【好题】高一数学上期末试题及答案(1)

【好题】高一数学上期末试题及答案(1)

一、选择题

1．函数()12cos 12x x f x x ??

-= ?+??

的图象大致为()n n A ．

B ．

C ．

D ．

2．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当

a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ）

A ．1

,2??+∞????

B ．1,22

??????

C ．12,23

??????

D ．21,3

??-???

?

3．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1） A ．1

B ．3

C ．5

D ．7

4．已知函数ln ()x

f x x

=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<

B ．b a c <<

C ．a c b <<

D ．c a b <<

5．若x 0＝cosx 0，则（ ） A ．x 0∈（

3π，2π） B ．x 0∈（4π，3π） C ．x 0∈（6π，4π） D ．x 0∈（0，6

π） 6．用二分法求方程的近似解，求得3

()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：

x

1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 ()f x

-6

3

-2.625

-1.459

-0.14

1.3418

0.5793

则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6

B ．1.7

C ．1.8

D ．1.9

7．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(1)(3)0f x f x ++-=，且(1)0f ≠，若函数

6()(1)cos 43g x x f x =-+?-有且只有唯一的零点，则(2019)f =（ ）

A ．1

B ．-1

C ．-3

D ．3

8．已知函数f (x )＝12

log ,1,

24,1,

x x x x >????+≤?则1(())2f f )等于( )

A ．4

B ．－2

C ．2

D ．1

9．函数()()2

12ln 12

f x x x =

-+的图象大致是( ) A ．

B ．

C ．

D ．

10．函数y ＝1

1

x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B ．

12 C ．

13

D ．－12

11．已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数，若()()2g x f x =-是奇函数，且()20g =，则不等式()0xf x ≤的解集是（ ）

A ．][(),22,-∞-?+∞

B ．][)

4,20,?--?+∞? C ．][(),42,-∞-?-+∞

D ．][(),40,-∞-?+∞

12．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是

A ．1

1y x

=

- B ．cos y x =

C ．ln(1)y x =+

D ．2x y -=

二、填空题

13．若155325a b c ===，则

111

a b c

+-=__________． 14．已知函数24

1,(4)

()log ,(04)

x f x x

x x ?+≥?=??<

15．若关于x 的方程42x x a -=有两个根，则a 的取值范围是_________

16．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,

()22,1,

x

x x f x x ?-+≤<=?-≥? 若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________

17．已知11,,1,2,32a ??∈-????

，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0,∞+上递减，则a

的取值集合为______. 18．若函数()242x

x f x a

a =+-（0a >，1a ≠)在区间[]1,1-的最大值为10，则

a =______.

19．高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德?牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]

x 表示不超过x 的最大整数，则[]

y x =称为高斯函数，例如：[3,4]4-=-，[2,7]2=.已知函数

21

()15

x x

e f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是_________. 20．已知函数()f x 为R 上的增函数，且对任意x ∈R 都有()34x f f x ??-=??，则

()4f =______. 三、解答题

21．已知函数()2

1

log 1

x f x x +=-. （1）判断()f x 的奇偶性并证明； （2）若对于[]

2,4x ∈，恒有()2

log (1)(7)

m

f x x x >-?-成立，求实数m 的取值范围.

22．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气4min 后，测得车库内的一氧化碳浓度为64L /L μ，继续排气4min ，又测得浓度为32L /L μ，经检测知该地下车库一氧化碳浓度(L /L)y μ与排

气时间(min)t 存在函数关系：12mt

y c ??= ???

（c ，m 为常数）。 （1）求c ，m 的值；

（2）若地下车库中一氧化碳浓度不高于0.5L /L μ为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？

23．已知全集U =R ，函数()lg(10)f x x =

-的定义域为集合A ，集合

{}|57B x x =≤<

（1）求集合A ； （2）求()U C B A ?.

24．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--(0a >，1a ≠)，且()31f =. (1)求a 的值，并判定()f x 在定义域内的单调性，请说明理由； (2)对于[]2,6x ∈，()()()log 17a

m

f x x x >--恒成立，求实数m 的取值范围.

25．已知函数31

()31

x x

f x m -=?+是定义域为R 的奇函数. （1）求证：函数()f x 在R 上是增函数； （2）不等式(

)

2

1

cos sin 32

f x a x --<

对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 26．已知定义域为R 的函数12()2x x b

f x a

+-+=+是奇函数.

（1）求a ，b 的值；

（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；

（3）当1,32

x ??∈????

时，()

2

(21)0f kx f x +->恒成立，求实数k 的取值范围.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【解析】

函数f （x ）=（1212x

x

-+）cosx ，当x=2π时，是函数的一个零点，属于排除A ，B ，当x ∈

（0，1）时，cosx ＞0，

1212x x -+＜0，函数f （x ）=（1212

x

x

-+）cosx ＜0，函数的图象在x 轴下方． 排除D ． 故答案为C 。

2．C

解析：C 【解析】

当21x -≤≤时，()1224f x x x =?-?=-； 当12x <≤时，()2

3

224f x x x x =?-?=-；

所以()34,214,12x x f x x x --≤≤?=?-<≤?

，

易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()3

4f x x =-在(]1,2单调递增，

且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，

则()f x 在[]22-,

上单调递增， 所以()()13f m f m +≤得：212

23213m m m m

-≤+≤??-≤≤??+≤?

，解得12

23m ≤≤，故选C ．

点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到()34,214,12x x f x x x --≤≤?=?-<≤?

，通过单调

性分析，得到()f x 在[]22-,

上单调递增，解不等式()()13f m f m +≤，要符合定义域和单调性的双重要求，则212

23213m m m m -≤+≤??

-≤≤??+≤?，解得答案．

3．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型0.70.2x ≤ 求解. 【详解】

因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg /mL , x 小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg /mL 的，

由题意知100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车， 所以()

3002%

1.x

-<，

0.70.2x <，

两边取对数得，

lg 0.7lg 0.2x < ，

lg 0.214

lg 0.73

x >

= ，

所以至少经过5个小时才能驾驶汽车. 故选：C 【点睛】

本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.

4．D

解析：D 【解析】 【分析】 可以得出11

ln 32,ln 251010

a c =

=，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】

()ln 2ln 322210a f ===

, ()1ln 25

5ln 5510

c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==

,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9336

b f ===，再由对数函数的单调性得到a

c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ． 故选D ． 【点睛】

考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.

5．C

解析：C 【解析】 【分析】

画出,cos y x y x ==的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数

()cos f x x x =-，利用零点存在性定理，判断出()f x 零点0x 所在的区间

【详解】

画出,cos y x y x ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函

数()cos f x x x =-，0.5230.8660.343066f ππ??=≈-=-<

?

??，

0.7850.7070.078044f ππ

??=≈-=> ???，根据零点存在性定理可知，()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ?? ??

?. 故选：C

【点睛】

本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

6．C

解析：C 【解析】 【分析】

利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解. 【详解】

根据表中数据可知()1.750.140f =-<，()1.81250.57930f =>，由精确度为0.1可知

1.75 1.8≈，1.8125 1.8≈，故方程的一个近似解为1.8，选C. 【点睛】

不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.

7．C

解析：C 【解析】 【分析】

由(1)(3)0f x f x ++-=结合()f x 为奇函数可得()f x 为周期为4的周期函数，则

(2019)(1)f f =-，要使函数6()(1)cos 43g x x f x =-+?-有且只有唯一的零点，即

6(1)cos 43x f x ?-=只有唯一解，结合图像可得(1)3f =，即可得到答案．

【详解】

Q ()f x 为定义在R 上的奇函数，

∴()()f x f x -=-，

又Q (1)(3)0(13)(33)0f x f x f x f x ++-=?+++--=，

(4)()0(4)()()f x f x f x f x f x ++-=?+=--=∴， ∴()f x 在R 上为周期函数，周期为4， ∴(2019)(50541)(1)(1)f f f f =?-=-=-

Q 函数6()(1)cos 43g x x f x =-+?-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ?-=只有

唯一解，

令6

()m x x = ，则5

()6m x x '=，所以(,0)x ∈-∞为函数6

()m x x =减区间，(0,)x ∈+∞为函数6()m x x =增区间，令()(1)cos 43x f x ?=?-，则()x ?为余弦函数，由此可得函数()m x 与函数()x ?的大致图像如下：

由图分析要使函数()m x 与函数()x ?只有唯一交点，则(0)(0)m ?=，解得(1)3f =

∴(2019)(1)3f f =-=-，

故答案选C ． 【点睛】

本题主要考查奇函数、周期函数的性质以及函数的零点问题，解题的关键是周期函数的判定以及函数唯一零点的条件，属于中档题．

8．B

解析：B 【解析】

1

21242242f ??

=+=+= ???

，则()12

14log 422f f f ??

??===- ? ?????，故选B. 9．A

解析：A 【解析】

函数有意义，则：10,1x x +>∴>-， 由函数的解析式可得：()()2

1002ln 0102

f =

?-+=，则选项BD 错误；

且2

11111112ln 1ln ln 4022228

48f ??????-=?--?-+=-=+> ? ? ???????，则选项C 错误； 本题选择A 选项.

点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

10．B

解析：B 【解析】 y ＝

11x -在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为1

2

，选B. 11．C

解析：C 【解析】 【分析】

由()()2g x f x =-是奇函数，可得()f x 的图像关于()2,0-中心对称，再由已知可得函数()f x 的三个零点为-4，-2，0，画出()f x 的大致形状，数形结合得出答案. 【详解】

由()()2g x f x =-是把函数()f x 向右平移2个单位得到的，且()()200g g ==，

()()()4220f g g -=-=-=，()()200f g -==，画出()f x 的大致形状

结合函数的图像可知，当4x ≤-或2x ≥-时，()0xf x ≤，故选C. 【点睛】

本题主要考查了函数性质的应用，作出函数简图，考查了学生数形结合的能力，属于中档题.

12．D

解析：D 【解析】

试题分析：1

1y x

=

-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D.

考点：函数增减性

二、填空题

13．1【解析】故答案为

解析：1 【解析】

155325a b c ===因为，1553log 25,log 25,log 25a b c ∴===，

252525111

log 15log 5log 3a b c

∴+-=+-25log 251==，故答案为1. 14．【解析】作出函数的图象如图所示当时单调递减且当时单调递增且所以函数的图象与直线有两个交点时有 解析：(1,2)

【解析】

作出函数()f x 的图象，如图所示，

当4x ≥时，4()1f x x =+

单调递减，且4

112x

<+≤，当04x <<时，2()log f x x =单调递增，且2()log 2f x x =<，所以函数()f x 的图象与直线y k =有两个交点时，有12k <<．

15．【解析】【分析】令可化为进而求有两个正根即可【详解】令则方程化为:方程有两个根即有两个正根解得:故答案为:【点睛】本题考查复合函数所对应的方程根的问题关键换元法的使用难度一般

解析：1

(,0)4

- 【解析】 【分析】

令20x t =>,42x x a -=,可化为20t t a --=,进而求20t t a --=有两个正根即可. 【详解】

令20x t =>,则方程化为:20t t a --=

Q 方程42x x a -=有两个根,即20t t a --=有两个正根,

1212

140

100

a x x x x a ?=+>??

∴+=>???=->?,解得:104a -<<.

故答案为: 1(,0)4

-. 【点睛】

本题考查复合函数所对应的方程根的问题,关键换元法的使用,难度一般.

16．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式

解析：1

3

-

【解析】 【分析】

先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果. 【详解】

因为当0x ≥时 ()21,01,

22,1,

x

x x f x x ?-+≤<=?-≥?为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式

()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，

当10m +=时，x R ∈； 当10m +>时，12

m

x -≤

对[],1x m m ∈+恒成立，111

11233

m m m m -+≤

∴≤-∴-<≤-； 当10m +<时，12m x -≥

对[],1x m m ∈+恒成立，11

23

m m m -≥

∴≥（舍）； 综上113

m -≤≤-，因此实数m 的最大值是1

3

-. 【点睛】

解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()

f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.

17．【解析】【分析】由幂函数为奇函数且在上递减得到是奇数且由此能求出的值【详解】因为幂函数为奇函数且在上递减是奇数且故答案为：【点睛】本题主要考查幂函数的性质等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程思想 解析：{}1-

【解析】 【分析】

由幂函数()a

f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上递减，得到a 是奇数，且0a <，由此能求

出a 的值． 【详解】

因为11,,1,2,32

a ??∈-???

?

，幂函数为奇()a

f x x =函数，且在(0,)+∞上递减，

a ∴是奇数，且0a <， 1a ∴=-．

故答案为：1-． 【点睛】

本题主要考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

18．2或【解析】【分析】将函数化为分和两种情况讨论在区间上的最大值进而求【详解】时最大值为解得时最大值为解得故答案为:或2【点睛】本题考查已知函数最值求参答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解

解析：2或12

【解析】 【分析】 将函数化为

()2

()26x

f x a =+-,分01a <<和1a >两种情况讨论()f x 在区间[]1,1-上的

最大值,进而求a . 【详解】

()242x x f x a a =+-()

2

26x a =+-, 11x -≤≤Q ,

01a ∴<<时,1x a a a -<<,

()f x 最大值为()

2

1(1)2

610f a --=+-=,解得12

a =

1a >时,1x a a a -≤≤,

()f x 最大值为()2

(1)2610f a =+-=,解得2a =,

故答案为:

1

2

或2.

【点睛】

本题考查已知函数最值求参,答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解.

19．【解析】【分析】求出函数的值域由高斯函数的定义即可得解【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值域的求法属于中档题 解析：{}1,0,1-

【解析】 【分析】

求出函数()f x 的值域，由高斯函数的定义即可得解. 【详解】

2(1)212192

()2151551x x x x

e f x e e e +-=-=--=-+++Q ， 11x e +>Q ，

1

011x

e ∴<

<+， 2

201x

e ∴-<-

<+， 19195515

x

e ∴-<-<+， 所以19(),55

f x ??

∈- ???

，

{}[()]1,0,1f x ∴∈-，

故答案为：{}1,0,1- 【点睛】

本题主要考查了函数值域的求法，属于中档题.

20．【解析】【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出的解析式从而即可求解出的值【详解】令所以又因为所以又因为是上的增函数且所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值难度一般已知 解析：82

【解析】 【分析】

采用换元法结合函数的单调性计算出()f x 的解析式，从而即可求解出()4f 的值. 【详解】

令()3x

f x t -=，所以()3x

f x t =+，

又因为()4f t =，所以34t t +=，

又因为34t

y t =+-是R 上的增函数且1314+=，所以1t =，

所以()31x

f x =+，所以()4

43182f =+=.

故答案为：82. 【点睛】

本题考查用换元法求解函数的解析式并求值，难度一般.已知()()

f g x 的解析式，可考虑用换元的方法（令()g x t =）求解出()f x 的解析式.

三、解答题

21．（1）奇函数，证明见解析；（2）015m << 【解析】 【分析】

（1）先求出函数定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即可； （2）由题意，

101(1)(7)x m x x x +>>---对[]2,4x ?∈恒成立，转化为0

(1)(7)

m m x x >??<+-?恒成立，求出函数()()()17g x x x =+-的最小值进而得解. 【详解】 （1）因为

1

01

x x +>-，解得1x <-或1x >， 所以函数()f x 为奇函数，证明如下： 由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称，

又因为1

222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+-+??-====- ?--+-??

， 所以函数()f x 为奇函数； （2）若对于[]

2,4x ∈，2()log (1)(7)

m

f x x x >--恒成立，

即221log log 1(1)(7)

x m

x x x +>---对[]2,4x ∈恒成立， 即

101(1)(7)

x m x x x +>>---对[]2,4x ∈恒成立， 因为[]

2,4x ∈，所以107m

x x

+>

>-恒成立， 即0(1)(7)m m x x >??<+-?

恒成立，

设函数()()()17g x x x =+-，求得()g x 在[]

2,4上的最小值是15， 所以015m <<. 【点睛】

本题考查函数奇偶性的判断及不等式的恒成立问题，考查分离变量法的运用，考查分析问题及解决问题的能力，难度不大. 22．（1）1

1284

c m ==，（2）32min 【解析】 【分析】

(1)将4,64t y ==和8,32t y ==分别代入12mt

y c ??= ???

,列方程组可解得1128,4c m ==,从而可得.

(2) 由(1)知1

4

11282??=? ???t y ,然后利用指数函数的单调性解不等式14

11280.52t ??? ?

??

?即可得

到. 【详解】

(1)由题意，可得方程组4816421322m

m

c c ???=? ????????= ?????

，解得12814c m =??

?=??． (2)由(1)知1

4

11282??=? ???

t y ．

由题意，可得 1

4

11280.52t ??? ?

??

?， 即 1

8

4

1122t ???? ? ?????

?，即

184t …，解得32≥t ． 所以至少排气 32min ，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态。 【点睛】

本题考查了指数型函数的解析式的求法以及利用指数函数的单调性解指数不等式,属于基础题.

23．(1) {}|310A x x =≤< (2) {}

()|35710U C B A x x x ?=≤<≤<或 【解析】

试题分析：（1）根据真数大于零以及偶次根式被开方数非负列不等式，解得集合A （2）先根据数轴求U C B ，再根据数轴求交集

试题解析：（1）由题意可得：30

100x x -≥??->?

，则{|310}A x x =≤<

（2）{|57}U C B x x x =<≥或

(){|35710}U C B A x x x ?=≤<≤<或

24．(1)2a =，单调递减，理由见解析；(2) 07m << 【解析】 【分析】

（1）代入(3)1f =解得a ，可由复合函数单调性得出函数的单调性，也可用定义证明； （2）由对数函数的单调性化简不等式，再由分母为正可直接去分母变为整式不等式，从而转化为求函数的最值． 【详解】

(1)由()3log 4log 2log 21a a a f =-==，所以2a =. 函数()f x 的定义域为()1,+∞，

()()()222

212log 1log 1log log 111x f x x x x x +?

?=+--==+ ?--??

. 因为2

11

y x =+

-在()1,+∞上是单调递减， (注:未用定义法证明不扣分)

所以函数()f x 在定义域()1,+∞上为单调递减函数. (2)由(1)可知()()()2

21log log 117x m

f x x x x +=>---，[]2,6x ∈，

所以

()()

10117x m

x x x +>>---. 所以()()()2

201767316m x x x x x <<+-=-++=--+在[]2,6x ∈恒成立.

当[]2,6x ∈时，函数()2

316y x =--+的最小值min 7y =.

所以07m <<. 【点睛】

本题考查对数函数的性质，考查不等式恒成立，解题关键是问题的转化．由对数不等式转化为整式不等式，再转化为求函数最值． 25．（1）证明见解析（2）44a -≤≤ 【解析】 【分析】

（1）先由函数()f x 为奇函数，可得1m =，再利用定义法证明函数的单调性即可； （2）结合函数的性质可将问题转化为2sin sin 30x a x ++≥在R 上恒成立，再利用二次不等式恒成立问题求解即可. 【详解】

解：（1）∵函数31

()31

x x f x m -=?+是定义域为R 的奇函数，

()()f x f x ∴-=-31313131x x x x m m ----∴=-?+?+3131

331

x x x x m m --∴=

+?+，

()(1)310x a ∴--=，

等式(

)

(1)310x

m --=对于任意的x ∈R 均恒成立，得1m =，

则31

()31

x x f x -=+，

即2

()131

x f x =-

+， 设12,x x 为任意两个实数，且12x x <，

()()()()()

12121

2122332231313131x x x x x x f x f x -?

?-=---= ?++++??， 因为12x x <，则1233x x ≤，

所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 因此函数()f x 在R 上是增函数; （2）由不等式(

)

2

1

cos sin 32

f x a x --≤

对任意的x ∈R 恒成立， 则()

2

cos sin 3(1)f x a x f --≤.由（1）知，函数()f x 在R 上是增函数，

则2cos sin 31x a x --≤，即2sin sin 30x a x ++≥在R 上恒成立.令sin x t =，

[1,1]t ∈-，则2

22

()33024a a g t t at t ??=++=++-≥ ???

在[1,1]-上恒成立.

①当12

a

->时，即2a <-，可知min ()(1)40g t g a ==+≥，即4a ≥-，

所以42a -≤<-；

②当112a -≤-≤时，即22a -≤≤，可知2min ()3024a a g t g ??

=-=-≥ ???

.

即a -≤≤22a -≤≤； ③当12

a

-

<-时，即2a >，可知min ()(1)40g t g a =-=-≥，即4a ≤， 所以24a <≤，

综上，当44a -≤≤时，不等式(

)

2

1

cos sin 32

f x a x --≤对任意的x ∈R 恒成立. 【点睛】

本题考查了利用函数奇偶性求函数解析式及定义法证明函数的单调性，重点考查了含参二次不等式恒成立问题，属中档题.

26．（1）2a =，1b =；（2）单调递减，见解析；（3）(,1)-∞- 【解析】 【分析】

（1）根据(0)0f =得到1b =，根据(1)(1)f f -=-计算得到2a =，得到答案. （2）化简得到11()221

x f x =

++，12x x <，计算()()210f x f x -<，得到是减函数. （3）化简得到212kx x <-，参数分离2

12x k x

-<，求函数212()x

g x x -=的最小值得到答案. 【详解】

（1）因为()f x 在定义域R 上是奇函数.所以(0)0f =，

即

102b a

-+=+，所以1b =．又由(1)(1)f f -=-，即1

1

1214a a

-+-=++， 所以2a =，检验知，当2a =，1b =时，原函数是奇函数.

（2）()f x 在R 上单调递减.证明：由（1）知11211

()22221

x x x

f x +-==+++， 任取12,x x R ∈，设12x x <，则()()()()

12

211221112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++， 因为函数2x

y =在R 上是增函数，且12x x <，所以12220x x -<，又

()()1

22

1210x x ++>，

所以()()210f x f x -<，即()()21f x f x <， 所以函数()f x 在R 上单调递减.

（3）因为()f x 是奇函数，从而不等式()

2

(21)0f kx f x +->等价于

()2(21)(12)f kx f x f x >--=-，

因为()f x 在R 上是减函数，由上式推得212kx x <-，

即对一切1,32x ??∈????

有2

12x k x -<恒成立，设221211()2()x g x x x x -==-?， 令1t x =

，1,23t ?∈?

????

则有2

()2h t t t =-，1,23t ?∈?

????

，所以min min ()()(1)1g x h t h ===-， 所以1k <-，即k 的取值范围为(,1)-∞-. 【点睛】

本题考查了函数解析式，单调性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.