中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)及答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x
=上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x
=于点M，BC边交x轴于点N（如图）.
（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；
（3）设MBN
?的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.
【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析
【解析】
试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；
（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；
（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．
试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，
∴OA旋转了45°．
∴OA在旋转过程中所扫过的面积为
2
452
3602ππ
?
=．
（2）∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．
又∵BA=BC，∴AM=CN．
又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．
∴∠AOM=∠CON=1
2（∠AOC-∠MON）=
1
2
（90°-45°）=22.5°．
∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．
证明：延长BA交y轴于E点，
则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
∴△OAE ≌△OCN ．
∴OE=ON ，AE=CN ．
又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM ，
∴△OME ≌△OMN ．∴MN=ME=AM+AE ．
∴MN=AM+CN ，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．
∴在旋转正方形OABC 的过程中，p 值无变化．
考点：旋转的性质.
2．如图，在ABC 中，90ACB ∠=，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE AD ⊥交AB 于点E ，以AE 为直径作O ．
()1求证：BC 是O 的切线；
()2若3AC =，4BC =，求tan EDB ∠的值．
【答案】（1）见解析；（2）1tan 2
EDB ∠=
． 【解析】
【分析】 ()1连接OD ，如图，先证明OD//AC ，再利用AC BC ⊥得到OD BC ⊥，然后根据切线的判定定理得到结论；
()2先利用勾股定理计算出AB 5=，设O 的半径为r ，则OA OD r ==，OB 5r =-，再证明BDO ∽BCA ，利用相似比得到r ：()35r =-：5，解得15r 8=，接着利用勾股定理计算5BD 2=，则3CD 2=，利用正切定理得1tan 12
∠=，然后证明1EDB ∠∠=，从而得到tan EDB ∠的值．
【详解】
()1证明：连接OD ，如图，
AD 平分BAC ∠，
12∴∠=∠，
OA OD =，
23∴∠=∠，
13∴∠=∠，
//OD AC ∴，
AC BC ⊥，
OD BC ∴⊥，
BC ∴是O 的切线；
()2解：在Rt ACB 中，22345AB =+=， 设O 的半径为r ，则OA OD r ==，5OB r =-，
//OD AC ， BDO ∴∽BCA ，
OD ∴：AC BO =：BA ，
即r ：()35r =-：5，解得158
r =， 158OD ∴=，258
OB =， 在Rt ODB 中，2252
BD OB OD =-=， 32
CD BC BD ∴=-=， 在Rt ACD 中，3
12tan 132
CD AC ∠===， AE 为直径，
90ADE ∴∠=，
90EDB ADC ∴∠+∠=，
190ADC ∠+∠=，
1EDB ∴∠=∠，
1tan 2
EDB ∴∠=．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径
.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形．
3．已知，如图：O1为x轴上一点，以O1为圆心作⊙O1交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E，AB是弦，且AB∥CD，直线DM的解析式为y=3x+3．
（1）如图1，求⊙O1半径及点E的坐标．
（2）如图2，过E作EF⊥BC于F，若A、B为弧CND上两动点且弦AB∥CD，试问：BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明．
（3）在（2）的条件下，EF交⊙O1于点G，问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG 的长（不写过程），若变化自画图说明理由．
【答案】（1）r=5 E（4，5）（2）BF+CF=AC （3）弦BG的长度不变，等于2
【解析】
分析：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1，可以证到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC，从而可以证到∠EO1D=∠EO1C=90°．由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1，OM=3．设
⊙O1的半径为r．在Rt△MOO1中利用勾股定理就可解决问题．
（2）过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．由AB∥DC可证到BD=AC，易证四边形O1PFQ是矩形，从而有O1P=FQ，∠PO1Q=90°，进而有∠EO1P=∠CO1Q，从而可以证到△EPO1≌△CQO1，则有PO1=QO1．根据三角形中位线定理
可得FQ=1
2
BD．从而可以得到BF+CF=2FQ=AC．
（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．易证EF∥BD，则有∠GEB=∠EBD，从而有
BG=ED，也就有BG=DE．在Rt△EO1D中运用勾股定理求出ED，就可解决问题．
详解：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1．
∵ME平分∠SMC，∴∠SME=∠EMC．
∵∠SME=∠ECD，∠EMC=∠EDC，∴∠ECD=∠EDC，∴∠EO1D=∠EO1C．
∵∠EO1D+∠EO1C=180°，∴∠EO1D=∠EO1C=90°．
∵直线DM的解析式为y=3x+3，∴点M的坐标为（0，3），点D的坐标为（﹣1，0），∴OD=1，OM=3．
设⊙O1的半径为r，则MO1=DO1=r．
在Rt△MOO1中，（r﹣1）2+32=r2．
解得：r=5，∴OO1=4，EO1=5，∴⊙O1半径为5，点E的坐标为（4，5）．
（2）BF+CF=AC．理由如下：
过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．
∵AB∥DC，∴∠DCA=∠BAC，∴AD=BC BD
∴
，=AC，∴BD=AC．
∵O1P⊥EG，O1Q⊥BC，EF⊥BF，∴∠O1PF=∠PFQ=∠O1QF=90°，∴四边形O1PFQ是矩形，∴O1P=FQ，∠PO1Q=90°，∴∠EO1P=90°﹣∠PO1C=∠CO1Q．
在△EPO1和△CQO1中，
11
11
11
EO P CO Q
EPO CQO
O E O C
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△EPO1≌△CQO1，∴PO1=QO1，∴FQ=QO1．∵QO1⊥BC，∴BQ=CQ．
∵CO1=DO1，∴O1Q=1
2 BD
，∴FQ=
1
2
BD．
∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ，∴BF+CF=BD=AC．
（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．
∵DC是⊙O1的直径，∴∠DBC=90°，∴∠DBC+∠EFB=180°，∴EF∥BD，
∴∠GEB=∠EBD，∴BG=ED，∴BG=DE．
∵DO1=EO1=5，EO1⊥DO1，∴DE=52，∴BG=52，
∴弦BG的长度不变，等于52．
点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度．而由AB∥DC证到AC=BD是解决第（2）小题的关键，由EG∥DB证到BG=DE是解决第（3）小题的关键．
4．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，小圆直径AE的延长线与大圆交于点B，点D 在大圆上，BD与小圆相切于点F，AF的延长线与大圆相交于点C，且CE⊥BD．找出图中相等的线段并证明．
【答案】见解析
【解析】
试题分析：由AE是小⊙O的直径，可得OA=OE，连接OF，根据切线的性质，可得
OF⊥BD，然后由垂径定理，可证得DF=BF，易证得OF∥CE，根据平行线分线段成比例定理，可证得AF=CF，继而可得四边形ABCD是平行四边形，则可得AD=BC，AB=CD．然后连接OD、OC，可证得△AOD≌△EOC，则可得BC=AD=CE=AE．
试题解析：
图中相等的线段有：OA=OE，DF=BF，AF=CF，AB=CD，BC=AD=CE=AE．
证明如下：
∵AE是小⊙O的直径，
∴OA=OE．
连接OF，
∵BD与小⊙O相切于点F，
∴OF⊥BD．
∵BD是大圆O的弦，
∴DF=BF．
∵CE⊥BD，
∴CE∥OF，
∴AF=CF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AD=BC，AB=CD．
∵CE：AE=OF：AO，OF=AO，
∴AE=EC．
连接OD、OC，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD．
∵∠AOD=∠ODC，∠EOC=∠OEC，
∴∠AOC=∠EOC，
∴△AOD≌△EOC，
∴AD=CE．
∴BC=AD=CE=AE．
【点睛】考查了切线的性质，垂径定理，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法，小心不要漏解．
5．如图，AB 是半圆O 的直径，半径OC ⊥AB ，OB ＝4，D 是OB 的中点，点E 是弧BC 上的动点，连接AE ，DE ．
（1）当点E 是弧BC 的中点时，求△ADE 的面积；
（2）若3tan 2
AED ∠= ，求AE 的长； （3）点F 是半径OC 上一动点，设点E 到直线OC 的距离为m ，当△DEF 是等腰直角三角形时，求m 的值.
【答案】（1）62ADE S =2）1655
AE =3）23m =，22m =71m =.
【解析】
【分析】
（1）作EH ⊥AB ，连接OE ，EB ，设DH ＝a ，则HB ＝2﹣a ，OH ＝2+a ，则EH ＝OH ＝2+a ，根据Rt △AEB 中，EH 2＝AH?BH ，即可求出a 的值，即可求出S △ADE 的值；
（2）作DF ⊥AE ，垂足为F ，连接BE ，设EF ＝2x ，DF ＝3x ，根据DF ∥BE 故
AF AD EF BD
=，得出AF ＝6x ，再利用Rt △AFD 中，AF 2+DF 2＝AD 2，即可求出x ，进而求出AE 的长； （3）根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论，分别求出m 的值.
【详解】
解：（1）如图，作EH ⊥AB ，连接OE ，EB ，
设DH ＝a ，则HB ＝2﹣a ，OH ＝2+a ，
∵点E 是弧BC 中点，
∴∠COE ＝∠EOH ＝45°，
∴EH ＝OH ＝2+a ，
在Rt △AEB 中，EH 2＝AH?BH ，
（2+a ）2＝（6+a ）（2﹣a ），
解得a ＝222±-， ∴a ＝222-，
EH=22，
S △ADE ＝1622
AD EH =;
（2）如图，作DF ⊥AE ，垂足为F ，连接BE
设EF ＝2x ，DF ＝3x
∵DF ∥BE
∴
AF AD EF BD
= ∴622
AF x ==3 ∴AF ＝6x 在Rt △AFD 中，AF 2+DF 2＝AD 2
（6x ）2+（3x ）2＝（6）2
解得x ＝255
AE ＝8x ＝
1655 （3）当点D 为等腰直角三角形直角顶点时，如图
设DH ＝a
由DF=DE,∠DOF=∠EHD=90°，∠FDO+∠DFO=∠FDO+∠EDH ，
∴∠DFO=∠EDH
∴△ODF≌△HED
∴OD＝EH＝2
在Rt△ABE中，EH2＝AH?BH
（2）2＝（6+a）?（2﹣a）
-
解得a＝±232
m＝23
当点E为等腰直角三角形直角顶点时，如图
同理得△EFG≌△DEH
设DH＝a，则GE＝a，EH＝FG＝2+a
在Rt△ABE中，EH2＝AH?BH
（2+a）2＝（6+a）（2﹣a）
解得a＝222
±-
∴m＝22
当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图
同理得△EFM≌△FDO
设OF＝a，则ME＝a，MF＝OD＝2
∴EH＝a+2
在Rt△ABE中，EH2＝AH?BH
（a+2）2＝（4+a）?（4﹣a）
解得a＝71
m71
【点睛】
此题主要考查圆内综合问题，解题的关键是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的判定与性质.
6．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．
（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC ，AD ，BD 之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ，进而得出：DC+AD= BD ．
（2）探究证明
将直线MN 绕点A 顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC ，AD ，BD 之间的数量关系，并证明
（3）拓展延伸
在直线MN 绕点A 旋转的过程中，当△ABD 面积取得最大值时，若CD 长为1，请直接写BD 的长．
【答案】（1）2；（2）AD ﹣DC=2BD ；（3）BD=AD=2+1．
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的性质求出DC ，AD ，BD 之间的数量关系
（2）过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ．AD 交BC 于O ，
证明CDB AEB ??≌，得到CD AE =，EB BD =，
根据BED ?为等腰直角三角形，得到2DE BD =，
再根据DE AD AE AD CD =-=-，即可解出答案.
（3）根据A 、B 、C 、D 四点共圆，得到当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时，△ABD 的面积最大．
在DA 上截取一点H ，使得CD=DH=1，则易证2CH AH ==
，
由BD AD =即可得出答案.
【详解】
解：（1）如图1中，
由题意：BAE BCD ??≌，
∴AE=CD ，BE=BD ，
∴CD+AD=AD+AE=DE ，
∵BDE ?是等腰直角三角形， ∴DE=2BD ，
∴DC+AD=2BD ，
故答案为2．
（2）2AD DC BD -=．
证明：如图，过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ．AD 交BC 于O ．
∵90ABC DBE ∠=∠=?，
∴ABE EBC CBD EBC ∠+∠=∠+∠，
∴ABE CBD ∠=∠．
∵90BAE AOB ∠+∠=?，90BCD COD ∠+∠=?，AOB COD ∠=∠，
∴BAE BCD ∠=∠，
∴ABE DBC ∠=∠．又∵AB CB =，
∴CDB AEB ??≌，
∴CD AE =，EB BD =，
∴BD ?为等腰直角三角形，2DE BD =
． ∵DE AD AE AD CD =-=-，
∴2AD DC BD -=．
（3）如图3中，易知A 、B 、C 、D 四点共圆，当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时，△ABD 的面积最大．
此时DG ⊥AB ，DB=DA ，在DA 上截取一点H ，使得CD=DH=1，则易证2CH AH ==， ∴21BD AD ==
+．
【点睛】 本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键.
7．如图1，AB 为半圆O 的直径，半径OP ⊥AB ，过劣弧AP 上一点D 作DC ⊥AB 于点C ．连接DB ，交OP 于点E ，∠DBA ＝22.5°．
⑴ 若OC ＝2，则AC 的长为 ；
⑵ 试写出AC 与PE 之间的数量关系，并说明理由；
⑶ 连接AD 并延长，交OP 的延长线于点G ，设DC ＝x ，GP ＝y ，请求出x 与y 之间的等量关系式. （请先补全图形，再解答）
【答案】⑴ 222；⑵ 见解析；⑶ y =2x
【解析】
【分析】
（1）如图，连接OD ，则有∠AOD=45°，所以△DOC 为等腰直角三角形，又OC=2，所以2,故可求出AC 的长；
（2）连接AD ，DP ，过点D 作DF ⊥OP ，垂足为点F . 证AC=PF 或AC=EF ，证DP=DE
证PF=EF=12
PE ，故可证出PE =2AC ； （3）首先求出22OD CD x ==，再求AB=22x ,再证△DGE ≌△DBA,得
GE =AB =2x ，由PE=2AC 得PE =2(2)x x -，再根据GP =GE －PE 可求结论.
【详解】
（1）连接OD ，如图，
∵∠B=22.5°，
∴∠DOC=45°,
∵DC⊥AB
∴△DOC为等腰直角三角形，
∵OC=2，
∴2
∴2，
∴AC=AO-OC=222.
⑵连接AD，DP，过点D作DF⊥OP，垂足为点F.∵OP⊥AB,
∴∠POD=∠DOC=45°，
∴AD=PD，
∵△DOC为等腰直角三角形，
∴DC=CO,
易证DF=CO，
∴DC=DF，
∴Rt△DAC≌Rt△DPF,
∴PF=AC,
∵DO=AO,∠DOA=45°
∴∠DAC=67.5°
∴∠DPE=67.5°,
∵OD=OB，∠B=22.5°，
∴∠ODE=22.5°
∴∠DEP=22.5°+45°=67.5°
∴∠DEP=∠DPE
∴PF=EF=12PE ∴PE =2AC
（3）如图2，由∠DCO =90°，∠DOC =45°得22OD CD x =
= ∴ AB =2OD=22x
∵AB 是直径，
∴∠ADB=∠EDG=90°，
由（2）得AD=ED,∠DEG=∠DAC
∴△DGE ≌△DBA
∴ GE =AB =22x
∵ PE =2AC
∴ PE =2(2)x x -
∴ GP =GE －PE =222(2-)x x x -
即：y =2x
【点睛】
本题是一道圆的综合题，涵盖的知识点较多，难度较大，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握并运用这些知识是解题的关键.
8．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的弦，过O 点作OD ⊥BC ，交⊙O 的切线CD 于点D ，交⊙O 于点E ，连接AC 、AE ，且AE 与BC 交于点F ．
（1）连接BD ，求证：BD 是⊙O 的切线；
（2）若AF ：EF=2：1，求tan ∠CAF 的值．
【答案】（1）证明见解析；（23. 【解析】
【分析】 （1）根据全等三角形的性质得到∠OBD=∠OCD=90°，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据已知条件得到AC ∥DE ，设OD 与BC 交于G ，根据平行线分线段成比例定理得到AC ：EG=2：1，EG=12AC ，根据三角形的中位线的性质得到OG=12
AC 于是得到AC=OE ，求
得∠ABC=30°，即可得到结论．
【详解】
证明：（1）∵OC=OB ，OD ⊥BC ，
∴∠COD=∠BOD ，
在△COD 与△BOD 中，
OC OB COD BOD OD OD ＝＝＝??∠∠???
，
∴△COD ≌△BOD ，
∴∠OBD=∠OCD=90°，
∴BD 是⊙O 的切线；
（2）解：∵AB 为⊙O 的直径，AC ⊥BC ，
∵OD ⊥CB ，
∴AC ∥DE ，
设OD 与BC 交于G ，
∵OE ∥AC ，AF ：EF=2：1，
∴AC ：EG=2：1，即EG=
12AC ， ∵OG ∥AC ，OA=OB ，
∴OG=12
AC ， ∵OG+GE=
12AC+12
AC=AC ， ∴AC=OE ， ∴AC=12
AB ， ∴∠ABC=30°，
∴∠CAB=60°，
∵CE BE =，
∴∠CAF=∠EAB=1
∠CAB=30°，
2
∴tan∠CAF=tan30°=3
．
3
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．
9．如图，已知等边△ABC，AB=16，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作
DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求FG的长；
（3）求tan∠FGD的值．
【答案】(1)证明见解析；（2）6；（3）．
【解析】
试题分析：(1)连接OD，根据等边三角形得出∠A=∠B=∠C=60°，根据OD=OB得到
∠ODB=60°，得到OD∥AC，根据垂直得出切线；(2)根据中位线得出BD=CD=6，根据
Rt△CDF的三角函数得出CF的长度，从而得到AF的长度，最后根据Rt△AFG的三角函数求出FG的长度；(3)过点D作DH⊥AB，根据垂直得出FG∥DH，根据Rt△BDH求出BH、DH的长度，然后得出∠GDH的正切值，从而得到∠FGD的正切值.
试题解析：(1)如图①，连结OD，∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠A＝∠B＝60°，
而OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线
(2)∵OD∥AC，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，
∴BD＝CD＝6.在Rt△CDF中，∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，
∴CF＝CD＝3，∴AF＝AC－CF＝12－3＝9 在Rt△AFG中，∵∠A＝60°，∴FG＝AF·sinA＝9×＝
(3)如图②，过D作DH⊥AB于H.∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD＝∠GDH.在Rt△BDH中，∠B＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝3，DH＝BH＝3.∴tan∠GDH＝＝＝，∴tan∠FGD＝tan∠GDH＝
考点：(1)圆的基本性质；(2)三角函数.
10．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连结AC、AE，∠ACB=∠BAE=45°．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若AB=AD，AC=32，tan∠ADC=3，求BE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
5
2 BE=
【解析】试题分析：（1）连接OA、OB，由圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠OAB=∠OBA=45°，求出∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°,即可得出结论；（2）过点A作AF⊥CD于点F,由AB=AD，得到∠ACD=∠ACB=45°，在Rt△AFC中可求得AF ＝3，在Rt△AFD中求得DF＝1，所以AB＝AD＝10，CD= CF+DF=4，再证明
△ABE∽△CDA，得出BE AB
DA CD
=，即可求出BE的长度；
试题解析：
（1）证明：连结OA，OB，∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=2∠ACB= 90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠BAE=45°，
∴∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°，∴OA⊥AE．
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：过点A 作AF ⊥CD 于点F ，则∠AFC =∠AFD =90°． ∵AB=AD ，
∴AB =AD
∴∠ACD =∠ACB =45°，
在Rt △AFC 中，
∵AC =32，∠ACF =45°， ∴AF=CF=AC ·sin ∠ACF =3，
∵在Rt △AFD 中， tan ∠ADC=
3AF DF =， ∴DF =1，
∴223110AB AD ==+=，
且CD = CF +DF =4，
∵四边形ABCD 内接于⊙O ，
∴∠ABE =∠CDA ，
∵∠BAE =∠DCA ，
∴△ABE ∽△CDA ，
∴
BE AB DA CD =， ∴1010
=， ∴52BE =
．