正余弦定理题型归类

高二数学《正余弦定理》知识与题型总结

1、

2、

3、

三角形面积公式：

（1（

2（3

4、常用公式及结论：

（1

（2

（3

（4

（5

类型一：正余弦定理的综合应用

1.在△ABC

B 等于( )． A ．30° B ．30°或150°

C ．60°

D ．60

°或120°

2.在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，b ＝6，则△ABC 的外接圆半径为（

）

( )．

（）

3 D.3

） A

6.在△ABC 中，内角A,B,C

） A

7.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.

∠B ＝( )

A ．6π

B ．3π

C ．32π

D ．π

8.在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 A ．0

75,45,10===C A b B ．0

80,5,7===A b a C ．0

60,48,60===C b a D ．0

45,16,14===A b a

9.已知ABC ?中，a b 、分别是角A B 、所对的边，且()0,2,a x x b A =>==60°，若三角形有两解，则x 的取值范围是（） A 、3x >

B 、02x <<

C 、32x <<

D 、32x <≤

10. 已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,2

23 20cos A cos A ＋＝，76a c ＝，＝，则b ＝（）

A ．10

B ．9

C ．8

D ．5

11. 在ABC ?中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则2222sin sin sin B A

-的值为（）

A.19-

B.13

C.1

D.72

12. 在ABC ?中，若

22sin 5

3,sin 2

C b a ac A =-=，则cos B 的值为（） A.

13 B.12 C.15 D.14

13. 在,3,160A 0

===??ABC S b ABC ，中，则

=++++C

B A c

b a sin sin sin （）

A ．

338 B ．3392

C ．3326

D ．32

14. 设ABC ?的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且c b a ,,成等比数列，则角B 的取值范围是（）

A ．]6

0(π

B ．),6[ππ

C ．]3

,0(π D ．),3[ππ

15.若ABC ?为钝角三角形，三边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是（）

（A ）)5,

1( （B ）)5,13( （C ）)13,5( （D ）)5,13()5,1(Y

16.已知ABC ?的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C C ab b a c ∠++<则,2cos 22

的可能取值为（）. A ．

65π B ．2π C ．3

π D ．6π 17.已知ABC ?的三条边的边长分别为4米、5米、6米，将三边都截掉x 米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是（）

A ．0

B ．1

C ．1

D ．1

的取值范围是（）（A ）()2,0 （B ）

(

)2,3 （C ）

(

)3,2 （D ）

(

)

2,2

19.设锐角ABC ?的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=, 则b 的取值范围为（） A.

(

)3,2 B.(

)3,

1 C.

(

)

2,2 D.()2,0

20.若ABC ?的面积为3

22c b a S -+=

，则角C =__________.

21.在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线2

AD ，那么BC= ． 22.已知角A,B,C 是三角形ABC 的内角,a,b,c 分别是其对边长,向量m =

,n =

m n ⊥,且3

2,3

a cosB ==

,则b=________. 23.ABC ?,已sin sin cos sin sin cos A B C A C B =sin sin cos B C A +,,a b c 分别是角

,,A B C 所对的边,2

c 的最大值为． 24. 在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4，0)，C (4,0)，顶点B

在椭圆22259x y +＝1上，则 sin A sin C sin B

＋等于________． 25.如右图，在圆的内接四边形ABCD 中,0

90ABC ∠=,00

30,45,1,ABD BDC AD ∠=∠==则

BC =______.

26．在ABC ?中，角A

B C 、、所对的边分别为,,a b c ，且,,a b c 成等比数列. （Ⅰ）若3a c +=

，60B =o ,求,,a b c 的值；

（Ⅱ）求角B 的取值范围.

27.如图，在△

ABC 中，ACB ∠为钝角，

2,2,6AB BC A ===．D 为AC 延长线上一点，且

31CD =+．

（Ⅰ）求BCD ∠的大小；

（Ⅱ）求BD 的长及△ABC 的面积．

28.如图所示，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且31,3,cos 3

AD CD B ===. （1）求△ACD 的面积；（2）若23BC =，求AB 的长.

29.已知△ABC 的三内角A ， B ， C 所对边的长依次为a ，b ，c ，若43cos =A ，8

1cos =C ．（1）求c b a ::；

（2）若46||=+BC AC ，求△ABC 的面积．

30.已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--=。（1）求A 的大小；

（2）若a = 7，求ABC ?的周长的取值范围．

类型二：判断三角形的形状

1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c,若cos cos a c

A C

=，则△ABC 的形状是（） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形

2.在ABC ?中，若c b a +=2，C B A sin sin sin 2

?=，则ABC ?一定是

A.钝角三角形

B.正三角形

C.等腰直角三角形

D.非等腰三角形 3.△ABC 中，如果

A a tan ＝

B b tan ＝C

tan ，那么△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形

4.在ABC ?中，若2

tan tan b a B A =，则ABC ?的形状是（）. A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．等腰三角形 D ．不能确定

5.ABC ?中，

三内角C B A ,,成等差数列，C B A sin ,sin ,sin 成等比数列，则ABC ? 的形状是（） A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等边三角形

的形状则已知中在ABC B A b a B A b a ABC ?+-=-+?),sin()()sin()(,2222 （） A ．等腰三角形 B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

7.在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若(2)sinC sin B A sin A ＋－＝，则△ABC 的形状为________．

8.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，且A ，B ，C 成等差数列。（1）若32=b ，2=c ，求△ABC 的面积；

（2）若C B A sin ,sin ,sin 成等比数列，试判断△ABC 的形状。

类型三：正余弦定理的实际应用

1.如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是（） A ．10m B ．10

m C ．10

m D ．10

2.某货轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军护卫舰在A 处获悉后，测得该货轮在北偏东45o方向

距离为10海里的C处，并测得货轮正沿北偏东105o的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢.我海军护卫舰立即以每小时21海里的速度前去营救；求护卫舰靠近货轮所需的时间.

3.如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．

(1)求船的航行速度是每小时多少千米？

(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？