利用二次罚函数法解等式约束优化问题
第二节 罚函数法
β ∈ (0,1) ，允许误差 ε > 0 ，置 k = 1 ；
k −1 x 为初点，求解无约束优化问题 Step2: 以
min G ( x, r ) = f ( x) + rB( x) s.t. x ∈ int S
设其极小点为 x ；
G ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln g i ( x)
m
-----对数障碍函数
由 G( x, r ) 的定义， r 取值越小，问题
min G ( x, r ) = f ( x) + rB( x) s.t. x ∈ int S
的最优解越接近约束优化问题的最优解。 2. 内点罚函数法的计算步骤
k min H ( x) x Step4: 以 为初始点求解无约束问题 x∈Sk k +1 的最优解
x k +1 ，其中
H k +1 ( x) = −∑ gi ( x) + rk +1 ∑ gi ( x)
i∈I k i∈J k
， Sk = {x | gi ( x) > 0, i ∈ J k }
令 rk + 2 = βrk +1 , k = k + 1, 返回 Step2. 注：该算法中，对于 k = 0,1,2,L ，有 I k +1 ⊂ I k , J k +1 ⊃ J k ，且 最后某个 I k = ∅ 。 三. 广义乘子法 1. 对于等式约束优化问题
φ ( x, y , ω , σ ) = f ( x ) − ∑ ω j ( g j ( x ) − y j ) +
2 j =1 l
求解等式约束优化中可能不可行问题的精确罚函数方法
求解等式约束优化中可能不可行问题的精确罚函数方法
精确罚函数方法是指一种用于求解等式约束优化问题可能存在不可行性的复杂
数值方法。
精确罚函数可组合各种数值技术，从而利用其显著优势。
与常规方法相比，它更加有效地将可行状态保持在可行区域，从而解决不可行约束优化中的细节问题。
首先，精确罚函数的基本原理是考虑可行性约束，尤其是等式约束，通过添加
一个罚函数将问题转化为寻优最小值或最大值问题，使其可以使用若干已有的优化方法。
精确罚函数把可行性约束抽象化为一个有效的罚函数，让其能够被很好地吸收到优化函数中，从而获得一个有效地问题解决方案。
另外，精确罚函数方法利用逐步逼近法对不可行约束优化问题进行处理，连续
性从弱到强的精确罚函数支持此类问题的快速收敛，以避免最优解的错误收敛。
精确罚函数在节省计算资源方面也有优势，当约束量纲几乎是目标函数量纲时，运算精度可以控制在最优解有效阈值内。
此外，精确罚函数在实际应用中也非常有效。
例如，在求解水资源管理的约束
问题时，精确罚函数方法可以综合考虑水资源的经济可行性、社会可行性以及生态可行性等不可行规划因素，达到跨分类的优化效果。
总而言之，精确罚函数方法是一种求解等式约束优化问题可能存在不可行性的
有效数值方法，它利用特定的逐步逼近法控制问题解，以保证有效解决不可行约束优化中的细节问题，节约计算资源，还能综合考虑各种跨分类因素，实现优化目标，因此在解决实际问题中具有重要价值。
第四章约束问题的最优化方法
当limr(k) 0 k
则(x, r(k) ) f (x) , xk * x *
例： 用内点法求
min
f
(x)
x2 1
x2 2
s.t. g( x) 1 x1 0 的约束最优解。
解:
首先构造内点惩罚函数: (
x,
r)
x2 1
x2 2
rk
ln(x1
1)
用解析法求函数的极小值，运用极值条件：
二. 直接解法：
基本思想：合理选择初始点，确定搜索方向，以迭代公式 x(k+1)= x(k)+α(k)S(k)在可行域中寻优，经过若干次迭代，收敛至最优点。 适用范围：只能求解不等式约束优化问题的最优解。
基本要点：选取初始点、确定搜索方向及适当步长。
搜索原则：每次产生的迭代点必须满足可行性与适用性两个条件。 可行性：迭代点必须在约束条件所限制的可行域内，即满足
1
u1 gu (x)
② .(x, r(k) )
m
f (x) r(k)
1
u1 gu (x)
③ .(x, r (k) )
f (x)
m
r (k) u u 1
1 gu (x)
其中：gu (x) 0,u 1,2,...m
其中：gu (x) 0,u 1,2,...m
gu(x)0, u=1,2,…,p
适用性：当前迭代点的目标函数值较前一点是下降的，即满足 F(xk+1)<F(xk)
收敛条件：
• 边界点的收敛条件应该符合 K-T 条件；
• 内点的收敛条件为： xk1 xk 1
和
使用Matlab进行多目标优化和约束优化
使用Matlab进行多目标优化和约束优化引言：多目标优化和约束优化是现代科学和工程领域中的重要问题。
在很多实际应用中，我们常常面对的是多个目标参数之间存在冲突的情况，同时还需要满足一定的约束条件。
这就需要我们采用适当的方法和工具进行多目标优化和约束优化。
本文将介绍如何使用Matlab进行多目标优化和约束优化。
一、多目标优化多目标优化是指在优化问题中存在多个目标函数，我们的目标是同时优化这些目标函数。
在Matlab中，可以使用多种方法进行多目标优化，其中常用的方法包括遗传算法、粒子群算法和模拟退火等。
1.1 遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法。
它模拟了遗传的过程，通过交叉、变异和选择等操作，利用群体中不断进化的个体来搜索最优解。
在多目标优化中，遗传算法常用于生成一组非支配解，即没有解能同时优于其他解的情况。
Matlab中提供了相关的工具箱，如Global Optimization Toolbox和Multiobjective Optimization Toolbox，可以方便地进行多目标优化。
1.2 粒子群算法粒子群算法是一种基于群体行为的优化算法。
它通过模拟鸟群或鱼群等群体的行为，寻找最优解。
在多目标优化中，粒子群算法也可以生成一组非支配解。
Matlab中的Particle Swarm Optimization Toolbox提供了相关函数和工具，可以实现多目标优化。
1.3 模拟退火模拟退火是一种模拟金属冶炼过程的优化算法。
它通过模拟金属在高温下退火的过程，通过温度控制来逃离局部最优解，最终达到全局最优解。
在多目标优化中，模拟退火算法可以通过调整温度参数来生成一组非支配解。
Matlab中也提供了相关的函数和工具，可以进行多目标优化。
二、约束优化约束优化是指在优化问题中存在一定的约束条件，我们的目标是在满足这些约束条件的前提下，使目标函数达到最优。
在Matlab中，也有多种方法可以进行约束优化，其中常用的方法包括罚函数法、惩罚函数法和内点法等。
第四章约束问题的最优化方法
三. 间接解法： 目的：将有约束优化问题转化为无约束优化问题来解决。 前提：一不能破坏约束问题的约束条件，二使它归结到原约束问题的 同一最优解上去。 惩罚函数法：
通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题，进而 用无约束最优化方法去求解。惩罚函数法是一种使用很广泛、很有效 的间接解法。 基本思想：以原目标函数和加权的约束函数共同构成一个新的目标函 数 Φ( x, r1 ,r2 )，将约束优化问题转化为无约束优化问题。通过不断 调整加权因子，产生一系列Φ函数的极小点序列 x(k)* (r1(k),r2(k)) k= 0,1,2… ，逐渐收敛到原目标函数的约束最优解。
基本要点：选取初始点、确定搜索方向及适当步长。
搜索原则：每次产生的迭代点必须满足可行性与适用性两个条件。 可行性：迭代点必须在约束条件所限制的可行域内，即满足
适用性：当gu前(x迭)代0, 点u=的1,2目,…标,p函数值较前一点是下降的，即满足
F(xk+1)<F(xk) 第四章约束问题的最优化方法
u 1gu(x)
② . (x,r(k))f(x)r(k) m 1
u 1gu(x)
③ m
. (x,r(k))f(x)
r(k)
u
u1
1 gu(x)
其g u 中 (x ) 0 ,u ： 1 ,2 ,.m ..
其g u 中 (x ) 0 ,u ： 1 ,2 ,.m ..
④ . (x,r(k))f(x)r(k)um 1[gu(1x)2]
m
lk i m r1(k)
G[gu(x(k))]0
u1
lk im r2H [hv(x(k)) ]0
lk i[ m (x (k ),r 1 (k ),r 2 (k )) f(x (k )) ]0
约束优化算法：拉格朗日乘子法
拉格朗日乘子法约束优化问题的标准形式为：min (),..()0,1,2,...,()0,1,2,...,ni j f x x R s t g x i m h x j l∈≤===,,:n i j f g h R R →其中约束优化算法的基本思想是：通过引入效用函数的方法将约束优化问题转换为无约束问题，再利用优化迭代过程不断地更新效用函数，以使得算法收敛。
1. 罚函数法罚函数法（内点法）的主思想是：在可行域的边界上筑起一道很高的“围墙”，当迭代点靠近边界时，目标函数陡然增大，以示惩罚，阻止迭代点穿越边界，这样就可以将最优解“挡”在可行域之内了。
它只适用于不等式约束：min (),..0,1,2,...,ni f x x R s tg i m ∈≤=它的可行域为： {|()0,1,2,...,}n i D x R g x i m =∈≤=对上述约束问题，其其可行域的内点可行集0D ≠∅的情况下，引入效用函数：min (,)()()B x r f x rB x =+、 其中11()()mi i B x g x ==-∑或1()|ln(())|m i i B x g x ==-∑ 算法的具体步骤如下：给定控制误差0ε>，惩罚因子的缩小系数01c <<。
步骤1：令1k =，选定初始点(0)0x D ∈，给定10r >（一般取10）。
步骤2：以()k x 为初始点，求解无约束min (,)()()k B x r f x r B x =+ 其中11()()mi i B x g x ==-∑或1()|ln(())|m i i B x g x ==-∑，得最优解()()k k x x r = 步骤3：若()()k k r B xε<，则()k x 为其近似最优解，停；否则，令,1k k r cr k k ==+，转步骤2.2. 拉格朗日乘子法（1）PH 算法：（约数为等式的情况引入）效用函数为()()min (,,)()()()()k k T T k k M x u f x u h x h x h x σσ=++判断函数为()()k k h x φ=当()()k k x φφε=<时迭代停止。
约束最优化方法
约束最优化方法
约束最优化方法是指通过给定约束条件，寻找目标函数的最优解。
以下是一些常用的约束最优化方法：
1. 拉格朗日乘子法：将约束最优化问题转化为无约束最优化问题，通过求解无约束最优化问题得到原问题的最优解。
2. 罚函数法：将约束条件转化为罚函数项，通过不断增加罚函数的权重，使目标函数逐渐逼近最优解。
3. 梯度下降法：通过迭代计算目标函数的梯度，沿着梯度的负方向搜索目标函数的最优解。
4. 牛顿法：通过迭代计算目标函数的Hessian矩阵，使用Hessian矩阵的逆矩阵乘以梯度向量来逼近最优解。
5. 遗传算法：模拟自然界的遗传机制，通过种群迭代的方式搜索最优解。
6. 模拟退火算法：模拟物理退火过程，通过随机搜索的方式搜索最优解。
7. 蚁群算法：模拟蚂蚁觅食行为，通过模拟蚂蚁的信息素传递过程来搜索最优解。
8. 粒子群算法：模拟鸟群、鱼群等群集行为，通过模拟粒子间的相互作用来搜索最优解。
这些方法各有优缺点，应根据具体问题选择合适的方法进行求解。
运筹学第15讲 约束最优化方法 (1)
第六章 约束最优化方法
6.1 Kuhn-Tucker 条件
一、等式约束性问题的最优性条件： 考虑 min f(x) s.t. h(x)=0 回顾高等数学中所学的条件极值： 问题 求z=f(x,y) 在ф(x,y)=0 条件下的极 值。 即 min f(x,y) S.t. ф(x,y)=0 引入Lagrange乘子：λ
充要条件是
⎧ min ∇ f ( x ) T d ⎪ A 1d ≥ 0 ⎪ ⎨ Ed = 0 ⎪ ⎪ | d j |≤ 1 , j = 1 , L n ⎩ 0。
的目标函数最优值为
第六章
6.2 既约梯度法
显 然 d = 0 是 可 行 解 , 所 以 P1的 最 优 值 必 ≤ 0 。 1 o 若 目 标 函 数 的 最 优 值 < 0 , 则 d 为 ( P )的 下 降 可 行 方 向 ； 2 o 若 目 标 函 数 的 最 优 值 = 0， 则 x 为 K − T 点 。 < 确定一维搜索的步长： 设 x( k )是 可 行 解 , d ( k ) 为 下 降 可 行 方 向 , 求 λ k 使 x( k + 1 ) = x( k ) + λ k d ( k ) . ⎧ m in f ( x( k ) + λ d ( k ) ) ⎪ ⎪ s .t . A ( x( k ) + λ d ( k ) ) ≥ b λk满 足 : ⎨ ⎪ E ( x( k ) + λ d ( k ) ) = e ⎪ ⎩ λ ≥ 0 $ = b − A x( k ) , d $ = A d (k), 显 然 b $ < 0. 令b 2 2 2 利 用 定 理 1可 得 λ 的 上 限 λ m a x $i ⎧ b $ i < 0} ⎪ m in { $ | d = ⎨ di ⎪ +∞ ⎩ $< 0 d $≥ 0 d
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利用二次罚函数法解等式约束优化问题二次罚函数法是一种常见的约束优化算法，在求解等式约束优化问题
时具有较好的适用性。
它通过将等式约束引入目标函数构造二次罚函数，
并通过逐步逼近的方式求得最优解。
本文将详细介绍二次罚函数法的原理
和应用，以及一些常见的改进算法。
一、二次罚函数法的原理
二次罚函数法的核心思想是将等式约束引入目标函数中，构造一个包
含等式约束的二次罚函数。
通过对这个罚函数进行最小化，可以获得满足
等式约束的优化解。
假设目标函数为f(x)，等式约束为g(x)=0，其中x=(x1,x2,...,xn)
表示待求最优解的变量。
通过引入拉格朗日乘子法，可以将等式约束转化为目标函数加上一系
列封闭约束，得到拉格朗日函数L(x,λ)=f(x)+λg(x)，其中λ为拉格
朗日乘子。
接下来，我们可以构造二次罚函数P(x)来表示目标函数与约束函数
的关系。
一个典型的二次罚函数形式为P(x)=f(x)+ρg(x)²，其中ρ为
罚函数参数，用于控制罚项的大小。
在二次罚函数的基础上，可以应用一些求解优化问题的算法进行求解。
一般来说，可以通过牛顿法、梯度下降法、共轭梯度法等等求解罚函数的
极小值点，直到得到满足等式约束的最优解。
二、二次罚函数法的应用
二次罚函数法在等式约束优化问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：
1.最小二乘法问题：在最小二乘法中，我们需要找到一条曲线使其与给定数据点的误差平方和最小。
当问题存在等式约束时，可以使用二次罚函数法求解。
2.非线性优化问题：在非线性优化问题中，目标函数和约束函数都是非线性的。
通过二次罚函数法可以将非线性优化问题转化为二次罚函数的最小化问题。
3.机器学习中的支持向量机：支持向量机是一种主要用于分类问题的机器学习算法。
在支持向量机的优化问题中，存在一系列等式约束。
通过二次罚函数法可以求解这些约束。
4.数学建模中的约束条件问题：在数学建模中，有很多经济、物理、生物等问题需要求解一系列约束条件下的最优解。
通过二次罚函数法，可以有效地解决这些问题。
三、二次罚函数法的改进算法
尽管二次罚函数法是一种有效的优化算法，但在实际应用中也存在一些问题，如收敛速度慢、局部最优解等。
为了克服这些问题，人们提出了一些改进算法：
1.逐次二次罚函数法：逐次二次罚函数法通过逐步增加罚函数参数的方式来逼近等式约束，从而获得更好的解。
每一次迭代都会调整罚函数参数，使得罚函数逐渐趋近于目标函数。
2.平方罚函数法：平方罚函数法是二次罚函数法的一种改进算法。
在
平方罚函数法中，将罚项修改为ρ∑(g(x)²)的形式，其中∑(g(x)²)表
示所有约束项的平方和。
3.惩罚函数法：惩罚函数法是一种类似于罚函数法的优化算法。
它通
过添加一系列惩罚项来应对约束条件，而不是直接引入罚函数。
惩罚函数
法相比于罚函数法，更容易求解。
四、结论
二次罚函数法是一种常见的求解等式约束优化问题的算法。
通过构造
二次罚函数并应用相应的优化算法，可以求解满足等式约束的最优解。
此外，二次罚函数法还可以通过一些改进算法提高求解效率和求解质量。
在
实际应用中，可以根据具体情况选择适合的算法来求解等式约束优化问题。