2020-2021学年度高三下学期总复习数学专题精品试题专题十五圆锥曲线的综合问题

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2021年3月新高考数学复习资料§9.6圆锥曲线的综合问题试题及参考答案

§9.6 圆锥曲线的综合问题基础知识专题固本夯基【基础训练】考点一曲线与方程1.设k>1,则关于x,y 的方程(1-k)x 2+y 2＝k 2-1所表示的曲线是( )A.长轴在x 轴上的椭圆B.长轴在y 轴上的椭圆C.实轴在x 轴上的双曲线D.实轴在y 轴上的双曲线【参考答案】D2.已知A(-1,0),B(1,0)两点,过动点M 作x 轴的垂线,垂足为N,若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2＝λAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则当λ<0时,动点M 的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【参考答案】C3.设三个数√(x -√2)2+y 2,√3,√(x +√2)2+y 2成等差数列,记(x,y)对应点的曲线是C.求曲线C 的方程. 【试题解析】依题意得√(x -√2)2+y 2+√(x +√2)2+y 2＝2√3,所以点P(x,y)到点M(√2,0)与点N(-√2,0)的距离之和为2√3,注意到|MN|＝2√2<2√3,所以点P 的轨迹是以M,N 为焦点的椭圆,所对应的椭圆中{a ＝√3,c ＝√2,故b ＝1,故曲线C 的方程为x 23+y 2＝1.4.已知圆M:(x+1)2+y 2＝1,圆N:(x-1)2+y 2＝9,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C.求C 的方程.【试题解析】由已知得圆M 的圆心为M(-1,0),半径r 1＝1;圆N 的圆心为N(1,0),半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P(x,y),半径为R. 因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,所以|PM|+|PN|＝(R+r 1)+(r 2-R)＝r 1+r 2＝4>|MN|.由椭圆的定义可知,曲线C 是以M 、N 为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为√3的椭圆(左顶点除外),其方程为x 24+y 23＝1(x ≠-2).考点二定点与定值问题5.已知抛物线y 2＝4x 上的两点A,B,O 为坐标原点,且OA ⊥OB,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1x 2的值是( )A.4B.8C.12D.16 【参考答案】D6.已知直线l 与双曲线x 24-y 2＝1相切于点P,l 与双曲线的两条渐近线交于M,N 两点,则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.3 B.4C.5D.与P 的位置有关【参考答案】A7.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2＝1(a>b>0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(-1,√32),P 4(1,√32)中恰有三点在椭圆C 上.(1)求C 的方程;(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1,证明:l 过定点. 【试题解析】本题考查了圆锥曲线的方程以及圆锥曲线与直线位置关系中的定点问题. (1)由于P 3,P 4两点关于y 轴对称,故由题设知C 经过P 3,P 4两点.又由1a 2+1b 2>1a 2+34b 2知,C不经过点P 1,所以点P 2在C 上.因此{1b2＝1,1a 2+34b2＝1,解得{a 2＝4,b 2＝1.故C 的方程为x 24+y 2＝1.(2)设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1,k 2.如果l 与x 轴垂直,设l:x ＝t,由题设知t ≠0,且|t|<2,可得A,B 的坐标分别为(t,√4-t 22),(t,-√4-t 22).则k 1+k 2＝√4-t 2-22t-√4-t 2+22t＝-1,得t ＝2,不符合题设.从而可设l:y ＝kx+m(m ≠1).将y ＝kx+m 代入x 24+y 2＝1得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2-4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2-m 2+1)>0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 2＝-8km 4k 2+1,x 1x 2＝4m 2-44k 2+1.而k 1+k 2＝y 1-1x 1+y 2-1x 2＝kx 1+m -1x 1+kx 2+m -1x 2 ＝2kx 1x 2+(m -1)(x 1+x 2)x 1x 2,由题设k 1+k 2＝-1,故(2k+1)x 1x 2+(m-1)(x 1+x 2)＝0. 即(2k+1)·4m 2-44k 2+1+(m-1)·-8km4k 2+1＝0.解得k ＝-m+12. 当且仅当m>-1时,Δ>0,于是l:y ＝-m+12x+m, 即y+1＝-m+12(x-2), 所以l 过定点(2,-1).方法总结求解轨迹方程的步骤:①建系、设点→②列式(列出动点所满足的几何等量关系式)→③坐标化(选用合适的公式表示几何等量关系)→④化简(注意化简前后的等价性)→⑤检验(去伪存真).考点三最值与范围问题8.若a>1,则双曲线x 2a2-y 2＝1的离心率的取值范围是( )A.(√2,+∞)B.(√2,2)C.(1,√2)D.(1,2) 【参考答案】C9.已知双曲线x 23-y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2,P 为双曲线右支上一点,点Q 的坐标为(-2,3),则|PQ|+|PF 1|的最小值为 . 【参考答案】5+2√310.已知F 是双曲线C:x 2-y 28＝1的右焦点,P 是C 的左支上一点,A(0,6√6).当△APF 周长最小时,该三角形的面积为 .【参考答案】12√6考点四存在性问题11.(2019辽宁抚顺模拟,21)已知定点C(-1,0)及椭圆x 2+3y 2＝5,过点C 的动直线与椭圆相交于A,B 两点.(1)若线段AB 中点的横坐标是-12,求直线AB 的方程;(2)在x 轴上是否存在点M,使MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 【试题解析】(1)依题意,直线AB 的斜率存在, 设直线AB 的方程为y ＝k(x+1), 将y ＝k(x+1)代入椭圆方程x 2+3y 2＝5,消去y 整理得(3k 2+1)x 2+6k 2x+3k 2-5＝0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{Δ＝36k 4-4(3k 2+1)(3k 2-5)>0,①x 1+x 2＝-6k 23k 2+1.②由线段AB中点的横坐标是-12,得x 1+x 22＝-3k 23k 2+1＝-12,解得k ＝±√33,适合①,所以直线AB 的方程为x-√3y+1＝0或x+√3y+1＝0. (2)假设在x 轴上存在点M(m,0),使MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数. ①当直线AB 与x 轴不垂直时, 由(1)知x 1+x 2＝-6k 23k 2+1,x 1x 2＝3k 2-53k 2+1,③所以MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(x 1-m)(x 2-m)+y 1y 2 ＝(x 1-m)(x 2-m)+k 2(x 1+1)(x 2+1)＝(k 2+1)x 1x 2+(k 2-m)(x 1+x 2)+k 2+m 2.将③代入,整理得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(6m -1)k2-53k 2+1+m 2＝(2m -13)(3k 2+1)-2m -1433k 2+1+m 2＝m 2+2m-13-6m+143(3k 2+1).注意到MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是与k 无关的常数,从而有6m+14＝0,m ＝-73,此时MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝49.②当直线AB 与x 轴垂直时,点A,B 的坐标分别为(-1,2√33),(-1,-2√33), 当m ＝-73时,亦有MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝49.综上,在x 轴上存在定点M (-73,0),使MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数.综合篇知能转换【综合集训】考法一有关轨迹方程问题的求法1.(2019安徽五校联盟第二次质检,4)√x 2+(y -3)2-√x 2+(y +3)2＝4表示的曲线方程为( ) A.x 24-y 25＝1(x ≤-2) B.x 24-y 25＝1(x ≥2) C.y 24-x 25＝1(y ≤-2) D.y 24-x 25＝1(y ≥2) 【参考答案】C2.(2018山西临汾模拟,9)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2＝1(a>b>0)的左,右顶点分别为A,B,点M,N 是椭圆C 上关于长轴对称的两点,若直线AM 与BN 相交于点P,则点P 的轨迹方程是( ) A.x ＝±a(y≠0) B.y 2＝2b(|x|-a)(y ≠0)C.x 2+y 2＝a 2+b 2(y ≠0) D.x 2a 2-y 2b2＝1(y ≠0)【参考答案】D3.(2019广东六校第一次联考(节选))已知圆C:(x+1)2+y 2＝36与定点M(1,0),动圆I 过M 点且与圆C 相切.求动圆圆心I 的轨迹E的方程.【试题解析】设圆I 的半径为r,由题意可知,点I 满足 |IC|＝6-r,|IM|＝r, 所以|IC|+|IM|＝6,由椭圆的定义知点I 的轨迹为以C,M 为焦点的椭圆,且a ＝3,c ＝1, 所以b ＝2√2,故轨迹E 的方程为x 29+y 28＝1.考法二圆锥曲线中的定点、定值问题的求解方法4.(2019重庆巴蜀中学模拟,21)如图,在平面直角坐标系中,已知点F(1,0),过直线l:x ＝2左侧的动点P 作PH ⊥l 于点H,∠HPF 的平分线交x 轴于点M,且PH ＝√2MF,记动点P 的轨迹为曲线Q. (1)求曲线Q 的方程.(2)过点F 作直线m 交曲线Q 于A,B 两点,点C 在l 上,且BC ∥x 轴,试问:直线AC 是否恒过定点?请说明理由.【试题解析】(1)设P(x,y),∵PH⊥l,∴PH∥OM, 故∠HPM ＝∠PMF,又PM 平分∠HPF,∴∠FPM ＝∠HPM, ∴∠FPM ＝∠PMF,∴|MF|＝|PF|,∴|PF||PH|＝|MF||PH|＝√22.即√(x -1)2+y 2|x -2|＝√22,即曲线Q 的方程为x 22+y 2＝1.(2)过定点.理由:由题意知:直线m 的斜率不为0,可设直线m 的方程为x ＝ty+1.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 联立{x ＝ty +1,x 2+2y 2＝2,化为(t 2+2)y 2+2ty-1＝0,Δ>0成立.∴y 1+y 2＝-2t t 2+2,y 1y 2＝-1t 2+2,x 1＝ty 1+1. ∴直线AC 的斜率k ＝y 1-y 2x 1-2,方程为y-y 2＝y 1-y 2x 1-2(x-2).即y ＝y 1-y 2x 1-2[x -2+y 2(x 1-2)y 1-y 2].又y 2(x 1-2)y 1-y 2＝y 2(ty 1-1)-2t t 2+2-2y 2＝y 2+tt 2+22(t t 2+2+y 2)＝12. ∴y ＝y 1-y 2x 1-2(x -2+12),即y ＝y 1-y 2x 1-2(x -32).∴直线AC 恒过定点(32,0),经验证,当斜率不存在时直线AC 也经过点(32,0),符合题意.考法三圆锥曲线中的最值(范围)问题的求解方法5.(2018清华大学中学生标准学术能力诊断测试(11月))设P 是椭圆x 2169+y 225＝1上一点,M,N 分别是两圆:(x+12)2+y 2＝1和(x-12)2+y 2＝1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为( )A.18,24B.16,22C.24,28D.20,26 【参考答案】C6.(2019陕西宝鸡中学二模,11)已知抛物线x 2＝16y 的焦点为F,双曲线x 24-y 25＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 是双曲线右支上一点,则|PF|+|PF 1|的最小值为( ) A.5 B.7 C.9 D.11 【参考答案】C7.(2018宁夏银川4月检测)已知动点P 到定点F(1,0)和到直线x ＝2的距离之比为√22,设动点P 的轨迹为曲线E,过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A 、B 两点,直线l:y ＝mx+n 与曲线E 交于C,D 两点,与AB 相交于一点(交点位于线段AB 上,且不与A,B 重合).(1)求曲线E 的方程;(2)当直线l 与圆x 2+y 2＝1相切时,四边形ACBD 的面积是否有最大值?若有,求出其最大值及对应的直线l 的方程;若没有,请说明理由.【试题解析】(1)设点P(x,y),由题意,可得√(x -1)2+y 2|x -2|＝√22,得x 22+y 2＝1.∴曲线E 的方程是x 22+y 2＝1.(2)设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),由条件可得|AB|＝√2. 当m ＝0时,显然不合题意.当m ≠0时,∵直线l 与圆x 2+y 2＝1相切,∴|n|2＝1,得n 2＝m 2+1.联立{y ＝mx +n,x 22+y 2＝1,消去y 得(m 2+12)x 2+2mnx+n 2-1＝0,则Δ＝4m 2n 2-4(m 2+12)(n 2-1)＝2m 2>0,x 1+x 2＝-4mn 2m 2+1,x 1x 2＝2(n 2-1)2m 2+1, S 四边形ACBD ＝12|AB|·|x 1-x 2|＝2|m|2m 2+1＝22|m|+1|m|≤√22,当且仅当2|m|＝1|m|,即m ＝±√22时等号成立,此时n ＝±√62.经检验可知,直线y ＝√22x-√62和直线y ＝-√22x+√62都符合题意.考法四存在性问题8.(2019内蒙古通辽五中模拟,20)已知椭圆x 2a 2+y 2b2＝1(a>b>0)的离心率e ＝√63,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为√32.(1)求椭圆的方程;(2)已知定点E(-1,0),若直线y ＝kx+2(k ≠0)与椭圆交于C 、D 两点,问:是否存在这样的实数k,使得以CD 为直径的圆过E 点?若存在,请求出k 值,若不存在,请说明理由. 【试题解析】(1)直线AB 的方程为bx-ay-ab ＝0, 依题意可得{ c a ＝√63,a 2+b √32,又c 2＝a 2-b 2,解得a 2＝3,b 2＝1,∴椭圆的方程为x 23+y 2＝1.(2)存在,k ＝76.理由:假设存在这样的实数k,由{y ＝kx +2,x 2+3y 2-3＝0,得(1+3k 2)x 2+12kx+9＝0,∴Δ＝(12k)2-36(1+3k 2)>0.① 设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2), 则{x 1+x 2＝-12k1+3k 2,②x 1·x 2＝91+3k 2,③y 1·y 2＝(kx 1+2)(kx 2+2)＝k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4, 要使以CD 为直径的圆过点E(-1,0),只需CE ⊥DE, 即y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)＝0,∴(k 2+1)x 1x 2+(2k+1)(x 1+x 2)+5＝0,④ 将②③代入④整理得k ＝76,经验证,k ＝76时,①成立.故存在k ＝76使得以CD 为直径的圆过点E.【5年高考】考点一曲线与方程1.(2019课标全国Ⅱ,21,12分)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为-12.记M 的轨迹为曲线C. (1)求C 的方程,并说明C 是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C 于P,Q 两点,点P 在第一象限,PE ⊥x 轴,垂足为E,连接QE 并延长交C 于点G. (i)证明:△PQG 是直角三角形; (ii)求△PQG 面积的最大值.【试题解析】本题主要考查轨迹方程的求法,直线与椭圆的位置关系,两条直线的位置关系,弦长问题,三角形的面积以及基本不等式的应用等相关知识;通过对三角形形状的判断以及面积最值的求解考查学生的知识迁移能力、运算求解能力及函数思想方法的应用;体现了逻辑推理和数学运算的核心素养. (1)由题设得y x+2·y x -2＝-12,化简得x 24+y 22＝1(|x|≠2),所以C 为中心在坐标原点,焦点在x 轴上的椭圆,不含左右顶点.(2)(i)证明:设直线PQ 的斜率为k,则其方程为y ＝kx(k>0). 由{y ＝kx,x 24+y 22＝1得x ＝±√1+2k .记u ＝1+2k ,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直线QG 的斜率为k 2,方程为y ＝k 2(x-u).由{y ＝k2(x -u),x 24+y22＝1得(2+k 2)x 2-2uk 2x+k 2u 2-8＝0.①设G(x G ,y G ),则-u 和x G 是方程①的解,故x G ＝u(3k 2+2)2+k 2,由此得y G ＝uk 32+k 2.从而直线PG的斜率为uk 32+k2-uk u(3k 2+2)2+k2-u ＝-1k .所以PQ ⊥PG,即△PQG 是直角三角形. (ii)由(i)得|PQ|＝2u √1+k 2,|PG|＝2uk √k 2+12+k 2,所以△PQG 的面积S ＝12|PQ||PG|＝8k(1+k 2)(1+2k 2)(2+k 2)＝8(1k +k )1+2(1k +k )2.设t ＝k+1k,则由k>0得t ≥2,当且仅当k ＝1时取等号. 因为S ＝8t1+2t 2在[2,+∞)单调递减,所以当t ＝2,即k ＝1时,S 取得最大值,最大值为169.因此,△PQG 面积的最大值为169.思路分析 (1)利用直线AM 与BM 的斜率之积为-12求得曲线C 的轨迹方程,从而得出曲线C 的轨迹.(2)(i)设出直线PQ 的方程,联立椭圆方程,求得点P 、Q 的坐标,由Q 、E 的坐标得出直线QG 的方程,联立椭圆方程,得出点G 的坐标,进而表示出直线PG 的斜率,从而得出结论.(ii)利用弦长公式求出|PQ|与|PG|的表达式,从而将三角形的面积表示成关于k 的函数,进而利用函数思想求其最大值.解题关键 ①利用方程思想得出点P 、Q 的坐标,进而利用换元法及整体代换法简化运算过程是顺利解决本题的关键;②正确利用基本不等式及函数单调性是求解△PQG 面积最值的关键.2.(2017课标全国Ⅱ,20,12分)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C:x 22+y 2＝1上,过M 作x 轴的垂线,垂足为N,点P 满足NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝√2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 在直线x ＝-3上,且OP⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝1.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 【试题解析】本题考查了求轨迹方程的基本方法和定点问题. (1)设P(x,y),M(x 0,y 0),则N(x 0,0),NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(x-x 0,y),NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,y 0). 由NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝√2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得x 0＝x,y 0＝√22y. 因为M(x 0,y 0)在C 上,所以x 22+y 22＝1. 因此点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝2.(2)证明:由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(-3,t),PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(-1-m,-n),OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝3+3m-tn,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(m,n),PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(-3-m,t-n).由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝1得-3m-m 2+tn-n 2＝1,又由(1)知m 2+n 2＝2,故3+3m-tn ＝0.所以OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0,即OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF⃗⃗⃗⃗⃗ . 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.思路分析 (1)设出P 、M 的坐标,利用NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝√2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得到P 、M 坐标间的关系,由点M 在C 上求解.(2)利用向量的坐标运算得OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0,进而证明直线l 过曲线C 的左焦点F. 方法总结求轨迹方程的方法有直接法和间接法.直接法有定义法、待定系数法和直译法.间接法有相关点法、交轨法和参数法. 3.(2016课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y 2＝2x 的焦点为F,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A,B 两点,交C 的准线于P,Q 两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ;(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程. 【试题解析】由题设知F (12,0).设l 1:y ＝a,l 2:y ＝b,则ab ≠0, 且A (a 22,a),B (b 22,b),P (-12,a),Q (-12,b),R (-12,a+b2). 记过A,B 两点的直线为l,则l 的方程为2x-(a+b)y+ab ＝0.(3分) (1)由于F 在线段AB 上,故1+ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1,FQ 的斜率为k 2,则 k 1＝a -b 1+a 2＝a -b a 2-ab ＝1a ＝-aba＝-b ＝k 2. 所以AR ∥FQ.(5分)(2)设l 与x 轴的交点为D(x 1,0),则S △ABF ＝12|b-a||FD|＝12|b-a||x 1-12|,S △PQF ＝|a -b|2. 由题设可得2×12|b-a||x 1-12|＝|a -b|2, 所以x 1＝0(舍去),或x 1＝1.(8分) 设满足条件的AB 的中点为E(x,y). 当AB 与x 轴不垂直时,由k AB ＝k DE 可得2a+b ＝yx -1(x ≠1). 而a+b2＝y,所以y 2＝x-1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合.所以,所求轨迹方程为y 2＝x-1.(12分)疑难突破第(1)问求解关键是把AR ∥FQ 的证明转化为k AR ＝k FQ 的证明;第(2)问需找到AB 中点所满足的几何条件,从而将其转化为等量关系.在利用斜率表示几何等量关系时应注意分类讨论思想的应用.4.(2015湖北,21,14分)一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且DN ＝ON ＝1,MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内做往复运动时,带动··N 绕O 转动一周(D 不动时,N 也不动),M 处的笔尖画出的曲线记为C.以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (1)求曲线C 的方程;(2)设动直线l 与两定直线l 1:x-2y ＝0和l 2:x+2y ＝0分别交于P,Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.图1 图2【试题解析】(1)设点D(t,0)(|t|≤2),N(x 0,y 0),M(x,y),依题意,MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝|ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝1,所以(t-x,-y)＝2(x 0-t,y 0),且{(x 0-t)2+y 02＝1,x 02+y 02＝1.即{t -x ＝2x 0-2t,y ＝-2y 0,且t(t-2x 0)＝0.由于当点D 不动时,点N 也不动,所以t 不恒等于0, 于是t ＝2x 0,故x 0＝x4,y 0＝-y 2,代入x 02+y 02＝1,可得x 216+y 24＝1,即曲线C 的方程为x 216+y 24＝1.(2)(i)当直线l 的斜率不存在时,直线l 为x ＝4或x ＝-4,都有S △OPQ ＝12×4×4＝8. (ii)当直线l 的斜率存在时,设直线l:y ＝kx+m (k ≠±12),由{y ＝kx +m,x 2+4y 2＝16,消去y,可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-16＝0. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点,所以Δ＝64k 2m 2-4(1+4k 2)(4m 2-16)＝0,即m 2＝16k 2+4.①又由{y ＝kx +m,x -2y ＝0,可得P (2m 1-2k ,m1-2k);同理可得Q (-2m 1+2k ,m1+2k). 由原点O 到直线PQ 的距离为d ＝|m|1+k 和|PQ|＝√1+k 2·|x P -x Q |,可得S △OPQ ＝12|PQ|·d ＝12|m||x P -x Q | ＝12·|m|·|2m 1-2k+2m 1+2k |＝|2m 21-4k 2|.② 将①代入②得,S △OPQ ＝|2m 21-4k2|＝8|4k 2+1||4k 2-1|. 当k 2>14时,S △OPQ ＝8·4k 2+14k 2-1＝8(1+24k 2-1)>8;当0≤k2<14时,S △OPQ ＝8·4k 2+11-4k 2＝8(-1+21-4k 2). 因0≤k 2<14,则0<1-4k 2≤1,21-4k 2≥2,所以S △OPQ ＝8(-1+21-4k 2)≥8,当且仅当k ＝0时取等号.所以当k ＝0时,S △OPQ 的最小值为8.综合(i)(ii)可知,当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值8. 评析本题考查求轨迹方程的方法,及直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识.考点二定点与定值问题5.(2019课标全国Ⅲ,21,12分)已知曲线C:y ＝x 22,D 为直线y ＝-12上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A,B. (1)证明:直线AB 过定点;(2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.【试题解析】本题考查直线与抛物线相切,弦的中点,直线与圆相切等知识点,通过直线与抛物线的方程运算,考查了学生在解析几何中的运算求解能力,以直线与抛物线相切为背景考查了数学运算的核心素养.(1)证明:设D (t,-12),A(x 1,y 1),则x 12＝2y 1.由于y'＝x,所以切线DA 的斜率为x 1,故y 1+12x 1-t＝x 1.整理得2tx 1-2y 1+1＝0.设B(x 2,y 2),同理可得2tx 2-2y 2+1＝0. 故直线AB 的方程为2tx-2y+1＝0. 所以直线AB 过定点(0,12).(2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx+12.由{y ＝tx +12,y ＝x 22可得x 2-2tx-1＝0.于是x 1+x 2＝2t,x 1x 2＝-1,y 1+y 2＝t(x 1+x 2)+1＝2t 2+1,|AB|＝√1+t 2|x 1-x 2|＝√1+t 2×√(x 1+x 2)2-4x 1x 2＝2(t 2+1).设d 1,d 2分别为点D,E 到直线AB 的距离,则d 1＝√t 2+1,d 2＝22.因此,四边形ADBE 的面积S ＝12|AB|(d 1+d 2)＝(t 2+3)√t 2+1. 设M 为线段AB 的中点,则M (t,t 2+12).由于EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,而EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(t,t 2-2),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量(1,t)平行, 所以t+(t 2-2)t ＝0.解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时,S ＝3;当t ＝±1时,S ＝4√2. 因此,四边形ADBE 的面积为3或4√2.解题关键 (1)设出A 、B 坐标,求导、列等式是解题的突破口.(2)由(1)得出AB 的方程,用坐标表示出EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求AB 方程中的参数是关键.6.(2018北京,19,14分)已知抛物线C:y 2＝2px 经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A,B,且直线PA交y 轴于M,直线PB 交y 轴于N. (1)求直线l 的斜率的取值范围;(2)设O 为原点,QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝μQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1λ+1μ为定值. 【试题解析】(1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2),所以2p ＝4,即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x,由题意知,直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx+1(k ≠0). 由{y 2＝4x,y ＝kx +1得k 2x 2+(2k-4)x+1＝0.依题意Δ＝(2k-4)2-4×k 2×1>0,解得k<0或0<k<1. 又PA,PB 与y 轴相交,故直线l 不过点(1,-2). 从而k ≠-3.所以直线l 斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1). (2)证明:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 由(1)知x 1+x 2＝-2k -4k2,x 1x 2＝1k 2.直线PA 的方程为y-2＝y 1-2x 1-1(x-1).令x ＝0,得点M 的纵坐标为y M ＝-y 1+2x 1-1+2＝-kx 1+1x 1-1+2. 同理得点N 的纵坐标为y N ＝-kx 2+1x 2-1+2. 由QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝μQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得λ＝1-y M ,μ＝1-y N . 所以1λ+1μ＝11-y M +11-y N ＝x 1-1(k -1)x 1+x 2-1(k -1)x 2＝1k -1·2x 1x 2-(x 1+x 2)x 1x 2＝1k -1·2k2+2k -4k 21k2＝2. 所以1λ+1μ为定值.方法总结圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题设条件,得出与代数式有关的等式,化简即可得出定值;(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的表达式,再利用题设条件化简、变形求得;(3)求某线段长度为定值.利用两点间的距离公式求得线段长度的表达式,再依据条件对表达式进行化简、变形即可求得.考点三最值与范围问题7.(2019北京,8,5分)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x 2+y 2＝1+|x|y 就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点); ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2; ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中,所有正确结论的序号是( )A.①B.②C.①②D.①②③ 【参考答案】C8.(2015四川,10,5分)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A,B 两点,与圆(x-5)2+y 2＝r 2(r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 【参考答案】D9.(2016课标全国Ⅱ,20,12分)已知椭圆E:x 2t +y 23＝1的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E 于A,M 两点,点N 在E 上,MA ⊥NA.(1)当t ＝4,|AM|＝|AN|时,求△AMN 的面积; (2)当2|AM|＝|AN|时,求k 的取值范围. 【试题解析】(1)设M(x 1,y 1),则由题意知y 1>0. 当t ＝4时,E 的方程为x 24+y 23＝1,A(-2,0). 由已知及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角为π4. 因此直线AM 的方程为y ＝x+2. 将x ＝y-2代入x 24+y 23＝1得7y 2-12y ＝0.解得y ＝0或y ＝127,所以y 1＝127. 因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449. (2)由题意,t>3,k>0,A(-√t ,0).将直线AM 的方程y ＝k(x+√t ) 代入x 2t +y 23＝1得(3+tk 2)x 2+2√t ·tk 2x+t 2k 2-3t ＝0.由x 1·(-√t )＝t 2k 2-3t 3+tk2得x 1＝√t(3-tk 2)3+tk2,故|AM|＝|x 1+ √t |√1+k 2＝6√t(1+k 2)3+tk 2.由题设,直线AN 的方程为y ＝-1k (x+√t ),故同理可得|AN|＝6k √t(1+k 2)3k 2+t . 由2|AM|＝|AN|得23+tk2＝k 3k 2+t,即(k 3-2)t ＝3k(2k-1).当k ＝√23时上式不成立,因此t ＝3k(2k -1)k 3-2.t>3等价于k 3-2k 2+k -2k 3-2＝(k -2)(k 2+1)k 3-2<0,即k -2k 3-2<0.由此得{k -2>0,k 3-2<0或{k -2<0,k 3-2>0,解得√23<k<2. 因此k 的取值范围是(√23,2).解题关键第(1)问中求出直线AM 的倾斜角是解决问题的关键;第(2)问利用2|AM|＝|AN|得出t 与k 的关系式,由t>3,建立关于k 的不等式,从而得出k 的取值范围.10.(2019浙江,21,15分)如图,已知点F(1,0)为抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点.过点F 的直线交抛物线于A,B 两点,点C 在抛物线上,使得△ABC 的重心G 在x 轴上,直线AC 交x 轴于点Q,且Q 在点F 的右侧.记△AFG,△CQG 的面积分别为S 1,S 2. (1)求p 的值及抛物线的准线方程; (2)求S1S 2的最小值及此时点G 的坐标.【试题解析】本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.体现了数学抽象的核心素养和转化与化归的思想方法. (1)由题意得p 2＝1,即p ＝2. 所以,抛物线的准线方程为x ＝-1.(2)设A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),C(x C ,y C ),重心G(x G ,y G ).令y A ＝2t,t ≠0,则x A ＝t 2.由于直线AB 过F,故直线AB 方程为x ＝t 2-12ty+1,代入y2＝4x,得y 2-2(t 2-1)ty-4＝0,故2ty B ＝-4,即y B ＝-2t ,所以B (1t 2,-2t ).又由于x G ＝13(x A +x B +x C ),y G ＝13(y A +y B +y C )及重心G 在x 轴上,故2t-2t+y C ＝0, 得C ((1t-t)2,2(1t-t)),G (2t 4-2t 2+23t 2,0). 所以,直线AC 方程为y-2t ＝2t(x-t 2),得Q(t 2-1,0).由于Q 在焦点F 的右侧,故t 2>2.从而S 1S 2＝12|FG|·|y A |12|QG|·|y C |＝|2t 4-2t 2+23t 2-1|·|2t||t 2-1-2t 4-2t 2+23t 2|·|2t -2t |＝2t 4-t 2t 4-1＝2-t 2-2t 4-1. 令m ＝t 2-2,则m>0,S 1S 2＝2-m m 2+4m+3＝2-1m+3m +4≥2-2√m ·3m +4＝1+√32.当m ＝√3时,S1S 2取得最小值1+√32,此时G(2,0).思路分析 (1)根据抛物线定义知p 2＝1,得到准线方程x ＝-1.(2)要求S 1S 2的最小值,需要将S 1S 2用基本量表示出来,从点的关系出发,设A(x A ,y A ),合理选择参数t 表示A(t 2,2t),t ≠0,由直线AB 过F 得到AB 方程,求出B 点坐标,再由△ABC 的重心G 在x 轴上,求出C 点和G 点坐标,进而求出Q 点坐标,然后就可以表示出S 1S 2,进而求出其最小值.11.(2018浙江,21,15分)如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线C:y 2＝4x 上存在不同的两点A,B 满足PA,PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M,证明:PM 垂直于y 轴;(2)若P 是半椭圆x 2+y 24＝1(x<0)上的动点,求△PAB 面积的取值范围.【试题解析】本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.(1)证明:设P(x 0,y 0),A (14y 12,y 1),B (14y 22,y 2).因为PA,PB 的中点在抛物线上, 所以y 1,y 2为方程(y+y 02)2＝4·14y 2+x 02即y 2-2y 0y+8x 0-y 02＝0的两个不同的实根.所以y 1+y 2＝2y 0, 因此,PM 垂直于y 轴. (2)由(1)可知{y 1+y 2＝2y 0,y 1y 2＝8x 0-y 02,所以|PM|＝18(y 12+y 22)-x 0＝34y 02-3x 0, |y 1-y 2|＝2√2(y 02-4x 0).因此,S △PAB ＝12|PM|·|y 1-y 2|＝3√24(y 02-4x 0)32. 因为x 02+y 024＝1(x 0<0),所以y 02-4x 0＝-4x 02-4x 0+4∈[4,5].因此,△PAB 面积的取值范围是[6√2,15√104]. 疑难突破解析几何中“取值范围”与“最值”问题在解析几何中,求某个量(直线斜率,直线在x 、y 轴上的截距,弦长,三角形或四边形面积等)的取值范围或最值问题的关键是利用条件把所求量表示成关于某个变量(通常是直线斜率,动点的横、纵坐标等)的函数,并求出这个变量的取值范围(即函数的定义域),将问题转化为求函数的值域或最值.12.(2017山东,21,14分)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E:x 2a 2+y 2b2＝1(a>b>0)的离心率为√22,焦距为2.(1)求椭圆E 的方程;(2)如图,动直线l:y ＝k 1x-√32交椭圆E 于A,B 两点,C 是椭圆E 上一点,直线OC 的斜率为k 2,且k 1k 2＝√24.M 是线段OC 延长线上一点,且|MC|∶|AB|＝2∶3,☉M 的半径为|MC|,OS,OT 是☉M 的两条切线,切点分别为S,T.求∠SOT 的最大值,并求取得最大值时直线l 的斜率.【试题解析】本题考查椭圆的方程,直线与椭圆、圆的位置关系,考查最值的求解方法和运算求解能力. (1)由题意知e ＝c a＝√22,2c ＝2,所以a ＝√2,b ＝1,因此椭圆E 的方程为x 22+y 2＝1. (2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立{x 22+y 2＝1,y ＝k 1x -√32,消y 整理得(4k 12+2)x 2-4√3k 1x-1＝0,由题意知Δ>0,且x 1+x 2＝2√3k 12k 12+1,x 1x 2＝-12(2k 12+1),所以|AB|＝√1+k 12|x 1-x 2|＝√2√1+k 12√1+8k 121+2k 12.由题意可知圆M 的半径r ＝23|AB|＝2√23·√1+k 12√1+8k 122k 12+1. 由题设知k 1k 2＝√24,所以k 2＝√24k 1,因此直线OC 的方程为y ＝√24k 1x. 联立{x 22+y 2＝1,y ＝√24k 1x,得x 2＝8k 121+4k 12,y 2＝11+4k 12,因此|OC|＝√x 2+y 2＝√1+8k 121+4k 12.由题意可知sin∠SOT 2＝r r+|OC|＝11+|OC|r, 而|OC|r√1+8k 121+4k 122√23·12121+2k 123√24·12√1+4k 1√1+k 1,令t ＝1+2k 12,则t>1,1t∈(0,1),因此|OC|r ＝32·232·√2+1t -1t2＝32·1√-(1t -12)+94≥1,当且仅当1t ＝12,即t ＝2时等号成立,此时k 1＝±√22,所以sin ∠SOT 2≤12, 因此∠SOT 2≤π6,所以∠SOT 的最大值为π3.综上所述:∠SOT 的最大值为π3,取得最大值时直线l 的斜率k 1＝±√22.思路分析 (1)由离心率和焦距,利用基本量运算求解;(2)联立直线l 与椭圆方程,利用距离公式求出|AB|,联立直线OC 与椭圆方程求|OC|,进而建立sin∠SOT2与k 1之间的函数关系,利用二次函数的性质求解.疑难突破把角的问题转化为三角函数问题,即由sin∠SOT 2＝11+|OC|r＝f(k 1)求解是解题的突破口. 解题反思最值问题一般利用函数的思想方法求解,利用距离公式建立sin∠SOT2与k 1之间的函数关系是解题关键.牢固掌握基础知识和方法是求解的前提.本题的解答体现了数学知识、能力、思想、方法的完美结合.考点四存在性问题13.(2015课标Ⅱ,20,12分)已知椭圆C:9x 2+y 2＝m 2(m>0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 的中点为M.(1)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值;(2)若l 过点(m 3,m),延长线段OM 与C 交于点P,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率;若不能,说明理由. 【试题解析】(1)设直线l:y ＝kx+b(k ≠0,b ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ). 将y ＝kx+b 代入9x 2+y 2＝m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2＝0,故x M ＝x 1+x 22＝-kb k 2+9,y M ＝kx M +b ＝9bk 2+9. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝-9k,即k OM ·k ＝-9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. (2)四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点(m 3,m),所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0,k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝-9kx. 设点P 的横坐标为x P . 由{y ＝-9kx,9x 2+y 2＝m 2得x P 2＝k 2m 29k 2+81,即x P ＝3√k +9.将点(m 3,m)的坐标代入l 的方程得b ＝m(3-k)3, 因此x M ＝k(k -3)m3(k 2+9).四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P ＝2x M . 于是±km 3√k +9＝2×k(k -3)m3(k 2+9),解得k 1＝4-√7,k 2＝4+√7.因为k i >0,k i ≠3,i ＝1,2,所以当l 的斜率为4-√7或4+√7时,四边形OAPB 为平行四边形.思路分析 (1)设出直线l 的方程,与椭圆方程联立并消元,利用韦达定理求得AB 的中点M 的坐标,进而可得出结论;(2)要使四边形OAPB 为平行四边形,则线段AB 与线段OP 互相平分,即x P ＝2x M ,由此结合已知条件建立相应方程,进而通过解方程使问题得解.教师专用题组考点一曲线与方程1.(2014广东,20,14分)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2＝1(a>b>0)的一个焦点为(√5,0),离心率为√53.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若动点P(x 0,y 0)为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程. 【试题解析】(1)由题意知c ＝√5,e ＝c a＝√53,∴a ＝3,b 2＝a 2-c 2＝4,故椭圆C 的标准方程为x 29+y 24＝1. (2)设两切线为l 1,l 2,①当l 1⊥x 轴或l 1∥x 轴时,l 2∥x 轴或l 2⊥x 轴,可知P(±3,±2).②当l 1与x 轴不垂直且不平行时,x 0≠±3,设l 1的斜率为k,且k ≠0,则l 2的斜率为-1k,l 1的方程为y-y 0＝k(x-x 0),与x 29+y 24＝1联立, 整理得(9k 2+4)x 2+18(y 0-kx 0)kx+9(y 0-kx 0)2-36＝0,∵直线l 1与椭圆相切,∴Δ＝0,即9(y 0-kx 0)2k 2-(9k 2+4)·[(y 0-kx 0)2-4]＝0,∴(x 02-9)k 2-2x 0y 0k+y 02-4＝0,∴k 是方程(x 02-9)x 2-2x 0y 0x+y 02-4＝0的一个根,同理,-1k是方程(x 02-9)x 2-2x 0y 0x+y 02-4＝0的另一个根,∴k·(-1k)＝y 02-4x 02-9,整理得x 02+y 02＝13,其中x 0≠±3,∴点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝13(x ≠±3). 检验P(±3,±2)满足上式.综上,点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝13.2.(2013四川,20,13分)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F 1(-1,0),F 2(1,0),且椭圆C 经过点P (43,13). (1)求椭圆C 的离心率;(2)设过点A(0,2)的直线l 与椭圆C 交于M,N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且2|AQ|2＝1|AM|2+1|AN|2,求点Q 的轨迹方程.【试题解析】(1)由椭圆定义知,2a ＝|PF 1|+|PF 2|＝√(43+1)2+(13)2+√(43-1)2+(13)2＝2√2,所以a ＝√2. 又由已知得,c ＝1, 所以椭圆C 的离心率e ＝ca√2√22. (2)由(1)知,椭圆C 的方程为x 22+y 2＝1. 设点Q 的坐标为(x,y).(i)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 与椭圆C 交于(0,1),(0,-1)两点,此时点Q 的坐标为(0,2-3√55). (ii)当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为y ＝kx+2.因为M,N 在直线l 上,可设点M,N 的坐标分别为(x 1,kx 1+2),(x 2,kx 2+2),则|AM|2＝(1+k 2)x 12,|AN|2＝(1+k 2)x 22.又|AQ|2＝x 2+(y-2)2＝(1+k 2)x 2.由2|AQ|2＝1|AM|2+1|AN|2,得2(1+k 2)x 2＝1(1+k 2)x 12+1(1+k 2)x 22, 即2x2＝1x 12+1x 22＝(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 12x 22.① 将y ＝kx+2代入x 22+y 2＝1中,得 (2k 2+1)x 2+8kx+6＝0.②由Δ＝(8k)2-4×(2k 2+1)×6>0,得k 2>32.由②可知,x 1+x 2＝-8k2k 2+1,x 1x 2＝62k 2+1,代入①中并化简,得 x 2＝1810k 2-3.③因为点Q 在直线y ＝kx+2上,所以k ＝y -2x,代入③中并化简,得10(y-2)2-3x 2＝18.由③及k 2>32,可知0<x 2<32,即x ∈(-√62,0)∪(0,√62).又(0,2-3√55)满足10(y-2)2-3x 2＝18,故x ∈(-√62,√62).由题意知,Q(x,y)在椭圆C 内, 所以-1≤y ≤1,由10(y-2)2＝18+3x 2得(y-2)2∈[95,94),且-1≤y ≤1,则y ∈(12,2-3√55]. 所以点Q 的轨迹方程为10(y-2)2-3x 2＝18,其中x ∈(-√62,√62),y ∈(12,2-3√55]. 评析本题主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想,并考查思维的严谨性.考点二定点与定值问题3.(2014安徽,19,13分)如图,已知两条抛物线E 1:y 2＝2p 1x(p 1>0)和E 2:y 2＝2p 2x(p 2>0),过原点O 的两条直线l 1和l 2,l 1与E 1,E 2分别交于A 1,A 2两点,l 2与E 1,E 2分别交于B 1,B 2两点. (1)证明:A 1B 1∥A 2B 2;(2)过O 作直线l(异于l 1,l 2)与E 1,E 2分别交于C 1,C 2两点.记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2,求S 1S 2的值.【试题解析】(1)证明:设直线l 1,l 2的方程分别为y ＝k 1x,y ＝k 2x(k 1,k 2≠0),则由{y ＝k 1x,y 2＝2p 1x,得A 1(2p1k 12,2p 1k 1),由{y ＝k 1x,y 2＝2p 2x,得A 2(2p 2k 12,2p 2k 1).同理可得B 1(2p 1k 22,2p 1k 2),B 2(2p 2k 22,2p 2k 2).所以A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2p 1k 22-2p 1k 12,2p 1k 2-2p 1k 1)＝2p 1(1k 22-1k 12,1k 2-1k 1),A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2p 2k 22-2p 2k 12,2p 2k 2-2p 2k 1)＝2p 2(1k 22-1k 12,1k 2-1k 1), 故A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝p 1p 2A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以A 1B 1∥A 2B 2.(2)由(1)知A 1B 1∥A 2B 2,同理可得B 1C 1∥B 2C 2,C 1A 1∥C 2A 2. 所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.因此S 1S 2＝(|A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)2.又由(1)中的A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝p 1p 2A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 知|A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝p 1p 2.故S1S 2＝p 12p 22.4.(2014山东,21,14分)已知抛物线C:y 2＝2px(p>0)的焦点为F,A 为C 上异于原点的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B,交x 轴的正半轴于点D,且有|FA|＝|FD|.当点A 的横坐标为3时,△ADF 为正三角形.(1)求C的方程;(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,(i)证明直线AE过定点,并求出定点坐标;(ii)△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由. 【试题解析】(1)由题意知F(p2,0).设D(t,0)(t>0),则FD的中点为(p+2t4,0).因为|FA|＝|FD|,则由抛物线的定义知3+p2＝|t-p2|,解得t＝3+p或t＝-3(舍去).由p+2t4＝3,解得p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)(i)由(1)知F(1,0),设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(x D,0)(x D>0), 因为|FA|＝|FD|,则|x D-1|＝x0+1,由x D>0得x D＝x0+2,故D(x0+2,0).故直线AB的斜率k AB＝-y02.因为直线l1和直线AB平行,所以可设直线l1的方程为y＝-y02x+b,代入抛物线方程得y2+8y0y-8by0＝0,由Δ＝64y02+32by0＝0,得b＝-2y0.设E(x E,y E),则y E＝-4y0,x E＝4y02,当y02≠4时,k AE＝y E-y0x E-x0＝-4y0+y04y02-y024＝4y0y02-4,可得直线AE的方程为y-y0＝4y0y02-4(x-x0),由y02＝4x0,整理可得y＝4y0y02-4(x-1),直线AE恒过点F(1,0),当y02＝4时,直线AE的方程为x＝1,过点F(1,0), 所以直线AE过定点F(1,0).(ii)由(i)知直线AE过焦点F(1,0),所以|AE|＝|AF|+|FE|＝(x0+1)+(1x0+1)＝x0+1x0+2.设直线AE的方程为x＝my+1, 因为点A(x0,y0)在直线AE上,故m ＝x 0-1y 0, 设B(x 1,y 1),直线AB 的方程为y-y 0＝-y02(x-x 0),由y 0≠0,可得x ＝-2y 0y+2+x 0,代入抛物线方程得y 2+8y 0y-8-4x 0＝0.所以y 0+y 1＝-8y 0,可求得y 1＝-y 0-8y 0,x 1＝4x 0+x 0+4, 所以点B 到直线AE 的距离为 d ＝|4x 0+x 0+4+m (y 0+8y 0)-1|√20√x ＝4(√x 0√x ). 则△ABE 的面积S ＝12×4(√x 0x )(x 0+1x 0+2)≥16,当且仅当1x 0＝x 0, 即x 0＝1时等号成立.所以△ABE 的面积的最小值为16.评析本题考查抛物线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系以及解析几何中的定点问题、最值问题和结论探究性问题.本题综合性较强、难度较大,很好地考查了考生的逻辑思维能力和运算求解能力.本题的易错点是定点的确定.5.(2013山东,22,13分)椭圆C:x 2a 2+y 2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1、F 2,离心率为√32,过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程;(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接PF 1,PF 2.设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m,0),求m 的取值范围; (3)在(2)的条件下,过点P 作斜率为k 的直线l,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点.设直线PF 1,PF 2的斜率分别为k 1,k 2.若k ≠0,试证明1kk 1+1kk 2为定值,并求出这个定值. 【试题解析】(1)由于c 2＝a 2-b 2,将x ＝-c 代入椭圆方程x 2a 2+y 2b2＝1,得y ＝±b 2a,由题意知2b 2a＝1,即a ＝2b 2.又e ＝c a＝√32,所以a ＝2,b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24+y 2＝1. (2)解法一:设P(x 0,y 0)(y 0≠0). 又F 1(-√3,0),F 2(√3,0), 所以直线PF 1,PF 2的方程分别为 l PF 1:y 0x-(x 0+√3)y+√3y 0＝0, l PF 2:y 0x-(x 0-√3)y-√3y 0＝0.。

高考数学圆锥曲线试题汇编试题

智才艺州攀枝花市创界学校2021年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线〔2021文数〕23〔此题总分值是18分〕此题一共有3个小题，第1小题总分值是4分，第2小题总分值是6分，第3小题总分值是8分.椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(0,)A b 、(0,)B b -和(,0)Q a 为Γ的三个顶点.〔1〕假设点M 满足1()2AM AQ AB =+，求点M的坐标；〔2〕设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E .假设2122b k k a⋅=-，证明：E 为CD 的中点；〔3〕设点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l ，使得l 与椭圆Γ的两个交点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=12PP PP PQ +=？令10a =，5b =，点P 的坐标是〔-8，-1〕，假设椭圆Γ上的点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=，求点1P 、2P 的坐标.解析：(1)(,)22ab M -；(2)由方程组122221y k x p x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得方程2222222211()2()0a k b x a k px a p b +++-=，因为直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，所以>0，即222210a k b p +->，设C (x 1,y 1)、D (x 2,y 2)，CD 中点坐标为(x 0,y 0)，那么212102221201022212x x a k px a k b b py k x p a k b ⎧+==-⎪+⎪⎨⎪=+=⎪+⎩，由方程组12y k x py k x =+⎧⎨=⎩，消y 得方程(k 2k 1)x p ，又因为2221b k a k =-，所以2102222112202221a k p px x k k a k b b p y k x ya kb ⎧==-=⎪-+⎪⎨⎪===⎪+⎩，故E 为CD 的中点；(3)因为点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，所以点F 在椭圆Γ内，可以求得直线OF 的斜率k 2，由12PP PP PQ +=知F 为P 1P 2的中点，根据(2)可得直线l 的斜率2122b k a k =-，从而得直线l 的方程． 1(1,)2F -，直线OF 的斜率212k =-，直线l 的斜率212212b k a k =-=，解方程组22112110025y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ：x 22x 480，解得P 1(6,4)、P 2(8,3)．〔2021文数〕19.〔本小题总分值是13分〕为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km 的A 、B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系〔图4〕。

2020-2021高中三年级数学下期末试卷(带答案)(4)

2020-2021高中三年级数学下期末试卷(带答案)(4)一、选择题1．如图所示的圆锥的俯视图为（）A ．B ．C ．D ．2．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．3．2532()x x -展开式中的常数项为（） A ．80 B ．-80 C ．40 D ．-40 4．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A ．12B ．16C ．20D ．245．设向量a r ，b r满足2a =r ，||||3b a b =+=r r r ，则2a b +=r r （）A ．6B ．32C ．10D ．426．函数2||()x x f x e -=的图象是（）A ．B ．C ．D ．7．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（） A ．假设至少有一个钝角B ．假设至少有两个钝角C ．假设三角形的三个内角中没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角8．已知函数()32cos 2[0,]2f x x x m π=+-在上有两个零点，则m 的取值范围是A ．（1,2）B ．[1,2）C ．（1,2]D ．[l,2]9．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（） A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=10．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（）A ．,βγαγ<<B ．,βαβγ<<C ．,βαγα<<D ．,αβγβ<<11．已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为（） A ．1B ．1-C ．iD ．i -12．若奇函数()f x 在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[3,1]--上（） A ．是减函数，有最小值0 B ．是增函数，有最小值0 C ．是减函数，有最大值0 D ．是增函数，有最大值0二、填空题13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，42a A =，且C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为________.14．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为________cm .15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．16．若9()a x x-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．17．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是__________． 18．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.19．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦AB 的长为2，则AB AC ⋅u u u r u u u r=______．20．已知α，β均为锐角，4cos 5α=，1tan()3αβ-=-，则cos β=_____．三、解答题21．已知直线352:{132x t l y t=+=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MA MB ⋅的值.22．已知函数2()(1)1xx f x a a x -=+>+．（1）证明：函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）用反证法证明：()0f x =没有负数根． 23．设()34f x x x =-+-.（Ⅰ）求函数()2()g x f x =-（Ⅱ）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围.24．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面PBD ;（Ⅱ）若AB 6=APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积． 25．已知3,cos )a x x =r ，(sin ,cos )b x x =r ，函数()f x a b =⋅rr . （1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）当(,]x ππ∈-时，求()f x 单调递增区间.26．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】找到从上往下看所得到的图形即可．【详解】由圆锥的放置位置，知其俯视图为三角形．故选C. 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，本题容易误选B ，属于基础题.2．C解析：C 【解析】【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形．【详解】由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧，由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合C 选项．故选C ．点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．考点：三视图．3．C解析：C 【解析】【分析】先求出展开式的通项，然后求出常数项的值【详解】2532()x x -展开式的通项公式为:53251()2()r rr r T C x x-+-=，化简得10515(2)r r r r T C x -+=-，令1050r -=，即2r =，故展开式中的常数项为25230(42)T C ==-.故选：C. 【点睛】本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.4．A解析：A 【解析】【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．5．D解析：D 【解析】【分析】3=，求得2a b ⋅=-r r，再根据向量模的运算，即可求解．【详解】∵向量a r ，b r 满足2a =r ，3b a b =+=r r r 3=，解得2a b ⋅=-r r ．则()22222442434242a b a b a b +=++⋅=+⨯+⨯-=r r r r r r．故选D ．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，及向量的模的运算问题，其中解答中熟记向量的数量积的运算和向量的模的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．A解析：A 【解析】【分析】通过(0)1f =，和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A ．【详解】2||()x x f x e-=，可得f(0)=1,排除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B ，故选A【点睛】图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目．7．B解析：B 【解析】用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选B ．8．B解析：B 【解析】【分析】【详解】试题分析：利用辅助角公式化简函数为()3sin 2cos 2f x x x m=+-,令,则,所以此时函数即为.令有,根据题意可知在上有两个解,根据在函数图像可知,.考点：辅助角公式;;零点的判断;函数图像.9．B解析：B 【解析】【分析】根据渐近线的方程可求得,a b 的关系,再根据与椭圆221123x y +=有公共焦点求得c 即可.【详解】双曲线C 的渐近线方程为52y x =,可知52b a =①,椭圆221123x y +=的焦点坐标为(－3,0)和(3,0),所以a 2＋b 2＝9②,根据①②可知a 2＝4,b 2＝5. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了双曲线与椭圆的基本量求法,属于基础题型.10．B解析：B 【解析】【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半. 【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BD PB PB PB PB α===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.方法3：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得333222cos sin sin α=⇒α=β=γ=B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.11．B解析：B 【解析】设,,z a bi a b R =+∈（），由()1i 22z z i z +=⇒=--（）2a bi i a bi ⇒+=--（），2a bi b a i ⇒+=-+-（） ,2a b b a =-⎧⇒⎨=-⎩ 1b ⇒=- ，故选B. 12．D解析：D 【解析】【分析】【详解】因为()f x 为奇函数，且在[1,3]上为增函数，且有最小值0，所以()f x 在[3,1]--上为增函数，且有最大值0，选D.二、填空题13．【解析】【分析】由利用正弦定理求得再由余弦定理可得利用基本不等式可得从而利用三角形面积公式可得结果【详解】因为又所以又为锐角可得因为所以当且仅当时等号成立即即当时面积的最大值为故答案为【点睛】本题主解析：442+【解析】【分析】由4c =，a A =，利用正弦定理求得4C π=.，再由余弦定理可得2216a b =+，利用基本不等式可得(82ab ≤=+，从而利用三角形面积公式可得结果. 【详解】因为4c =，又sin sin c a C A==所以sin 2C =，又C 为锐角，可得4C π=.因为(2222162cos 2a b ab C a b ab =+-=+≥，所以(82ab ≤=+，当且仅当a b =时等号成立，即1sin 424ABC S ab C ab ∆==≤+即当a b ==时，ABC ∆面积的最大值为4+. 故答案为4+. 【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.14．【解析】【分析】设此圆的底面半径为高为母线为根据底面圆周长等于展开扇形的弧长建立关系式解出再根据勾股定理得即得此圆锥高的值【详解】设此圆的底面半径为高为母线为因为圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为解析：3【解析】【分析】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r ，再根据勾股定理得h ，即得此圆锥高的值．【详解】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形, 所以2l =，得24233r l πππ=⨯= ,解之得23r =，因此,此圆锥的高2222242cm 32h l r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，故答案为:42．【点睛】本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题．15．【解析】【详解】因为所以①因为所以②①②得即解得故本题正确答案为解析：12-【解析】【详解】因为，所以，①因为，所以，②①②得，即，解得，故本题正确答案为16．1【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的项的系数再根据的系数是列方程求解即可【详解】展开式的的通项为令的展开式中的系数为故答案为1【点睛】本题主要考查二解析：1 【解析】【分析】先求出二项式9()a x x-的展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出r 的值，即可求得展开式中3x 的项的系数，再根据3x 的系数是84-列方程求解即可.【详解】 9()a x x -展开式的的通项为()992199rr r r r r r a T C x C x a x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令9233r r -=⇒=， 9()a x x-的展开式中3x 的系数为()339841C a a -=-⇒=，故答案为1.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.17．【解析】令函数有两个极值点则在区间上有两个实数根当时则函数在区间单调递增因此在区间上不可能有两个实数根应舍去当时令解得令解得此时函数单调递增令解得此时函数单调递减当时函数取得极大值当近于与近于时要使解析：.【解析】 ()()()2ln 0,'ln 12f x x x ax x f x x ax =->=+-，令()ln 12,g x x ax =+-Q 函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则()0g x =在区间()0,∞+上有两个实数根，()112'2ax g x a x x-=-=，当0a ≤时，()'0g x >，则函数()g x 在区间()0,∞+单调递增，因此()0g x =在区间()0,∞+上不可能有两个实数根，应舍去，当0a >时，令()'0g x =，解得12x a =，令()'0g x >，解得102x a<<，此时函数()g x 单调递增，令()'0g x <，解得12x a >，此时函数()g x 单调递减，∴当12x a =时，函数()g x 取得极大值，当x 近于0与x 近于+∞时，()g x →-∞，要使()0g x =在区间()0,∞+有两个实数根，则11ln 022g a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，解得10,2a <<∴实数a 的取值范围是102a <<，故答案为102a <<. 18．【解析】【分析】由条件得MN 则结合对数的运算法则可得αβ=1【详解】由条件得MN 可得即α=loβ=lo 所以αβ=lo·lo=1【点睛】本题主要考查幂函数的性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生解析：【解析】由条件,得M12,33⎛⎫⎪⎝⎭,N21,33⎛⎫⎪⎝⎭,则1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,结合对数的运算法则可得αβ=1.【详解】由条件,得M12,33⎛⎫⎪⎝⎭,N21,33⎛⎫⎪⎝⎭,可得1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即α=lo2313g,β=lo1323g.所以αβ=lo2313g·lo1312233·21333lg lgglg lg==1.【点睛】本题主要考查幂函数的性质，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．2【解析】【分析】过点C作CD⊥AB于D可得Rt△ACD中利用三角函数的定义算出再由向量数量积的公式加以计算可得的值【详解】过点C作CD⊥AB于D则D 为AB的中点Rt△ACD中可得cosA==2故答解析：2【解析】【分析】过点C作CD⊥AB于D，可得1AD AB12==，Rt△ACD中利用三角函数的定义算出1cos AAC=，再由向量数量积的公式加以计算，可得AB AC⋅u u u v u u u v的值．【详解】过点C作CD⊥AB于D，则D为AB的中点．Rt△ACD中，1AD AB12==，可得cosA=11,cosAADAB AC AB AC AB AC ABAC AC AC=∴⋅=⋅=⋅⋅=u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u u vu u u v u u u v=2．故答案为2本题已知圆的弦长，求向量的数量积．着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题．20．【解析】【分析】先求得的值然后求得的值进而求得的值【详解】由于为锐角且故由解得由于为锐角故【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正切公式属于中档题解析：910 【解析】【分析】先求得tan α的值，然后求得tan β的值，进而求得cos β的值.【详解】由于α为锐角，且4cos 5α=，故23sin 1cos 5αα=-=，sin 3tan cos 4ααα==.由()tan tan 1tan 1tan tan 3αβαβαβ--==-+⋅，解得13tan 9β=，由于β为锐角，故22222cos 1cos cos cos sin 1tan ββββββ===++910=. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题.三、解答题21．（1）；（2）.【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）在方程=2cos ρθ两边同乘以极径ρ可得2=2cos ρρθ，再根据222=,cos x y x ρρθ+=，代入整理即得曲线C 的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程整理，根据韦达定理即可得到MA MB ⋅的值.试题解析：（1）=2cos ρθ等价于2=2cos ρρθ①将222=,cos x y x ρρθ+=代入①既得曲线C 的直角坐标方程为 2220x y x +-=，②（2）将35132x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入②得253180t t ++=，设这个方程的两个实根分别为12,,t t则由参数t 的几何意义既知，1218MA MB t t ⋅==.考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程的应用.22．见解析．【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用函数的单调性进行推证；（2）借助题设条件运用反证法推证.试题解析：（1）任取1x ，2(1,)x ∈-+∞，不妨设12x x <，则210x x ->，210x +>，110x +>，又1a >，所以21x x a a >，所以2121212122()()11x x x x f x f x a a x x ++-=-+-++2121213()0(1)(1)x x x x a a x x -=-+>++，故函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．（2）设存在00x <（01x ≠-）满足0()0f x =，则00021x x a x -=+，且001x a <<，所以002011x x -<<+，即0122x <<，与假设00x <矛盾，故方程()0f x =没有负根．考点：函数单调性的定义及反证法等有关知识的综合运用．23．（Ⅰ）59[,]22；（Ⅱ）1(,2[,)2-∞-⋃+∞）．【解析】【分析】【详解】试题分析：（Ⅰ）先用零点分段法将()f x 表示分段函数的形式，然后再求定义域；（Ⅱ）利用函数图象求解．试题解析：（Ⅰ）72,3()34{1,3427,4x x f x x x x x x -<=-+-=->剟，它与直线2y =交点的横坐标为52和92，∴不等式()g x 59[,]22．（Ⅱ）函数1y ax =-的图象是过点(0,1)-的直线，结合图象可知，a 取值范围为1(,2)[,)2-∞-⋃+∞．考点：1、分段函数；2、函数的定义域；3、函数的图象．24．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ323+. 【解析】【分析】【详解】试题分析：（Ⅰ）因为PH 是四棱锥P-ABCD 的高．所以AC ⊥PH,又AC ⊥BD,PH,BD 都在平面PHD 内,且PH I BD=H.所以AC ⊥平面PBD.故平面PAC ⊥平面PBD.（Ⅱ）因为ABCD 为等腰梯形，AB P CD,AC ⊥6.所以3因为∠APB=∠ADR=600所以6,HD=HC=1.可得3等腰梯形ABCD 的面积为S=123 所以四棱锥的体积为V=13x （333233+ 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，体积的计算．点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程．本题（I ）较为简单，（II ）则体现了“一作、二证、三计算”的解题步骤．25．(1) T π= ；26k x ππ=+（k Z ∈）. (2) 5(,]6ππ--，[,]36ππ-和2[,]3ππ 【解析】【分析】（1）化简得()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再求函数的周期和对称轴方程；（2）先求出函数在R 上的增区间为[,36k k ππππ-+] （k Z ∈），再给k 赋值与定义域求交集得解.【详解】解：（1）()23sin cos cos f x a b x x x =⋅=+r r3111sin2cos2sin 22262x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ 所以()f x 的周期22T ππ==, 令262x k πππ+=+（k Z ∈），即26k x ππ=+（k Z ∈）所以()f x 的对称轴方程为26k x ππ=+（k Z ∈）. （2）令222262k x k πππππ-≤+≤+ （k Z ∈）解得36k x k ππππ-≤≤+ （k Z ∈），由于(],x ππ∈- 所以当1,0k =-或1时，得函数()f x 的单调递增区间为5,6ππ⎛⎤--⎥⎝⎦，,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的周期的求法和对称轴的求法，考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 26．（1）3,2a c ==；（2）2327 【解析】试题分析：（1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r 和1cos 3B =，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解，即可求出a ，c ；（2）在ABC ∆中，利用同角基本关系得2sin 3B =由正弦定理，得42sin sin 9c C B b ==，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27cos 1sin 9C C =-=，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r 得，，又1cos 3B =，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+.又b=3，所以2292213a c +=+⨯=. 解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为a>c,∴ a=3，c=2.（2）在ABC ∆中，22122sin 1cos 1()3B B =-=-=由正弦定理，得22242sin sin 339c C B b ==⋅=，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1()99C C =-=-=. 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1724223393927⋅+⋅=. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.。

2021高考数学总复习(人教新课标)配套章末综合检测：第8章圆锥

2021高考数学总复习（人教新课标）配套章末综合检测：第8章圆锥第八章章末综合检测(学生用书为活页试卷解析为教师用书独有)(检测范围：第八章) (时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线xsin α－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是π??A.?0，2? ???ππ?C.?－4，4? ??B．(0，π) π??3π??0，??∪?，π? D.?4??4?( )解析 D 直线xsin α－y＋1＝0的斜率是k＝sin α. 又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k≤1.π??∴当0≤k≤1时，倾斜角的范围是?0，4?；???3π?当－1≤k<0时，倾斜角的范围是?4，π?.??2．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，则D与E的关系是A．D＋E＝2 C．D＋E＝－1B．D＋E＝1 D．D＋E＝－2E?DE?D解析 D 依题意得，圆心?－2，－2?在直线x＋y＝1上，因此有－2－2＝??1，即D＋E＝－2.3．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为 A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8解析 B 直径的两端点为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，圆的方( )程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.4．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的 ( ) A．充分不必要条件 C．充要条件B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件x2y211解析 C 方程可化为1＋1＝1，若焦点在y轴上，则n>m>0，即m>n>0.mn5．若曲线y＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )A．4x＋y＋4＝0 C．4x－y－12＝0B．x－4y－4＝0 D．4x－y－4＝0解析 D 设切点为(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0，∴2x0＝4，即x0＝2，∴切点为(2,4)，方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.x226．已知F1、F2是椭圆4＋y＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|・|PF2|取最大值的点P为A．(－2,0) C．(2,0)B．(0,1)D．(0,1)和(0，－1)解析 D 由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4， ?|PF1|＋|PF2|?2?＝4，∴|PF1|・|PF2|≤?2??当且仅当|PF1|＝|PF2|，即P(0，－1)或(0,1)时，取“＝”．→→7．平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC＝λ1OA→＋λ2OB(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是 ( )A．直线 C．圆B．椭圆 D．双曲线→→→解析 A 设C(x，y)，因为OC＝λ1OA＋λ2OB，所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－?x＝3λ1－λ2，1,3)，即??y＝λ1＋3λ2，3y－x?λ＝?210，解得?y＋3xλ＝??110，y＋3x3y－x又λ1＋λ2＝1，所以10＋10＝1，即x＋2y＝5，所以轨迹为直线，故选A.x2y28．设椭圆m2＋n2＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离1心率为2，则此椭圆的方程为x2y2A.12＋16＝1 x2y2C.48＋64＝1x2y2B.16＋12＝1 x2y2D.64＋48＝1( )解析 B 抛物线的焦点为(2,0)， c＝2，??∴由题意得?c1＝，??m2∴m＝4，n2＝12， x2y2∴方程为16＋12＝1.x2y29．设双曲线a2－b2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为5A.4 5C.2B．5 D.5( )b解析 D 双曲线的渐近线为y＝±ax，由对称性，只要与一条渐近线有一个公共点即可． y＝x2＋1，??由?by＝x，??ab得x2－ax＋1＝0.b2∴Δ＝a2－4＝0，即b2＝4a2，∴e＝5.x2y210．(2021・银川六校联考)已知抛物线y＝4x的准线过双曲线a2－b2＝1(a>0，2b>0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的焦距为( )A.5 C.32B．25 D．23x2y2解析B ∵抛物线y＝4x的准线x＝－1过双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的b左顶点，∴a＝1，∴双曲线的渐近线方程为y＝±bx.∵双曲线的一条渐近线ax＝±方程为y＝2x，∴b＝2，∴c＝a2＋b2＝5，∴双曲线的焦距为25.x2y211．已知椭圆36＋9＝1，以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在的直线斜率为1A.2 C．21B．－2 D．－2( )解析 B 设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，22x1y1??36＋9＝1，22x2y2??36＋9＝1，则?两式相减，得?x1＋x2??x1－x2??y1＋y2??y1－y2?＋＝0，3692?x1－x2?4?y1－y2?y1－y21∴＝－，∴k＝＝－992. x1－x212．(2021・杭州五校质检)已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其x22焦点的距离为5，双曲线a－y＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为1A.9 1C.31B.4 1D.2( )解析 A 由于M(1，m)在抛物线上，∴m2＝2p，而M到抛物线的焦点的距pp离为5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x＝－2的距离也为5，∴1＋2＝5，∴p＝8，由此可以求得m＝4，双曲线的左顶点为A(－a，0)，∴kAM＝4，1＋ax411而双曲线的渐近线方程为y＝±，根据题意得，＝，∴a＝9.a1＋aa二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)13．l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．解析当两条平行直线与A、B两点连线垂直时两条平行直线的距离最大．因为A(1,1)、B(0，－1)，所以kAB＝－1－1＝2，所以两平行线的斜率为k＝0－111－2，所以直线l1的方程是y－1＝－2(x－1)，即x＋2y－3＝0.【答案】 x＋2y－3＝014．直线l：y＝k(x＋3)与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，|AB|＝22，则实数k＝________.解析∵|AB|＝22，圆O半径为2，∴O到l的距离d＝22－2＝2.即|3k|14＝2，解得k＝±7. k2＋114【答案】±7 15．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．解析如图，圆的方程可化为 (x－3)2＋(y－4)2＝5，∴|OM|＝5，|OQ|＝25－5＝25. 在△OQM中，11|QA|・|OM|＝|QM|， 22|OQ|・感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2020-2021高三数学下期末试卷(含答案)(2)

2020-2021高三数学下期末试卷(含答案)(2)一、选择题1．如图所示的圆锥的俯视图为（）A ．B ．C ．D ．2．()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．$0.4 2.3y x =+ B ．$2 2.4y x =- C ．$29.5y x =-+D ．$0.3 4.4y x =-+4．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（） A ．3+3iB ．-1+3iC ．3+iD ．-1+i5．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A 、B )且PA ＝AC ，则二面角P －BC －A 的大小为( )A ．60︒B ．30°C ．45︒D ．15︒6．函数()sin(2)2f x x π=-的图象与函数()g x 的图象关于直线8x π=对称，则关于函数()y g x =以下说法正确的是（）A ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称B ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，为奇函数 C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 7．2n n +<n+1(n∈N *),某同学应用数学归纳法的证明过程如下: (1)当n=1时211+不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N *)时,不等式成立,2k k +<k+1. 那么当n=k+1时()()()2222(k 1)k 1k 3k 2k3k 2k 2(k 2)+++=++<+++++所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知对于任何n∈N *,不等式均成立. 则上述证法（） A ．过程全部正确 B ．n=1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n=k 到n=k+1的证明过程不正确8．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为（）A ．3B 3C ．12D ．12-9．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（）A ．158B ．162C ．182D ．32410．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13-B ．13C ．-3D ．311．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A ．3B ．2C 3D 212．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件C 为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D 为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（） A ．A 与BB ．B 与CC ．A 与DD ．C 与D二、填空题13．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是__________．14．复数()1i i +的实部为．15．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．16．设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为____.17．函数2()log 1f x x =-________．18．已知向量a r与b r的夹角为60°，|a r|=2，|b r|=1，则|a r+2 b r|= ______ . 19．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答） 20．设α 为第四象限角，且sin3sin αα＝135，则 2tan ＝α ________. 三、解答题21．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．()1设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； ()2设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．22．已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且()20f x +≥的解集为[]1,1- （1）求m 的值；（2）若,,a b c ∈R ，且11123m a b c++=，求证239a b c ++≥ 23．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：附：参考数据与公式 6.92 2.63≈，若 ()2~,X Nμσ，则①()0.6827P X μσμσ-<+=…；② (22)0.9545P X μσμσ-<+=…；③ (33)0.9973P X μσμσ-<+=….（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 ()2,N μσ，其中μ近似为年平均收入2,x σ 近似为样本方差2s ，经计算得：2 6.92s =，利用该正态分布，求：（i ）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元?（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?24．已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1．（1）当直线BD 过点(0,1)时，求直线AC 的方程．（2）当60ABC ∠=︒时，求菱形ABCD 面积的最大值． 25．选修4-5：不等式选讲设函数()|2||1|f x x x =-++.（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值范围；（2）若集合{|()10}x f x ax +->=R ，求实数a 的取值范围.26．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E,F 分别是AB,BC 的中点，点M 在AD 上，且14AM AD =，将AED,DCF V V 分别沿DE,DF 折叠，使A,C 点重合于点P ，如图所示2.()1试判断PB 与平面MEF 的位置关系，并给出证明； ()2求二面角M EF D --的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】找到从上往下看所得到的图形即可．【详解】由圆锥的放置位置，知其俯视图为三角形．故选C. 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，本题容易误选B ，属于基础题.2．A解析：A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性，排除D ；根据函数解析式可知定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项．【详解】由函数解析式()22x x e e f x x x --=+-，易知()22x xe ef x x x ---=+-=() f x - 所以函数()22x xe ef x x x --=+-为奇函数，排除D 选项根据解析式分母不为0可知,定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，当x=0.01时，代入()f x 可得()0f x <，排除C 选项当x=1.001时，代入()f x 可得()0f x >，排除B 选项所以选A 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．3．A解析：A 【解析】试题分析：因为与正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B ；故选A ．考点：线性回归直线.4．C解析：C 【解析】因为2(1)(12)1223i i i i i i -+=+--=+，故选 C. 考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.5．C解析：C 【解析】由条件得：PA ⊥BC ，AC ⊥BC 又PA ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面P AC ，∴∠PCA 为二面角P －BC －A 的平面角．在Rt △P AC 中，由P A ＝AC 得∠PCA ＝45°，故选C ．点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面.6．B解析：B 【解析】【分析】先求出函数y=g(x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质对每一个选项逐一分析判断. 【详解】设点P(x,y)是函数()y g x =图像上的任意一点，则点Q (x ,)4y π-+在函数y=f(x)的图像上，sin[2(-x+)]sin 2()42y x g x ππ=-=-=，对于选项A,函数y=g(x)的最大值为1，但是()012g π=≠±，所以图象不关于直线2x π=对称，所以该选项是错误的；对于选项B,()()g x g x -=-，所以函数g(x)是奇函数，解222+22k x k ππππ-≤≤得 +44k x k ππππ-≤≤，)k Z ∈（,所以函数在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以该选项是正确的；对于选项C,由前面分析得函数y=g(x)的增区间为3[+,]()44k k k Z ππππ+∈,且函数y=g(x)不是偶函数，故该选项是错误；对于选项D,函数的周期为π，解2,,2k x k x ππ=∴=所以函数图像的对称中心为,0)(k Z)2k π∈（,所以该选项是错误的. 故选：B 【点睛】本题主要三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．D解析：D 【解析】【分析】【详解】题目中当n=k+1时不等式的证明没有用到n=k 时的不等式，正确的证明过程如下：在（2）中假设n k = 1k <+ (1)1k ++成立，即1n k =+时成立，故选D ．点睛：数学归纳法证明中需注意的事项(1)初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可． (2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k 到k ＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．(3)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.8．B解析：B 【解析】【分析】由条件根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得3πφk π-+=，k z ∈，由此根据||2ϕπ<求得ϕ的值，得到函数解析式即可求最值．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后，得到函数sin 2sin 263ππy x φx φ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得3πφk π-+=，k z ∈， ∵||2ϕπ<，∴3πϕ=，()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由题意,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，得42,333πππx ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，∴21,32πsin x ⎡⎛⎫-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，∴函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2，故选B ．【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题．9．B解析：B 【解析】【分析】先由三视图还原出原几何体，再进行计算【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选B. . 【点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心计算10．A【解析】【分析】由题意可知3124tan tan πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意结合两角和的正切公式可得3tan πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】3124tan tan πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112431124tan tantan tan ππαππα⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故选A .【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．B解析：B 【解析】【分析】【详解】M N Q ，是双曲线的两顶点，M O N ，，将椭圆长轴四等分∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍 Q 双曲线与椭圆有公共焦点，∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2故答案选B12．C解析：C 【解析】分析：利用互斥事件、对立事件的概念直接求解判断即可. 详解：在A 中，A 与B 是对立事件，故不正确；在B 中，B 与C 能同时发生，不是互斥事件，所以不正确；在C 中，A 与D 两个事件不能同时发生，但能同时不发生，所以是互斥事件，但不是对立事件，所以是正确的；在D 中，C 与D 能同时发生，不是互斥事件，所以是错误的. 综上所述，故选C.点睛：本题主要考查了命题的真假判定，属于基础题，解答时要认真审题，注意互斥事件与对立事件的定义的合理运用，同时牢记互斥事件和对立事件的基本概念是解答的基础.二、填空题13．6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由可得平移直线结合图形可得最优解于是可得所求最小值【详解】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由可得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A 时直线解析：6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，由32z x y =-可得322z y x =-，平移直线322z y x =-，结合图形可得最优解，于是可得所求最小值．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由32z x y =-可得322z y x =-．平移直线322z y x =-，结合图形可得，当直线322z y x =-经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值．由题意得A 点坐标为(2,0)，∴min 326z =⨯=，即32z x y =-的最小值是6．故答案为6．【点睛】求目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值时，可将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y x b b =-+，通过求直线的纵截距z b的最值间接求出z 的最值．解题时要注意：①当0b >时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z b取最小值时，z 也取最小值；②当0b <时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距z b取最小值时，z 取最大值．14．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部解析：1-【解析】复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-.考点：复数的乘法运算、实部.15．8【解析】分析：先判断是否成立若成立再计算若不成立结束循环输出结果详解：由伪代码可得因为所以结束循环输出点睛：本题考查伪代码考查考生的读图能力难度较小解析：8【解析】分析：先判断6I <是否成立，若成立，再计算I S ，，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S =点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.16．【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标再根据直线与圆相切的条件得出满足的方程解之解得【详解】圆化为普通方程为圆心坐标为圆的半径为由直线与圆相切则有解得【点睛】直线与圆的位置关系可以使解析：34【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出a 满足的方程，解之解得。

2020—2021年高考总复习数学《立体几何》高考考点专项复习及参考答案(精品试题).docx

届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：立体几何一、填空、选择题1、（崇明县2016届高三二模）已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为15πcm2，则此圆锥的体积为cm 2．2、（奉贤区2016届高三二模）在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，若点P 是棱上一点，则满足2PA PC '+=的点P 的个数_______．3、（虹口区2016届高三二模）已知A 、B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=o ，C 为该球面上的动点，若三棱锥ABC O -体积的最大值为323，则球O 的表面积为__________4、（黄浦区2016届高三二模）已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如右上图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V =5、（静安区2016届高三二模）如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长为23cm ，侧面积为 283cm ，则它的体积为.6、（闵行区2016届高三二模）若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的倍.7、（浦东新区2016届高三二模）已知四面体ABCD 中，2==CD AB ，E ，F分别为BC ，AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3π，则EF =________．8、（普陀区2016届高三二模）若a 、b 表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）（A ）若α⊥a ，b a ⊥，则α//b （B ）若α//a ，b a ⊥，则α⊥b （C ）若α⊥a ，α⊆b ，则b a ⊥ （D ）若α//a ，α//b ，则b a // 9、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）．如图，圆锥形容器的高为,h 圆锥内水面的高为1,h 且11,3h h =若将圆锥倒置，水面高为2,h 则2h 等于------------------------------------------------（）（A ）23h （B ）1927h （C ）363h （D ）3193h10、（杨浦区2016届高三二模）已知命题：“若a,b 为异面直线，平面α过直线a 且与直线b 平行，则直线b 与平面α的距离等于异面直线a,b 之间的距离”为真命题.根据上述命题，若a,b 为异面直线，且它们之间的距离为d ，则空间中与a,b 均异面且距离也均为d 的直线c 的条数为（）A0条 B.1条 C.多于1条，但为有限条 D.无数多条11、（闸北区2016届高三二模）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB == 2BC =，则球O 的表面积等于（）A ．π4 B ．π3 C ．π2 D ．π12、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）下列命题正确的是（）．（A ）若直线1l ∥平面α，直线2l ∥平面α，则1l ∥2l ；（B ）若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l ∥α；（C ）直线l 与平面α所成角的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛2,0π；（D ）若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α，则1l ∥2l .13、（闵行区2016届高三二模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1PD PE 、与底面ABCD 所成的角分别为12θθ、（12θθ、均不为0)．若12θθ=，则动点P 的轨迹为哪种曲线的一部分（）.(A)直线 (B)圆 (C) 椭圆 (D) 抛物线14、（浦东新区2016届高三二模）给出下列命题，其中正确的命题为( )（A ）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面；（B ）直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有直线都不垂直；（C ）直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行；（D ）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直. 二、解答题1、（崇明县2016届高三二模）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 的中点．（1）求证：11EF B D ∥；（2）求二面角1C EF A --的大小（结果用反三角函数值表示）．AC BC 1A 1B 1（第19题图）D 1D FE2、（奉贤区2016届高三二模）面ABC 外的一点P ，,,AP AB AC 两两互相垂直，过AC 的中点D 作ED ⊥面ABC ，且1ED =，2PA =，2AC =，连,BP BE ，多面体B PADE -的体积是33． (1)画出面PBE 与面ABC 的交线，说明理由；（2）求面PBE 与面ABC 所成的锐二面角的大小．ADBCPEQ A DCBP （第20题图）3、（虹口区2016届高三二模）如图，在四棱锥ABCD P -中，已知⊥PA 平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，2AB AD AP ===，1BC =.(1) 求点A 到平面PCD 的距离； (2) 若点Q 为线段BP 的中点，求直线CQ 与平面ADQ 所成角的大小.4、（黄浦区2016届高三二模）如图，小凳的凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P 与凳面圆形的圆心O 的连线垂直于凳面和地面，且P 分两钢管上下两段的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60°，若A 、B 、C 是凳面圆周的三等分点，18AB =厘米，求凳面的高度h 及三根细钢管的总长度（精确到0.01）；5、（静安区2016届高三二模）设点,E F 分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点．如图，以C 为坐标原点，射线CD 、CB 、1CC 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．（1）求向量1D E u u u u r与1C F u u u u r 的数量积；（2）若点,M N 分别是线段1D E 与线段1C F 上的点，问是否存在直线MN ，MN ⊥平面ABCD ？若存在，求点,M N 的坐标；若不存在，请说明理由E FB 1A 1C 1D 1BC DA6、（闵行区2016届高三二模）如图，在直角梯形PBCD中，//PB DC，DC BC⊥，22PB BC CD===，点A是PB的中点，现沿AD将平面PAD折起，设PABθ∠=．（1）当θ为直角时，求异面直线PC与BD所成角的大小；（2）当θ为多少时，三棱锥P ABD-的体积为26．7、（浦东新区2016届高三二模）如图，在圆锥SO中，AB为底面圆O 的直径，点C为»AB的中点，SO AB=.（1）证明：AB⊥平面SOC；（2）若点D为母线SC的中点，求AD与平面SOC所成的角.（结果用反三角函数表示）8、（普陀区2016届高三二模）在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为1，B C 1与底面ABCD 所成的角的大小为2arctan ，如果平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角是锐角，求出此二面角的大小（结果用反三角函数值）9、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，90=∠BAC ，且异面直线BA 1与11CB 所成的角等于060，设a AA =1. （1）求a 的值；（2）求三棱锥BC A B 11-的体积．1A 1B 1CA BCD.A 1CEA BCDB 110、（杨浦区2016届高三二模）如图，底面是直角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，1112AC BC AA ===，D 是棱1AA 上的动点.(1)证明：1DC BC ⊥； (2)求三棱锥1C BDC -的体积.11、（闸北区2016届高三二模）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11AA =，点E 在棱AB 上移动．（1）探求AE 多长时，直线1D E 与平面11AA D D成45o 角；（2）点E 移动为棱AB 中点时，求点E 到平面11A DC 的距离．12、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面△ABC 是等腰直角三角形，21===AA BC AC ，D 为侧棱1AA 的中点．（1）求证：⊥BC 平面11A ACC ；（2）求二面角11C CD B --的大小（结果用反三角函数值表示）．参考答案一、填空、选择题ABCA 1B 1C 1D1、12π2、23、64π4、3325、4106、37、1 或3 8、C 9、D 10、D 11、A 12、D13、B 14、D二、解答题1、可得有关点的坐标为11111(0,0,1),(1,1,1),(,1,0),(0,,0),(0,1,1)22D BEF C 11(,,0)22EF =--u u u r ，11(1,1,0)B D =--u u u u r (4)分所以112B D EF =u u u u r u u u r...............................5分所以11EF B D ∥...............................6分（2）设1(,,)n u v w =u r是平面1C EF 的一个法向量.因为111,n EF n FC ⊥⊥u r u u u u r u r u u u u r所以1111110,0222n EF u v n FC v w ⋅=--=⋅=+=u r u u u ru r u u u u r解得,2u v v w =-=- .取1w = ，得1(2,2,1)n =-u r.............................9分因为1DD ABCD ⊥平面，所以平面ABCD 的一个法向量是2(0,0,1)n =u u r (10)分设1n u r 与2n u u r 的夹角为α ，则12121cos 3||||n n n n α⋅==⋅u r u u ru r uu r .......................11分结合图形，可判别得二面角1C EF A --是钝角，其大小为1arccos 3π- (12)分2、(1)根据条件知:PE 与AD 交点恰好是C 1分ACBC 1A 1B 1（第19题图）D 1 D FE x yz,C PE C ∈∴∈面PBE ,,C AC C ∈∴∈面ABC 2分B ∈面PBE ,B ∈面ABC3分面PBE与面ABC的交线BC5分 (2)(理) ,,AP AB AC 两两互相垂直,BA ⊥面EDAP 7分多面体B PADE -的体积是()113323PA DE AD BA ⨯+⨯⨯=9分233BA ∴=10分建立空间直角坐标系,设平面的法向量是()1,,n x y z u r23,0,03B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0C ()0,1,0D ()0,1,1E ()0,0,2P23,0,23BP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，23,1,13BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r123203n BP x z ⋅=-+=u r u u u r12303n BE x y z ⋅=-++=u r u u u r()13,1,1n ∴=u r11分面ABC 的法向量()20,0,1n =u u rADBC PE zxyQA D CBP（第20题解答图）z yx 1212cos n nn n θ⋅==⋅u r u u ru r u u r 1555= 12分所以面PBE 与面ABC 所成的锐二面角大小5arccos 513分注：若作出二面角得2分，计算再3分 (2)(文),,AP AB AC 两两互相垂直,BA ⊥面EDAP7分多面体B PADE -的体积是()113323PA DE AD BA ⨯+⨯⨯=9分233BA ∴=10分连接AEAE 是BE 在面EDAP 的射影BEA ∠是BE 与面PADE 所成的线面角． 11分计算2AE =,2363tan 32BAE ∠==12分BEA ∠是BE 与面PADE 所成的线面角6arctan 3． 13分3、（理）解：(1)以},,{AP AD AB 为正交基底建立空间直角坐标系xyz A -，则相关点的坐标为B （2,0,0），(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2).C D P ……2分设平面PCD 的法向量为(,,),n x y z =r由(2,1,0),DC =-uuu r (0,2,2),DP =-u u u r (0,2,0).DA =-u u u r则ADBCPE202,2.220n DC x y y x z x n DPy z r u u u r r u u u r ìïì?-==ïïïÞ眄镲=?-+=ïîïî 令1x =，则(1,2,2)n =r.……5分所以点A 到平面PCD 的距离为：(0,2,0)(1,2,2)4.(1,2,2)3DA n d nu u u r r r×-?=== ……7分(2) 由条件，得(1,0,1),Q =(0,2,0),(1,0,1),AD AQ ==u u u r u u u r 且(1,1,1).CQ u u u r=--设平面ADQ 的法向量为0000(,,),n x y z =r 则00000000200,.0n AD y y z x n AQx z r u u u r r u u u r ìïì?==ïï镲Þ眄镲=-?+=ïïîî令01x =，则0(1,0,1)n =-r.……10分设直线CQ 与平面ADQ 所成角为,θ则00026sin cos ,.332CQ n CQ n CQ n θ⋅=<>===⋅u u u r u u r u u u r u u ru u u r u u r故直线CQ 与平面ADQ 所成角的大小为6sin.3arc ……14分注：第（1）小题也可用等积法来做.4、[解] 联结PO ，AO ，由题意，PO ⊥平面ABC ，因为凳面与地面平行，所以PAO ∠就是PA 与平面ABC 所成的角，即60PAO ∠=︒．（2分）在等边三角形ABC 中，18AB =，得63AO =，（4分）在直角三角形PAO 中，318OP AO ==，（6分）由0.618OPh OP=-，解得47.13h ≈厘米．（9分）三根细钢管的总长度3163.25sin 60h≈︒厘米．（12分）5、（1）在给定空间直角坐标系中，相关点及向量坐标为11(2,0,2),(1,2,0),(1,2,2)D E D E =--u u u u r (2)分PA BCD xy z PA BCD 11(0,0,2),(2,2,1),(2,2,1)C F C F =-u u u u r (4)分所以111222(2)(1)4D E C F ⋅=-⨯+⨯+-⨯-=u u u u r u u u u r。

2020—2021年高考总复习数学(理)高三年级教学质量检测及参考答案(精品试题).docx

年高三年级教学质量检测试卷数学（理）考生须知：1．全卷分试卷Ⅰ、试卷Ⅱ和答题卷.考试结束后，将答题卷上交.2．试卷共4页，三大题，共20小题.满分150分，考试时间120分钟.3．请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效.参考公式：球的表面积公式S=4πR2球的体积公式V=34πR3其中R表示球的半径锥体的体积公式V=31Sh其中S表示锥体的底面积, h表示锥体的高试卷Ⅰ一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的．） 1.已知集合2{|10}A x x =-≤，{|ln <0}B x x =，则A B =U （▲） A.{}|1x x ≤ B.{}|01x x << C.{}|11x x -≤≤ D.{}|01x x ≤≤ 2.已知等比数列{}n a 中,各项都是正数,前n 项和为n S ，且2321,,2a a S 成等差数列,则公比q 等于（▲） A ．12+B ．12-C ．322+D ．322-3.设R a ∈，则“4a =”是“直线1:230l ax y +-=与直线2:20l x y a +-=平行”的（▲） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.在平面直角坐标系中,不等式组22x y x≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域的面积是（▲） A ．82B ．8C ．42D ．45. 若函数()sin()(02)4f x x πωω=+<<的图像关于直线6x π=对称,则()f x 的最小正周期为（▲） A ．23πB ．43πC ．2πD ．83π6.已知某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的表面积为（▲） A ． 23B ．323++C ．2D ．1225++7.已知21F F 、分别是双曲线C ：22221y x a b-=的左、右焦点,过点2F 作渐近线的垂线，垂足为点A ，若22F A AB =uuu r uu u r，且点B 在以1F 为圆心,||1OF 为半径的圆内,则C 的离心率取值范围为（▲） A ．(5,)+∞B ．(2,)+∞C ．(1,2)D ．(1,5)8.正方形ABCD 的边长为6，点,E F 分别在边,AD BC 上，且DE EA =，2CF FB =，如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上（不含顶点）有且只有6个不同的点P ，使得PE PF λ=uur uu u rg 成立，那么λ的取值范围为（▲）A. 1(3,)4-- B ．(3,3)- C. 1(,3)4- D.(3,12) 第II 卷（非选择题，共110分）二、填空题：（本题共7小题，多空每题6分，单空每题4分，共36分．把正确答案填在答题卷相应横线上)9. 已知(1,3)a =r ，(3,3)b =-r，则a r = ▲ ；a b r rg = ▲ ；a r 在b r 方向上的投影为 ▲ ．10.已知圆C 的方程为22680x y x y +--=,则圆心C 的坐标为 ▲ ；过点(3,5)的最短弦的长度为 ▲ ．11.已知抛物线C ：220)y pxp =>（的焦点坐标为(1,0)，则p = ▲ ；若抛物线C 上一点A 到其准线的距离与到原点距离相等，则A 点到x 轴的距离为 ▲ ．12.已知02πα<<，4sin 5α=，1tan()3αβ-=-，则tan β= ▲ ；sin(2)sin()22cos()4πββππβ-⋅+=+▲ ．13.已知函数2()2f x x =-,对[]11,2x ∀∈，[]23,4x ∃∈，若21()()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14.已知三棱柱111ABC A B C -,侧棱1AA ⊥底面ABC ,12AB AC AA ===,90BAC ∠=o ,,E F 分别是1,AB BB的中点，G 为1CC 上动点，当,AF EG 所成角最小时，FG 与平面11AA BB 所成角的余弦值为 ▲ ．15.已知函数2()()32,3x n f x m x nx =-⋅++记函数()y f x =的零点构成的集合为A ，函数[]()y f f x =的零点构成的集合为B ，若A B =，则m n +的取值范围为 ▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16.（本题满分14分）已知2()3sin cos cos f x x x x =⋅+. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC 的三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()1f C =，求222a b c ab++的取值范围.17.（本题满分15分）如图，在四棱锥E ABCD -中, 底面ABCD 是矩形，1AB =，AE ⊥平面CDE , 6AE DE ==,F 为线段DE 上的一点.（Ⅰ）求证:平面AED ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若二面角E BC F --与二面角F BC D --的大小相等，求DF 的长.18.(本题满分15分)设常数R a ∈，函数()()||f x a x x =-. （Ⅰ）若1=a ，求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若)(x f 是奇函数，且关于x 的不等式)]([2x f f m mx >+对所有的]2,2[-∈x 恒成立，求实数m 的取值范围.19.（本题满分15分）已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>，不经过原点O 的直线:(0)l y kx m k =+>与椭圆E 相交于不同的两点A 、B ,直线,,OA AB OB 的斜率依次构成等比数列. （Ⅰ）求,,a b k 的关系式；（Ⅱ）若离心率12e =且17AB m m=+，当m 为何值时，椭圆的焦距取得最小值？20.(本题满分15分)已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，12b =，124n n n n n a b a b a +=++（Ⅰ）若2n n b a =，求证：当2n ≥时，3212n n a n +≤≤+ ；（Ⅱ）若124n n n n na b b b a +++=，证明10n a <.答案一、选择题：1-4 CACD 5-8 BBAC 二、填空题：9. 2，23 ，1 10.(3,4)46 11． 2， 2 12.63,513. [)12,-+∞ 14． 5315．80,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、解答题： 16.解：（I ）2()3sin cos cos f x x x x =⋅+∴ ()2sin(2)6f x x π=+Q 222262k x k πππππ-≤+≤+∴36k x k ππππ-≤≤+∴函数()f x 的单调递增区间,,36Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（II ）Q()1f C =∴()2sin(2)16f C C π=+=∴2266C k πππ+=+或52266C k πππ+=+k ∈Z∴3C π=由余弦定理得：222c a b ab =+-∴222222()12()1a b c a b b a ab ab a b +++=-=+- Q △ABC 为锐角三角形 ∴022032{A A πππ<<<-<∴62,A ππ<<由正弦定理得：2sin()sin 3113,2sin sin 2tan 22A b B a A A A π-⎛⎫===+∈ ⎪⎝⎭∴[)2223,4a b c ab++∈ 17.解：（Ⅰ）Q AE ⊥面CDE CD ⊂面CDE∴AE ⊥CD又Q ABCD 是矩形 ∴AD ⊥CD ∴ CD ⊥面AED又Q CD ⊂面ABCD ∴平面AED ⊥平面ABCD（Ⅱ）解法一：取,AD BC 的中点,G H 连结,,EG GH EH ,过F 作||FM EG 交AD 于M ,过M 作||NM HG 交BC 于N ,连结FNQ 6AE DE ==∴3EG =且EG AD ⊥Q 平面AED ⊥平面ABCD ∴EG ⊥面ABCD 易知GH BC ⊥∴EH BC ⊥∴EHG ∠就是二面角E BC D --的平面角同理FNM ∠就是二面角F BC D --的平面角由题意得2EHG FNM ∠=∠ 而tan 3EGEHG GH∠==∴3tan 31FM FM FNM MN ∠===∴33FM =∴63DF =解法二：依据解法一建立如图空间直角坐标系O xyz- 则(3,1,0),B --(3,1,0),C -(3,0,0),D (0,0,3)E ,设DF a =，则22(3,0,)22F a a -，易知平面ABCD 的一个法向量为1(0,0,1)n =u r设平面BCF ,平面BCE 的法向量为2111(,,)n x y z =u u r，3222(,,)n x y z =u r，则(23,0,0),BC =uu u r (3,1,3),BE =uu r 22(23,1,)22BF a a =-uu u r Q 2200n BC n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r uu u r u u r uu u r ∴22(0,,1)2n a =-u u r Q 220n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r uu u ru u r uur∴3(0,3,1)n =-u r 由题意得：2321cos ,cos ,n n n n =u u r u r u u r u r∴63a =即63DF =18. （Ⅰ）当1a =时，⎩⎨⎧<-≥-=-=0,)1(0,)1()1()(x x x x x x x x x f ，当0≥x 时，41)21()1()(2+--=-=x x x x f ，所以()f x 在)21,0(内是增函数，在),21(+∞内是减函数；当0<x 时，41)21()1()(2--=-=x x x x f ，所以()f x 在)0,(-∞内是减函数.综上可知，()f x 的单调增区间为)21,0(，单调减区间为)0,(-∞、),21(+∞.（Ⅱ）)(x f Θ是奇函数，0)0(=∴f ，解得0=a .x x x f -=∴)(，x x x f f 3)]([=.23[()]mx m f f x x x ∴+>=123+>x xx m ，而51621111111122242423≤-+++=++-=+≤+x x x x x x x xx .所以516>m .19．解：（Ⅰ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意得21212OA OB y y k k k x x =⋅=由22221y x a b y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得222222222()20b a k x a kmx a m a b +++-=故222222222(2)4()()0a km b a k a m a b ∆=-+-> ，即22220b m a k -+>1122222222222222()()a kmx x b a k a m a bx x b a k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪⋅=⎪+⎩，2221212121212()y y k x x km x x m k x x x x +++==即212()0km x x m ++=，222222220()a k m mb a k -+=+ 又直线不经过原点，所以0m ≠所以222b a k = 即b ak = （Ⅱ）若12e =，则2,3a c b c ==，234k =，又0k >，得32k =112222222222222222323()223()m a km x x b a k a m a b x x m c b a k ⎧+=-=-⎪+⎪⎨-⎪⋅==-⎪+⎩22222121212772321()4()4(2)2233m AB k x x x x x x m c =+-=+-⋅=--- 227418723m c m m=-+=+ 化简得222434122233mc m=++≥+ （0∆>恒成立）当 4122m =± 时，焦距最小 20. （Ⅰ）解：将2n n b a =代入124n n n n na b a b a +=++可得：121n n na a a +=++由11a =知0n a >，1211n n na a a +-=+>，数列{}n a 递增，故当2n ≥时，1222111n n n a a a a +<-≤+≤+，即1312n n a a +<-≤又232431()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L所以223(2)(2)2n a n a a n +-≤≤+-，即3212n n a n +≤≤+（Ⅱ）由110,0a b >>以及递推式知0n a >，0n b >，而11(2)(2)2(2)(2)2n n n n n n n n a b a b a b b a ++++⎧+=⎪⎪⎨++⎪+=⎪⎩ 则1112(2)(2)12(2)(2)n n n n n n n n b a a b a b a b ++⎧=⎪+++⎪⎨⎪=+++⎪⎩ 从而有11(2)(2)1122(2)(2)(2)(2)(2)(2)n n n n n n n n n n n n b a b a a b a b a b a b +++-+-=-=++++++++ 1111111222212n n a b a b =-==-=++++L 所以11212na >+，因此10n a <。

(完整版)全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全

14. 已知双曲线 a 2 b2
的左右两个焦点分别为 F1、F2 ，点 P 在双曲线右支上。
3 41 16
(
（Ⅰ）若当点 P 的坐标为
5
, 5 ) 时, PF1 PF2 ，求双曲线的方程；
（Ⅱ）若| PF1 | 3 | PF2 | ,求双曲线离心率e的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程。
x2 y2 1 15. 若 F1 、F 2 为双曲线 a b 的左右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线的左支上，点 M 在
20. 在平面直角坐标系中，若 a (x
3, y),b (x
3,
y) ，且
a
b
4 ,
(1）求动点 Q(x, y) 的轨迹 C 的方程；
（2）已知定点 P(t, 0)(t 0) ,若斜率为1的直线 l 过点 P 并与轨迹 C 交于不同的两点 A, B ，且对于
轨迹
C
上任意一点
M
,都存在
x
的一条准线方程是
25 , 4 其左、右顶点分别
C2 是 A、B;双曲线
x2 :
a2
y2 b2
1 的一条渐近线方程为 3x－5y=0。
（Ⅰ）求椭圆 C1 的方程及双曲线 C2 的离心率；
(Ⅱ）在第一象限内取双曲线 C2 上一点 P，连结 AP 交椭圆 C1 于点 M，连结 PB 并延长交椭圆 C1
于点 N，若 AM MP 。求证: MN AB 0.
(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹 C 的方程．
(Ⅱ）过点 D 且不与 l1、l2 垂直的直线 l 交（Ⅰ)中的轨迹 C 于 E、F 两点；另外平面上的点 G、H
满足：
AG AD( R); GE GF 2GH ; GH EF 0.

2020-2021学年度高三下学期总复习数学专题精品试题专题九数列

2020-2021学年度高三下学期总复习数学专题精品试题专题九数列【满分：100分】（测试内容包括：数列的概念及其表示法、等差数列及其前项和、等比数列及其前项和、数列的综合应用.）一、单项选择题（共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.已知数列的前n项和为，满足，则的通项公式（）A.B.C.D.2.已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为（）A.B.C.D.3.在等比数列中，“是方程的两根”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.记为等比数列的前项和，若数列也为等比数列，则（）A.B.1C.D.25.已知数列，其前项和为，则（）A.B.C.D.6.在等差数列中，，其前n项和为，若，则（）A.0B.1C.2019D.20207.已知函数，数列满足，且是递减数列，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.8.如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形.每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为.现用13米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为1米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为（参考数据：）（）A.6 个B.7 个C.8 个D.9 个二、多项选择题（共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知数列的前项和为，且有，，数列的前项和为，则以下结论正确的是（）A. B. C. D.为递增数列10.设，数列满足，，，则下列说法不正确的是（）A.当时，B.当时，C.当时，D.当时，11.已知数列的所有项都是正数，且满足，下列说法正确的是（）A.数列的通项公式为B.数列是等差数列C.数列的前项和是D.数列是等比数列12.已知数列满足，则（）A.B.C.D.三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．）13.已知为数列的前n项和，且，则的通项公式为 .14.已知是等比数列的前项和，成等差数列，，则 .15.已知数列的前项和为，，且（为常数）.若数列满足，且，则满足条件的的取值集合为 .16.数列满足：对任意的且，总存在，使得，则称数列是“T 数列”.现有以下四个数列：①；②；③；④．其中所有“数列”的序号为 .四、解答题（共4小题，其中第17～18题每题各8分，第19～20题每题各10分，共36分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（8分）已知数列的前n项和为，且满足.（1）证明：是等比数列；（2）求.18.（8分）已知等差数列的前项和为，若.（1）求的通项公式和前项和；（2）记，数列的前项和为，求证：.19.（10分）已知数列满足，数列的前项和为.（1）求出数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.20.（10分）设等比数列满足，.（1）令，求的最大值；（2）令，求数列的前n项和.专题九数列一、单项选择题1.B【解析】法一：当时，，，排除选项D；当时，，，排除选项A、C.故选B.法二：当时，，，当时，，，∴数列是首项为1，公比为2的等比数列，因此.故选B．2.C【解析】因为是等差数列，所以.又是等比数列，所以，因为，所以，所以.故选C．3.A【解析】在等比数列中，若是方程的两根，则，则，且，，解得，故充分性成立；而当时，，故必要性不成立，所以“是方程的两根”是“”的充分不必要条件.故选A.4.A【解析】设等比数列的公比为，当时，，显然不为等比数列，舍去.当时，，欲符合题意，需，得，故.故选A.5.B【解析】已知数列，其前项和，则，所以.故选B.6.A【解析】法一：设等差数列的前n项和为，则，是等差数列.，新数列是首项为，公差为1的等差数列，则第2 020项为，.故选A.法二：设等差数列的公差为d，则，，则，，代入，得：，.故选A．7.C【解析】因为是递减数列，则解得.故选C．8.B【解析】记由外到内的第n个正方形的周长为，则它们构成首项，公比为的等比数列，则其前n项和为，根据题意得，解得，两边同取常用对数得，故可制作完整的正方形的个数最多为7个.故选B.二、多项选择题9.BD【解析】由得化简得根据等比数列的性质得数列是等比数列，易知故的公比为2，则，，由裂项相消法得，故B正确，C错误，D正确.根据知A选项错误.故选BD.10.B CD【解析】当时，，，又，故，当时，故时，，不成立.同理和时，均存在小于10的数只需则故不成立.故选BCD.11.A BD【解析】当时，，可得，当时，由，可得，两式相减得，得，又也适合上式，则数列的通项公式为，故A正确；，，故C错误；结合等差数列、等比数列的定义知B，D都正确.故选ABD.12.A C【解析】由，可得，，，化简得，故A正确；由可得，故B错误；由，故C正确；若，满足，但，故D错误.故选AC.三、填空题13.【解析】由，得，当时，当时，（不满足上式），所以数列的通项公式为.14.2【解析】由成等差数列，得.设等比数列的公比则.由解得舍去，所以所以所以解得(舍去).又因为，即所以则.15.【解析】因为，且（为常数），所以，解得，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，解得，又因为，所以或．所以，当或时，，即满足条件的的取值集合为.16.①④【解析】令，则，，，显然，当时，恒成立，所以数列是“T数列”；令，则，，，所以，所以数列不是“T数列”；令，则，，，所以，所以数列不是“T数列”；令，则，同理时，，即，所以数列是“T数列”.综上，所有“T数列”的序号为①④.四、解答题17.【解析】（1）由得，………………………1分当时，，所以，……………………………………………2分则，……………………3分所以是以为首项，2为公比的等比数列.…………………………………………………………………4分（2）由（1）得，所以，………5分所以…………………………………6分…………………………………………7分.………………………………………………8分18.【解析】（1）设数列的公差为，则，即，解得.……………2分，…………………………………3分. ………………………………………4分（2）当时，.……………………………………5分当时，，. ……………………………………7分综上可知，. ……………………………………………8分19.【解析】（1）由，，可得，是首项为2，公比为2的等比数列.，.即数列的通项公式.…………………………2分由数列的前项和为，可得当时，，即数列的通项公式为.………………………4分（2）可知.…………………………………………………………………5分设，，两式相减可得，可得，……………………………8分而数列的前项和为，所以.………………………………10分20.【解析】（1）设等比数列首项为，公比为q，所以，，………………………1分解得，所以，………………2分当时，解得，………………………3分又因为是递减数列，所以，…………………4分所以的最大值为.……………5分（2）由（1）知，则，……………………………………6分，两边同时乘以得，，………………7分两式相减得，……………………8分.…………………………………………………………………9分所以. …………………………………10分。

2020-2021高中三年级数学下期末试卷带答案

2020-2021高中三年级数学下期末试卷带答案一、选择题1．如图所示的圆锥的俯视图为（）A ．B ．C ．D ．2．函数ln ||()xx f x e =的大致图象是（） A ． B ．C ．D ．3．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜04．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为( ) A ．10组B ．9组C ．8组D ．7组5．已知非零向量a b r r ，满足2a b r r =，且ba b ⊥r r r （–），则a r 与b r 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π66．设i 为虚数单位，复数z 满足21ii z=-，则复数z 的共轭复数等于（） A ．1-iB ．-1-iC ．1+iD ．-1+i7．函数()23x f x x+=的图象关于( )A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线y x =对称8．已知函数()(3)(2ln 1)xf x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(,)e +∞B ．2(,2)e eC ．2(2,)e +∞D ．22(,2)(2,)e e e +∞U9．已知函数()3sin 2cos 2[0,]2f x x x m π=+-在上有两个零点，则m 的取值范围是A ．（1,2）B ．[1,2）C ．（1,2]D ．[l,2]10．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B =I ð（） A ．{}1- B ．{}0,1 C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3- 11．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是（） A ．513x << B ．135x << C ．25x <<D ．55x <<12．设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<二、填空题13．若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是___________.14．若过点()2,0M 且斜率为3的直线与抛物线()2:0C y ax a =>的准线l 相交于点B ，与C 的一个交点为A ，若BM MA =v u u u v，则a =____．15．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.16．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖D 的仰角为45︒，乙同学在B 地测得树尖D 的仰角为30°，量得10AB AC m ==，树根部为C （,,A B C 在同一水平面上），则ACB =∠______________.17．若45100a b ==，则122()a b+=_____________． 18．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则ba的取值范围是__________． 19．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________． 20．()sin 5013tan10+=oo________________.三、解答题21．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A −PB −C 的余弦值.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB =，1AD CD ==，E 是PB 上一点.（1）求证:平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --的余弦值是63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.23．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP 软件层出不穷，现从某市使用A 和B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：(1)已知抽取的100个使用A 未订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18分钟，现从使用A 未订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；(2)试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数； (3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A 和B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？24．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1) 求的值；(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大25．在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为()π42，，5π224⎛⎫ ⎪⎝⎭，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）．（1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值． 26．已知0,0a b >>. (1)211ab a b≥+ ；(2)若a b >，且2ab =，求证：224a b a b+≥-．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】找到从上往下看所得到的图形即可．【详解】由圆锥的放置位置，知其俯视图为三角形．故选C. 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，本题容易误选B ，属于基础题.2．A解析：A 【解析】【分析】由函数解析式代值进行排除即可. 【详解】解：由()xln x f x =e，得()f 1=0，()f 1=0-又()1f e =0e e >，()1f e =0ee --> 结合选项中图像，可直接排除B ，C ，D 故选A 【点睛】本题考查了函数图像的识别，常采用代值排除法.3．D解析：D 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为．存在x 0∈R ，使得x 02＜0．故选D ．4．B解析：B 【解析】由题意知，(14051)108.9-÷=，所以分为9组较为恰当，故选B.5．B解析：B 【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥r r r 得出向量,a b r r的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥r r r ，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-r r r r r r =0，所以2a b b ⋅=r r r，所以cos θ=22||122||a b b b a b ⋅==⋅r r r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为3π，故选B ．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．6．B解析：B 【解析】【分析】利用复数的运算法则解得1i z =-+，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】 ∵复数z 满足21ii z =-，∴()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．C解析：C 【解析】【分析】求函数的定义域，判断函数的奇偶性即可．【详解】解：()f x x=Q0x ∴≠解得0x ≠()f x ∴的定义域为()(),00,D =-∞+∞U ，D 关于原点对称.任取x D ∈，都有()()f x f x x-===，()f x ∴是偶函数，其图象关于y 轴对称，故选：C . 【点睛】本题主要考查函数图象的判断，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．解析：C 【解析】【分析】求得函数的导数()(2)()x xe af x x x-'=-⋅，根据函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，转化为0x xe a -=在(1,)+∞上有不等于2的解，令()xg x xe =，利用奥数求得函数的单调性，得到()1a g e >=且()222a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递增，得到()0f x '≥在(1,2)上恒成立，进而得到x a xe ≥在(1,2)上恒成立，借助函数()x g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，求得2(2)2a g e >=，即可得到答案.【详解】由题意，函数()(3)(2ln 1)xf x x e a x x =-+-+，可得2()(3)(1)(2)()(2)()x xxxa xe a f x e x e a x e x x x x-'=+-+-=--=-⋅，又由函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，则()0f x '=，即(2)()0x xe ax x--⋅=在(1,)+∞上有两解，即0x xe a -=在在(1,)+∞上有不等于2的解，令()xg x xe =，则()(1)0,(1)xg x x e x '=+>>，所以函数()xg x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以()1a g e >=且()222a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递增，则()0f x '≥在(1,2)上恒成立，即(2)()0x xe ax x--⋅≥在(1,2)上恒成立，即0x xe a -≤在(1,2)上恒成立，即x a xe ≥在(1,2)上恒成立，又由函数()xg x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以2(2)2a g e >=，综上所述，可得实数a 的取值范围是22a e >，即2(2,)a e ∈+∞，故选C.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.9．B【解析】【分析】【详解】试题分析：利用辅助角公式化简函数为()3sin 2cos 2f x x x m=+-,令,则,所以此时函数即为.令有,根据题意可知在上有两个解,根据在函数图像可知,.考点：辅助角公式;;零点的判断;函数图像.10．A解析：A 【解析】【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.11．A解析：A 【解析】试题分析：因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，则设边3对的锐角为角α，根据余弦定理得22223cos 04x xα+-=>，解得5x >x 边对的锐角为β，根据余弦定理得22223cos 012x β+-=>，解得013x <<，所以实数x 的取值范围是513x <<，故选A. 考点：余弦定理.12．D解析：D 【解析】【分析】【详解】因为，，所以，，且，所以，，所以,故选D.二、填空题13．【解析】【分析】由题意知渐近线方程是再据得出与的关系代入渐近线方程即可【详解】∵双曲线的两个顶点三等分焦距∴又∴∴渐近线方程是故答案为【点睛】本题考查双曲线的几何性质即双曲线的渐近线方程为属于基础题解析：22y x =±【解析】【分析】由题意知，渐近线方程是b y x a =±，1223a c =⨯，再据222c ab =+，得出 b 与a 的关系，代入渐近线方程即可．【详解】∵双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的两个顶点三等分焦距，∴1223a c =⨯，3c a =，又222c a b =+，∴22b a = ∴渐近线方程是22by x x a=±=±，故答案为2y x =±．【点睛】本题考查双曲线的几何性质即双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的渐近线方程为b y xa =±属于基础题．14．【解析】【分析】由直线方程为与准线得出点坐标再由可得点为线段的中点由此求出点A 的坐标代入抛物线方程得出的值【详解】解：抛物线的准线方程为过点且斜率为的直线方程为联立方程组解得交点坐标为设A 点坐标为因解析：8【解析】【分析】由直线方程为2)y x =-与准线:al x 4=-得出点B 坐标，再由BM MA u u u u v u u u v =可得，点M 为线段AB 的中点，由此求出点A 的坐标，代入抛物线方程得出a 的值.【详解】解：抛物线()2:0C y ax a =>的准线方程为:a l x 4=-过点()2,0M2)y x =-，联立方程组2)4y x a x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得，交点B坐标为(a 4-，设A 点坐标为00(,)x y ，因为BM MA u u u u v u u u v=，所以点M 为线段AB 的中点，所以00()442402a x y ⎧+-⎪=⎪⎪⎨⎪+⎪=⎪⎩，解得(a A 44+，将(a A 44+代入抛物线方程，即))()2a 8aa 444+=+，因为0a >，解得8a =. 【点睛】本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.15．【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积【详解】因为长方体的体积为120所以因为为的中点所以由长方体的性质知底面所以是三棱锥的底面上的高所以三棱锥的体积【点睛】本题蕴解析：【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =，由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=. 【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.16．【解析】【分析】作出立体图利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长再利用余弦定理求解即可【详解】如图所示在中∵∴在中∵∴在中∴故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题依据解析：30°【解析】【分析】作出立体图,利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长,再利用余弦定理求解cos ACB ∠即可.【详解】如图所示,在Rt ACD V 中,∵10,45AC m DAC =∠=︒,∴10DC m =在Rt DCB △中,∵30DBC ∠=︒,∴BC =.在ABC V 中,2221010cosACB +-∠==30ACB ∠=︒.故答案为：30°【点睛】本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题,依据题意正确画出立体图形,确定边的关系再利用余弦定理求解即可.属于基础题.17．【解析】【分析】根据所给的指数式化为对数式根据对数的换地公式写出倒数的值再根据对数式的性质得到结果【详解】则故答案为【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质属于基解析：2【解析】【分析】根据所给的指数式，化为对数式，根据对数的换地公式写出倒数的值，再根据对数式的性质，得到结果．【详解】45100a b ==Q ，4log 100a ∴=，5log 100b =，10010010012log 42log 5log 1001a b∴+=+==，则1222a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故答案为2【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题，解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质，属于基础题．18．【解析】【分析】【详解】因为为锐角三角形所以所以所以所以所以解析：2,3)【解析】【分析】【详解】因为ABC ∆为锐角三角形，所以02202B A A B πππ⎧<=<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，所以0463A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，所以(,)64A ππ∈，所以sin 2cos sin b B A a A==，所以b a ∈. 19．1和3【解析】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加解析：1和3.【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；所以甲的卡片上的数字是1和3.20．【解析】【分析】利用弦化切的运算技巧得出然后利用辅助角二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值在计算时要结合角之间的关系选择解析：1【解析】【分析】利用弦化切的运算技巧得出()cos10sin 50cos 0sin 5011an10++=⋅o ooo o o ，然后利用辅助角、二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果.【详解】原式()2sin 1030sin50cos102sin 40cos 40sin50cos10cos10cos10++=⋅==o o o o o o oo o o o()sin 9010sin80cos101cos10cos10cos10-====o o o oo o o . 故答案为：1.【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值，在计算时要结合角之间的关系选择合适的公式化简计算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）见解析；（2）3 -.【解析】【详解】（1）由已知90BAP CDP∠=∠=︒，得AB⊥AP，CD⊥PD．由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面P AD．又AB⊂平面P AB，所以平面P AB⊥平面P AD．（2）在平面PAD内作PF AD⊥，垂足为F，由（1）可知，AB⊥平面PAD，故AB PF⊥，可得PF⊥平面ABCD.以F为坐标原点，FAu u u v的方向为x轴正方向，ABu u u v为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz-.由（1）及已知可得22A⎛⎫⎪⎪⎝⎭，2P⎛⎝⎭，2,1,02B⎛⎫⎪⎪⎝⎭，22C⎛⎫-⎪⎪⎝⎭.所以22PC⎛=⎝⎭u u u v，)2,0,0CB=u u u v，22PA=⎝⎭u u u v，()0,1,0AB=u u u v.设(),,n x y z=r是平面PCB的法向量，则0,0,n PCn CB⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vru u u vr即220,2220,x y zx⎧-+-=⎪⎨⎪=⎩可取(0,1,2n=--r.设(),,m x y zr=是平面PAB的法向量，则0,0,m PAm AB⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vru u u vr即220,220.x zy-=⎨⎪=⎩可取()1,0,1m=r.则cos ,n m n m n m ⋅==r r r r r r ，所以二面角A PB C --的余弦值为【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.22．（1）证明见解析（2）3 【解析】【分析】（1）先证明AC ⊥平面PBC ，然后可得平面EAC ⊥平面PBC ；（2）建立坐标系，根据二面角P AC E --可得PC 的长度，然后可求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.【详解】（1）PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，得AC PC ⊥.又1AD CD ==，在Rt ADC ∆中，得AC =，设AB 中点为G ，连接CG ，则四边形ADCG 为边长为1的正方形，所以CG AB ⊥，且BC =因为222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥，又因为BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC ，又AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC .（2）以C 为坐标原点，分别以射线CD ､射线CP 为y 轴和z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()1,1,0A ，()1,1,0B -.又设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,1,0CA =u u u r ，()0,0,CP a =u u u r ， 11,,222a CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，()1,1,PA a =-u u u r . 由BC AC ⊥且BC PC ⊥知，()1,1,0m CB ==-u r u u u r 为平面PAC 的一个法向量. 设(),,n x y z =r 为平面EAC 的一个法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=r u u u r r u u u r ，即00x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取x a =，y a =-，则(),,2n a a =--r ，有26cos ,2m n m nm n a ⋅===⋅+u r r u r r u r r ，得2a =，从而()2,2,2n =--r ，()1,1,2PA =-u u u r . 设直线PA 与平面EAC 所成的角为θ，则sin cos ,n PA n PA n PA θ⋅==⋅r u u u r r u u u r r u u u r 22423612-+==⨯. 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23.【点睛】本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解.23．（1）12；（2）40；（3）选B 款订餐软件. 【解析】【分析】⑴运用列举法给出所有情况，求出结果⑵由众数结合题意求出平均数⑶分别计算出使用A 款订餐、使用B 款订餐的平均数进行比较，从而判定【详解】（1）使用A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家共有1000.006106⨯⨯=个，分别记为甲，,,,,,a b c d e从中随机抽取3个商家的情况如下：共20种.{},a b 甲，,{},a c 甲，,{},a d 甲，,{},a e 甲，,{},b c 甲，,{},b d 甲，,{},b e 甲，,{}{},,c d c e 甲，甲，,{},d e 甲，,{},,a b c ,{},,a b d ,{},,a b e ,{},,a c d ,{},,a c e ,{},,a d e ,{},,b c d ,{},,b c e ,{},,b d e ,{},,c d e .甲商家被抽到的情况如下：共10种．{},a b 甲，,{},a c 甲，,{},a d 甲，,{},a e 甲，,{},b c 甲，,{},b d 甲，,{},b e 甲，,{},c d 甲，,{},c e 甲，,{},d e 甲，记事件A 为甲商家被抽到，则()101202P A ==. （2）依题意可得，使用A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，平均数为 150.06250.34350.12450.04550.4650.0440⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=.（3）使用B 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为150.04250.2350.56450.14550.04650.023540⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=< 所以选B 款订餐软件．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，平均数和众数，古典概率等基础知识，考查了数据处理能力以及运算求解能力和应用意识，属于基础题．24．(1)因为时，所以；(2)由(1)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：222()(3)[10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-； /2()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+-----，令/()0f x =得4x =函数在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当时函数取得最大值答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42. 【解析】(1)利用销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．把x=5,y=11代入,解关于a 的方程即可求a..(2)在（1）的基础上，列出利润关于x 的函数关系式，利润=销售量⨯（销售单价－成品单价），然后利用导数求其最值即可.25．（1）340x y -+=；（2210 【解析】【分析】（1）求得()04A ，，()22B --，，问题得解．（2）利用直线AB 和曲线C 相切的关系可得：圆心到直线A B 的距离等于圆的半径r ，列方程即可得解．【详解】（1）分别将()π42A ，，()5π224B ，转化为直角坐标为()04A ，，()22B --，，所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=．（2）曲线C 的方程为r ρ=（0r >），其直角坐标方程为222x y r +=．又直线A B 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切，所以圆心到直线A B 的距离等于圆的半径r .又圆心到直线A B=r．【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标互化，还考查了直线与圆相切的几何关系，考查计算能力及点到直线距离公式，属于中档题．26．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1) 已知0,0a b >>直接对11a b+使用均值不等式； (2)不等式分母为-a b ，通过降次构造-a b ，再使用均值不等式．【详解】证明：(1)2 “”11a b a b ≤===+时取； (2)()()()2222244 4a b ab a b a b a b a b a b a b a b -+-++===-+≥=----，当且仅当11a b ==-+或11a b ==--【点睛】“一正二定三相等”，不能直接使用均值不等式的化简变形再用均值不等式．。

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2020-2021 学年度高三下学期总复习数学专题精品试题
专题十五圆锥曲线的综合问题
【满分：100 分】（测试内容包括：直线与圆锥曲线的位置关系、曲线与方程、圆锥曲线的最值与范围、圆锥曲线的定点与存在性问题.）一、选择题（共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1. 直线
与椭圆
的位置关系为
（）
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
2. 直线
与双曲线
的交点个数是
（）
A.0
3. 已知动点的坐标满足方程
A.椭圆
4. 已知抛物线
，直线
A.充分不必要条件
B.1
B.双曲线，则“
B.必要不充分条件
C.2
D.1 或 2
，则动点的轨迹是
（）
C.抛物线
D.圆
”是“直线与抛物线有两个不同交点”的
的焦点与双曲线
的焦点重合，过点的直线与抛物线交于
的最小值为
B.
C.7
D.10
（）
的左，右焦点分别为
，过的直线与椭圆交于两点，若
，
，
（）
A.1 或 2
B.2 或
C.3
D.1 或 3
11.已知中心在原点的椭圆的左焦点恰好为圆
的圆心，有两顶点恰好是圆与轴的交点.若椭
圆上恰好存在两点关于直线
.故选 D.
可化为
.如图，过 A 作准线的垂线，
，所以
.若
最小，则直线与抛物线
最小，即相切时，
方程为
，且，与
最小.数形结合可得，最小.设直线的
联立，得
，
消去 x，得
，由
，得 .故选 A.
9. B 【解析】由题意得抛物线 C 的焦点为
，则由
6
，解得或
（舍去），所以
，抛物
线
，由题知，直线的斜率不为零，所以设其方程
A.①
B.②
C.①②
二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.）
D.①②③
（）
13.过双曲线取
的右顶点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的
值范围为 14.已知抛物线
物线的焦点为
. ，满足
，直线
，直线与抛物线分别交第四、第一象限于
，则抛物线的方程为
.
两点，且抛
15.已知双曲线，则
的左，右焦点分别为
的取值范围为
.
，为右支上一动点，
的内切圆的圆心为，半径
16.已知为椭圆
的右焦点，为坐标原点，为线段的垂直平分线与椭圆的一个交点，
若
，则椭圆的离心率为
.
三、解答题（共 4 小题，其中第 17～18 题每题各 8 分，第 19～20 题每题各 10 分，共 36 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
3. C 【解析】方程
可化为
，它表示点到坐标原点的距离等于点到
直线
的距离，由抛物线的定义可知，动点的轨迹是抛物线.故选 C.
4. A 【解析】法一：直线
表示过定点
且不与轴平行的所有直线，而点
在抛物线
与抛物线总有两个不同交点，所以“
”是“
”的充分不必要条件.故选 A.
法二：设直线与抛物线有两个不同交点，联立直线与抛物线方程消去，得
，若四边形
的面积为，其中为坐标原点，则该双曲线的焦距为
A.2
B.
C.3
（） D.4
8. 已知抛物线
的焦点为，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），抛物线的准线交轴于
点，则
最小时，直线的斜率为
（）
A.1 9. 已知抛物线
点，则 A. 10.已知椭圆则实数的值为
B.
C.
D.
（1）证明：直线过定点；
（2）若以
为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形
的面积.
5
专题十五圆锥曲线的综合问题
一、选择题
1. A 【
解
析
】
由
题Hale Waihona Puke 意得直线
恒
过
定
点
，而点在椭圆
的内部，所以直线与椭圆相交.故选 A．
2. B 【解析】因为直线
与双曲线
的渐近线
平行，所以直线与双曲线只有 1 个交点.故选 B．
（）
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5. 过椭圆
的中心任作一直线交椭圆于，两点，是椭圆的一个焦点，则
的周长的最小值为（）
A.12 6. 椭圆
B.14
C.16
内有一点
，则以为中点的弦所在直线的斜率为
D.18
（）
A.
B.
C.
D.
7. 双曲线
的离心率为 2，过右焦点 F 向两条渐近线作垂线，垂足分别为
为
，联立
，消去得
，设
，
，所以
.由抛物线的定义，得
，当且仅当 10.A 【解析】依题意得
时取等号.故选 B.
设
则
，，
，又
，，所以在
，中，
，同理，在
中，
，，
，，将
，所以
以
，直线与抛物线总有两个不同交点.因为“
”是“
”的充分不必要条件，所以“
个不同交点”的充分不必要条件.故选 A.
5. D 【解析】如图，由椭圆的对称性可知，，两点关于原点对
称，设为椭圆另一焦点，则四
边形
为平行四边形，由椭
圆定义可知
，又
，
，又为过椭圆中
心的弦，
，
周长的最小值为
.故选 D．
17.（8 分）双曲线
的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于，两点.
（1）若的倾斜角为，
是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设
，若的斜率存在，且
，求的斜率.
2
3
18.（8 分）已知抛物线
的焦点为，直线
交于
两点.
（1）若
的面积等于 3，求的值；
与抛物线交于
（2）记直线的斜率为，证明：为定值，并求出该定值.
6. A 【解析】设以为中点的弦所在直线与椭圆交于点
，
，斜率为，则
，
，两
式相减得
，又
，
，
，代入解得
.故选 A.
内，
，直线
恒成立，所 ”是“直线与抛物线有两
7. D 【解析】由双曲线的离心率为 2 可得
，又
，
所以
，因为
到渐近线
的距离
，所以
，故
以 8. A 【解析】
垂足为 .因为
，得
，又
，所
，故该双曲线的焦距为
两点，
的延长线与抛物线
19.（10 分）已知椭圆
为椭圆上异于的一点，直线
（1）求证：为定值；
（2）设直线交椭圆于
两点，
的离心率是，为坐标原点，点
的斜率分别是
.
分别为椭圆的左、右顶点，
，
，且
的面积是，求椭圆的标准方程.
4
20.（10 分）已知曲线
，为直线
上的动点，过作的两条切线，切点分别为 .
对称，则实数的取值范围为
（）
A.
B.
12.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线
C.
D.
就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
1
①曲线恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线所围成的“心形”区域的面积小于 3.
其中，所有正确结论的序号是