第五章 定积分的换元法
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定积分的换元法
换元法的步骤
确定换元变量
根据定积分的被积函数和积分限，选择合适 的换元变量。
计算新定积分
将原定积分的积分变量替换为新变量，并计 算新定积分的值。
建立新变量与原变量的关系
根据选择的换元变量，建立新变量与原变量 的关系式。
还原原定积分
将新定积分的值还原为原定积分的值。
换元法的应用范围
简化计算
通过换元法，可以将复杂的定积分转化为简单 的定积分，从而简化计算过程。
解决特殊问题
对于一些特殊形式的定积分，通过换元法可以 找到更有效的求解方法。
推广定理
换元法还可以用于推广某些定积分的定理和性质。
03
定积分的换元法实例分析
三角函数换元法
总结词
通过将自变量替换为正弦或余弦函数，可以将原函数转化为易于积分的三角函数形式。
详细描述
假设被积函数为$f(x)$，选择一个角$\theta$，使得$x = \cos\theta$或$x = \sin\theta$，将原函数转化为关 于$\theta$的三角函数形式，再利用正弦或余弦函数的性质进行积分。
详细描述
假设被积函数为$f(x)$，选择一个变量$t$，使得$x = e^t$，将原函数转化为关于$t$的指数函数形式 ，再利用指数函数的性质进行积分。
04
定积分的换元法在解题中的应用
利用换元法求定积分
三角换元法
对于形如$\int \sqrt{a^2 - b^2} dx$的 定积分，可以令$x = a\cos\theta, y = b\sin\theta$进行换元，化简为$\int \sqrt{a^2 - b^2} d\theta$的定积分。
06
定积分的换元法的应用前景与发 展趋势
定积分的换元法优秀PPT
2
dx tdt
当 x 从0连续地增加到4时，t 相 应地从1连续地增加到3
( dt 1 0) dx 2x 1
于是
4 x 2 dx 1 3 (t 2 3)dt 22
0 2x 1
21
3
3
由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量
t 1,
11
注
定积分的换元积分公式也可以反过来使用
为方便计 将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t ， t 换成 x
b
f ( x) ( x)dx f (t )dt
a
这说明可用 t ( x) 引入新变量
但须注意如明确引入新变量，则必须换限
如没有明确引入新变量，而只是把 t ( x)
o
0
等于圆周的第一象限部分的面积
a 2
4
解2 a2 x2dx x a2 x2 a2 arcsin x C
a
2
2
a
故 a2 x2dx a 2
0
4
9
解3 令 x a sin t dx acos t
x0t0 xat
2
a
2
a2 x2dx a2 cos2 tdt
0
0
a2
2
则
2
I J dt
0
2
I
J
2 0
cos t sin tdt sin t cos t
ln(sin t
cos t) 2 0
0
IJ
4
16
例 7 当 f ( x)在[a, a]上连续，则有
dx tdt
当 x 从0连续地增加到4时，t 相 应地从1连续地增加到3
( dt 1 0) dx 2x 1
于是
4 x 2 dx 1 3 (t 2 3)dt 22
0 2x 1
21
3
3
由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量
t 1,
11
注
定积分的换元积分公式也可以反过来使用
为方便计 将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t ， t 换成 x
b
f ( x) ( x)dx f (t )dt
a
这说明可用 t ( x) 引入新变量
但须注意如明确引入新变量，则必须换限
如没有明确引入新变量，而只是把 t ( x)
o
0
等于圆周的第一象限部分的面积
a 2
4
解2 a2 x2dx x a2 x2 a2 arcsin x C
a
2
2
a
故 a2 x2dx a 2
0
4
9
解3 令 x a sin t dx acos t
x0t0 xat
2
a
2
a2 x2dx a2 cos2 tdt
0
0
a2
2
则
2
I J dt
0
2
I
J
2 0
cos t sin tdt sin t cos t
ln(sin t
cos t) 2 0
0
IJ
4
16
例 7 当 f ( x)在[a, a]上连续，则有
5.3 定积分的换元法和分部积分法
( 2 ) න (sin )d
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0
+ න () d
0
= න [(−) + ()] d
0
2 න () d , (−) = (),
=
0
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0
+ න () d
0
= න [(−) + ()] d
0
2 න () d , (−) = (),
=
0
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .
定积分换元法
t x x
x
x
t
x
f (t )( x − t )dt.
t
证明 :
∫0 [∫0 f (u)du]dt = t ⋅ ∫0 f (u)du 0 − ∫0 t ⋅d[∫0 f (u)du]
=x
x
t
∫0 f (u )du − ∫0 tf (t )dt x x = x ∫ f (t )dt − ∫ tf (t )dt 0 0
7 5 3 1 π 35 = 4⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = π. 8 6 4 2 2 64
例 周期函数的积分性质 6．求下列定积分： 若 30 π f ( x )是以 T为周期的周期函数 , 则
f( （2） 10(1) sin nx dx x ) dx = π
n
∫
n
∫a ∫
a +T
∫0 f ( x)dx;
1
∫
1
∫
1 3 − x4 1 1 2 1 1 − x4 =− x f ′( x)dx = − x e dx = e d (− x 4 ) 0 2 0 4 0
∫
∫
∫
1 − x 4 1 1 −1 = e = (e − 1). 0 4 4
例 14.设f ( x)连续, 证明 :
∫0 [∫0 f (u )du ]dt = ∫0
f ( − x ) g ( x) dx
a
∴∫
=
a −a
f ( x) g ( x)dx = ∫ f (− x) g ( x)dx + ∫ f ( x) g ( x)dx
0 0
a
∫ 0 [ f ( x) + f (− x)]g ( x)dx =∫ 0 Ag ( x)dx =A∫ 0 g ( x)dx.
x
x
t
x
f (t )( x − t )dt.
t
证明 :
∫0 [∫0 f (u)du]dt = t ⋅ ∫0 f (u)du 0 − ∫0 t ⋅d[∫0 f (u)du]
=x
x
t
∫0 f (u )du − ∫0 tf (t )dt x x = x ∫ f (t )dt − ∫ tf (t )dt 0 0
7 5 3 1 π 35 = 4⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = π. 8 6 4 2 2 64
例 周期函数的积分性质 6．求下列定积分： 若 30 π f ( x )是以 T为周期的周期函数 , 则
f( （2） 10(1) sin nx dx x ) dx = π
n
∫
n
∫a ∫
a +T
∫0 f ( x)dx;
1
∫
1
∫
1 3 − x4 1 1 2 1 1 − x4 =− x f ′( x)dx = − x e dx = e d (− x 4 ) 0 2 0 4 0
∫
∫
∫
1 − x 4 1 1 −1 = e = (e − 1). 0 4 4
例 14.设f ( x)连续, 证明 :
∫0 [∫0 f (u )du ]dt = ∫0
f ( − x ) g ( x) dx
a
∴∫
=
a −a
f ( x) g ( x)dx = ∫ f (− x) g ( x)dx + ∫ f ( x) g ( x)dx
0 0
a
∫ 0 [ f ( x) + f (− x)]g ( x)dx =∫ 0 Ag ( x)dx =A∫ 0 g ( x)dx.
第五章 第4节定积分的换元法和分部积分法
sin
3
x sin
5
5
x cos x sin x 2
3
0
sin
3
x sin
3
x dx
0
cos x sin x 2 dx
3
3
0
2
cos x sin x 2 dx
3
cos x sin x 2 dx
2 3
0 sin x 2 d sin
3
( t 3) d t
2
1
3 1 1 3 22 ( t 3t ) 2 3 3 1
6
例３
计算 0
x 2
cos
0
5
2
cos
5
x sin xdx .
解
令 t cos x ,
2
dt sin xdx ,
t 0,
x sin xdx
5
x 0 t 1,
a
a x d x (a 0).
2 2
0
解: 令 x a sin t , 则 d x a cos t d t , 且当 x 0 时 t 0 , x a 时 t
2
∴ 原式 = a
2
2
2
cos t d t
(1 cos 2 t ) d t 1 2
2
0
2
a
2 a
则 有 f ( x )dx
a
b
f [ ( t )] ( t )dt .
2
证
4定积分的换元法
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
3
2 sinx2dsinx
0
2
sinx23dsinx
2
2
sin
5
x2
2
2
sin
5
x 2
4.
5
05
5
2
河海大学理学院《高等数学》
2
自己做 求 1coxd s x4 2 0
T
0
a
0
0
f (u)du a
f (u)du
所以（1）式成立.
河海大学理学院《高等数学》
2
例如 求 sinxcoxsdx 0
2 2 sinx()dx
令x t
4
0 2 4
2 4 sint dt
(1) 2
4
2 sintdt 4
2
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4
例2
x 2 dx .
0 2x 1
令 t 2x1
3 1
t
2
1 2
2dt
1 3 t2 3 dt 21
11t3 3t 3
2 3
1
22 3
河海大学理学院《高等数学》
例3 si3n xsi5n xd.x 0 coxssin x2 3dx 0
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ex ln1ex
0
ln1(x)1 0
1
1ln1 (e1)
河海大学理学院《高等数学》
• XT. 下列各式等于什么?
定积分的换元法
例12 设 f ( x ) 连续
解
二、小结
定积分的换元法 几个特殊积分、定积分的几个等式
思考题
解令
思考题解答
计算中第二步是错误的.
正确解法是
练习题
练习题答案
由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的
例8 计算 解 原式
偶函数
奇函数
四分之一单位圆的面积
证 （1）设 （2）设
另证 将上式改写为
奇函数
例10 设 f(x) 是以L为周期的连续函数，证明
证明
与 a 的值无关
例11 设 f(x) 连续，常数 a > 0 证明
证明 比较等式两边的被积函数知，
先来看一个例子
例1
换元求不定积分 令
则
故
尝试一下直接换元求定积分
为去掉根号 令
则
当 x 从0连续地增加到4时，t 相 应地从1连续地增加到3
于是
由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
一、换元公式
证
应用换元公式时应注意:
（1）
（2）
例2 计算 解1 由定积分的几何意义
o 等于圆周的第一象限部分的面积 解2
故
解3 令
解4 令 仍可得到上述结果
例3 计算 解令
注
定积分的换元积分公式也可以反过来使用
为方便计 将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t ， t 换成 xFra bibliotek这说明可用
引入新变量
第三节 定积分的换元法和
t3 2[
3
t ]12
8 3
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2020年3月7日3时21分
13
第三节 定积分的换元法和分部积分法
本节
例2
计算 2 sin3 x cos xdx 0
知识 引入
解 令sin x t,则dt cos xdt.
本节 目的
x 0 t 0; x t 1
0
1 2
5 eudu
1
1 eu 2
5 1
1 (e5 e) 2
注意: 定积分的换元法一定要换积分的上下限.
2020年3月7日3时21分
10
解: (2)令 2x 1 u,则dx udu 当x 0, u 1;当x 4, u 3.
4
x 2 dx
u2 1 2
0
20
由此计算
x sin x 0 1 cos2 x
dx .
证 （1）设 x t dx dt, 2
x 0 t ,
2
x t 0, 2
2020年3月7日3时21分
21
2 f (sin x)dx
0
0
2
f
sin
2
9
➢ 换元积分法
例3.求下列定积分
(1) 2 e2x1dx 0
4 x2
(2)0
dx 2x 1
1
(3)
1 x2 dx
0
解: (1)令2x 1 u,则dx 1 du
2
说明: 换积分上下限.通过u=2x+1来计算.
当x=0时,u=1;当x=2时,u=5. 所以
定积分换元法
s in 2
x
(1exex
1 1 ex
)
s in 2
x,
4 sin2 x
4
1
ex
dx
4 sin2 xdx
0
4 1 cos2x dx 02
[1 x 1 sin 2x] 4 2 .
24
08
4
（2）
(cos
x
(1
s
in
2x)dx.
1
c1os2 xd(cos
x)
arctan(cos x) ( ) 2 .
2
0 2 44 4
8．已知g(x) x tf (xt)dt ，求g(x) 。 0
g(x)
x
t
令xtu
f (xt)dt
0 (xu) f (u)du
0
0
e2x sin x
2 0
2 sin x d(e2x )
0
e 2 2 e2x sin x dx e 2 2 e2x d(cosx)
0
0
e 2 e2x cosx
2 0
2
2 cosxd(e2x )
0
e 2 4 2 e2x cosxdx 0 5I e 2,
2
2
2 cos6 xdx 2 5 3 1 5 .
0
6 4 2 2 16
（3）
cos8 x dx 2
定积分换元积分法
x = π ⇒ t = 0,
0 π
∫0 xf (sin x )dx
π 0
π
= − ∫ ( π − t ) f [sin( π − t )]dt
= ∫ ( π − t ) f (sin t )dt ,
∫0 xf (sin x )dx
π
π
= π ∫ f (sin t )dt − ∫ tf (sin t )dt
∫−a f ( x )dx = ∫−a f ( x )dx + ∫0
在∫
0 −a
a
f ( x )dx ,
f ( x )dx 中令 x = − t ,
∫−a f ( x )dx = − ∫a f ( − t )dt = ∫0
a 0
0
0
a
f ( − t )dt ,
为偶函数， ① f ( x ) 为偶函数，则 f ( − t ) = f ( t ),
π cos t 1 2 dt = ∫ sin t + cos t 2 0
上连续， 例 5 当 f ( x ) 在[ − a , a ]上连续，且有 为偶函数， ① f ( x ) 为偶函数，则
∫−a f ( x )dx = 2∫0
证
a 0
a
a
f ( x )dx ；
a
为奇函数， ② f ( x ) 为奇函数，则 ∫− a f ( x )dx = 0 .
的一个原函数. ∴ Φ (t ) 是 f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )的一个原函数
β
∫α f [ϕ( t )]ϕ′( t )dt = Φ(β ) − Φ(α),
ϕ (α ) = a 、ϕ ( β ) = b ,
Φ( β ) − Φ(α ) = F[ϕ ( β )] − F[ϕ (α )]
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sin
x
5
2
5
2
4. 5
例5 计算
解 原式
3
e4
e
3
e4
dx
e
x
. ln x(1 ln x)
3
e4
e
d(ln x) ln x(1 ln x)
d(ln x)
3
e4
ln x (1 ln x) 2 e
d ln x 1 ( ln x)2
2 arcsin(
3
ln x )
e4 e
. 6
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
一、换元公式
假设
（1） f ( x)在[a,b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上是单值的且有连续
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时， x (t ) 的值
在[a,b]上变化，且 ( ) a、 ( ) b ，
则
有 b a
f
(
x
)dx
例6 计算 解一 令
a
1
dx. (a 0)
0 x a2 x2
x a sin t, dx a cos tdt,
x a t , x 0 t 0,
原式 2
2
a cos t
dt
0 a sin t a2 (1 sin2 t)
2 0
cos t dt sin t cos t
定积分的换元法
上一节我们建立了积分学两类基本问题 之间的联系——微积分基本公式，利用这 个公式计算定积分的关键是求出不定积分 ，而换元法和分部积分法是求不定积分的 两种基本方法，如果能把这两种方法直接 应用到定积分的计算，相信定能使得定积 分的计算简化，下面我们就来建立定积分 的换元积分公式和分部积分公式。
为方便计
将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t ， t 换成 x
b
f ( x) ( x)dx f (t )dt
这说明可用
a
t ( x) 引入新变量
但须注意如明确引入新变量，则必须换限 如没有明确引入新变量，而只是把 整体视为新变量，则不必换限
t (x)
例4 计算
sin3 x sin5 xdx.
2
dx tdt
当 x 从0连续地增加到4时，t 相 应地从1连续地增加到3
( dt 1 0) dx 2x 1
于是
4 x 2 dx 1 3 (t 2 3)dt 22
0 2x 1
21
3
由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量
()
(),
( ) a 、 ( ) b ,
( ) ( ) F[( )] F[( )] F(b) F(a),
b
a f ( x)dx F(b) F(a)
( ) ( ) f [(t)](t)dt.
注意 当 时，换元公式仍成立.
应用换元公式时应注意:
（1） 用 x (t )把变量x 换成新变量t 时，积分限也
J
2 0
cos t sin tdt sin t cos t
ln(sin t
cos t) 2 0
0
I J
4
例 7 当 f ( x)在[a, a]上连续，则有
a
a
f ( x)dx f ( x) f ( x)dx
a
0
① f (x)为偶函数，则
且有
a
a
f
( x)dx
a
20
f
( x)dx；
②
f
(
x
)
为奇函数，则
a
a
f
( x)dx
0.
证
a
0
a
a f ( x)dx a f ( x)dx 0 f ( x)dx,
在 0 a
f
( x)dx 中令x
t ,
0 a
f ( x)dx
0
a
f
(
t
)dt
a
0
f (t)dt,
f [ (t)] (t)dt .
证 设F( x)是 f ( x)的一个原函数，
b
a f ( x)dx F(b) F(a),
(t) F[(t)],
(t) dF dx f ( x)(t) f [(t)](t),
dx dt
(t)是 f [(t)](t)的一个原函数.
f
[(t )](t )dt
o
0
等于圆周的第一象限部分的面积
a 2
4
解2 a2 x2dx x a2 x2 a2 arcsin x C
a
故
2
a2 x2dx a 2
2
a
0
4
解3 令 x a sin t dx acos t
x0t0 xat
2
a
2
a2 x2dx a2 cos2 tdt
0
0
a2
2
(1 cos 2t)dt
先来看一个例子
例1 4 x 2 dx 0 2x 1
换元求不定积分 令 t
2x 1
则 x 1 (t 2 1)
2
x 2 dx
2x 1
1t2 1t 2 2 2 dt
t
1t3 3t C 62
1
(
2
x
1)
3 2
3
(
2
x
1
1) 2
C
6
2
故
4 x 2 dx 22
0 2x 1
3
尝试一下直接换元求定积分 为去掉根号 令 t 2x 1 则 x t2 1
相应的改变.
（2） 求出 f [ (t )] (t)的一个原函数(t)后，不
必象计算不定积分那样再要把(t ) 变换成原 变量x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限 分别代入(t ) 然后相减就行了.
a
例2 计算 a2 x2dx
0
解1 由定积分的几何意义
y a2 x2
xa
a
a2 x2dx
a2
20
4
解4 令 x acost
仍可得到上述结果
例3 计算 解令
2 cos5 x sin xdx. 0
t cos x, dt sin xdx,
x t 0, 2
2 cos5 x sin xdx 0
0 t 5dt t 6 1
1
6
0
x0
1. 6
t 1,
注 定积分的换元积分公式也可以反过来使用
1 2
2 0
1
cos t sin t
sin cos
t t
dt
1 2
2
1 lnsin
2
t
cos
t
2 0
. 4
解二
接解一
对 2 cos t dt
0
sin
t
cos
t
2
令 I
cos t
dt
0 sin t cos t
2
J
cos t
dt
0 sin t cos t
则
2
I J dt
0
2
I
0
3
解 f ( x) sin3 x sin5 x cos x sin x2
sin3 x sin
3
2
dx
0
0
2
cos
xsin
3
x 2 dx
cos
x
sin
x
3
2
dx
0
2
3
2 sin x2 d sin x
sin
x
3
2
d
sin
x
0
2
2
sin
5
x2
2
5
0
2