3全国高考文科数学试题及答案全国卷

2013年普通高等学校招生全国统一考试

数学(文科)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1?设集合U = 11,2,3,4,5 二集合A—1,2],则e U A =

(A)“,2? (B)34,5? (C) ：1,2,3,4,5 /(D)..

2?已知a是第二象限角，sina ,则cosa =

s 12 5 5 12

(A)(B) (C) (D)

13 13 13 13

3.已知向量m = ■1,1 , n = 2,2 ,若m ? n j . i m - n ,贝U ■=

(A) -4 (B) -3 (C) -2 (D) -1

4 ?不等式x2- 2 c2的解集是

(A) -1,1 (B) -2,2 (C) -1,0 U 0,1 (D) -2,0 U 0,2

5. (x+2$的展开式中X6的系数是

(A) 28 (B) 56 (C) 112 (D) 224

6?函数f x A log? 1 - x 0的反函数f-1 x二

V x丿

1 1

(A)二x 0 (B) = x = 0 (C) 2x -1 x R (D) 2x -1 x 0

2 1 2 1

7?已知数列春满足3时鸟=0旦一4,则「aj的前10项和等于

(A) -6(1-310) (B) 1(1-3-10) (C) 3(1-3-10) (D) 3(1+3-10)

&已知F1 -1,0 ,F2 1,0是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交于A、B两点，且AB =3,则C 的方程为

x^ 2 X2 y2X2 y2X2 y2

(A) y =1 (B) 1 (C) 1 (D) 1

3 2

4 3

5 4

9.若函数y =sin的部分图像如图，贝U ?■二

(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2

10?已知曲线y =x4- ax2?1在点-1, a 2处切线的斜率为8, a=

(A) 9 (B) 6 (C -9 (D) -6

11 ?已知正四棱锥ABCD -A1B1C1D1中，AA, =2AB,则CD与平面BDC,所成角的正弦值等于

273 72 1

(A) ( B) ( C) ( D)-

3 3 3 3

12?已知抛物线C： y2 =8x与点M -2,2，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点，若MA[MB=0 ,贝y k -

1 2 —

(A) — (B)——(C) .2 (D) 2

2 2

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13?设f X是以2为周期的函数，且当1,3时，f x = ?

14 ?从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种?(用数字作答)

x >0,

15?若x、y满足约束条件」x+3y K4,则z = -x + y的最小值为.

3x y 乞4,

16 ?已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，

3…

OK ，且圆O与圆K所在的平面所成角为60”，则球O的表面积等于.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.(本小题满分10分)

等差数列：a n匚中，a7 = 4,a19 = 2a9,

(I )求订鳥的通项公式；

(II )设bn二-- ,求数列：b n f的前n项和S n.

na n

18. (本小题满分12分)设ABC的内角代B,C的对边分别为a,b, c，(a b c)(^ -b c^ ac。

(I )求B

(II )若sin AsinC ，求C。

19.(本小题满分12分)

如图，四棱锥P-ABCD中，.ABC- BAD =90；, BC=2AD「：PA与厶PAD都是边长为2

的等边三角形?

(I )证明：PB_CD; ( II)求点A到平面PCD的距离.

20. (本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结

束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为丄，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲

当裁判?

(I )求第4局甲当裁判的概率；

(II )求前4局中乙恰好当1次裁判概率?

21. (本小题满分12分)已知函数f (x )=x‘+3ax2+3x+1.

(I )求a =、、2时，讨论f x的单调性；；

(II )若9「：时，f x - 0,求a的取值范围.

22.(本小题满分12分)

2 2

已知双曲线C:笃-与=1 a 0,b 0的左、右焦点分别为F1, F2,离心率为3,直线

a b

y =2与C的两个交点间的距离为.6.

(I )求a,b;;

(II )设过F2的直线I与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且 AF』|BF1 ,证明：

AF2、AB、BF2成等比数列

参考答案

13. -1 14.60 15. 0 16. 16

5 / 7

、选择题

1. B

2.A

3. B

4.D

5.C

6. A

7.C

8. C

9. B10. D 11. A 12. D

13. -1 14.60 15. 0 16. 16

6 / 7

17.

(I)设等差数列｛a n ｝的公差为d ，则a n =ai ■ (n -1)d

因此，B -120°. ")由(I)知 A C =60°，所以

cos(A -C) = cos AcosC sinAsinC = cosAcosC -sin AsinC 2sin AsinC = cos(A C) 2sin Asin C

故 A-C =30° 或 A-C = —30° ,

因此，C =15° 或 C =45°.

由PAB 和PAD 都是等边三角形知 PA=PB=PD

所以OA=OB=QD 即点O 为正方形ABED 对角线的交点, 故 OE _ BD ，从而 PB _ OE .

因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，

因为 a 7 = 4 a i9 = 2a 9 ，所以 ◎ a 1 - 6d =4 18d =2(q 8d) 1 解得，a 1 = 1, d .

2 n +1

所以｛a n ｝的通项公式为a n

. 2 (n) b n 二 na n 2 2 2 , n(n 1) n n 1 2n

所以 S n =(2一2) (2一2)川(2一2)= 1 2 2 3 n n +1 n +1 18. (I)因为(a b c)(a -b c)二 ac ，所以 a 2 c 2 -b 2 - -ac . 由余弦定理得, cosB a 2 c 2 - b 2 2ac

19. (I)证明：取 BC 的中点E ,连结DE 则ABED 为正方形.

过P 作PO L 平面 ABCD 垂足为 O.

连结 OA OB,OD,OE.