二维随机变量ξ η.ppt
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3.2二维离散型随机变量
j
ξ
Pi•
证明: 证明
x1 p1•
x2 p2•
… …
xi pi •
… …
pi• = P{ξ = xi } = P{ξ = xi , −∞ < η < +∞} = ∑ P{ξ = xi ,η = y j } = ∑ pij
j j
信息系刘康泽
边缘分布： 2、 (ξ ,η ) 关于 η 的边缘分布：
p• j = ∑ pij
η ( ξ = 0时)
p
另外两个同理可得。 另外两个同理可得。
1 1/2
2 1/2
信息系刘康泽 的两点分布， 例 5、已知 ξ 服从参数 2 / 3 的两点分布，又 、 η (ξ = 0) 1 2 3 1/2 1/4 1/4 P
η (ξ = 1)
的概率分布. 求 (ξ ,η ) 的概率分布.
1 1/3
证明: 证明
pij p• j
,
p• j ≠ 0 , i = 1, 2,⋯ .
pij p• j
P{ξ = xi | η = y j } =
P{ξ = xi ,η = y j } P{η = y j }
=
.
分布： 2、在 ξ = xi 的条件下 η 的分布：
P{η = y j | ξ = xi } =
pij pi •
信息系刘康泽
联合分布律也可用表格的形式来表示。 联合分布律也可用表格的形式来表示。
ξ
η
x1 x2 ⋮ xi ⋮
y1 p11 p 21 ⋮ p i1 ⋮
y2 p12 p 22 ⋮ pi 2 ⋮
… … … …
yj p1 j p2 j ⋮ pij ⋮
… … … …
ξ
Pi•
证明: 证明
x1 p1•
x2 p2•
… …
xi pi •
… …
pi• = P{ξ = xi } = P{ξ = xi , −∞ < η < +∞} = ∑ P{ξ = xi ,η = y j } = ∑ pij
j j
信息系刘康泽
边缘分布： 2、 (ξ ,η ) 关于 η 的边缘分布：
p• j = ∑ pij
η ( ξ = 0时)
p
另外两个同理可得。 另外两个同理可得。
1 1/2
2 1/2
信息系刘康泽 的两点分布， 例 5、已知 ξ 服从参数 2 / 3 的两点分布，又 、 η (ξ = 0) 1 2 3 1/2 1/4 1/4 P
η (ξ = 1)
的概率分布. 求 (ξ ,η ) 的概率分布.
1 1/3
证明: 证明
pij p• j
,
p• j ≠ 0 , i = 1, 2,⋯ .
pij p• j
P{ξ = xi | η = y j } =
P{ξ = xi ,η = y j } P{η = y j }
=
.
分布： 2、在 ξ = xi 的条件下 η 的分布：
P{η = y j | ξ = xi } =
pij pi •
信息系刘康泽
联合分布律也可用表格的形式来表示。 联合分布律也可用表格的形式来表示。
ξ
η
x1 x2 ⋮ xi ⋮
y1 p11 p 21 ⋮ p i1 ⋮
y2 p12 p 22 ⋮ pi 2 ⋮
… … … …
yj p1 j p2 j ⋮ pij ⋮
… … … …
二维随机变量
• 则由全概率公式,有
4 4 P = P{ξ = i} = ∑ P{ξ =i /η = j}P{η = j} = ∑ P ij ii j =1 j =1 4 4 P = P{η = j} = ∑ P{η = j /ξ =i}P{ξ = i} = ∑ P ij ij i =1 i =1
计算结果可列表如下:
二维随机变量
§1.二维离散型随机变量
• 1.二维随机变量的定义: • 设E是一个随机试验,其样本空间为Ω={e}. • 设X=X{e},Y=Y{e}是定义在Ω上的随机变量, 且它们之间有着一定的关系,则由它们构成 , 的向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机 向量.
2.二维随机变量的讨论.
1) (X,Y)构成有序数组,该数组与试验中的随机 事件相关联,或者说该数组表示试验中的随 机事件的性质. 2) (X,Y)构成的有序数组表示的是随机事件的 两个性质(一维随机变量随机事件的某一个 性质).这两个性质之间相互有联系,这就是 “ 有序”两个字的含义.
4)求P(ξ=a︱η=b),(a,b=1,2,3,4)
• 由贝叶斯公式: 可得
P{η =b ξ =a}P{ξ =a} P{ξ = a η =b} = P{η =b} P{ξ =a,η =b} = P{η =b}
5)求 P(ξη=κ),(κ=1∼16)
• 易知:k=1,2,3,……16
令: Z =ξη,则有 1 P{Z =1 =P{ξ =1,η=1 = , } } 4 1 1 P{Z =2}=P{(ξ =1,η=2)∪(ξ =2,η=1)}=0+ = 8 8 ⋯ ⋯ ⋯ P{Z = 7}= 0,⋯ ⋯
二维随机变量的讨论(续)
3) 二维随机变量(X,Y)用以表示两个性质以及 它们之间相互有联系.因而对它的研究分为 a)它们之间相互有联系 b)它们各自的性质 c)它们之间的相互联系产生的独特效应
二维随机变量函数分布PPT课件
ex x 0
f (x) 0 x0
其中>0，试分别就以上两种联结方式写出L的寿 命Z的概率密度．
第14页/共16页
小结
离散型——分布律 归一性 概率计算
分布函数与分布立场律的互变
边缘分布律
多维随机变量
分布函数 归一性 概率计算
二维随机变量函数的分布
连续型——概率密度 归一性 概率计算
分布函数与概率密度的互变
一般地，设随机变量X1, X2，..., Xn独立且Xi 服从正态分布N(i ,i2),i=1,...,n, 则
n
n
n
ai Xi ~ N(
ai i ,
ai2
2 i
)
i 1
i 1
i 1
第10页/共16页
例3.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg) 服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为 2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载
例1 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为
pij X -1
1
2
Y
-1
14 16 18
0
1 4 1 8 1 12
求X Y, X Y, XY,Y X 的概率分布
第1页/共16页
解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格： P 1 4 1 4 1 6 1 8 1 8 1 12
( X,Y ) (-1,-1)(-1,0)(1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) X +Y -2 -1 0 1 1 2 X -Y 0 -1 2 1 3 2 X Y 1 0 -1 0 -2 0 Y / X 1 0 -1 0 -1/2 0
具有可加性的两个离散分布
设 X ~B (n1, p), Y ~B (n2, p), 且独立， 则 X + Y ~ B ( n1+n2, p)
f (x) 0 x0
其中>0，试分别就以上两种联结方式写出L的寿 命Z的概率密度．
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小结
离散型——分布律 归一性 概率计算
分布函数与分布立场律的互变
边缘分布律
多维随机变量
分布函数 归一性 概率计算
二维随机变量函数的分布
连续型——概率密度 归一性 概率计算
分布函数与概率密度的互变
一般地，设随机变量X1, X2，..., Xn独立且Xi 服从正态分布N(i ,i2),i=1,...,n, 则
n
n
n
ai Xi ~ N(
ai i ,
ai2
2 i
)
i 1
i 1
i 1
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例3.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg) 服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为 2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载
例1 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为
pij X -1
1
2
Y
-1
14 16 18
0
1 4 1 8 1 12
求X Y, X Y, XY,Y X 的概率分布
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解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格： P 1 4 1 4 1 6 1 8 1 8 1 12
( X,Y ) (-1,-1)(-1,0)(1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) X +Y -2 -1 0 1 1 2 X -Y 0 -1 2 1 3 2 X Y 1 0 -1 0 -2 0 Y / X 1 0 -1 0 -1/2 0
具有可加性的两个离散分布
设 X ~B (n1, p), Y ~B (n2, p), 且独立， 则 X + Y ~ B ( n1+n2, p)
概率论与数理统计 二维随机变量及其分布 课件
即得 X 和 Y 的联合分布律为
P { X m , Y n} p q
2 n2
( n 2)个
,
其中q 1 p, n 2,3,; m 1,2,, n 1. 现在求条件分布律。
P { X m Y n }, P {Y n X m },
由于
P{ X m }
设二维随机变量(X,Y)的概率密为f(x,y), (X,Y)关于Y的边缘概率密度为fY(y)。若对于固 定的y,fY(y)>0，则称f(x,y)/ fY(y)为在Y=y的条件 下X的条件概率密度，记为
f
Y X
( y x)
P {Y y j }
i
p i j p j , j 1, 2 ,
X Y
x1
x2
xi
y1 y2 yj
p 11 p 12
p 21 p 22
p i1 pi2
p1 j
p2 j
p ij
P { X xi }
p ij , i 1 , 2 , ;
f(x,y) y
G o x
密度函数f (x,y)的性质：
(1)
(2)
f (x,y) ≥ 0 ；
f ( x , y ) d x d y 1.
例3.4 X、Y 具有联合密度函数 2 e - ( 2x + y ), 当 x、y ＞ 0 f (x,y) =
0 ，
其它
计算概率 P { X ≥Y } 。
所以
概率论3-1
非负性 f (x, y) 0
归一性
F(,)
f (x, y)dxdy 1
. 2F(x, y) f (x, y) xy
定义 若二维 随机变量 （X，Y）的所有可能取值
只有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随 机变量。
研究问题 如何反映（X，Y）的取值规律呢？
联想一维离散型随机变量的分布律。
（X，Y）的联合概率分布（分布律）P(62)
表达式形式
P{X xi ,Y y j} pij (i 1,2, ; j 1,2, )
例 设随机变量X在1,2,3,4这四个整数中等可能地取 一个值，若X的值取定时，另一个随机变量Y在1~X等 可能的任取一个整数值。求(X,Y)的联合分布律。
解 由于{X=i,Y=j}的取值情况是i=1,2,3,4,j取不大于i的 正整数。根据乘法公式得
P{X i,Y j} P{X i}P{Y j X i} 1 1 (i 1,2,3,4, j i) 于是得X，Y的联合分布率如下 4 i
F(, ) 0 F(, ) 1
x
(3) 对每个变量右连续
F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 ) F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 ) (4)对于任意 a < b , c < d
F (b, d) – F (b, c) – F (a, d) + F (a, c) 0 事实上 F (b, d) – F (b, c) – F (a, d) + F (a, c)
表格形式（常见形式）
X Y
y1
yj
x1 xi
p11
pi1
p1 j pij
性质
0 pij 1
归一性
F(,)
f (x, y)dxdy 1
. 2F(x, y) f (x, y) xy
定义 若二维 随机变量 （X，Y）的所有可能取值
只有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随 机变量。
研究问题 如何反映（X，Y）的取值规律呢？
联想一维离散型随机变量的分布律。
（X，Y）的联合概率分布（分布律）P(62)
表达式形式
P{X xi ,Y y j} pij (i 1,2, ; j 1,2, )
例 设随机变量X在1,2,3,4这四个整数中等可能地取 一个值，若X的值取定时，另一个随机变量Y在1~X等 可能的任取一个整数值。求(X,Y)的联合分布律。
解 由于{X=i,Y=j}的取值情况是i=1,2,3,4,j取不大于i的 正整数。根据乘法公式得
P{X i,Y j} P{X i}P{Y j X i} 1 1 (i 1,2,3,4, j i) 于是得X，Y的联合分布率如下 4 i
F(, ) 0 F(, ) 1
x
(3) 对每个变量右连续
F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 ) F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 ) (4)对于任意 a < b , c < d
F (b, d) – F (b, c) – F (a, d) + F (a, c) 0 事实上 F (b, d) – F (b, c) – F (a, d) + F (a, c)
表格形式（常见形式）
X Y
y1
yj
x1 xi
p11
pi1
p1 j pij
性质
0 pij 1
2.3二维随机变量及其分布
定义 若二维 r.v.(X ,Y )所有可能的取值
为有限多个或无穷可列多个, 则称 (X ,Y ) 为二维离散型 r.v.
要描述二维离散型 r.v.的概率特性及 其与每个 r.v.之间的关系常用其联合 概率分布和边缘概率分布
2020年6月29日星期一
3
目录
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返回
( X ,Y ) 的联合分布律
§2.3 二维随机变量及其分布
在实际问题中, 试验结果有时需要同 时用两个或两个以上的 r.v.来描述.
例如 用温度和风力来描述天气情况. 通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究 钢的成分. 要研究这些 r.v.之间的联系, 就 需考虑多维 r.v.及其取值规律—多维分布.
2020年6月29日星期一
1
2020年6月29日星期一 i1
9
二维离散型随机变量的边 缘分布是一维离散型分布
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例:
XY 0
1
pi•
0
0
1/5
1/5
1 1/5 3/5
4/5
p• j
1/5
4/5
1
因此，X,Y的边缘分布列分别是：
X0 1 pr 1/5 4/5
Y0 1 pr 1/5 4/5
2020年6月29日星期一
10
0
1
2
01 1 k 84
11 1 0 8 16
求：(1)k的值； (2)P(X Y ) .
解：(1)由性质可得：
1 8
1 4
k
1 8
1 16
0
1
即
k 7 16
(2) P(X Y ) PX 0,Y 0 PX 0,Y 1 PX 1,Y 1
为有限多个或无穷可列多个, 则称 (X ,Y ) 为二维离散型 r.v.
要描述二维离散型 r.v.的概率特性及 其与每个 r.v.之间的关系常用其联合 概率分布和边缘概率分布
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( X ,Y ) 的联合分布律
§2.3 二维随机变量及其分布
在实际问题中, 试验结果有时需要同 时用两个或两个以上的 r.v.来描述.
例如 用温度和风力来描述天气情况. 通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究 钢的成分. 要研究这些 r.v.之间的联系, 就 需考虑多维 r.v.及其取值规律—多维分布.
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1
2020年6月29日星期一 i1
9
二维离散型随机变量的边 缘分布是一维离散型分布
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例:
XY 0
1
pi•
0
0
1/5
1/5
1 1/5 3/5
4/5
p• j
1/5
4/5
1
因此，X,Y的边缘分布列分别是：
X0 1 pr 1/5 4/5
Y0 1 pr 1/5 4/5
2020年6月29日星期一
10
0
1
2
01 1 k 84
11 1 0 8 16
求：(1)k的值； (2)P(X Y ) .
解：(1)由性质可得：
1 8
1 4
k
1 8
1 16
0
1
即
k 7 16
(2) P(X Y ) PX 0,Y 0 PX 0,Y 1 PX 1,Y 1
第一节 二维随机变量
2 F ( x, y) f ( x, y) x y
4. 若 f ( x, y) 在点( x, y) 连续则有 ,
3.设 G 是 x O y 平面上的一个区域 ( X , Y ) 落在G 内的概率为 ,点
P{(X , Y ) G} f ( x, y)d x d y
G
例2 设二维随机变量（X，Y）具有概率密度
称为随机变量
( X ,Y )
是连续型的二维随机变量, 函数
( X ,Y )
的概率密度, 或
称为随机变量
X
和 的联合概率密度
Y
f 按定义概率密度( x, y) 具有以下基本 : 性质
1. f ( x, y) 0 . 2.
f ( x, y)d x d y F (, ) 1.
例1 设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可
能地取一个值，另一个随机变量Y在1～X中等 可能取一整数值，试求(X,Y)的分布律。
离散型随机变量X和Y的联合分布函数： F ( x, y ) pij pij
xi x
对满足xi x, y j y的 ( xi , y j ) 对应的概率求和。
分布函数的基本性质：
1.F ( x, y )是变量x和y的不减函数； 2.0 F ( x, y ) 1 且F (, y ) lim F ( x, y ) 0
x
F ( x,) 0, F (,) 0， F (, ) 1
3.F ( x, y ) F ( x 0, y ), F ( x, y ) F ( x, y 0) 4.对任意（x1 , y1）( x2 , y2 ), x1 x2 , y1 y2 .有 , F ( x2 , y2 ) F（x2 , y1） F（x1 , y1） F（x1 , y2） 0
4. 若 f ( x, y) 在点( x, y) 连续则有 ,
3.设 G 是 x O y 平面上的一个区域 ( X , Y ) 落在G 内的概率为 ,点
P{(X , Y ) G} f ( x, y)d x d y
G
例2 设二维随机变量（X，Y）具有概率密度
称为随机变量
( X ,Y )
是连续型的二维随机变量, 函数
( X ,Y )
的概率密度, 或
称为随机变量
X
和 的联合概率密度
Y
f 按定义概率密度( x, y) 具有以下基本 : 性质
1. f ( x, y) 0 . 2.
f ( x, y)d x d y F (, ) 1.
例1 设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可
能地取一个值，另一个随机变量Y在1～X中等 可能取一整数值，试求(X,Y)的分布律。
离散型随机变量X和Y的联合分布函数： F ( x, y ) pij pij
xi x
对满足xi x, y j y的 ( xi , y j ) 对应的概率求和。
分布函数的基本性质：
1.F ( x, y )是变量x和y的不减函数； 2.0 F ( x, y ) 1 且F (, y ) lim F ( x, y ) 0
x
F ( x,) 0, F (,) 0， F (, ) 1
3.F ( x, y ) F ( x 0, y ), F ( x, y ) F ( x, y 0) 4.对任意（x1 , y1）( x2 , y2 ), x1 x2 , y1 y2 .有 , F ( x2 , y2 ) F（x2 , y1） F（x1 , y1） F（x1 , y2） 0
二维随机变量的数字特征.ppt
三、协方差矩阵
中心矩 c Cov( X , X ) E {[ X E ( X X E ( X )] ij i j i i)][ j j
i ,j 1 , 2 , , n
设 n 维随机变量 ( X , X , , X ) 的二阶 1 2 n
则称矩阵 c 都存在 , c12 c1n 11 c21 c22 c2n C c c c n1 n2 nn
yf ( x ,y ) dxdy (y ) dy Y yf
二维离散型随机变量(X，Y )，其函数的期望
E ( Z ) E ( g ( X , Y )) g ( x , y ) p i j i j
i j
二维连续型随机变量(X，Y )，其函数的期望
推广
n 维随机变量 ( X ,X , ,X ) 的概率密 1 2 n
p ( x , x , , x ) 示为 1 2 n 1 1 T 1 n exp ( X μ ) C ( X μ ) . 2 1 2 2 ( 2 π )(det C )
T 其中 X ( x , x , , x ) , 1 2 n
i j i
E ( Y ) yj p yj p ij Y(y j)
i j j
2o 当(X，Y )为二维离散型随机变量时
E ( X ) E ( Y )
xf ( x ,y ) dxdy ( x ) dx X xf
协方差的计算公式
D ( X Y ) E {[( X Y ) E ( X Y )] }
2
概率论二维随机变量
联合概率密度函数法
对于连续型随机变量，可以通过联合概率密度函数积分计算边缘分布的概率密 度函数。
边缘分布的应用场景
统计推断
在统计分析中，常常需要利用边缘分布来推断另 一个随机变量的统计性质，如均值、方差等。
概率模型简化
在复杂概率模型中，可以通过计算边缘分布来简 化模型，便于分析和计算。
数据处理
在处理多维数据时，可以利用边缘分布来提取单 维数据，进行进一步的分析和处理。
条件概率与条件期望
条件概率
在概率论中，条件概率是指在某个条件下的概率。对于二维随机变量，条件概率是指在给定某个变量的条件下， 另一个变量的概率分布。
条件期望
条件期望是指在给定某个变量的条件下，另一个变量的期望值。在二维随机变量中，条件期望是指在给定某个变 量的条件下，另一个变量的加权平均值。
05
例如温度和压力的联合分布。
02
二维随机变量的定义与性质
二维随机变量的定义
1 2
定义
二维随机变量是两个随机变量的组合，通常表示 为 (X, Y)，其中 X 和 Y 都是随机变量。
定义域
二维随机变量的定义域是 X 和 Y 的取值范围的 组合，通常表示为 D，D 是实数域 R 的子集。
3
概率空间
二维随机变量是概率空间的一个元素，概率空间 由样本空间、事件域和概率函数组成。
联合概率分布满足概率的基本性质，即非 负性、归一性和可加性。
03
二维随机变量的期望与方差
二维随机变量的期望
01
02
03
定义
二维随机变量的期望是所 有可能取值的概率加权和。
计算公式
E(X,Y)=∫−∞∞∫−∞∞(x,y )f(x,y)dxdy，其中f(x,y)是 联合概率密度函数。
对于连续型随机变量，可以通过联合概率密度函数积分计算边缘分布的概率密 度函数。
边缘分布的应用场景
统计推断
在统计分析中，常常需要利用边缘分布来推断另 一个随机变量的统计性质，如均值、方差等。
概率模型简化
在复杂概率模型中，可以通过计算边缘分布来简 化模型，便于分析和计算。
数据处理
在处理多维数据时，可以利用边缘分布来提取单 维数据，进行进一步的分析和处理。
条件概率与条件期望
条件概率
在概率论中，条件概率是指在某个条件下的概率。对于二维随机变量，条件概率是指在给定某个变量的条件下， 另一个变量的概率分布。
条件期望
条件期望是指在给定某个变量的条件下，另一个变量的期望值。在二维随机变量中，条件期望是指在给定某个变 量的条件下，另一个变量的加权平均值。
05
例如温度和压力的联合分布。
02
二维随机变量的定义与性质
二维随机变量的定义
1 2
定义
二维随机变量是两个随机变量的组合，通常表示 为 (X, Y)，其中 X 和 Y 都是随机变量。
定义域
二维随机变量的定义域是 X 和 Y 的取值范围的 组合，通常表示为 D，D 是实数域 R 的子集。
3
概率空间
二维随机变量是概率空间的一个元素，概率空间 由样本空间、事件域和概率函数组成。
联合概率分布满足概率的基本性质，即非 负性、归一性和可加性。
03
二维随机变量的期望与方差
二维随机变量的期望
01
02
03
定义
二维随机变量的期望是所 有可能取值的概率加权和。
计算公式
E(X,Y)=∫−∞∞∫−∞∞(x,y )f(x,y)dxdy，其中f(x,y)是 联合概率密度函数。
概率论与数理统计图文课件最新版-第3章-第1节-二维随机变量
0
x 0, y 0 其它
求: (1) 分布函数 F( x, y)
(2) ( X ,Y )落在G内的概率
其中 G: x y 1 及 x 轴、y 轴所围区域
解: (1) Q
x
F(x, y)
y
f ( x, y)dxdy
当 x 0, y 0 时
xy
F( x, y)
0 dx 0
当 x2 x1 时 F ( x2 , y) F ( x1, y)
对固定的y, X是非减的
当 y2 y1 时 F ( x, y2 ) F ( x, y1 )
对固定的x, y是非减的
性质2 F(x,y) 对每个自变量 x 或 y 是右连续的，
即:
lim
x x0
F
(
x,
y)
F(
x0
,
y)
lim
y y0
FX ( x), FY ( y) 那么它们分别各自又有什么特征呢?
概率统计
注 ▲ X ,Y 均要求定义在同一个样本空间S上. ▲ (X,Y ) 的性质不仅与 X及 Y有关，而且
还依赖于这两个随机变量的相互关系.
概率统计
▲ (X ,Y ) 的几何解释:
y
(X,Y )
0
x
或: e
S
X (e) Y (e)
给出 (X,Y )
平面上的一个随机点(随机向量)
概率统计
定义2 (二维随机变量的分布函数) 设 ( X , Y )是二维
1
dx
1 x
G
e( x y)dy
1
2e 1
0.2642
0
0
以上关于离散型或连续型随机变量的