， 所以a →⋅(a →+3b →)=(−3，2，5)⋅(0，17，2)=34+10=44． 故答案为：44．12．圆x 2+y 2﹣2x +6y +9＝0的圆心坐标是 （1，﹣3） ，半径是 1 ．解：圆x 2+y 2﹣2x +6y +9＝0，即（x ﹣1）2+（y +3）2＝1，故圆心坐标为（1，﹣3），半径为1．故答案为：（1，﹣3）；1．13．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，异面直线AD ，BD 1所成角的余弦值为√33． 解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，则A （1，0，0），D （0，0，0），B （1，1，0），D 1（0，0，1）， AD →=（﹣1，0，0），BD 1→=（﹣1，﹣1，1）， 设异面直线AD ，BD 1所成角为θ，则cos θ=|AD →⋅BD 1→||AD →|⋅|BD 1→|=13=√33． ∴异面直线AD ，BD 1所成角的余弦值为√33． 故答案为：√33．14．两条直线l 1：3x ﹣4y ﹣2＝0与l 2：3x ﹣4y +8＝0之间的距离是 2 ． 解：两条直线l 1：3x ﹣4y ﹣2＝0与l 2：3x ﹣4y +8＝0之间的距离是√32+42=2．故答案为：2．15．过点（1，0）且与直线2x ﹣y ﹣1＝0平行的直线l 1的方程是 2x ﹣y ﹣2＝0 ；过点（1，0）且与直线2x ﹣y ﹣1＝0垂直的直线l 2的方程为 x +2y ﹣1＝0 ．解：设过点（1，0）且与直线2x ﹣y ﹣1＝0平行的直线l 1的方程是2x ﹣y +m ＝0， 将点（1，0）代入，则m ＝﹣2， 所以直线l 1的方程是2x ﹣y ﹣2＝0；设过点（1，0）且与直线2x ﹣y ﹣1＝0垂直的直线l 2的方程为x +2y +n ＝0， 将点（1，0）代入，则n ＝﹣1， 所以直线l 2的方程为x +2y ﹣1＝0． 故答案为：2x ﹣y ﹣2＝0；x +2y ﹣1＝0．16．已知直线l ：kx ﹣y ﹣k +1＝0（k 为常数）和圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4，给出下列四个结论： ①当k 变化时，直线l 恒过定点（﹣1，1）； ②直线l 与圆C 可能无公共点；③若直线l 与圆C 有两个不同交点M ，N ，则线段MN 的长的最小值为2√3； ④对任意实数k ，圆C 上都不存在关于直线l 对称的两个点． 其中正确的结论是 ③④ ．（写出所有正确结论的序号）解：对于①：由直线l ：kx ﹣y ﹣k +1＝0得y ﹣1＝k （x ﹣1），所以直线l 恒过定点C （1，1），故①错误； 对于②：因为（1﹣1）2+12＜4，所以点（1，1）在圆C 的内部，所以直线l 与圆总有公共点，故②错误；对于③：当直线MN 与过圆心的直径垂直时，线段MN 的长度最小，此时|MN |＝2√4−(1−1)2−(0−1)2=2√3，故③正确；对于④：把圆心（1，0）代入直线l ：kx ﹣y ﹣k +1＝0，得k ﹣0﹣k +1＝1≠0，对任意实数k ，圆C 上都不存在关于直线l 对称的两个点，故④正确． 故答案为：③④．三、解答题（17-19题13分，20题14分，21题15分，22题12分） 17．（13分）已知点A （1，3）、B （3，1）、C （﹣1，0），求： （1）AB 边上的中线所在直线的方程； （2）三角形ABC 的面积．解：（1）由题设，AB 的中点坐标为（2，2），则中线的斜率为k =2−02−(−1)=23， 所以AB 边上的中线所在直线的方程为y =23(x +1)⇒2x −3y +2=0； （2）由题设AB →=(2，−2)，AC →=(−2，−3)，则cosA =AB →⋅AC →|AB →||AC →|=22√2×√13=√2626，而A ∈（0，π），故sinA =√1−cos 2A =5√2626，所以三角形ABC 的面积S =12|AB →||AC →|sinA =12×2√2×√13×5√2626=5． 18．（13分）如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长是2，点E 为BB 1的中点． （1）求证：BC 1∥平面AD 1E ； （2）求直线BC 1到平面AD 1E 的距离．证明：（1）由题可知：D 1C 1∥AB ，D 1C 1＝AB ， 则四边形D 1ABC 1为平行四边形，可知D 1A ∥C 1B ， 因为D 1A ⊂平面AD 1E ，C 1B ⊄平面AD 1E ， 所以BC 1∥平面AD 1E ．解：（2）如图所示，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A ﹣xyz ，则A （0，0，0），B （0，2，0），D 1（2，0，2），C 1（2，2，2），E （0，2，1）， 可得D 1C 1→=(0，2，0)，AD 1→=(2，0，2)，AE →=(0，2，1)，设平面AD 1E 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则n →⊥AD 1→，n →⊥AE →，即{n →⋅AD 1→=2x +2z =0n →⋅AE →=2y +z =0，解得：{x =−zy =12z ，令z ＝﹣2，则x ＝2，y ＝1，可得n →=(2，1，−2)，则点C 1到平面AD 1E 的距离为d =|D 1C 1→⋅n →||n|→=√4+1+4=23，由（1）可知：BC 1∥平面AD 1E ，所以直线BC 1到平面AD 1E 的距离即为点C 1到平面AD 1E 的距离d =23．19．（13分）已知圆C ：x 2+y 2﹣2x +4y ﹣4＝0，圆C 1：（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝4及点P （3，1）． （Ⅰ）判断圆C 和圆C 1的位置关系； （Ⅱ）求经过点P 且与圆C 相切的直线方程．解：（I ）圆C ：x 2+y 2﹣2x +4y ﹣4＝0，配方为（x ﹣1）2+（y +2）2＝9，可得圆心C（1，﹣2），半径R＝3．圆C1：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝4，可得圆心C1（3，1），r＝2．∴|CC1|=√(1−3)2+(−2−1)2=√13，∵3﹣2＜√13＜3+2，∴圆C和圆C1相交．（II）由点P（3，1），可知切线的斜率存在，设切线方程为y﹣1＝k（x﹣3），即kx﹣y+1﹣3k＝0，则√1+k2=3，解得k＝0或k=−125，∴要求的切线方程为y﹣1＝0或12x+5y﹣41＝0．20．（14分）已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D，E两点，且|DE|=2√3，求直线l的方程．解：（Ⅰ）已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径，则圆心M的坐标为（﹣1，0）又因为|AM|＝2，所以圆M的方程为（x+1）2+y2＝4．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆M的圆心M（﹣1，0），半径为2．设N为DE中点，则MN⊥l，|DN|=|EN|=12⋅2√3=√3，则|MN|=√4−(√3)2=1．当l的斜率不存在时，l的方程为x＝0，此时|MN|＝1，符合题意；当l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx+2，由题意得√k2+1=1解得k=34，故直线l的方程为y=34x+2，即3x﹣4y+8＝0．综上，直线l的方程为x＝0或3x﹣4y+8＝0．21．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，M、N分别是AA1，BB1的中点，AB＝AA1＝2，AC＝1．（Ⅰ）求证：C1M⊥CN；（Ⅱ）求直线CN与平面BCM所成角的正弦值；（Ⅲ）求平面BCM与平面ABB1A1所成角的余弦值．解：（Ⅰ）证明：根据题意建系如图，则：C 1（0，1，2），M （0，0，1），C （0，1，0），N （2，0，1），B （2，0，0），∴C 1M →=(0，−1，−1)，CN →=(2，−1，1)，∴C 1M →⋅CN →=0，∴C 1M ⊥CN ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知CN →=(2，−1，1)，BC →=(−2，1，0)，MC →=(0，1，−1)，设平面BCM 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅BC →=−2x +y =0n →⋅MC →=y −z =0，取n →=(1，2，2)，∴直线CN 与平面BCM 所成角的正弦值为：|cos ＜CN →，n →＞|=|CN →⋅n →||CN →||n →|=2√6×3=√69； （Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BCM 的法向量为n →=(1，2，2)，又易知平面ABB 1A 1的法向量为m →=(0，1，0)，∴平面BCM 与平面ABB 1A 1所成角的余弦值为：|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=21×3=23． 22．（12分）在xOy 平面上，我们把与定点F 1（﹣a ，0）、F 2（a ，0）（a ＞0）距离之积等于a 2的动点的轨迹称为伯努利双纽线，F 1、F 2为该曲线的两个焦点．已知曲线C ：（x 2+y 2）2＝9（x 2﹣y 2）是一条伯努利双纽线．（1）求曲线C 的焦点F 1、F 2的坐标；（2）判断曲线C 上是否存在两个不同的点A 、B （异于坐标原点O ），使得以AB 为直径的圆过坐标原点O ．如果存在，求点A 、B 坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）设焦点F 1（﹣a ，0），F 2（a ，0）（a ＞0），曲线 C ：（x 2+y 2）2＝9（x 2﹣y 2）与x 轴正半轴交于点P （3，0），由题意知|PF 1||PF 2|＝（3+a ）（3﹣a ）＝9﹣a 2＝a 2，于是a 2=92，a =3√22，因比F 1(−3√22，0)，F 2(3√22，0)；（2）假设曲线C 上存在两点A ，B ，使得以AB 为直径的圆过坐标原点O ，即OA ⊥OB ，由题意知直线OA ，OB 斜率均存在，不妨设直线OA 的方程为y ＝k 1x ，直线OB 的方程为y ＝k 2x ，将直线OA 的方程与曲线C 联立，得(1+k 12)2x 4=9x 2(1−k 12)， 即 x 2=9(1−k 12)(1+k 12)2＞0．解得﹣1＜k 1＜1，同理﹣1＜k 2＜1，因此k 1k 2＝﹣1不可能成立，于是假设不成立，即曲线C 上不存在两点A ，B ，使得以AB 为直径的圆过坐标原点O ．。
华南师大附中2010-2011学年第一学生物期期末数学高二试题答案
2 2 ∴ PF1 PF2 x0 (2 y0 ) 1 ，∵点 P( x0 , y0 ) 在曲线上，则
华南师大附中 2010—2011 学年第一学期期末考试
高二年级数学（理）试题答案
一、选择题 BBAC CADB 二、填空题 9.0.96；10.0.4；11. x 2
y2 ；13.[-1,1） { 2} ； 1 ；12.（1，10） 3 4
14. 充要. 三．解答题 15. 解：“ p ∨ q ”为真命题，则 p 为真命题，或 q 为真命题. 当 p 为真命题时，则 m2 4 0 ，得 m 2, m 2 ； 当 q 为真命题时，则 16(m 2)2 16 0, 得 3 m 1 故“ p ∨ q ”为真命题时，m 的取值范围是 (, 1) [2, ) .
2 2 x0 y2 4 y0 2 0 1 ，∴ x0 ， 2 4 2
从而
2 4 y0 2 (2 y0 ) 1 ，得 y0 2 .则点 P 的坐标为 (1, 2 ) . 2
（2）由题意知，两直线 PA、PB 的斜率必存在，设 PB 的斜率为 k (k 0) ，
y 2 k ( x 1) 则 BP 的直线方程为： y 2 k ( x 1) .由 得 x2 y2 1 2 4
2 1 1 2 1 1 2 C6 C2 C6 C2 C82 C2 C8 C2 3 8 P( 4) ; P( 5) ; 3 3 C10 10 C10 15
吉林省东北师大附中2010-2011学年高二下学期期中考试(数学文)
2010年—2011学年东北师大附中 高二年级数学（文科）试卷下学期期中考试命题人：戴有刚 肖雪 审题人：邢昌振可能用到的公式：1122211()())()nniii ii i nni i i i x x y y x y nx yb x x x nx====---==--∑∑∑∑； a y bx =-；22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分．每小题只有一个正确选项）．（A ）3 （B ）4 （C ）4- （D ）4i -2．已知回归直线方程y bx a =+，其中3a =且样本点中心为（1,2），则回归直线方程为 （A ）3y x =-+ (B)23y x =-+ (C) 3y x =+ (D)3y x =-3．复数52i -的共轭．．复数是 （A ）2i + （B ）2i -- （C ）2i -+ （D ）2i -4．设()0()f n n N *>∈，(2)4f =，并且对于任意12,n n N *∈，1212()()()f n n f n f n +=⋅有成立. 猜想()f n 的表达式为(A)2()f n n = (B) ()2n f n = (C) 1()2n f n += (D)()2f n n =5．极坐标方程11sin ρθ=-所表示的图形是(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 6．下列表述正确．．的是 ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理． (A)①②③ (B)②③④ (C) ①③⑤ (D) ②④⑤ 7．用反证法证明命题：“,,,a b c d R ∈，1a b +=，1c d +=，且1ac bd +>，则,,,a b c d 中至少有一个负数”时的假设为(A) ,,,a b c d 全都大于等于0 (B),,,a b c d 全为正数(C) ,,,a b c d 中至少有一个正数 (D),,,a b c d 中至多有一个负数8．在同一平面直角坐标系中，若余弦曲线cos y x =变成曲线2cos3y x =，则满足变换的伸缩变换为(A) 1'3'2x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (B) 1'31'2x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (C) '31'2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩ (D) '3'2x x y y =⎧⎨=⎩ 9(A) 1- (B) 0 (C) 1 (D) 210．不等式>+-)1)(1(x x 0的解集为 (A)}11{<<-x x (B)}11{>-<x x x 或(C)}1{<x x (D)}11{-≠<x x x 且11．若0a b <<，则下列结论一定正确．．的是 (A)2a b +> （B ）11a b > （C ）22ac bc < （D ）2211()()a b b a+>+12．关于函数2()xf x x a=+，下列叙述正确．．的序号为 ①是奇函数；②若0a >时，()f x 有最大值2a；③若0a <，在区间(内单调递减；④函数图象经过坐标原点（0,0）．(A) ①② (B) ①②③ (C) ①③④ (D)①②③④ 二、填空题 （共4小题，每小题4分，共16分）13．不等式923<-≤x 的解集为______________________________．14．黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖________________块．（结果用n 表示）15．已知在等差数列{}*(,,,),n m n p q a m n p q m n p q N a a a a +=+∈+=+中，若则. 类比上述性……质，在等比数列{}n a 中，__________________________________．16．圆1ρ=与圆2cos ρθ=的公共弦所在直线的极坐标方程为 ． 三、解答题（共56分）17．（本题8分）当实数m 取何值时，复数22(56)(3)z m m m m i =-++- (Ⅰ)是纯虚数； (Ⅱ)在复平面内表示的点位于直线20x y -=上．18．（本题8分）已知直线2cos :sin x t l y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)，圆cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数).（Ⅰ）当6πα=时，试判断直线l 与圆C 的位置关系；（Ⅱ）若直线l 与圆C 截得的弦长为1，求直线l 的普通方程． 19．（本题10分）在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人. 女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动. （Ⅰ）根据以上数据建立一个22⨯的列联表； （Ⅱ）判断性别与休闲方式是否有关系． 20．（本题10分）已知函数()|1||2|f x x x =++-. （Ⅰ）若()5f x <成立，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）若x R ∃∈满足不等式2()53f x a a <--，求实数a 取值范围．21．（本题10分）某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：（Ⅰ）求回归直线方程； （Ⅱ）试预测广告费支出为7百万元时，销售额多大？函数()x f x e =(e 是自22．（本题10分）已知然对数的底数， 2.71828e =).（I ）证明：对x R ∀∈，不等式()1f x x ≥+恒成立；（II ）数列2ln ()n n N n *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：)1(22+<n n T n ．三、解答题（共56分) 17．（本题8分）解：(Ⅰ) 5602m m m m m ⎧-+==⎨≠⎩22当,即时，所给复数是纯虚数.-30(Ⅱ) 56232m m m m m m -+===-22当-6,即或时，复平面内表示复数z 的点位于直线20x y -=上．18．（本题8分） 解：（Ⅰ）当6πα=时，直线l 的普通方程为32)y x =-，圆C 的普通方程为221x y +=， 圆心（0,0）到直线l 的距离2331113d ==+. 所以直线l 与圆C 相切.（Ⅱ）若直线l 与圆C 截得的弦长为1，则圆心（0,0）到直线l 的距离213122d ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，直线l 的普通方程为tan (2)y x α=-，232tan 1d α∴==+，339|tan |1313α∴==． 所以，直线l 的普通方程为39(2)13y x =±-． 19．（本题10分） 解：（Ⅰ）22⨯列联表为看电运动 合计（Ⅱ）假设“休闲方式与性别无关”，计算得到2K 的观察值22124(43332721) 6.20170546460k K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯．因为 5.024k ≥，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为休闲方式与性别有关． 20．（本题10分） 解：（Ⅰ）|1||2|5x x ++-<，21．（本题10分）因为5,50x y --==，521145ii x =∑=，511380i i i x y =∑=，所以51522215138055506.5145555()i i i i i x y x yb x x --∧=-=∑--⨯⨯===-⨯∑-，50 6.5517.5a y b x ∧-∧-=-=-⨯= 所以直线回归方程为： 6.517.5y x ∧=+ .(Ⅱ) 据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为7百万元时，6.5717.563y ∧=⨯+=（百万元），即这种产品的销售收入大约为63百万元22．（本题10分）解:（I ）设()()11x h x f x x e x =--=--'()1x h x e ∴=-，当1x >时，'()0h x >函数()h x 单调递增；当1x <时，'()0h x <，函数()h x 单调递减. 当1x =时，()(1)0h x h =取最小值. （II ）由（I ）可知，对任意式1x e x ≥+恒的实数x ，不等21x n +=成立，设所以212ne n -≥，21ln ln 2n e n ≥-，即22ln 1n n ≥-，2222ln 2ln 11n n n n n =≥-，)1111(21))1(11(21)11(21ln 22++-=+-<-≤n n n n nn n。
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高三期中考试试卷
2010.11
数 学
注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为160分．
一．填空题：
本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上
1． 函数)1(log)(2xxf的定义域为 ▲ ．
2． 若复数z满足iiz32（i是虚数单位），则复数z＝ ▲ ．
3． 函数)3sin(xy )2(x的值域为 ▲ ．
4． 函数8log2)(3xxxf的零点有 ▲ 个．
5． 若直线m被两平行线12:10:30lxylxy与所截得的线段的长为2，则直线m的倾斜角是
▲ °．
6．四天的气温分别是16℃，18℃,13℃,17℃．若从这四天中任选两天的气温，则这两天的平均气温与这四天的平均气温相
差不超过1℃的概率为 ▲ ．
7．已知向量)23,23(a),23(b，若ba//，则实数λ的值为__ _▲______．
8．数列{an}是等差数列，且 an0，2a3－27a＋2a11＝0；数列{bn}是等比数列，且77ab，则b6b8＝ ▲ ．
9．设实数x、y满足条件,0,1,3yyxyx则点（x，y）构成的平面区域面积为 ▲ ．
10．如图所示的流程图，输出的结果为 ▲ ．
11． 已知命题p：关于x的不等式220xxa解集为R；命题q：曲线1322xaxy与x轴交于不同的两点．如
果“qp且”为假命题，“qp或”为真命题，则实数a的取值范围为 ▲ ．
12． 给定两个长度为1且互相垂直的平面向量OA和OB，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若OByOAxOC，
其中x、yR，则22)1(yx的最大值为 ▲ ．
13． 已知函数)(xf（xR）满足)1(f＝2，且)(xf在R上的导数1)(xf，则不等式12)2(xxf的解集为
▲ ．
开始
n=1，s=0
n≤2010
s=s＋sin3n
n=n＋1
输出s
结束
否
是
14．已知数列{an}的形成规则为：若an是偶数，则除以2便得到an＋1；若an是奇数，则加上1除以2便得到an＋1，依此法
则直至得到1为止．如果数列中只有5个不同的数字，则这样的数列{an}共有 ▲ 个．
二．解答题：
（本大题共6小题，满分为90分．解答需写出文字说明、推理过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
在△ABC中，∠B＝45°,10AC，532cosC．
（Ⅰ）求AB边的长度；
（Ⅱ）若点D是AB的中点，求中线CD的长度．
16． （本小题满分14分）
某校迎接校庆中有一项工作是请20位工人制作100只灯笼和20块展板．已知一名工人在单位时间内可制作10只灯笼
或3块展板．现将20名工人分成两组，一组制作灯笼，一组制作展板，同时开工．设制作灯笼的工人有x名（191x）．
（Ⅰ）用x分别表示制作100只灯笼和20块展板所用的单位时间；
（Ⅱ）求当x为何值时，完成此项工作时间最短．
17． （本小题满分14分）
如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥CD．
（Ⅰ）求证：CD⊥PD；
（Ⅱ）若AD＝2，BC＝3，F为PD中点， BE＝BC31，
求证：EF∥平面PAB．
18． （本小题满分16分）
如图，圆O的方程为222yx，直线l是椭圆1222yx的左准线，A、B是该椭圆的左、右焦点，点P为直线l
上的一个动点，直线AQ⊥OP交圆O于点Q．
（Ⅰ）若点P的纵坐标为4，求此时点Q的坐标，并说明此时直线PQ与圆O的位置关系；
（Ⅱ）求当APB取得最大值时P点的坐标．
19． （本小题满分16分）
P
A
B
C
D
·F
·
E
A B
x
y
P
l
O
已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且nnanS23（n*N）．数列｛bn｝是等差数列，且22ab，420ab．
（Ⅰ）求证：数列｛an－1｝是等比数列；
（Ⅱ）求数列1nnab的前n项和Tn；
（Ⅲ）若不等式xnnTannlog326112 （a>0且a≠1）对一切n*N恒成立，求实数x的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知函数15)(23xkxxxf，kxxxgln)(，其中kR．
（Ⅰ）当k＝1时，求函数)(xf的极值；
（Ⅱ）若关于x的方程)(xf＝0在区间（1，2）上有解，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）设函数0),(0),()(xxgxxfxq，是否存在正实数k，使得对于函数)(xq上任一点（横坐标不为0），总能找到另外
惟一一点使得在这两点处切线的斜率相等？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．