第六讲马氏链模型
马尔可夫链模型简介
马尔可夫链模型简介设考察对象为一系统,若该系统在某一时刻可能出现的事件集合为,}{N N E E E E E E ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2,1,2,1,两两互斥,则陈i E 为状态。
N i ⋅⋅⋅=,2,1。
称该系统从一种状态i E 变化到另一状态j E 的过程称为状态转移，并把整个系统不断实现状态转移的过程称为马尔可夫过程。
定义1 具有下列两个性质的马尔可夫过程称为马尔可夫链： （1）无后效性，即系统的第n 次实验结果出现的状态，只与第1-n 次有关，而与它以前所处的状态无关；（2）具有稳定性，该过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。
定义2 向量),,,(21n u u u u ⋅⋅⋅= 成为概率向量，如果u 满足：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅⋅=≥∑=nj jj u nj u 11,,2,10 定义3 如果方阵P 的每行都为概率向量，则称此方阵为概率矩阵。
如果矩阵A 和B 皆为概率矩阵，则AB ，k A ，k B 也都是概率矩阵（k 为正整数）。
定义4 系统由状态i E 经过一次转移到状态j E 的概率记为ij P ，称矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=3212222111211N N N N N P P P P P P P P P P 为一次（或一步）转移矩阵。
转移矩阵必为概率矩阵，且具有以下两个性质： 1、P P P k k )1()(-=； 2、k k P P =)(其中)(k P 为k 次转移矩阵。
定义5 对概率矩阵P ，若幂次方)(m P 的所有元素皆为正数，则矩阵P 称为正规概率矩阵。
（此处2≥m ）定理1 正规概率矩阵P 的幂次方序列P ，2P ，3P ，…趋近于某一方阵T ，T 的每一行均为同一概率向量t ，且满足t tP = 。
马尔可夫链模型如下：设系统在0=k 时所处的初始状态 ),,()0()0(2)0(1)0(N S S S S ⋅⋅⋅=为已知，经过k 次转移后的状态向量 ),,()()(2)(1)(k N k k k S S S S ⋅⋅⋅=),2,1(⋅⋅⋅=k ，则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=NN N N N N k P P P P P P P P P S S 212222111211)0()( 此式即为马尔可夫链预测模型。
马氏链
Markov 链}0:{≥n n ξ称为有限状态Markov 链,若n ξ只有有限个取值且 =====--+),,,|(0011i i i j P n n n k n ξξξξ )|(i j P n k n ==+ξξ. 将其记为 ),(k n n p ij +.转移概率矩阵记 )),((),(k n n p k n n P ij +=+,P ),(k n n +就称为从n 出发的k 步转移矩阵.显然P =),(n n I , P ),(m n 1T =1T , 而且P =),(l n P ),(m n P ),(l m (C-K 方程)时齐性: P =+),(m n n P m记成 )(m P , ()()()(m ij m p =P设初始分布为)(0)0(i P i ==ξμ，转移为P=)(ij p ，则nn i i i i i i i n n p p p i i i P 121100)0(1100),,,(-==== μξξξ绝对概率设)()(i P n n i ==ξμ，行向量)(n μ=):()(S i n i ∈μ，则 )(n m +μ=)(m μ)(n P .例1.DNA序列中的删除、插入、错读、及正确阅读由于DNA序列中每次错误的发生是独立的，而且可以近似地认为某一个bp是删除（插入）的可能只依赖其前一个bp 是否是删除（插入），所以它近似地可以看作一个Markov链。
这个数学模型在multiple alignment(MA) 时,是一个很好的模型。
2.在基因(编码CDNA)序列中, 正确的阅读框下,三联子码(codon)序列就可看作一个Markov链.这是因为氨基酸之间具有不同的结合能,因此有不同的稳定性.在长期的自然选择下,较稳定的连接对应的三联子码(codon)连接,就会比不稳定的三联子码(codon)连接以更大的可能出现. 所以将三联子码(codon)序列看作Markov链比通常采用的独立模型更为合理.3. 一个平稳随机序列(其有限个随机变量的联合分布平移不变: 例如(X(1),X(2),X(3)) 和(X(1+n),X(2+n ),X(3+n)) 具有相同的联合分布), 通常可以近似地认为X(n)的分布只依赖于它前面足够多的有限个(例如s个), 这时,{(X(n),X(n+1),X(n+2),…,X(n+s-1) )|n=0,1,2,… }就是一个Markov链.Poisson 过程Poisson 过程是一个连续时间的,取整数值的独立增量过程, 所以它有Markov 性. 它是时间连续的Markov 链。
马氏链模型在金融风险评估中的应用研究
马氏链模型在金融风险评估中的应用研究在金融领域，风险的评估是一项非常重要的工作。
如何准确地评估各种金融产品的风险程度，是各家金融机构与投资者必须研究的重要问题。
在金融风险评估中，马氏链模型成为了一种非常有效的分析工具，能够帮助我们理解和量化各种金融事件的概率和风险程度。
一、马氏链模型的原理马氏链模型是一种描述随机过程的数学工具，它基于概率转移矩阵，用于描述系统在不同状态之间的转移概率，并可以通过数学推导来预测未来发展趋势。
在金融领域，这种模型可以用来分析各种金融事件的发生概率，帮助投资者和金融机构评估风险程度。
二、金融风险评估中的应用在金融风险评估中，马氏链模型可以用来分析各种金融产品的风险程度。
比如，对于股票基金、债券基金、货币基金等金融产品，我们可以利用马氏链模型来评估未来一段时间内它们的收益率和风险程度。
对于股票基金，我们可以使用马氏链模型来分析其在不同的市场环境下的表现，比如在经济繁荣时期、危机时期、通货膨胀时期等。
在分析中，我们可以把市场环境看成是该模型的状态，根据历史数据来计算在每个市场环境下不同收益率之间的转移概率，从而预测股票基金在未来各种市场环境下的表现。
对于债券基金，我们可以利用马氏链模型来预测未来的市场利率变化。
一般来讲，债券基金的收益率和市场利率呈现负相关关系，因此我们可以通过分析市场利率的变化来预测债券基金的收益率。
在模型的分析中，我们可以将不同利率水平看作状态，然后利用历史数据来计算不同利率之间的转移概率，从而预测未来利率的变化趋势。
对于货币基金，我们可以使用马氏链模型来分析利率的变化对其收益率的影响。
与债券基金一样，货币基金的收益率也与市场利率呈现负相关关系。
我们可以将市场利率的变化看作模型的状态，然后通过分析历史数据来计算不同利率之间的转移概率，进而预测未来利率的变化趋势及其对货币基金收益率的影响。
三、马氏链模型的优势在金融风险评估中，马氏链模型具有很多优势。
首先，该模型能够将金融事件抽象成不同的状态，通过数学建模的方式，准确地估计各种状态之间的转移概率，从而得出未来的趋势和风险。
马氏链简介
显然，cij 0
n
n
cij (ai1b1 j ai2b2 j ainbnj ), (i 1,2,, n)
j 1
j 1
n
n
cij (ai1b1 j ai2b2 j ainbnj ), (i 1,2,, n)
j 1
j 1
n
用随机变量 X n 表示第 n 个月的经营状况
Xn 1 Xn 2
表示销路好； 表示销路坏；
n 0,1,2
X n 称为这个经营系统的状态。
用ai n表示第 n 月处于状态 i 的概率， i 1,2,
即
ai n PXn i ai n 称为状态概率。
pij 表示已知这月处于状态 i ，下月处于状态 j 的概率，i, j 1,2, 即
每次传播消息的失真率为 p, 0 p 1,
即 ai 将消息传给 ai1, 时，传错的概率为 p
这样经过长时间传播第n个人得知消息时，消息 的真实程度如何？
第n个人知道消息可能是真，也可能是假， 有两种状态，记为
Xn 1 Xn 2
表示消息假； 表示消息真；
n 0,1,2
用ai n表示第 n 个人处于状态 i 的概率， i 1,2,
n01 2 3
4
ห้องสมุดไป่ตู้
1 0.5 0.45 0.445 0.4445 ？
0 0.5 0.55 0.555 0.5555 ？
a1(n)
5 10
5 102
a2 (n)
4 9
5 10n
5 10
1 (
1 10n1
05 马氏链模型
w (0.285,0.263,0.452 )
0.264 0.285 0.080 0.263 0.019 0.452 0.105
从长期看，失去销售机会的可能性大约 10%。
模型求解
第n周平 均售量
3
2. 估计这种策略下每周的平均销售量
i
Rn [ jP( Dn j, S n i) iP( Dn i, S n i) ]
N (t ) ni (t )
i 1 k
t年总人数
ni (t ) ai (t ) N (t )
a(t)~等级结构
ai (t ) 0,
a (t ) 1
i 1 i
k
转移矩阵 Q={pij}kk, pij 是每年从i 转至j 的比例
基本模型
模型建立
状态概率 ai (n ) P( S n i ), i 1,2,3
马氏链的基本方程
0.632 0.368 0 P 0.368 0.368 0.264 0.184 0.368 0.448
N
a(n 1) a(n) P
已知初始状态，可预测第 n周初库存量Sn=i 的概率
状态与状态转移
设投保时处于健康状态，预测 a(n), n=1,2…
n
a1(n)
0
1
1
0.8
2
0.757
3
50
0 0 1
0.7285 0.1293
a2(n)
a3(n)
0
0
0.18
0.02
0.189
0.054
0.1835
0.0326
0.0880 0.8381
第六章 马尔科夫链
三、马氏链的例子
解：马尔科夫链的 { X n，n 0，2， } 的状态空间为： 1，
S { 0，，， } 1 2
一步状态概率为：
j | X n i}
p， 若 j i 1，i 0；
q， 若 j i 1，i 0；
P{ X n 1
记 ( 0，1， )，( i P{ X 0 i}，i S ) .称
为齐次马尔可夫链的初始分布.
齐次马尔科夫链的有限维分布族完全由其一步转移 概率矩阵 P 和初始分布 确定.
三、马氏链的例子
例1 (一个简单的疾病死亡模型)
考虑一个包含两个健康状态S1和S2以及两个死亡状态 S3和S（即由不同原因引起的死亡）的模型。若个体病愈， 4 则认为它处于状态S1，若患病，则认为它处于S2，个体可 以从S1，S2 进入S3和S4，易见这是一个马氏链，转移矩阵为
以{X n，n 0} 表示质点在时刻 n 时的位置，则 X n是齐 次马尔可夫链，称为带有两个吸收壁的随机游动.求其 一步转移概率矩阵. 解：一步状态概率为：
P{ X n 1 j | X n i}
一步状态概率矩阵为：
1 0 0 0 0 q 0 p 0 0 0 q 0 p 0 P 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
的状态与其过去的历史状态无关(独立).
一、马尔可夫链的定义
【例】 细胞分裂实验
第一节
基本概念
马尔可夫链的研究内容
1、计算马尔可夫链 { X n，n 0} 的有限维分布.
2、对马尔可夫链 { X n，n 0}的状态空间 S 按照某种 规则进行分类.
3、研究马尔可夫链 { X n，n 0} 的极限性质.
数学建模：马氏链及其应用
a1=‘1110010011111110011110111111001111111110001101101’; a2=‘111011011010111101110111101111110011011111100111’; a=[a1,a2]; f00=length(findstr(‘00’,a)) f01=length(findstr(‘01’,a)) format rat fid=fopen(‘data1.txt’,’r’); a=[ ]; while (~feof(fid))
的每个元素表示从非吸收状态出发，到达某个吸收状态北吸收之前的平均转
移次数。
定理7 设 B FR (bij ) ，其中F 为吸收链的基矩阵，R 为(4)式中的 子阵，则 bij 表示从非吸收状态 i 出发，被吸收状态 j 吸收的概率。
3 马尔可夫链的应用
• 应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫分析，主要目的是 根据某些变量现在的情况及其变动趋势，预测它在未来某特 定区间可能产生的变动，作为提供某种决策的依据。
可以到达某个吸收状态，那么这个马氏链被称为吸收链。
具有个吸收状态，个非吸收状态的吸收链，它的转移矩阵的标准形式为
P
Ir R
o
S
（4）
其中I r 为 r阶单位阵，O为 r s零阵， R为 s 矩r 阵， S为 s 矩s 阵。从(4)得
Pn
Ir Q
o
S
n
（5）
（5）式中的子阵 S n表示以任何非吸收状态作为初始状态，经过 n步转移后， 处于S 个非吸收状态的概率。
马尔科夫链详解
4
定义 1 设{ Xn , n 1,2, }是一个随机序列，状态 空间 E为有限或可列集，对于任意的正整数m,n，若
i, j,ik E(k 1, ,n 1)，有
15
解 设 Xn(n 1, ,97) 为第 n 个时段的计算机状 态，可以认为它是一个时齐马氏链，状态空间
E {0,1}。要分别统计各状态一步转移的次数，即
0→0，0→1，1→0，1→1 的次数，也就是要统计数据
字符串中‘00’，‘01’，‘10’，‘11’四个子串的个数。
利用 Matlab 软件，求得 96 次状态转移的情况是
马尔科夫Markov链
Markov原名A.A. Markov（俄，1856－1922） 于1906年开始研究此类问题.
1
1 马尔可夫链的定义 现实世界中有很多这样的现象，某一系统在已知 现在情况的条件下，系统未来时刻的情况只与现在有 关，而与过去的历史无直接关系。比如，研究一个商 店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知， 则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一 时刻累计销售额无关。描述这类随机现象的数学模型 称为马尔科夫模型，简称马氏模型。
0→0，8 次；
10
（1）对一切i, j E ，0 pij (m) 1；
（2）对一切i E ， pij (m) 1； jE
（3）对一切i,
j
E ， pij (0)
ij
1, 当i 0， 当i
j时, j时 .
11
当实际问题可以用马尔可夫链来描述时，首先要 确定它的状态空间及参数集合，然后确定它的一步转 移概率。关于这一概率的确定，可以由问题的内在规 律得到，也可以由过去经验给出，还可以根据观测数 据来估计。
第六章 马尔可夫链PPT课件
第一节 基本概念
５.马尔可夫链举例
例１(天气预报问题) 如果明天是否有雨仅与今天的
天气(是否有雨)有关，而与过去的天气无关. 并设
今天下雨、明天有雨的概率为a，
今天无雨而明天有雨的概率为b，又假设
有雨称为0状态天气，无雨称为1状态天气.
Xn表示时刻n时的天气状态，则
{Xn,n0}是以 S{0,1}为状态空间的齐次马尔可夫链.
25
第一节 基本概念
4.齐次马尔可夫链
为方便，一般假定时间起点为零．即
p(k) ij
P(Xk
j
X0
i)
i, j S,k 0
相应的k步与一步转移概率矩阵分别记为 P (k)与 P
定理 (1) P(k) Pk , k 0;
(2) q(k) q(0)Pk , k 0;
(3) {Xn, n 0}的有限维分布由其初始分布和一 步转移概率所完全确定
15
第一节 基本概念
２. Chapman-kolmogorov方程
C-K方程的直观意义：
系统在n 时从状态i的出发,经过k+m步转移,于 n+k+m时到达状态j,可以先在n时从状态i出发，经 过k步转移于n+k时到达某种中间状态l,再在n+k时 从中间状态l出发经过m步转移于n+k+m时到达最 终状态j,而中间状态l要取遍整个状态空间S.
1
整体概况
概况一
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01
概况二
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02
概况三
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03
2
Markov 过程
3
Markov过程
马氏链理论
马尔可夫链理论
1 随机过程的概念
在许多，而且要进行多次，甚至接连不断观 测它的变化过程，这就要研究一族随机变量， 随机过程理论就是研究随机现象变化过程的 概率规律性。
析，主要目的是根据某些变量现在的情况及 其变动趋势，预测它在未来某特定区间可能 产生的变动，作为提供某种决策的依据。
2 马尔可夫链
现实世界中有很多这样的现象：某一系统在
已知现在情况的条件下，系统未来时刻的情 况只与现在有关，而与过去的历史无直接关 系。描述此类随机现象的数学模型称为马氏 模型。
转移概率矩阵及柯尔莫哥洛夫定理
3 马尔可夫链的应用
应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫分