2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十)理科数学试题

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十）

理科数学

★祝考试顺利★

注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.己知全集为实数集R，集合A={x|x2 +2x-8>0}，B={x|log2x<1}，则()R A B?等于（）

A. [-4,2]

B. [-4,2)

C. (-4,2)

D. (0,2)

【答案】D

【解析】

【分析】

求解一元二次不等式化简A，求解对数不等式化简B，然后利用补集与交集的运算得答案.

【详解】解：由x2 +2x-8>0，得x＜-4或x＞2，

∴A={x|x2 +2x-8>0}＝{x| x＜-4或x＞2}，

由log2x<1，x＞0，得0＜x＜2，

∴B={x|log2x<1}＝{ x |0＜x＜2}，

则{}|42R

A x x =-≤≤， ∴

(

)()0,2R

A B =.

故选：D.

【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数不等式，二次不等式的求法，是基础题. 2.已知,a b ∈R ，若a i +与3bi -互为共轭复数，则2()a bi -=（ ） A. 86i + B. 86i - C. 86i -- D. 86i -+

【答案】B 【解析】 【分析】

根据共轭复数的定义求得3,1a b ==,再计算2

()a bi -即可.

【详解】因为a i +与3bi -互为共轭复数故3,1a b ==,所以22

(3)9286i i i i -=-+=-. 故选：B

【点睛】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力.

3.若双曲线22

221(0)2

x y m m m -=>+的离心率为2，则实数m 的值为（ ）

A. 1

B.

13

C. 2

D. 3

【答案】A 【解析】 【分析】

根据双曲线的离心率c

e a

=

，222c a b =+,得到关于m 的方程,解方程并进行取舍即可. 【详解】由题意知，2

2

2

2

,2a m b m ==+， 所以222222c a b m =+=+，

所以双曲线的离心率2c e a ===, 解得1m =±,因为0m >,所以1m =. 故选：A

【点睛】本题考查双曲线标准方程及其几何性质;考查运算求解能力;熟练掌握双曲线标准方程和,,a b c 的关

系式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 4.若1cos 36πα??

+

=- ??

?，且263ππα<<，则7sin 12πα?

?

+= ??

?

（ ）

A. 12-

B.

12

C.

12

D.

12

【答案】B 【解析】 【分析】

利用同角三角函数的基本关系,结合题中α的范围求出sin 3πα??

+

??

?

,由两角和的正弦公式即可求解. 【详解】因为

26

3a π

π<<

，所以23ππαπ<+<，sin 03πα?

?+> ??

?，

所以sin 3πα??+= ???6=，

∴7sin sin sin cos cos sin 12343434πππππππαααα?

???????+

=++=+++ ? ? ? ?????????1262

=

-?=

故选：B

【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系和两角和的正弦公式;考查运算求解能力;熟练掌握象限角的三角函数符号和两角和的正弦公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

5.在Rt ABC ?中，90A ?=，AB AC a ==，在边BC 上随机取一点D ，则事件“4

AD a >”发生的概率为（ ） A.

34

B.

23

C.

12

D.

13

【答案】C 【解析】 【分析】

根据题意作出图形,在边BC 上求出符合题意的点D 的位置,利用与长度有关的几何概型概率计算公式求解即可.

【详解】根据题意作图如下：

记事件“

10

4

AD a

>”为M,设BC的中点为P

，则⊥

AP BC,

所以

2

222

2

2

AD AP DP a DP

??

=+=+

?

?

??

10

4

a

>，解得

2

4

DP a

>，

∴

22

2

241

()

2

2

a a

P M

a

??

-

?

??

==

.

故选：C

【点睛】本题考查与长度有关的几何概型概率计算公式;考查运算求解能力和分析问题解决问题的能力;正确求出符合题题的点D的位置是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

6.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为36

π+，则x等于（）

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

【答案】A

【解析】

【分析】

由三视图知，该几何体由四分之一个圆锥与三棱锥构成,结合题中的数据,代入圆锥和三棱锥的体积公式求解即可.

【详解】由三视图知，该几何体由四分之一个圆锥与三棱锥构成，

所以该几何体的体积为

2

1111

3

4332

V x

π

=????+?3336

xπ

???=+，

解得4

x=.

故选：A

【点睛】本题考查三视图还原几何体并求几何体的体积;考查空间想象能力和运算求解能力;三视图正确还原几何体是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

7.已知抛物线y 2= 4x 的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且PQ ⊥y 轴交y 轴于点Q ，则 PQ PF ?的最小值为（ ） A. -

14

B. -

12

C. -l

D. 1

【答案】A 【解析】 【分析】

设点2,4y P y ?? ???

，则点()0,Q y ，()1,0F ，利用向量数量积的坐标运算可得()2211

2164PQ PF y =?--，利用二次函数的性质可得最值.

【详解】解：设点2,4y P y ??

???，则点()0,Q y ，()1,0F ， 22,0,1,44PQ P y F y y ????

∴=-=-- ? ?????

，

()22422211

,01,24416416

4PQ P y y y y y F y ????∴=-?--=-=-- ? ??????，

当2

2y =时，PQ PF ?取最小值，最小值为1

4

-. 故选：A.

【点睛】本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题.

8.“2020”含有两个数字0，两个数字2，“2121”含有两个数字1，两个数字2，则含有两个数字0，两个数字2的四位数的个数与含有两个数字1，两个数字2的四位数的个数之和为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12

【答案】B 【解析】 【分析】

先求含有两个数字0，两个数字2四位数，再求两个数字1，两个数字2的四位数，可得答案.

【详解】第一类，含有两个数字0，两个数字2的四位数的个数为2

33C =；

第二类，含有两个数字1，两个数字2的四位数的个数为246C =，由分类加法计数原理得，满足题意的四位数的个数为369+=. 故选:B.

【点睛】本题主要考查分类加法计数原理的应用，注意特殊元素的优先考虑，属于基础题. 9.已知函数()sin (0)6f x x πωω??

=+> ??

?的两个零点之差的绝对值的最小值为2

π

，将函数()f x 的图象向左平移

3

π

个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） ①函数()g x 的最小正周期为π；②函数()g x 的图象关于点(

7,012

π

)对称； ③函数()g x 的图象关于直线23x π=对称；④函数()g x 在,3ππ??

????

上单调递增.

A. ①②③④

B. ①②

C. ②③④

D. ①③

【答案】B 【解析】 【分析】

根据题意求出函数()f x 解析式,利用函数()sin y A ωx φ=+图象平移变换法则求出函数()g x 的解析式,再由正弦函数的周期性、对称性、单调性求解即可. 【详解】由题意知，函数()sin (0)6f x x πωω??

=+

> ??

?

的最小正周期是π， 则22π

ωπ=

=，所以()sin 26f x x π?

?=+ ??

?，

所以将函数()f x 的图象向左平移

3

π

个单位长度得到 函数sin 236y x ππ????=++= ???????

5sin 26x π?

?+ ???的图象， 即5()sin 26

g x x π?

?=+

??

?

，则函数()g x 的最小正周期为22T π

π==，故①正确； 令52()6x k k Z ππ+

=∈，解得5()212

k x k Z ππ

=-∈，

令2k =，则712x π=

，则函数()g x 的图象关于点7,012π??

???

对称，故②正确； 令52()62

x k k Z πππ+

=+∈，解得()26k x k Z ππ

=-∈，

令1k =，2，得函数()g x 的图象关于直线5,3

6x x π

π

==

对称，故③错误； 令5222()2

6

2

k x k k Z π

ππ

ππ-

+

+

∈，得2()3

6

k x k k Z ππ

ππ-

-

∈，

所以函数()g x 在5,36ππ??

???

?上单调递增，故④错误； 故选：B

【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+解析式的求解和正弦函数的周期性、对称性、单调性;考查运算求解能力和整体换元思想;正确求出函数()sin y A ωx φ=+的解析式和熟练掌握正弦函数的有关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

10.杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在欧洲，帕斯卡（1623～1662）在1654年发现这一规律，比杨辉要迟了393年.如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是( )

A .

153

B. 171

C. 190

D. 210

【答案】C 【解析】 【分析】

根据“杨辉三角”找出数列1，2，3，3，6，4，10，5，…之间的关系即可。

【详解】由题意可得从第3行起的每行第三个数：312,6123,101234=+=++=+++，所以第k (3)

k ≥

行的第三个数为()122,k ++

+-在该数列中，第37项为第21行第三个数，所以该数列的第37项为

()1919112191902

?+++

+==

故选：C

【点睛】本题主要考查了归纳、推理的能力，属于中等题。

11.已知双曲线C ：22

22x y a b

-=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，

若|

OA |=|OF |，则双曲线的离心率为（

）

C. 2

【答案】B 【解析】 【分析】

以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222

x y c +=，联立222

22221x y c x y a

b ?+=??-=??，可求出点2b A

c c ??

? ???

，2

43b =，整理计算可得离心率. 【详解】解：以O 为圆心，以OF 为半径的

圆的方程为222

x y c +=，

联立222

22221x y c x y a b

?+=??-=??，取第一象限的解得2

x c b y c ?=

????=??

， 即2b A c c ?? ? ???

2

43b =， 整理得(

)()22

2

29550c a

c

a --=，

则22519c a =<（舍去），225c a

=，

c

e a

∴=

=. 故选：B.

【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.

12.设函数()f x 的定义域为R ，()f x '是其导函数，若3()()0(0)1f x f x f '+>=，，则不等式3()x f x e >－的解集是（ ） A. (0,)+∞ B. (1,)+∞ C. (,0)-∞ D. (0,1)

【答案】A 【解析】 【分析】

构造函数3()()x g x e f x =，求出()g x '，利用条件知()0g x '>，所以()g x 单调递增，将3()x

f x e >－转化

为()(0)g x g >，利用函数单调性即可得到答案.

【详解】令3()()x g x e f x =，则33()3()()x x

g x e f x e f x =+''，

因为3()()0f x f x '+>，所以333()()0x x

e f x e f x '+>，所以()0g x '>，

所以函数3()()x

g x e f x =在R 上单调递增，

而3()x f x e >－可化为3()1x e f x >，又30

(0)e (0)1g f ?==

即()(0)g x g >，解得0x >，

所以不等式3()x f x e >－的解集是(0,)+∞．

故选：A

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，并利用函数的单调性解不等式，注意构造函数的应用，考查学生的分析转化能力，属于中档题.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知函数3log (1)2,0

()(3),0x x f x f x x +-≥?=?+

，则(2020)f -=________．

【答案】1- 【解析】 【分析】

根据题意，由函数解析式可得()(2020)23674(2)f f f -=-?=，进而计算得到答案. 【详解】根据题意，当0x <时，()(3)f x f x =+， 所以(2020)(23674)(2)f f f -=-?=， 当0x ≥时，3()log (1)2f x x =+-， 所以3log (21)(22)1f +-=-=. 故答案为：1-

【点睛】本题主要考查函数值的计算，涉及分段函数的应用和对数计算，属于基础题. 14.已知(2x -1)7=a o +a 1x + a 2x 2+…+a 7x 7，则a 2=____. 【答案】84- 【解析】 【分析】

根据二项展开式的通项公式即可得结果.

【详解】解：(2x -1)7的展开式通式为：()()

71721r

r

r

r T C x -+=-

当=5r 时，()

()

2

5

52672184T C x x =-=-，

则284a =-. 故答案为：84-

【点睛】本题考查求二项展开式指定项的系数，是基础题.

15.已知抛物线29y x =的焦点为F ，其准线与x 轴相交于点,M N 为抛物线上的一点，且满足

|2||NF MN =，则点F 到直线MN 的距离为________.

【解析】 【分析】

根据题意作出图形,由抛物线方程求出MF ,设点N 到准线的距离为d ，由抛物线定义可得||d NF =，在

Rt MNP ?中求出cos MNP ∠,由cos cos NMF MNP ∠=∠,进而求出sin NMF ∠,在Rt MFG ?中即可求解.

【详解】根据题意作图如下：

由抛物线方程为29y x =，可得|2

9|MF =

， 设点N 到准线的距离为d ，由抛物线定义可得||d NF =， 6|2||NF MN =，由图知cos cos 6

NF d NMF MNP MN MN ∠=∠=

== 所以2

23sin 136NMF ??

∠=-= ???

所以点F 到直线MN 的距离为9333

sin 232

MF MNF ∠=

?=

. 故答案为:

33

2

【点睛】本题考查抛物线的方程及其性质;考查运算求解能力和数形结合思想;结合抛物线的定义，巧妙地找出线段与角之间的关系是求解本题的关键;属于中档题.

16.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2(2cos cos )sin sin A C b c B C -=，2a =，则ABC 的面积的最大值是________． 3 【解析】 【分析】

由2

(2cos cos )sin sin A C b c B C -=和正弦定理化简得到1cos 2A =

，3sin A =，再由余弦定理和基本不等式得到4bc ≤，再由三角形面积公式1

sin 2

S bc A =

即可求出答案. 【详解】由2

(2cos cos )sin sin A C b c B C -=及正弦定理，

得22

(2cos cos )sin sin sin A C B B C -=，显然sin 0B ≠，

所以222cos cos sin A C C -=，

即222cos sin cos 1A C C =+=，得1cos 2

A =． 又(0,)A π∈

，所以sin A =

. 由余弦定理，222

cos 2b c a A bc

+-=，得2222b c bc +-=，

则2242bc b c bc +=+≥，

所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时取等号， 所以ABC

的面积：11sin 2224

S bc A bc bc =

=?=≤， 故ABC

【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，也考查了基本不等式的应用，考查学生的转化和计算能力，属于中档题.

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.在等差数列{}n a 中，46a =-，且2a 、3a 、5a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n a 的公差不为0，设3n a

n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）22n a n =-，或6n a =-；（Ⅱ）12

9988

n

n T n n -=-+-.

【解析】 【分析】

（Ⅰ）由2a ，3a ，5a 成等比数列,则2

325a a a =,将{}n a 的通项公式代入，可解出{}n a 的公差d ,可得{}n a 通

项公式.

（Ⅱ）由（Ⅰ）有22223n n b n -=-+，然后分组求和即可.

【详解】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d .因为2a ，3a ，5a 成等比数列，所以2

325a a a =，

又46a =-，所以()()()2

6626d d d --=---+，即()20d d +=

解得0d =或2d =-. 当0d =时，6n a =-.

当2d =-时，()4422n a a n d n =+-=-.

（Ⅱ）因为公差不为0，由（Ⅰ）知22n a n =-，则22223n n b n -=-+，

所以()1

102291219

n

n n n T ??- ?

+-??=+=-

129988n n n --+-. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的求法和应用，用分组求和的方法求前n 项和，属于基础题.

18.如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是菱形，AC =BC =2，∠CBB 1=3

π

，点A 在平面BCC 1B 1上的投影为棱BB 1的中点E ．

（1）求证：四边形ACC 1A 1为矩形； （2）求二面角E -B 1C -A 1的平面角的余弦值． 【答案】（1）见解析（2）21

7

- 【解析】 【分析】

（1）通过勾股定理得出1CE BB ⊥，又1AE BB ⊥，进而可得1BB ⊥平面AEC ，则可得到1AA AC ⊥，问题得证；

（2）如图，以E 为原点，EC ，1EB ，EA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，求出平面1EB C 的法向量和平面11A B C 的法向量，利用空间向量的夹角公式可得答案. 【详解】（1）因为AE ⊥平面11BB C C ，所以1AE BB ⊥，

又因为11

12

BE BB =

=，2BC =，3EBC π∠=，所以3CE =，

因此222BE CE BC +=，所以1CE BB ⊥， 因此1BB ⊥平面AEC ，所以1BB AC ⊥，

从而1AA AC ⊥，又四边形11ACC A 为平行四边形， 则四边形11ACC A 为矩形；

（2）如图，以E 为原点，EC ，1EB ，EA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，所以

11(0,0,1),(0,2,1),(0,1,0),(3,0,0)A A B C ，

平面1EB C 的法向量(0,0,1)m =，设平面11A B C 的法向量(,,)n x y z =， 由1(,,)(3,1,0)03n CB x y z y x ⊥??-=?=， 由11(,,)(0,1,1)00n B A x y z y z ⊥??=?+=， 令13,3x y z =?=

=-，即(1,3,3)n =-，

所以，321

cos ,717

m n -<>=

=-?， 所以，所求二面角的余弦值是217

-

.

【点睛】本题考查空间垂直关系的证明，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力，是中档题. 19.“互联网+”是“智慧城市”的重要内士，A 市在智慧城市的建设中，为方便市民使用互联网，在主城区覆盖了免费WiFi ．为了解免费WiFi 在h 市的使用情况，调査机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调査的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到如下列联表(单位：人)：

（1）根据以上数据，判断是否有90%的把握认为A 市使用免费WiFi 的情况与年龄有关；

（2）将频率视为概率，现从该市45岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“偶尔或不用免费WiFi ”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，数学期望()E X 和方差()D X ．

附：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．

2.072

【答案】（1）没有90%的把握认为；（2）分布列见解析，6()5E X =，18

()25

D X =． 【解析】 【分析】

（1）由列联表计算观测值，再比较临界值即可得出结论； （2）由题意X 服从二项分布，2

(3,)5

X

B ，根据独立重复试验概率公式分别计算对应的概率，写出分布

列，再利用二项分布的期望和方差公式计算即可.

【详解】（1）由列联表可知2

2

200(70406030) 2.19813070100100

K ??-?=≈???，

因为2.198 2.706<，所以没有90%的把握认为A 市使用免费WiFi 的情况与年龄有关．

（2）由题意可知2

(3,)5

X

B ，X 的所有可能取值为0,1,2,3，

033327(0)()5125P X C ===，1232354(1)()()55125P X C ==?=，

2232336(2)()55125P X C ==?=，33

328(3)()5125

P X C ===．

所以X 的分布列为

26()355

E X =?=，2218

()3(1)5525D X =??-=．

【点睛】本题主要考查独立性检验、二项分布的分布列及其期望方差的计算，考查学生计算能力，属于基础题.

20.已知椭圆22

:221(0)x y C a b a b

+=>>，圆心为坐标原点的单位圆O 在C 的内部，且与C 有且仅有两个公

共点，直线2x +=与C 只有一个公共点. （1）求C 的标准方程；

（2）设不垂直于坐标轴的动直线l 过椭圆C 的左焦点F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，且弦AB 的中垂线交x 轴于点P ，试求ABP △的面积的最大值.

【答案】（1）2212x y +=；（2

【解析】 【分析】

(1)根据单位圆O 在C 的内部,且与C 有且仅有两个公共点可得1b =,再联立2x +=与C 求得二次方程令判别式等于0即可求得22a =.

(2) 由题意设直线l 的方程为1(0)x my m =-≠,联立直线l 与椭圆的方程,再利用韦达定理与面积公式求得

关于ABP △的面积的表达式,最后利用换元求导分析函数的最值即可. 【详解】解：（1）依题意,得1b =

将2x =-代入椭圆的方程,得(

)

2

22

240a y a +-+-= 由(

)(

)2

2

324240a a

?=-+-=,解得2

2a

=

所以椭圆的标准方程为2

212

x y +=

（2）由（1）可得左焦点(1,0)F -

由题意设直线l 的方程为1(0)x my m =-≠, 代入椭圆方程,得(

)

2

2

2210m y my +--= 设()()1122,,,A x y B x y ,则121222

21

,22

m y y y y m m -+==++ 所以()12122

422x x m y y m -+=+-=

+,AB 的中点为222

,22m Q m m -?? ?++??

设点()0,0P x ,则()2

022PQ m

k m m x -=

=-++,解得0212

x m -=+ 故

()

2122

2

11

||22ABP

m S

PF y y m

+=?-==

+

令1)t t =>,则221m t =

-,且

()

3

2

2

3

211ABP

S

t

t t t =

=++

+

设321()(1)f t t t t t =++>,

则()

2

244(123()1t t t f t t t t

'++=--=

所以

216163

ABP

S

=,即ABP △【点睛】本题主要考查了根据直线与椭圆的位置关系求椭圆的方程,同时也考查了解析几何中面积的最值问题,需要根据题意联立方程利用韦达定理求解对应的函数解析式,再根据面积的函数解析式求导求最值.属于难题.

21.已知函数f (x )=e x -x 2 -kx （其中e 为自然对数的底，k 为常数）有一个极大值点和一个极小值点． （1）求实数k 的取值范围；

（2）证明：f (x )的极大值不小于1．

【答案】（1）(22ln 2,)k ∈-+∞；（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）求出()2x f x e x k '=--，记()2x g x e x =-，问题转化为方程()g x k =有两个不同解，求导，研究极值即可得结果 ；

（2）由（1）知，()f x 在区间(,ln 2)-∞上存在极大值点1x ，且112x

k e x =-，则可求出极大值

()()111211x f x x e x =-+，记2()(1)((,ln 2))t h t t e t t =-+∈-∞，求导，求单调性，求出极值即可.

【详解】（1）()2x

f x e x k '=--，由()02x

f x e x k '=?-=，

记()2x g x e x =-，()2x

g x e '=-，

由()0ln 2g x x '=?=，且ln 2x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，()(22ln 2,)g x ∈-+∞，

ln 2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，()(22ln 2,)g x ∈-+∞，

由题意，方程()g x k =有两个不同解，所以(22ln 2,)k ∈-+∞；

（2）解法一：由（1）知，()f x 在区间(,ln 2)-∞上存在极大值点1x ，且112x

k e x =-，

所以()f x 的极大值为()()

()111111122

1121x x x f x e x e x x x e x =---=-+， 记2

()(1)((,ln 2))t h t t e t t =-+∈-∞，则(

)

()22t

t

h t te t t e '=-+=-，

因为(,ln2)t ∈-∞，所以20t e ->，

所以0t <时，()0h t '

<，()h t 单调递减，0ln 2t <<时，()0h t '>，()h t 单调递增，

所以()(0)1f t h ≥=，即函数()

f x 极大值不小于1.

解法二：由（1）知，()f x 在区间(,ln 2)-∞上存在极大值点1x ，且112x

k e x =-，

所以()f x 的极大值为()()

()111111122

1121x x x f x e x e x x x e x =---=-+， 因为110x ->，111x

e x ≥+，所以()()()1111111

f x x x x 2≥-++=.

即函数()f x 的极大值不小于1.

【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，极值，考查学生综合分析能力与转化能力，是一道中档题.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

22.已知在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为1x t

y bt

=??

=-+?(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非

负半轴为极轴且取相同的单位长度建立的极坐标系中，曲线C 的方程为22sin cos 0θρθ-=. （1）求曲线C 的直角坐标方程；

（2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且||4AB =，求b 的值.

【答案】（1）22x y =（2）b =【解析】 【分析】

()1利用极坐标和直角坐标的互化公式:cos ,sin x y ρθρθ==即可求解;

()2把直线的参数方程化为直角坐标方程,联立直线方程和曲线C 的方程,得到关于x 的一元二次方程,利用

韦达定理和弦长公式即可求出b 的值. 【详解】（1）因为2

2sin cos 0θρθ-=， 所以2

2

2sin cos 0ρθρθ-=，

代入sin cos y x

ρθρθ=??

=?，得220y x -=，即2

2x y =，

故曲线C 的直角坐标方程是2

2x y =.

（2）由1x t

y bt

=??

=-+?，消去t ，得1y bx =-+，

联立212y bx x y

=-+??=?，消去y ，得2220x bx -+=，

得2

(2)420b ?=--?>，解得b >

b <

设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理可得12122,2x x b x x +=?=，

又||4AB ===，

解得b =【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化及弦长公式的运用;熟练掌握参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

【选修4-5：不等式选讲】

23.已知函数()|3 |-2|-1|(0)f x x m x m =+>. （1）若1m =，解不等式()4f x ；

（2）若函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的面积为20

3

，求m 的值. 【答案】（1）(][,7,)1-∞-+∞（2）2m = 【解析】 【分析】

()1由题知,()3122f x x x =+--,利用零点分段讨论法：分1

3x <-,1

13

-

()2去绝对值,把函数()f x 写成分段形式,求出三角形的三个顶点坐标,列出三角形面积的表达式,解方程即

可求解.

【详解】（1）当1m =时,()3122f x x x =+--，

当1

3x <-时，()4f x 可化为(31)(22)4x x -++-，解得7x -；

当1

13

-

，

所以23()52132(1)m x m x m f x x m x x m x ???---<- ????????

=+--≤

?++≥??

，

因为220,(1)3033m m f f m ??

-

=--<=+> ???

， 所以()f x 的图象与x 轴围成的ABC ?的三个顶点的坐标为