机械振动

第四讲 机械振动1 .简谐振动的受力分析2 .等效法研究简谐振动3 .三角函数法描述振动第一部分：振动的受力特点以及参数知识点睛 一、模型引入 1．什么是振动？振动是自然界和工程技术领域常见的一种运动，广泛存在于机械运动、电磁运动、热运动、原子运动等运动形式之中．从狭义上说，通常把具有时间周期性的运动称为振动．如钟摆、发声体、开动的机器、行驶中的交通工具都有机械振动．如图：振动演示实验：当振子往复振动时，匀速的拉动纸带，就可以研究振子离开中心位置的位移与时间的关系。

广义地说，任何一个物理量在某一数值附近作周期性的变化，都称为振动．变化的物理量称为振动量，它可以是力学量，电学量或其它物理量．例如：交流电压、电流的变化、无线电波电磁场的变化等等．2．什么是机械振动？机械振动是最直观的振动，它是物体在一定位置附近的来回往复的运动，口语称为“来回晃悠”。

如活塞的运动，钟摆的摆动等都是机械振动．产生机械振动的条件是：物体受到回复力的作用； 回复力：使振动物体返回平衡位置的力叫回复力．回复力时刻指向平衡位置．回复力是以效果命名的力，它是振动物体在振动方向上的合外力，可能是几个力的合力，也可能是某个力或某个力的分力，可能是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等．3．简谐运动物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力作用下的振动，叫简谐运动．表达式为：F kx =-．做简谐运动物体的位移是相对于平衡位置的，位移的方向总是由平衡位置指向物体，而回复力总由物体是指向平衡位置，所以回复力总跟位移方向相反，式中的负号表示了这种相反关系． 4．描述简谐运动的物理量⑴ 位移x ：由平衡位置指向振子所在处的有向线段，最大值等于振幅；知识模块本讲介绍⑵ 振幅A ：是描述振动强弱的物理量．（一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的，而位移是时刻在改变的）⑶ 周期T ：是描述振动快慢的物理量．频率1f T=．5.简谐振动的图像为了研究弹簧振子的运动规律，我们以小球的平衡位置为坐标原点O ，沿着它的振动方向建立坐标轴．小球在平衡位置的右边时它对平衡位置的位移为正，在左边时为负．左图所示的弹簧振子的频闪照片．频闪仪每隔0.05s 闪光一次，闪光的瞬间振子被照亮．拍摄时底片从下向上匀速运动，因此在底片上留下了小球和弹簧的一系列的像，相邻两个像之间相隔0.05s ．右图中的两个坐标轴分别代表时间t 和小球位移x ，因此它就是小球在平衡位置附近往复运动时的位移—时间图象，即x t -图象．简谐运动及其图象我们对弹簧振子的位移与时间的关系做些深入的研究．从图中可以看出，小球运动时位移与时间的关系很像正弦函数的关系．例题精讲【例1】 如图所示，质量为m 的小球放在劲度为k 的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧，证明其做简谐振动．【例2】 把一个密度小于水的正方体木块放入水中，并用手稍微按入水中一点，证明手释放后木块做简谐振动，不考虑阻力与水面的变化．【解析】 设物体相对飘浮位置位移x ．其受合力为相比飘浮时的浮力差．F g V ρ∆=∆浮水gS x ρ=⋅浮K gS ρ=水【例3】 三根长度均为 2.00l =米，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架ABC ．C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动．【解析】 如图，松鼠受力如图：由力矩平衡可知：N 与f 合力必须过ABC框的C 点才能平衡． 即Nx fh =，且N mg =∴mgx f h=为简谐振动．且mgK h=．第二部分 简谐振动参量关系：知识点睛由于是变力作用，所以简谐振动的物体运动量与时间的关系很难用初等数学解答，一般的解法是直接解微分方程．根据牛顿第二定律： f ma =可得物体的加速度为：f ka x m m==-对于给定的弹簧振子，m 和k 均为正值常量，令2kmω=则上式可以改写为 2a x ω=-或2220d x x dtω+=这是个二阶的微分方程，这里就给出具体解的过程了。

这个方程的解为()cos x A t ωϕ=+，其中A 为振幅，ϕ为初相，t ωϕ+叫相位．那么周期为：2πm T k=． 当然还有比较巧的办法：如图所示，一质量为m 的质点在xy 平面内以原点O 为圆心做匀速圆周运动，该质点在x 轴上的投影（P 点）将以O 为中心在x 轴上振动，这个振动与圆周运动有什么关系呢？设圆半径为r ，角速度为ω，则质点受向心力大小为2F m r ω=设0t =时，半径跟x 轴方向的夹角为0Φ，经时间t 半径跟x 轴方向夹角为Φ，则0wt Φ=+Φ，在任意时刻t ，质点在x 轴上的位移为()0cos x r wt =⋅+Φ 向心力在x 轴上的分量为()20cos x F mw r wt =-+Φ 由以上两式得 2x F mw x =-令2mw =，则 Fx Kx =-结果表明：做匀速圆周运动的质点在x 轴方向上的分运动满足简谐运动条件，所以x 轴方向的分运动是简谐运动．上述结论可以通过图所示实验验证，图中M 是在水平方向做简谐运动的弹簧振子．M '是在水平面上做匀速圆周运动的球，用水平方向的平行光照射小球和振子，使振子M 振动的振幅等于小球M '做圆周运动的半径，使M 和M '的运动周期相同，调整好两球开始运动时的位置，可以看到竖直屏上的两个影子运动情况完全相同．知识模块理论和实验都表明，在xy 平面内做匀速圆周运动的质点在x 轴上的分运动是简谐运动，我们在研究简谐运动时就可以借助于这个圆运动，为了研究简谐运动而引入的圆叫参考圆．参考圆是研究简谐运动的一种方便而有效的方法．例题精讲【例4】 如图装置左边是系数为1K 的弹簧，右面为2K 的弹簧，物体质量为m 不考虑轮重，求上下自由振动时周期．【解析】 设m 相对平衡位置下移x 时，1K 弹簧相对多伸长1x ，2K 多伸长2x ．由于：1122K x K x =几何关系：122x xx +=那么21122xK x K K =+且m 受的合力112F K x =12124K K xK K =+那么12124K K K K K =+总∴2πm T K =总【例5】 如图所示，一根轻质弹簧被竖直固定在地面上，将重物m 在弹簧正上方1h 高处 静止释放，重物m 自由下落后与弹簧接触，经过时间1t 后被弹簧向上抛出，如将重物m 在弹簧正上方()221h h h >高处静止释放，重物m 自由下落后与弹簧接触，经过时间2t 后被弹簧向上抛出，则（ ） A ．12t t >B ．12t t <C ．12t t =D ．条件不足，无法确定【解析】 解法1：参考圆法，如图物体接触弹簧后开始做简谐振动，其在参考圆上的像开始做角速度kmω=，恒定的圆周运动．圆半径A （即振幅）由物体接触弹簧初速度决定，A 越大，像从S '转到s '对应圆心角越小，时间就越少了． 解法2：把振动过程分为两段，在平衡位置下方段与上方段，下方段物体下降上升，一个来回时间为半个周期，与位移无关，而上方段两次位移一样，明显在2h 释放，平均速度快，运动时间少．【答案】 A【例6】 如图所示，在两个向相反方向转动的小轴上水平放一块均匀薄木板，木板的质量为m ，两个小轴的轴心之间距离为2l ，木板与两轴的动摩擦因数都为μ．木板最初的位置是它的重心偏离中线OO '为x 的位置．试证明木板在轴产生的摩擦力的作用下的运动是简谐运动，并求出它的周期．【解析】 受力分析12N N mg +=，以质心为轴且()()121N l x N x +=- ∴()12mg l x N l +=，那么()1112mg l x f N lμμ+==()212mg x N l-=，()212mg x f l μ-=其受合力21mgxF f f l μ=-=合mgK lμ=，∴2π2πm l T K g μ==． 【例7】 两质量分别为2kg 与3kg 的重物用一弹簧相连，现在把一个放于地面上，另一个用外力F 往下按，知道系统静止下来后突然松手，要让下面的重物离开地面，外力至少多大？【解析】由于简谐振动的合力对称性，系统在最高点合力如刚好等于50N 则能离开地面，所以最开始合力一定也为50N 向上，所以外力至少为50N 。

【例8】 一个质点沿x 轴作简谐运动，振幅0.06m A =，周期2s T =，初始时刻质点位于00.03m x =处且向x 轴正方向运动．求：⑴ 初相位；⑵ 在0.03m x =处且向x 轴负方向运动时物体的速度和加速度以及质点从这一位置回到平衡位置所需要的最短时间． 【解析】 ⑴ 取平衡位置为坐标原点，质点的运动方程可写为()cos x A t ωϕ=+依题意，有0.06m A =，2s T =，则12π2ππrad s 2T ω-===⋅在0t =时，0cos 0.06cos 0.03m x A ϕϕ=== 0sin 0v A ωϕ=->因而解得 π3ϕ=-故振动方程为 π0.06cos 3x t ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭用旋转矢量法，则初相位在第四象限，故π3ω=-．⑵ 1t t =时，11π0.06cos π0.03m 3x t ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭且⎪⎭⎫⎝⎛-31ππt 为第二象限角，故3231πππ=-t 得11s t =，因而速度和加速度为11π0.06πsin π0.16m s 3v t -⎛⎫=--=-⋅ ⎪⎝⎭221π0.06πcos 0.30m s 3a t ω-⎛⎫=--=⋅ ⎪⎝⎭从0.03m x =处且向向x 轴负方向运动到平衡位置，意味着旋转矢量从1M 点转到2M 点，因而所需要的最短时间满足325ππ=π236t ω∆=-，故 5π560.83s π6t ∆===【例9】 如图，一物体质量为2kg 在弹性系数为400N/m 的弹簧约束下放与水平地面，物体与地面间摩擦因数为0.2，把物体往左挤压弹簧，是弹簧相对于原长7厘米后静止释放,求： ⑴ 计算物体的最大速度；⑵ 物体最后停的位置和整个过程的总时间．【解析】 当弹力0Kx f mg μ==时01cm x =，物体受弹力与阻力每单次振动都是简谐振动，只是平衡位置在1O 、2O 处，如图第一次向右以1O 为中心位置()171cm 6cm A =-= 最多运动到1O 右6cm ．在1O ，2114003610m/s 2m/s 25m k v wA A m -===⋅⨯= 第一次向左返回以2O 为中心位()262cm 4cm A =-=．运动到2O 左4cm 停下，依次每次振幅减少2cm ，一旦在12O O 范围停下则不再启动． ∴最终停在2O 处． 323π32π3πs 2s 2240020T m t k =⋅=⋅==总．第三部分 单摆知识点睛生活中经常可以看到悬挂起来的物体在竖直平面内摆动，我们用细线悬挂着的小球来研究摆动的规律。