椭圆(1)1
椭圆的标准方程怎么求
椭圆的标准方程怎么求椭圆是解析几何中的一个重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
椭圆的标准方程是求解椭圆特征的重要方法之一。
接下来，我们将介绍椭圆的标准方程是如何求解的。
首先，我们需要了解椭圆的定义和性质。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆还有一个重要的性质是，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
椭圆还有一个短轴长度2b，满足b^2 = a^2 c^2，其中c是焦距。
接下来，我们来推导椭圆的标准方程。
假设椭圆的长轴与x轴重合，焦点在原点上方，且椭圆的中心与原点重合。
设椭圆的焦点坐标为(F1, 0)和(-F2, 0)，椭圆上一点P的坐标为(x, y)。
根据椭圆的定义，我们有PF1 + PF2 = 2a，即√(x F1)^2 + y^2 + √(x+ F2)^2 + y^2 = 2a。
化简得x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，这就是椭圆的标准方程。
如果椭圆的长轴与y轴重合，推导过程和上面类似，最终得到的标准方程为y^2/a^2 + x^2/b^2 = 1。
当椭圆的中心不在原点时，我们可以通过平移坐标系的方法将椭圆的中心平移到原点，然后再根据上面的方法求解标准方程。
最后，我们来举一个具体的例子来求解椭圆的标准方程。
假设椭圆的焦点坐标为(3, 0)和(-3, 0)，离心率为2/3。
首先，我们可以计算出椭圆的长轴长度为6，根据离心率的定义可得椭圆的短轴长度为2√5。
然后，代入椭圆的标准方程x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1中，得到椭圆的标准方程为x^2/36 + y^2/20 = 1。
通过上面的介绍，我们可以得出椭圆的标准方程求解方法。
当我们了解了椭圆的定义和性质后，可以根据椭圆的焦点坐标和离心率来求解标准方程。
希望这篇文章对你有所帮助，谢谢阅读！。
数学第三章1.1椭圆及其标准方程课件(北师大版选修2-1)
(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设它的标准方程 为ya22＋xb22＝ 1(a>b>0)．
由于椭圆经过点 (0， 2)和 (1， 0)，
∴
a42＋b02＝ a02＋b12＝
11， ，∴ab22＝ ＝
4， 1.
故所求椭圆的标准 方程为y2＋ x2＝ 1. 4
【名师点评】 本例中的解法体现了求椭圆 方程的一般方法，通过“定位”与“定量” 两个过程可求得所求椭圆的方程．
93
法二：由已知,设椭圆的方程是 Ax2＋By2＝1
(A>0， B>0， A≠ B)，
故6A＋B＝1， ⇒ 3A＋2B＝1，
A＝1， 9
B＝ 1， 3
即所求的椭圆的标 准方程是x2 ＋y2 ＝ 1. 93
椭圆定义及标准方程的应用
已知椭例圆2的焦点是F1(－1，0)，F2(1，0)， P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等 差中项． (1)求椭圆的方程； (2)若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求 △PF1F2的面积．
第三章 圆锥曲线与方程
•§1 椭 圆 •1．1 椭圆及其标准方程
学习导航
学习目标
重点难点 重点：椭圆的定义及其标准方程． 难点：椭圆的标准方程的推导过程．
新知初探思维启动
1.椭圆的定义 (1)椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆． 这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点 F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．
25 16
4.若方程xa22－ya2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 则 a 的取值范围是______． 解析：∵a2>0，xa22－ya2＝1 即xa22＋－y2a＝1， ∴－a>a2，－1<a<0.
1《椭圆第1,2课时》一等奖创新教学设计
1《椭圆第1，2课时》一等奖创新教学设计《椭圆第1，2课时》教学设计（一）教学内容章引言、椭圆的概念及椭圆的标准方程.（二）教学目标1.能通过观察平面截圆锥认识到：当平面与圆锥的轴所成的角不同时，可以分别得到圆、椭圆、双曲线和抛物线.能通过实例知道圆锥曲线在生产、生活中有广泛的应用.能通过章引言初步认识本章的学习内容、学习方法与学习价值.2.能通过实际绘制椭圆的过程认识椭圆的几何特征，给出椭圆的定义，并能用它解决简单的问题，发展数学抽象素养.3.能通过建立适当的坐标系，根据椭圆上的点满足的几何条件列出椭圆上的点的坐标满足的方程，化简所列出的方程，得到椭圆的标准方程，并能用它解决简单的问题.从中体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象、数学运算素养.（三）教学重点与难点重点：椭圆的几何特征，椭圆的定义及椭圆的标准方程.难点：椭圆的标准方程的推导.（四）教学过程设计1.立足全章，建构“先行组织者”引导语：前面我们用坐标法研究了直线、圆及它们的位置关系.生产、生活中还有许多非常有用、有趣、我们还不大熟悉的曲线需要研究.问题1：如图1，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线是一个圆.如果改变截面与圆锥的轴所成的角，会得到怎样的截口曲线呢？师生活动：教师通过信息技术演示，引导学生认识截面与圆锥的轴所成的角不同时得到的不同的截口曲线，并指出它们分别是椭圆、双曲线、抛物线（图）.教师可以介绍圆锥曲线的研究历史，指出圆锥曲线在生产、生活中的应用，并指出圆锥曲线有如此广泛的应用与它们的几何特征和几何性质有关，而这些几何特征和几何性质都是本章要研究的内容.设计意图：问题1重在引发学生思考，并不要求学生解决这个环节的教学目的是明确本章内容的意义与价值，促进学生形成积极探究的心理倾向.问题2：历史上，古希腊人曾用纯几何的方法研究圆锥曲线图117世纪后，人们开始用坐标法研究圆锥曲线，你能猜测这些变化的大致原因吗？如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐标法研究直线与圆的基础上，猜想研究的大致思路与构架吗？师生活动：在学生回顾、讨论的基础上，明确采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确地计算.本章研究的基本思路：现实背景—曲线的概念—曲线的方程—曲线的性质——实际应用.其中，现实背景揭示了研究的必要性，曲线的概念是建立曲线的方程的依据，曲线的方程是研究曲线的性质的工具，曲线的概念、曲线的方程、曲线的性质共同为曲线的实际应用奠定基础.设计意图：让学生从整体上把握本章的学习内容与基本框架，为后续学习提供先行组织者同时深化学生对坐标法研究问题的基本思路与基本方法的理解.2.归纳抽象，建构椭圆的概念问题3：（1）生活中，大家在哪些地方见到过椭圆？取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，（图），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？师生活动：在学生讲述生活中遇到过的椭圆的基础上，同桌同学合作画椭圆.如图，取一根定长的细绳，固定其两端，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖画图；变化定长与定点，发现所画的曲线具有共同的特点，然后用数学语言刻画这些曲线上点满足的几何条件.设计意图：由实际操作，强化学生对椭圆的几何特征的认识，并引导学生由此抽象出椭圆的定义.问题4：你能用精确的数学语言刻画椭圆吗？师生活动：学生尝试用精确的数学语言给出椭圆的定义.在此基础上，教师关注学生对定义中相关用语及符号表示：“平面内”“定点”“距离之和”“常数”“常数大于两定点间的距离”“点的轨迹”的使用是否准确.如果学生忽略了“这个常数大于两定点间的距离”这一条件过追问，启发、帮助学生完善.同时，让学生搞清楚：当常数等于两定点间的距离时，是线段；当常数小于两定点间的距离时，点的轨迹不存在.在给出椭圆的概念的基础上，教师再引导学生了解焦点、焦距、半焦距等概念.设计意图：通过强化椭圆概念的抽象与建立过程，提高学生思维的严谨性与语言表达能力同时让学生获得焦点、焦距等概念.3.建系推导，建立椭圆的标准方程问题5：遵循解析几何研究几何图形的内在逻辑，了解椭圆的概念后，应建立椭圆的方程你能猜想建立椭圆方程的大致步骤吗？请尝试建立椭圆的方程.师生活动：（1）通过生生、师生讨论,明确建立椭圆的方程的大致步骤:根据椭圆的几何特征建立适当的直角坐标系—明确椭圆上的点满足的几何条件—―将几何条件转化为代数表示列出方程——化简方程—检验方程.同时教师简要地说明缘由：建立适当的坐标系,用有序数对表示曲线上任意一点的坐标是用坐标法研究问题的前提与基础;分析点在曲线上的条件(记为),写出适合条件的点的集合是建立曲线的方程的依据;用坐标表示条件,列出方程,这是建立曲线的方程的关键;化方程为最简形式,这既符合数学知识发展的内在逻辑,也是为后面用方程研究曲线做好铺垫;说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上,反之也对,这是保证方程与曲线等价性的需要.由于在推导椭圆的标准方程前完整地得出这五个步骤难度太高,因而有些步骤可以在推导方程后以师生讨论的方式给出.（2）讨论、明确如何建立适当的直角坐标系.观察椭圆发现:它具有对称性,并且过两个焦点的直线是它的对称轴.受圆心在原点时圆的标准方程最简单启发,以经过椭圆两焦点的直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立直角坐标系.（3）化简方程时,先预测不同化简方案对后继推导的影响,在得到方程后,从简化、美化、寻找的几何意义人手,继续优化方程.（4）讨论以上方程的变形是不是同解变形,明确方程与所给椭圆是等价的,是椭圆的方程,并且称为椭圆的标准方程.（5）引导学生反思为什么要用而不是表示椭圆的定长与焦距.（6）感悟方程所蕴含的简洁美、对称性、和谐美,感悟“数”与“形”内在的一致性.设计意图：（1）明确求曲线的方程的大致步骤，避免推导过程中思维的盲目性；（2）明确如何建立适当的直角坐标系,引导学生学会建立适当的直角坐标系;（3）以椭圆标准方程的推导为载体,引导学生掌握推导圆锥曲线方程的一般思路与方法;（4）以椭圆标准方程的概念为载体,深化学生对曲线与方程的关系的理解.问题6:如果椭圆的焦点在轴上,且的坐标分别为,的意义同上,那么椭圆的方程又是什么师生活动：学生先猜想，并讨论猜想成立的依据，再由学生独立完成.设计意图：形成和完善椭圆标准方程的概念.4.及时固，熟练运用例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是,并且经过点,求它的标准方程.师生活动:用两种方法求解.方法1：根据椭圆的定义及之间的关系直接求.方法2:利用满足方程求解.设计意图：巩固椭圆及其标准方程的概念.课堂练习：教科书第109页练习第1，2题.师生活动：学生先独立完成,后相互交流.教师动学生错误情况进行点评、校正.例2 如图.在圆上任取一点,过点作轴的垂线段为垂足.当点在圆上运动时,线段的中点的轨迹是什么为什么师生活动：（1）明确求轨迹方程即是求轨迹上任意的点的坐标所满足的条件,因此必须先搞清楚点所满足的条件.（2）掌握求一类轨迹问题的基本思路与方法,即通过建立点与已知曲线上点的联系.利用已知曲线的方程求解（3）变式训练:求时点M的轨迹方程，并进一步思考椭圆与圆的关系.（4）明确圆与椭圆的联系,椭圆可看作是把圆“压扁”或“拉长”后,圆心一分为二所成的曲线.设计意图：提高思维的探究性与挑战性，理解椭圆与圆的关系.例3如图.设点的坐标分别为.直线相交于点,且它们的斜率之积是,求点的轨迹方程.师生活动：（1）在学生分析、讨论解题思路的基础上，由学生独立完成；（2）教师视情况讲解、点评；（3）注意检验方程与曲线之间是否等价.设计意图：深化学生对求曲线的方程的方法、椭圆的几何特征的认识.课堂练习:教科书第109页练习第3,4题.师生活动：学生运用圆的概念与椭圆的标准方程解决第题，运用求曲线的方程的方法解决第4题.教师查看学生完成情况后点评、校正.设计意图：进一步巩固椭圆的概念与椭圆的标准方程.5.回顾反思，提炼升华问题7：（1）椭圆的概念中的要点与需要注意的地方分别是什么（2）推导椭圆的标准方程时，建立直角坐标系的依据是什么？（3）椭圆标准方程的推导给了你怎样的启示？就一般情况而言，求曲线的方程有哪些步骤？为什么是这些步骤？师生活动：学生从椭圆的概念、建立适当的直角坐标系常用思路与方法、椭圆的标准方程的推导过程与方法、求曲线的方程的一般步骤四方面对所学内容进行回顾与反思设计意图：及时梳理、提炼与升华所学知识.6.布置作业教科书习题3.1第1，2，5，6，9，10题.（五）目标检测设计1.已知的周长为14,顶点的坐标分别为,则点的轨迹方程为（）(A)(B)(C)(D)设计意图：考查学生对椭圆及其标准方程的理解水平以及思维的严谨性.2.求符合下列条件的椭圆的标准方程:（1）经过点;（2）,一个焦点是.3.已知点是圆(为圆心）上一动点,线段的垂直平分线交于点,求动点的轨迹方程.设计意图：考查学生求轨迹方程的掌握情况.1 / 7。
椭圆(1)
所以|AB|＝ 85c2＋353c＋ 3c2＝156c.
于是|MN|＝58|AB|＝2c.圆心(－1， 3)到直线PF2的距离
d＝|－
3－ 3－ 2
3c|＝
3|2＋c| 2.
因为d2＋(|M2N|)2＝42，所以34(2＋c)2＋c2＝16.整理得7c2＋12c－52 ＝0，得c＝－276(舍)，或c＝2.所以椭圆方程为1x62＋1y22 ＝1.
答案： D
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4．(教材习题改编)已知椭圆x52＋my2＝1的离心率e＝ 510，则m的值 为________． 解析：当椭圆焦点在x轴上a2＝5，b2＝m，∴c2＝5－m. ∴ 5－5 m＝ 510.∴5－5 m＝1205. ∴m＝3. 焦点在y轴上时得mm－5＝1205. ∴m＝235.∴m的值为m＝3或m＝235. 答案：3或235
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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
5．(2012·合肥模拟)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－ 3，0)和 F2( 3，0)，且椭圆过点(1，－ 23)． (1)求椭圆方程； (2)过点(－65，0)作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．
在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
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(2)设方程：根据上述判断设方程xa22＋by22＝1(a>b>0)或xb22＋ay22 ＝1(a>b>0)． (3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求． 注意：当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时，可设为xm2＋yn2＝ 1(m>0，n>0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B).
1.1椭圆及其标准方程课件--北师大版(2019)高二上选择性必修一
辨析
练习 下列命题是真命题的是 （ 2 ）（ 4 ）
（4）平面内，已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离
和为10，则M ₂ ∣为定长
1 ∣ ₁ ∣+∣ ₂ ∣>∣ ₁₂ ∣时，P点的轨迹就是
椭圆.
2 ∣ ₁ ∣+∣ ₂ ∣=∣ ₁₂ ∣时，P点的轨迹是一
的点的集合(或轨迹)叫做椭圆。
两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点。
两个焦点间的距离||叫作椭圆的焦距。焦距的一半称
为半焦距。
= + = , > ||
2、在椭圆定义中，当 = ||时动点的轨迹为线段；
当 < ||时动点的轨迹不存在。
条线段：线段 ₁₂
3 ∣ ₁ ∣+∣ ₂ ∣<∣ ₁₂ ∣时，P点不存在.
问题二：根据椭圆的定义，我们是否可以猜
想椭圆是否具有对称性？你能否猜想出椭圆
的对称轴吗？
根据椭圆的定义有 + =
设点P1为点P关于直线F1F2的对称点，
则据椭圆的定义有 + =
(1)
(2)
+
+
=
x轴上，a=5,b=4,焦点坐标：(-3,0)、(3,0)
= 在y轴上，a=13,b=12,焦点坐标：(0,-5)、(0,5)
(3) + − = 在x轴上，a=5,b=3,焦点坐标：(-4,0)、
(4,0)
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的
即
+
−
=
将 = − 代入上式，得
椭圆及其标准方程(1)PPT课件
(2)因为|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，所以动点 M 的轨迹是线 段 F1F2.
•椭圆的标准方程思维导航
• 1．如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简 单．
轨迹是______________________． • (2)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则点M的轨
迹是____________________． • [答案] 以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆
线段F1F2
[解析] (1)因为|F1F2|＝8 且动点 M 满足|MF1|＋|MF2|＝ 10>8＝|F1F2|，
• 2．在推导椭圆方程时，为何要设|F1F2|＝2c， 常数为2a？为何令a2－c2＝b2，
• 在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0)，椭圆 上任意一点到两个焦点的距离的和为2a(a>0)， 这是为了使焦点及长轴两个端点的坐标不出 现分数形式，以便使推导出的椭圆的方程形 式简单．令a2－c2＝b2是为了使方程的形式 整齐而便于记忆．
• 3．通过椭圆概念的引入和椭圆方程的推导， 培养观察、分析、探索能力和数形结合、等 价转化的思想方法，提高用坐标法解决几何 问题的能力．
• 重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形 式．
• 难点：椭圆标准方程的建立和推导．
•椭圆的定义思维导航
• 在生活中，我们对椭圆并不陌生．油罐汽车 的贮油罐横截面的外轮廓线、天体中一些行 星和卫星运行的轨道都是椭圆；灯光斜照在 圆形桌面上，地面上形成的影子也是椭圆形 的．那么椭圆是怎样定义的？怎样才能画出 椭圆呢？
• 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸 板，你能画出椭圆吗？
人教版高中数学必修一 椭圆的标准方程(1)-课件
将方程③平方，再整理得：a2 c2 a2
x2
y2
a2
c2，
④
化简并检验：
①+②整理得： (x c)2 y2 a c x ， ③ a
将方程③平方，再整理得：a2 c2 a2
x2
y2
a2
c2，
④
当 x 0 时，由①可知2 c2 y2 2a， 即 y2 a2 c2，此时方程④也成立.
即 (x 4)2 y2 (x 4)2 y2 8 x ， ② 5
化简并检验：
①+②整理得： (x 4)2 y2 5 4 x ， ③ 5
化简并检验：
①+②整理得： (x 4)2 y2 5 4 x ， ③ 5
将方程③平方，再整理得： x2 y2 1 ， ④ 25 9
化简并检验：
因此我们也把焦点在 x轴上的椭圆标准方程中的 x与 y互换，就
可以得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程
y2 a2
x2 b2
1
(a b 0).
课堂小结 椭圆的定义
焦点所在坐标轴 焦点坐标 标准方程
a,b, c
的关系
课堂小结
椭圆的定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数且2a F1F2 则平面内满足PF1 PF2 2a 的动点 P的轨迹.
程.
我们可以通过坐标法来探讨上述满足条件的 P 点是否存在.
问题6 设 F1，F2是平面内的两个定点，F1F2 8 ，证明平面上满 足 PF1 PF2 10 的动点 P 有无数多个，并求出P 的轨迹方
程.
坐标法求曲线方程的一般步骤： （1）设动点坐标（如果没有坐标系需要先建系）； （2）写出几何条件，并用坐标表示； （3）化简并检验.
椭圆(1)
将这个方程移项，两边平方，得
(x+c)2+y2=4a2－4a (x c)2 y2 +(x－c)2+y2
∴ a2－cx=a (x c)2 y2 ,
两边再平方，得 a4－2a2cx+c2x2=a2x2－2a2cx+a2c2+a2y2, 整理得 (a2－c2)x2+a2y2=a2(a2－c2),
由椭圆定义可知，2a>2c, 即a>c, ∴ a2－c2>0, 设b2=a2－c2 (b>0), 得 b2x2+a2y2=a2b2, 两边除以a2b2得
x 2 y 2 1 (a>b>0) a2 b2
例一. 平面内两个定点的距离是8, 写出 到这两个定点的距离的和是10的点的 轨迹方程.
解: 这个轨迹是一个椭圆, 两个定点是 焦点,用F1, F2表示, 取过点F1和F2的直线 为x轴, 线段F1F2的垂直平分线为y轴,
a2 b2
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争很快就能结束,人们可以继续挖掘.却不知,战乱时期初现末世端倪,人人自身难保,哪里还顾得上古墓解密？炮弹到处飞,躲哪儿都危险.而且末世时流通の不再是钱币,而是晶核或者各种锋税武器.人人只顾着打猎抢夺晶核,再也没人提起那个宝藏墓穴.当然,不排除有人将埋藏の地点牢记于心,静待 和平年代到来重返旧地.古董文物能让后世了解过去の文明,千金难求,实属难得,不管在哪个年代都是弥足珍贵の宝物,也是大发横财扬名立万の捷径.战争突至,世界各地陷入纷乱.大国核战争输赢,小国趁乱使用生化武器互相暗算,核生化污染让地球变得乌烟瘴气,民不聊生.没几年后,幸存下来の孩 子们对于太阳
最新椭圆知识点总结(1)
椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的简单几何性质标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长=a 2，短轴长=b 2 长半轴长=a ，短半轴长=b （注意看清题目）离心率)10(<<=e ace c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1；(p是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等知识点三：椭圆相关计算1．椭圆标准方程中的三个量cba,,的几何意义222cba+=2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长ab22焦点弦：椭圆过焦点的弦。
3.最大角:p是椭圆上一点，当p是椭圆的短轴端点时，21PFF∠为最大角。
椭圆的简单几何性质(第一课时)
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A1
(-a，0) F1
b
oc
a A2(a，0) F2
叫做椭圆的长轴和短轴。
B1 (0,-b)
它们的长分别等于2 a和2 b 。
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x2 y2 1
25 16
（2） x2 y2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 0 1 2 3 4 5 x
3、椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)的顶点：
令 x=0，得 y=？说明椭圆与 y轴的交点为（ 0, ±b ）， 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点为（ ±a, 0 ）。
*顶点：椭圆与它的对称轴的四个
y
B2 (0,b)
交点，叫做椭圆的顶点。
*长轴、短轴： 线段A1A2、B1B2分别
从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于 y 轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于 x 轴对称； Y
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，
图象关于原点 成中心对称。
P1（-x，y）
P（x，y）
坐标轴是椭圆的对称轴，
O
X
原点是椭圆的对称中心。
P2（-x，-y）
中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
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练习：书本48页第1、2、3题
标准方程 范围
x2 y2 1(a b 0) a2 b2 -a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b
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QP QA 变式：若Q为线段MP上一动点，且满足 AP 0, QP QA 求动点Q的轨迹方程。
y
P Q O M A x
走进高考
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距 8Km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面图形， 以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建 x 立平面直角坐标系（下图）。考察范围到 Ax、B两点的距离 之和不超过10Km的区域。求考察区域边界曲线的方程：
1. 椭圆定义：平面内与两个定点F1F2的距离和等于常数(大于 |F1F2|)的点M的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦 点间的距离叫做|MF2|=2a (2a>2c>0) y y
M F 1
F 2
M
图 形
o
F2 x
o
F 1
x
方 程 焦 点 a,b,c之间的关系
y
P
（-4，0） （4,0）
A
B
x
y
P
F2
① 定位：确定焦点所在的坐标轴;
x
F1
② 定量：求a，b的值.
学习任务3：（椭圆定义的灵活运用） 小组合作探究
2
x 3 y 2 100, 点P是圆上的动点， 已知定点A3,0及圆M：
求动点Q的轨迹方程。
若线段AP的垂线平分线交 MP于点Q，当动点P在圆上运动时，
y P Q O M A x
(2)两个焦点F1(－3， 0)，F2(3，0),且长轴长为10; x2 y2 (3) 经过点A(－2,0)和B(0,－3). 4 9 1
x2 y2 1 25 16
(4) 两个焦点F1 （ 0 ，-1）和F2（ 0 ，1），且过点P（ -1.5 ，1）
求椭圆标准方程的步骤：
y2 x2 1 4 3
椭圆（1）
学习任务1：（椭圆的定义）
问题1：已知动点P满足方程C : （x 4) 2 y 2 ( x 4) 2 y 2 10, 化简方程C并说明动点P的轨迹。
变式1：将上述题“10”改为“8”，动点P的轨迹是什么？
变式2：将上述题“10”改为“4”，动点P的轨迹是什么？
1. 椭圆定义：平面内与两个定点F1，F2的距离和等于常数(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点 间的距离叫做椭圆的焦距。
x2 y2 2 1 a b 0 2 a b
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
学习任务2：已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上； 求满足下列条件的椭圆的标准方程。 2
(1)
a =4，b=1
x2 2 或 2 y 1 y 1 x 16 16