极限状态设计法简介
结构设计原理第2章 结构极限状态计算
规定时间——对结构进行可靠度分析时，结合 结构使用期，考虑各种基本变量与时间关系所 取用的基准时间参数，即设计基准期。我国公 路桥梁结构的设计基准期为100年。 设计基准期≠使用寿命，当结构的使用年限超 过设计基准期时，表明它的失效概率可能增大， 不能保证其目标可靠度，但不等于结构丧失功 能甚至报废。通常使用寿命长，则设计基准期 就长，设计基准期小于寿命期。
R－抗力方面的基本变量组成的综合抗力；
S－作用效应方面的基本变量组成的综合效应。
2.
结构功能函数与可靠、失效、极限状态的对 应关系
Z=R–S>0：结构可靠 Z=R–S<0：结构失效
Z=R–S＝0：结构处于极限状态
结构可靠度设计的目的用功能函数表示，应满足
Z＝g（X1，X2，…，Xn）≥0或Z＝R－S ≥0
f
( )
。
－无量纲系数，称为结构可靠指标。 与
失效概率 Pf 有一一对应关系， 越大， Pf 越 小 ，结构越可靠。(表2-1)
2.1.5 目标可靠指标
定义：用作公路桥梁结构设计依据的可靠 指标。 确定方法：采用“校准法”并结合工程经 验和经济优化原则加以确定。 校准法——根据各基本变量的统计参数和 概率分布类型，运用可靠度的计算方法， 揭示以往规范隐含的可靠度，以此作为确 定目标可靠指标的依据。
采用近似概率极限状态设计法，设 计计算应满足承载能力和正常使用两类 极限状态的各项要求。
2.2.1 三种设计状况
持久状况
桥涵建成后承受自重、车辆荷载等 作用持续时间很长的状况。对应于桥梁 的使用阶段，必须进行承载能力极限状 态和正常使用极限状态的设计。
短暂状况
桥涵施工过程中承受临时性作用 （或荷载）的状况。对应于桥梁的施工 阶段，一般只进行承载能力极限状态计 算（以计算构件截面应力表达），必维护条件下，在规定 时间内，具有足够的耐久性，如不出现 过大的裂缝宽度，钢筋不锈蚀。（耐久 性）
正常使用极限状态的设计方法
正常使用极限状态的设计方法极限状态设计方法是一种在产品研发过程中使用的方法，旨在考虑产品在极限条件下的性能和可靠性。
它是一种系统工程的思维方式，通过模拟和分析不同环境和使用条件下的极限情况，来指导产品设计和改进。
在使用极限状态设计方法进行产品设计时，首先需要定义产品的使用条件和环境。
这包括温度、湿度、压力、振动等环境参数，以及产品的使用方式和周期。
然后，根据定义的使用条件，确定产品的关键性能和可靠性指标。
这些指标可能包括产品的使用寿命、最大负荷、工作温度范围等。
接下来，通过模拟和分析不同环境和使用条件下的极限情况，来评估产品的性能和可靠性。
这可以通过计算、试验或仿真等方法进行。
通过这些极限情况的分析，可以找到产品的潜在问题和改进方向。
例如，如果产品在高温环境下容易发生故障，可以考虑使用高温耐受材料或改善散热设计。
在极限状态设计方法中，需要注意以下几个方面。
首先，要确保模拟和分析的结果是真实可靠的。
这需要选取合适的模型和方法，并进行验证和验证。
其次，需要考虑不同环境和使用条件的组合效应。
有些问题可能只在特定条件下才会发生，因此需要对各种可能情况进行综合评估。
最重要的是，要将极限状态设计方法融入到整个产品研发过程中。
这意味着在每个设计阶段都要考虑产品的极限性能和可靠性，从概念设计到详细设计再到制造和测试阶段，都需要进行相应的分析和优化。
极限状态设计方法的应用有助于提高产品的性能和可靠性。
通过在设计阶段考虑产品在不同环境和使用条件下的极限情况，可以减少故障和事故的发生，提高产品的工作效率和安全性。
此外，极限状态设计方法还可以帮助优化产品的成本和时间，避免不必要的设计和测试。
总之，极限状态设计方法是一种重要的设计方法，可以帮助产品设计人员充分考虑产品在不同环境和使用条件下的极限情况，从而改进产品的性能和可靠性。
在使用该方法时，需要明确产品的使用条件和环境，通过模拟和分析极限情况来评估产品的性能和可靠性，并将结果应用到整个产品研发过程中。
概率极限状态设计法
1.13
第5讲 概率极限状态设计法
直接概率设计法
直接概率设计法的计 算步骤
1.14
第5讲 概率极限状态设计法
概率极限状态的实用设计表达式
一、承载能力极限状态设计表达式
结构构件的承载力计算，应采用如下承载力极限状态设计表达式：
r S <= R 0
R = R( y , f , a ,...)
r
k
k
式中，r0 ——结构重要系数；
安全等级 一级 二级 三级
很严重 严重 不严重
破坏后果
建筑物类型 重要建筑 一般工业与民用建筑 次要建筑物
表10-1 建筑结构安全等级
安全等级
高耸结构类型
结构破坏后果
一级
重要的高耸结构类型
很严重
二级
一般的高耸结构类型
严重
1.3
表10-2 高耸结构的安全等级
第5讲 概率极限状态设计法
结构设计的目标
2.适用性要求 设计的适用性要求指的是结构在正常使用时应具有良好的工作性能，如不发生 过大的变形或过宽的裂缝等，以及不产生影响正常使用的振动等。 3. 耐久性要求 所谓耐久性要求指的是结构在正常维护下，具有足够的耐久性能，不发生钢筋 锈蚀和混凝土严重风化等现象。而耐久性设计就是根据结构的环境类别和设计使用 年限进行设计，主要解决环境作用与材料抵抗环境作用能力的问题。要求在规定的 设计使用年限内，结构能够在自然和人为环境的化学和物理作用下，不出现无法接 受的承载力减小、使用功能降低和不能接受的外观破损等耐久性问题，所以还要掌 握设计基准期和设计使用年限的概念。 设计基准期就是指结构设计时，为确定可变作用及与时间有关的材料性能等取 值而选用的时间参数。例如：现行的建筑结构设计规范中的荷载统计参数是按设计 基准期为50年确定的，桥梁结构为100年，水泥混凝土路面结构不大于30年，沥青混 凝土路面结构不大于15年。 1.4
第二章 第四节 概率极限状态设计法
用来描述结构构件完成预定功能状 态的函数称为功能函数
Z = g ( R, S ) = R − S
二、结构的可靠度与失效概率
可靠概率Ps
结构能完成预定功能的概率
失效概率Pf
不能完成预定功能的概率
可靠指标β：
β=
µ − µS µZ = R 2 2 σZ σR +σS
安全等级 二级 3.2 3.7
破坏类型 延性破坏 脆性破坏
一级 3.7 4.2
三级 2.7 3.2
第四节 概率极限状态设计法 四、实用设计表达式 承载能力极限状态设计表达式：
γ 0 S ≤ R = R ( f c , f s , ak ) γ 0 __ 结构重要性系数，一级安全等级时取1.1,
二级时取1.0; 三级或设计使用年限为5年及以下 时取0.9; S ___ 作用效应组合的设计值
R ___ 抗力
其中 —结构的承载力函数
正常使用极限状态设计表达式：
S ≤C
S___正常使用极限状态的荷载效应(变形\裂缝宽度等)组 合设计值 C___结构构件达到正常使用要求的规定限值 正常使用极限状态计算主要进行变形验算和裂缝控制验算
结构承载能力极限状态设计目标可靠指标 [β ]
破坏类型 一级 延性破坏 塑性破坏 3.7 4.2 安全等级 二级 3.2 3.7 三级 2.7 3.2
第四节 概率极限状态设计法 三、建筑结构的安全等级和目标可靠指标 《建筑结构可靠度设计统一标准》根据 不同的安全等级和破坏类型确定承载能力极 限状态设计时的目标可靠指标[β]：
第四节 概率极限状态设计法 三、建筑结构的安全等级和目标可靠指标 《建筑结构可靠度设计统一标准》根据建 筑结构破坏后的严重程度，将建筑结构划为 三个安全等级：
第三章按近似概率论理论的极限状态设计法_基本设计原则
第三章按近似概率论理论的极限状态设计法_基本设计原则按近似概率论理论的极限状态设计法是结构设计中的一种常见方法，主要用于抗震设计。
其基本设计原则主要包括以下几点：1.安全性原则：结构设计的首要原则是保证结构的安全性。
根据近似概率论理论的极限状态设计法，要求结构在地震作用下的破坏概率应控制在可接受的范围内。
设计师需要根据地震参数、地质条件和结构性质等因素，进行适当的安全系数设计。
2.极限状态原则：按近似概率论理论的极限状态设计法将结构在地震作用下的破坏分为弹性极限状态和破坏极限状态。
弹性极限状态指结构在地震作用下仍然能够保持轴力、弯矩和剪力等内力在允许范围内的状态；破坏极限状态指结构在地震作用下无法再保持正常使用功能的状态。
设计要求结构在地震作用下达到弹性极限状态，但不超过破坏极限状态。
3.性能目标原则：根据近似概率论理论的极限状态设计法，设计应明确结构的性能目标。
性能目标可以根据结构的重要性和使用要求等因素进行确定，一般包括易修复性、可用性、避免不可修复的损失等方面。
根据性能目标，设计师需要根据相应的性能等级，确定结构的设计参数。
4.破坏概率控制原则：按近似概率论理论的极限状态设计法要求结构在地震作用下的破坏概率控制在可接受的范围内。
破坏概率的计算需要考虑地震参数、结构性能、结构重要性和设计性能目标等因素。
设计师需要根据这些因素，进行统计分析和可靠度计算，从而确定结构的合理设计参数，以控制破坏概率。
5.经济性原则：按近似概率论理论的极限状态设计法要求在保证结构安全的前提下，尽量减少结构成本，提高经济性。
设计师需要综合考虑结构的安全性、使用寿命、材料成本、施工成本等因素，进行合理的设计参数选择。
通过经济性分析，确定最佳的设计方案。
6.可行性原则：结构设计时需要考虑实施的可行性。
设计师需要综合考虑技术条件、材料供应、施工技术和成本等因素，确定能够实施的设计方案。
在设计过程中，应注重结构的可施工性和可操作性，确保设计方案的可行性。
第2章 结构可靠度和极限状态设计法-结构设计原理-湖大
i =1
j=2
R=
f(
fck rc
,
fsk rs
, ac...)
第2章
39
桥梁规范：
rc = 1.45 ; rs = 1.2(热轧钢筋）or 1.25 (预应力钢筋)
建工规范：
rc = 1.40 ; rs = 1.1(热轧钢筋）or 1.20 (预应力钢筋)
第2章
38
0 ——结构重要性系数， r0＝1.1、1.0 或 0.9
➢假定R、S相互独立且服从正态分布，则有：
Z = uR − uS
Z =
2 R
+
2 S
Z
= Z uZ
=
2 R
+
2 S
uR − uS
第2章
17
f (z) 标准差
Z＜0 Z＞0 失效 可靠
失效概率 pr
ps 可靠概率
μz＝βσz 平均值
反弯点 z
第2章
19
2.结构的失效概率 Pf
➢结构功能函数Z的概率密度曲线
⚫ Pf与 b一一对应，二者的对应关系：
第2章
21
4.公路工程的设计状况
➢持久状况－结构建成后承受自重、车 辆荷载等持续时间很长的状况－整过 运营期。
➢短暂状况－结构施工过程中承受临时 性作用的状况。
➢偶然状况－结构使用过程中偶然出现 的状况。
第2章
23
b pf
b pf b
pf
1.0 1.59×10-1 3.0 1.35×10-3 4.2 1.3×10-5
第2章
15
五. 结构的安全等级
➢ 规范采用结构的安全等级来表示结构的重要 性程度，并划分为一、二、三级。
极限状态设计方法
1.2 正常使用极限状态计算
3. 荷载准永久组合的效应设计值计算
荷载准永久组合的效应设计值应按式（1-12）进行计算 （组合中的设计值仅适用于荷载与荷载效应为线性的情况）。
（1-12）
准永久组合是采用设计基准期内持久作用的准永久值进 行组合而确定的。它是考虑可变荷载的长期作用并具有独立性 的一种组合形式。但《混凝土结构设计规范（2015年版）》 （GB 50010—2010）中对结构抗力（裂缝、变形）的试验研 究结果多数是在荷载短期作用的情况下取得的，因此仅将荷载 准永久组合值作为荷载长期作用会降低结构抗力（刚度）的影 响因素之一来取用。
1.2 正常使用极限状态计算
1. 荷载标准组合的效应设计值计算
荷载标准组合的效应设计值S应按式（1-10）进行计算（组 合中的设计值仅适用于荷载与荷载效应为线性的情况）。
（1-10） 标准组合是在设计基准期内根据正常使用条件可能出现最大 可变荷载时的荷载标准值进行组合而确定的，在一般情况下均采 用这种组合值进行正常使用极限状态的验算。
S≤C
（1-9）
式中，C为结构或结构构件达到正常使用要求的规定限值，如变形 、裂缝、振幅、加速度、应力等的限值，应按各有关建筑结构设 计规范的规定采用。
正常使用情况下,荷载效应和结构抗力的变异性已经在确定荷 载标准值与结构抗力标准值时进行了一定程度的处理，并具有一 定的安全储备。考虑到正常使用极限状态设计属于校核验算性质 ，所要求的安全储备可以略低一些，所以可采用荷载效应及结构 抗力标准值进行计算。
1.2 正常使用极限状态计算
当结构振动涉及人的舒适性，影响非结构构件的性 能和设备的使用功能时，应采用荷载频遇组合进行极限 状态的验算。在《建筑结构荷载规范》（GB 50009— 2012）中首次提出了频遇组合的计算条文，但由于当前 所给出的频遇组合值系数和对结构构件达到正常使用要 求的相应规定限值尚不够完善，因而也没有明确规定其 具体应用场合，当有成熟经验时，可以采用这种组合进 行极限状态的验算。
极限状态设计法讲解
间接作用指：引起结构外加变形和约束变形的因素。如 地震，基础沉降，混凝土收缩，温度变化等。
2.1 概率极限状态设计法的基本概念
改编自一位不知名作者
容许应力设计方法
梳理结构设计理论的原则。 1：容许应力设计方法 allowable stress
◆ 安全系数K 是一个大于1.0的数值 ◆K 越大，结构安全度就越高，同时结构材料用量也越多 ◆ 为取得安全可靠与经济合理的均衡， 在综合考虑各种 不确定性因素影响后，可选取一个合适的安全系数。
所有能使结构产生内力和变形的原因统称为“作 用”。荷载是作用中的一部分。
荷载
荷 载 标 准 值
随机变量
概率 密度
根据统计资料，运 用数理统计方法确 定的具有一定保证 率（如95%）的统 计特征值
荷载 平均 值
荷载 标准 值
荷载
2.1 概率极限状态设计法的基本概念
（2）作用效应（S） 指作用引起的内力（例如，轴力、弯矩、剪力、扭矩 等）和变形（转角、挠度、裂缝）。
2.1 概率极限状态设计法的基本概念
桥梁遭运砂船撞击倒塌
2.1 概率极限状态设计法的基本概念
哈尔滨三环群力高架桥 车辆严重超载
2.1 概率极限状态设计法的基本概念
正常使用极限状态： 结构或结构构件达到正常使用或耐久 性能的某项规定值。
当结构或构件出现下列状态之一时，即认为超过了正 常使用极限状态：
规定的限值，如变形、 裂缝宽度、应力
注：正常使用极限状态计算不考虑结构重要性系数
极限状态设计方法
根据不同要求，采用荷载的标准组合、频遇组合、或 准永久组合
n
标准组合： 标准组合： S = SGk + SQ1k + ∑ ϕ ci SQik
i =2
准永久组合: 准永久组合: 频遇组合： 频遇组合：
S = SGk + ∑ ϕ qi S Qik
i =1
n
S = SGk + ϕ f 1S Q1k + ∑ ϕ qi SQik
正常使用极限状态设计方法
设计方法：
S ≤C
C ——结构构件达到正常使用要求所规定的变形、裂使用极限状态的荷载效应组合值。
由于超出正常使用极限状态的后果不像超出承载力 极限状态造成的后果严重，《规范》规定：在计算 中采用材料强度的标准值和荷载的标准值，结构的 重要性系数也不予考虑。
极限状态的定义：
是结构或其构件能够满足前述某一功能要求 的临界状态。超过这一界限，结构或其构件就不 能满足设计规定的该项功能要求而进入失效状态。
极限状态的分类：
承载能力极限状态 正常使用极限状态
(承)：刚体失去平衡，材料强度不 极限状态的 表现形式： 足，结构转变为机构，失稳
(正)：过大的变形，影响正常使用 ( ) 或耐久性能的局部损坏，过 大的振动 设计过程中： 所有结构构件均按承载力极限状态进行计算，
３、可靠度极限状态
结构的可靠度 指结构在规定时间内，规定条件下完成预定功能的概 率，是结构可靠性的概率度量。
Z = g ( R, S ) = R − S
结构处于可靠 可靠状态 当 Z > 0 时， 结构处于可靠状态 失效状态 结构处于失效 当 Z < 0 时， 结构处于失效状态 结构处于极限 极限状态 结构处于极限状态 当 Z = 0 时，
混凝土结构按近似概率的极限状态设计法
通过蒙特卡洛模拟计算结构的可靠性。
混凝土结构极限状态设计的步骤
1
确定设计参数和设计概要
明确设计参数和要求，制定设计方案。
分析构件的极限状态
2
使用相关方法计算结构极限状态的可
靠性。
3
校核设计条件
检查设计条件是否满足要求，如变形
优化设计
4
约束、荷载承受能力等。
通过调整结构参数和设计方案以提高 可靠性。
混凝土结构极限状态设计的理论基础
强度理论
基于材料的强度和荷载的概率分布。如极限状态设计（LRFD）。
可靠性理论
在设计中考虑不确定性。如概率有限元法。
常用的极限状态设计方法
1
最不利条件设计法
按预先设定的最不利条件计算结构的
寿命设计法
2
极限状态。
考虑结构在使用寿命内可能遭受的荷
载和环境作用。
3
概率有限元法
混凝土结构按近似概率的 极限状态设计法
在混凝土结构设计中，了解极限状态设计法是非常重要的。本演示将介绍概 率设计与确定性设计的区别，以及混凝土结构极限状态设计的常用方法和步 骤。
确定性设计 vs. 概率设计
1 确定性设计
以固定参数进行设计，忽略随机性。可靠性较低。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 概率设计
考虑参数的统计分布，通过概率计算设计可靠性。可靠性更高。
混凝土结构按近似概率的极限状态设计 法的应用
工程实例
演示具体工程案例，展示按近似概率的极限状态 设计法可以如何应用于混凝土结构设计。
成功案例
分享成功实施该设计方法的案例，如高层建筑、 桥梁等。
总结与展望
1 极限状态设计法的优势
2 未来发展方向
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极限状态设计法简介顾迪民一, 定义①极限状态设计法以相应于结构和构件各种功能要求的极限状态，如承载能力的极限状态和正常使用的极限状态等为依据的设计方法。
结构和构件应满足这些极限状态的限制。
② 许用应力设计法在规定的使用载荷（标准值）作用下，按线性弹性理论算得的结构或构件中的应力（计算应力）应不大于规范规定的材料许用应力。
材料的许用应力由材料的平均极限抗力（屈服点、临界应力和疲劳强度）除以安全系数而得，安全系数可由经验确定。
③ 概率设计法以概率理论为基础确定的结构或构件的失效概率)P (f 或可靠概率)1P P )(P (f s s =+来定量地度量结构或构件的可靠性。
用此法设计的各类结构或构件具有大体相同的可靠度。
④ 概率极限状态设计法在概率设计法基础上，进一步建立结构可靠性指标与极限状态方程之间的数学关系。
在设计表达式中采用载荷分项系数，这些分项系数也是根据各载荷变量的统计特征在概率分析的基础上经优选确定的。
载荷分项系数的确定有三种水平:其一为部分系数由概率分析确定,部分系数用经验确定,也称半概率极限状态设计法;其二为所有系数均由概率分析确定,但其概率分布曲线一列用正态分布曲线代替,故称近似概率极限状态设计法;其三为全概率极限状态设计法,是发展趋向.二, 近似概率极限状态设计法1, 极限状态承载能力极限状态------静强度,动力强度和稳定等计算.正常使用极限状态------静,动变形(刚性)和耐久性(疲劳)的计算.2, 结构可靠度包括结构安全性,适用性和耐久性.其定义为:在规定时间(寿命)内,规定条件下,完成预定功能的概率. 3, 极限状态方程0),,(321=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n X X X X g Z式中Xi 是影响结构可靠度的变量。
在结构设计中可归纳为二个基本变量R （抗力）和S （载荷效应—内力）。
0),(=-==S R S R g ZR = S ，极限状态；R < S , 失效；R > S ，有效（可靠）。
失效率f P 加可靠率s P 为1。
即：s f P P -=1若变量S 和R 的分布规律为正态分布，其平均值为：R S μμ和 ，其标准差为：R S σσ和。
则状态函数S R Z -=也必为正态分布。
其平均值为：S R Z μμμ-=，其标准差为：22SR Z σσσ+=。
状态函数Z 的概率分布曲线方程：222)(21)(σμπσ--=Z e Z f （正态分布）。
设ZZσμβ=，则其几何意义为图示的距离。
若β大，即Z μ离O 点远，失效率)(βφ-=f P 低，可靠率)(1βφ--=S P 高。
)(∙φ为标准正态分布函数)0,1(==μσ，有表可查。
β 2 3 3.5 4 4.5 5 f P ~10-2 ~10-3 ~10-4 ~10-5 ~10-6 ~10-7 今用β作为可靠度指标，则 ：22SR S RZ Zσσμμσμβ+-==若基本变量非正态分布，则要转化为正态分布，其条件为失效率相等（见图）。
4，可靠度指标β极限状态方程0=-S R 在坐标ROS 中为一45度直线0P ，今转换到坐标∧∧∧S R 0中，见图所示。
其关系为：RRSSR R S S σμσμ-=-=∧∧, 。
今从∧0点作一垂直线于0P ，交点*P ，其在∧∧∧S R 0中的坐标为∧*∧*S R ,，在R0S 中的坐标为**S R ,。
今将直线方程0=-S R 改写成：0=--+∧∧S S R R S R μσμσ，再除以（22S R σσ+-）得： 0222222=+--+++∧∧SRS R SR R SRS RSσσμμσσσσσσ又从图中可得：*∧∧*∧*=⋅+⋅P Cos R Cos S R S 0θθ。
将此式与上式对比，则得下列各式：βσσμμσσσθσσσθ=+-=+-=+=*∧2222220,,SRS R S RR R SR S S P Cos Cos 。
又知：R S Cos R Cos S S R θβθβ⋅=⋅==-∧*∧***,,0，今将其坐标转换一下，得：R R R S S S Cos R Cos S σθβμσθβμ⋅⋅+=⋅⋅+=**, 。
若极限状态方程中变量有多个，0),,(=--==L G R L G R g Z ，式中G 为自重载荷，L 为其它载荷，则可写得：222LGRL G R σσσμμμβ++--=L L L G G G R R R Cos L Cos G Cos R σθβμσθβμσθβμ⋅⋅+=⋅⋅+=⋅⋅+=***,,222222222,,LG R LL LG R GG LG R RR Cos Cos Cos σσσσθσσσσθσσσσθ++-=++-=++-=5，概率极限状态设计法步骤a) 由统计方法求得各参数（变量）的正态分布函数的σμ和； b) 由上述公式求得：L G R Cos Cos Cos θθθβ,,,；c) 看看得到的***L G R ,,是否满足等于或大于零的要求；d) 不行，再调整。
因β有一定的要求，故要反复迭代试算。
6，结构，构件的抗力R实际抗力K K R K P A M R R k R k k k R ,⋅=⋅⋅⋅=为按《规范》算得的抗力。
a) 材性的平均差异系数)(kM M k μ=试件试验值构件实际性能标准值试件试验平均值==⋅=00,,k f k k k k Yf f f M Yμ设一组钢试件作性能试验，得i 个屈服点Yi f ，每个屈服点出现i n 次。
则其平均值，即试件试验值的平均值∑∑=iYii fnf n Yμ （假定为255 MPa ）；其标准差1)(2--=∑n fn Y Yf Yiif μσ （为3.7 MPa ）则 )085.1235255(===Yff f k Yμ，变异系数)0145.02557.3(===Y Y Y f f f μσν。
而 0k 由于构件的实际性能比试验值低10 ~ 20 MPa, 今取15 MPa, 则 941.0255152550=-=k ，0≈ν。
故02.1941.0085.10=⨯=⋅=k k k f M ，0145.0==Y f kM νν 。
b) 构件几何参数的差异系数)(kA A k μ= 标准尺寸实际尺寸=A k ，随板材h, b, t 误差而异。
国外资料取1，即05.0,0.1==kA A k ν。
c) 构件实际抗力的平均差异系数)(kP P k μ= P k PP 按规范公式计算值平均值实际抗力的试验值μ)(=, 随计算公式而异。
如：轴压构件的临界力，公式计算值Y cr P P ⋅=ϕ（=48 kN ）,试验值,cri P ，对应于n i ⋅⋅⋅=,2,1次数。
则，nPncriP ∑=1,μ (=45.5 kN ），标准差1)(2,--=∑n PP cri P μσ（=3.1 kN ）,PPP μσν=(=0.068)。
则：)948.0485.45(===crPP P k μ。
此时，)967.0948.0102.1(=⨯⨯=⋅⋅=P A M R k k k k 。
变异系数222PA M R νννν++=（=)086.0068.005.00145.0222=++。
7，自重载荷G 和其它载荷L i 的统计值与标准值起重机按机种，大小，类型分门别类对现有机械进行统计。
例如：某种类型的起重机的自重载荷，设计计算值为G i ,对应的实测值为G i ’, i = 1~n。
令ii GiG G k '=，而其平均值G GikGi k nk==∑μ（=1.06），则其自重载荷)06.1(K K kGi G G G =⋅=μ,K G 为其设计计算值。
而其标准差1)(2--=∑n k Gi kGikGi μσ（=0.072）,则)072.0(K K kGi G G G =⋅=σσ，其变异系数kGikGikGi μσν=（=0.072/1.06=0.0679）。
又如风载荷，经统计，认为其概率分布为极值I 型（不是正态分布），K K W W W W k 1.1=⋅=μ，K W 为风载标准值。
总之，可得到下列各式：统计平均值 标准值 标准差 R R R KRR RRK K R R R k k R R k μνσμμμ⋅===⋅=,,,；G G G KGG GGK K G G G k k G G k μνσμμμ⋅===⋅=,,,；Li Li Li iKLiLi LiLiiK K i Li Li L k k L L k μνσμμμ⋅===⋅=,,,。
8，算例1钢拉杆，Q235，已知R 和S 服从正态分布。
kN kN S S 9.16,241==σμ。
086.0,/2352===RRR Y mm N f μσν。
若要求)10~(0.33-==f P 即β，求拉杆面积？ 解：0.39.16)086.0()241()(2222=+-=+-=R R S R S R μμσσμμβ，得),,2412.173(343为正值因不取另一解为βμμkN kN kN S R =<=。
此值是在可靠度指标为3.0时需要的抗力，它应等于或小于构件的实际抗力：A f k R k Y R K R R ⋅⋅=⋅≤μ。
故该拉杆面积为：22315143123502.110343cm mm f k A Y R R取=⨯⨯=⋅=μ。
若取13cm 2则kN R 312=μ。
代回公式得可靠度指标24.2=β，若取12cm 2则kN R 6.287=μ，55.1=β。
9，算例2假设R ，G ，L 均服从正态分布，36.36,4.519==G G kN σμ；kN L 686=μ，17.0,199==R L kN νσ；要求0.3=β时的拉杆截面A 。
解：222)(L G R L G R σσσμμμβ++++=，又知0.3,17.0==⋅=βμμνσR R R R ，则可得：kN kN R R 8.4787.281617.0;7.2816=⨯==σμ而。
则kN L G R 7.519222=++σσσ；又知：383.07.519199;06996.07.51936.36;923.07.5198.478====-=-=L G R Cos Cos Cos θθθ。
则：kN Cos R R R R 2.1449923.08.47837.2816=⨯⨯-=+=*θβσμ ；kN Cos G G G G 3.52706996.036.3634.519=⋅⨯+=+=*θβσμ；kN Cos L L L L 922383.01993686=⨯⨯+=+=*θβσμ。
验算：0=--***L G R ；1449.2 - 527.3 – 922 = - 0,1 ≌ 0 ；满足要求。