二项分布超几何分布正态分布总结归纳及练习

专题：超几何分布与二项分布

● 假定某批产品共有100个，其中有5个次品，采用不放回和放回抽样方式从中取出10件产品，那么次品数X 的概率分布如何？

一、先考虑不放回抽样：

从100件产品中随机取10件有C 10100种等可能基本事件．

{X = 2}表示的随机事件是“取到2件次品和8件正品”，依据乘法原理有C 25C 8

95种基本事件，根据古典概型，得

P (X = 2) = C 25C 8

95

C 10100

则称X 服从超几何分布

类似地，可以求得X 取其它值时对应的随机事件的概率，从而得到次品数X 的分布列

X 0 1

2

3

4

5

P C 05C 595C 10100

C 15C 495

C 10100

C 25C 395

C 10100

C 35C 295

C 10100

C 45C 195

C 10100

C 55C 095

C 10100

二、再考虑放回抽样：

从100件产品中有放回抽取10次，有10010种等可能基本事件．{X = 2}表示的随机事件

是“取到2件次品和8件正品”，依据乘法原理有C 2

10·52·958种基本事件，根据古典概型，得

P (X = 2) = C 210·52·95810010

= C 2

10(5100)2(95100

)8． 一般地，若随机变量X 的分布列为

P (X = k ) = C k n p k q

n

k

，

其中0 < p < 1，p + q = 1，k = 0，1，2，…，n ，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布记作X ～B (n ，p )。 例1： 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．

解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑

球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1

~35X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．

3

03

1464

(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∴； 12

13

1448

(1)55125

P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭； 21

231412

(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

；

30

33

141

(3)55125

P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭． 因此，X 的分布列为

22，且有：

03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15

C C P Y C ===；21283101

(2)15C C P

Y C ===．

因此，Y 的分布列为

某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．

超几何分布和二项分布都是离散型分布 超几何分布和二项分布的区别：

超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； 超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复） 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布

超几何分布与二项分布练习：

1．一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B 类、C 类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C 类产品或2件都是B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A 类品，B 类品和C 类品的概率分别为0.9,0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．

(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；

(2)若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列． 2、.甲、乙两人参加2010年广州亚运会青年志愿者的选拔．打算采用现场答题的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．

(1)求甲答对试题数ξ的概率分布；

(2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率．

3、已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.

现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X 为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X 的分布列; (Ⅱ)求X 的数学期望E (X ).

4、某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ,系统A 和B 在任意时刻发

生故障的概率分别为1

10

和p .

(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49

50

,求p 的值;

(Ⅱ)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布

列及数学期望E ξ.

5、有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从

这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为ξ. （１）求0ξ=的概率； （２）求ξ的分布列和数学期望.

6、一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.

（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率； （2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的分布列与期望。

7、甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为1()2

p p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为

5

9

． （1）求p 的值； （2）设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．

8、某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式

进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛：答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个问题的概率相

同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为9

1

．

⑴求选手甲可进入决赛的概率；

⑵设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试求ξ的分布列，并求ξ的数学期望 9、一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字

是2,2张卡片上的数字是3，学 科 网从盒中任取3张卡片.