《离散数学课外实验--最小生成树问题(1)》

《离散数学课外实验》最小生成树问题

华北电力大学数理学院

2013年6月

1.问题描述 (3)

2.分析及设计思路 (3)

3.结构类型定义 (3)

4.系统功能模块介绍 (4)

5.源程序 (5)

6.运行结果及调试分析 (8)

7.总结 (9)

1.问题描述

一个地区的n个城市间的距离网，用Prim算法或Kruskal算法建立最小生成树，并计算得到的最小生成树的代价。

1) 城市间的距离网采用邻接矩阵表示，若两个城市之间不存在道路，则将相应边的权值设为自己定义的无穷大值。在屏幕上显示得到的最小生成树中包括了哪些城市间的道路，并显示得到的最小生成树的代价。

2)表示城市间距离网的邻接矩阵(要求至少6个城市，10条边)

2.分析及设计思路

首先解决如下5个问题：

（1）如何选择存储结构去建立一个带权网络。

（2）如何在所选存储结构下输出这个带权网络。

（3）如何实现Prim算法的功能。

（4）如何从每个顶点开始找到所有的最小生成树的顶点。

（5）如何输出最小生成树的边及其权值。

此问题的关键在于如何实现Prim算法，实现的过程中如何得到构成最小生成树的所有顶点，此外输出也是一个关键问题所在，在此过程中经过了多次调试。

首先我们对问题进行大致的概要分析：

这个问题主要牵涉到通过Prim的基本算法思想实现程序所要求的功能，该算法的主要思想是：假设N=（V，{E}）是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。算法从U={u0}（u0∈V），TE={}开始，重复执行下述操作：在所有u∈U，v∈V-U的边（u,v）∈E中找一条代价最小的边（u0,v0）并入集合TE，同时v0并入U，直至U=V为止。此时TE中必有n-1条边，则T=（V，{E}）为N的最小生成树。

问题的输入数据的格式为：首先提示输入带权网络的顶点边数，我定义的为整形数据型，然后输入每一条边的信息，即边的两个顶点以及权值，是十进制整数类型，这样我们就建立了一个带权网络，并用邻接矩阵来存储，生成一个方阵显示出来。

问题的输出数据格式为：输出是以邻接矩阵存储结构下的方阵，以及从不同顶点开始的最小生成树。

达到目标：用Prim算法实现任意给定的网和顶点的所有最小生成树，并且输出各边的权值。

3.结构类型定义

#include

#define INFINITY 30000 /* 定义一个权值的最大值 */

#define MaxVertexNum 30 /* 图的最大顶点数为30 */

typedef struct

{

//int vertexs[MaxVertexNum]; /*顶点表*/

int arcs[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; /* 邻接矩阵，即边表 */ int vertexNum,edgeNum; /* 图的当前顶点数和边数 */

}MGraph; /*Graph是以以邻接矩阵存储的图类型*/

typedef struct

{

int adjvertex; /*某顶点与已构造好的部分生成树的顶点之间权值最小的顶点*/

int lowcost; /* 某顶点与已构造好的部分生成树的顶点之间的最小权值 */

}ClosEdge[MaxVertexNum]; /*用普里姆算法求最小生成树时的辅助数组 */

4.系统功能模块介绍

输出矩阵存储的形式：（城市间无路径用？代替，如图）

void DisMatix(MGraph *G)

创建图：

void CreatGraph(MGraph *G)

PRiM求最小生成树：

void MiniSpanTree_PRIM(MGraph *G,int u )

主函数：

int main()

5.源程序

#include

#define INFINITY 30000 /* 定义一个权值的最大值 */

#define MaxVertexNum 30 /* 图的最大顶点数为30 */

typedef struct

{

int arcs[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; /* 邻接矩阵，即边表 */ int vertexNum,edgeNum; /* 图的当前顶点数和边数 */

}MGraph; /*Graph是以以邻接矩阵存储的图类型*/

typedef struct

{

int adjvertex; /* 某顶点与已构造好的部分生成树的顶点之间权值最小的顶点 */

int lowcost; /* 某顶点与已构造好的部分生成树的顶点之间的最小权值 */

}ClosEdge[MaxVertexNum]; /* 用普里姆算法求最小生成树时的辅助数组 */

void DisMatix(MGraph *G)

{

int i,j;

printf("\n图的邻接矩阵：\n");

for(i=1;i<=G->vertexNum;i++)

{

for(j=1;j<=G->vertexNum;j++)

{

if(G->arcs[i][j]==INFINITY) printf(" ?");

else printf("%4d",G->arcs[i][j]);

}

printf("\n");

}

printf("\n");

}

void CreatGraph(MGraph *G)

{/* 构造邻接矩阵结构的图G */

int i,j;

int start,end,weight;

printf("请输入图的顶点数和边数:");

scanf("%d,%d",&G->vertexNum,&G->edgeNum); /*输入图的顶点数和边数 */

for(i=1;i<=G->vertexNum;i++)

for(j=1;j<=G->vertexNum;j++)

G->arcs[i][j]=INFINITY; /*初始化邻接矩阵*/

printf("输入相邻两结点和其权值:\n");

for(i=1;i<=G->edgeNum;i++)

{scanf("%d,%d,%d",&start,&end,&weight); /*输入边的起点和终点及权值 */

G->arcs[start][end]=weight;

G->arcs[end][start]=weight;

}

DisMatix(G);

}

void MiniSpanTree_PRIM(MGraph *G,int u )

{/* 从第u个顶点出发构造图G的最小生成树 ,最小生成树的顶点信息存放在数组closedge中*/

ClosEdge closedge;

int i,j,w,k;

for(i=1;i<=G->vertexNum;i++) /*辅助数组初始化*/

if(i!=u)

{closedge[i].adjvertex=u;

closedge[i].lowcost=G->arcs[u][i];

}

closedge[u].lowcost=0; /* 初始，U={u} */

for(i=1;i<=G->vertexNum-1;i++) /*选择其余的G->vexnum-1个顶点*/

{ w=INFINITY;

for(j=0;ivertexNum;j++) /* 在辅助数组closedge中选择权值最小的顶点 */

if(closedge[j].lowcost!=0&&closedge[j].lowcost

{ w=closedge[j].lowcost;

k=j;

} /* 求出生成树的下一个顶点k*/

closedge[k].lowcost=0; /* 第k个顶点并入U集*/

for(j=1;j<=G->vertexNum;j++) /* 新顶点并入U后，修改辅助数组*/

if(G->arcs[k][j]

{ closedge[j].adjvertex=k;

closedge[j].lowcost=G->arcs[k][j];

}

printf("打印最小代价生成树的各条边：\n");

for(i=1;i<=G->vertexNum;i++) /*打印最小生成树的各条边 */ if(i!=u)

printf("%d->%d,%d\n",i, closedge[i].adjvertex,

G->arcs[i][closedge[i].adjvertex]);

}

int main()

{

printf("构造n个城市连接的最小生成树问题\n\n");

printf("1.输入城市的个数和城市间的路径数。\n");

printf("2.输入相邻城市名字及他们之间的路径长度。\n");

printf("3.以邻接矩阵存储各个城市间的信息并输出。\n");

printf("4.用Prim算法得出n个城市连接的最小生成树。\n");

printf("5.打印出n个城市连接的最小生成树路径。\n\n");

MGraph G; /*采用邻接矩阵结构的图*/

int v;

CreatGraph(&G); /*生成邻接矩阵结构的图*/

printf("从哪一个顶点开始:");

scanf("%d",&v); /*输入Prim算法中的起始顶点*/

MiniSpanTree_PRIM(&G,v); /*Prim算法求最小生成树*/

return 0;

}

6.运行结果及调试分析

对于任意给定的网和起点，用Prim算法的基本思想求解出所有的最小生成树并输出这些边的权值，所以如何实现输出显示所有的最小生成树关键问题所在，经过分析调试，用一个for语句就可以解决这个问题，从每个顶点出发，开始每一次遍历并输出显示出来。

算法的时间和空间性能分析：

根据程序中算法的循环语句可以判断出Prim算法的时间复杂度为O（n2）算法和图中的边数无关。因此Prim算法适合求稠密网的最小生成树，因为在算法中用邻接矩阵的存储结构，在无向图中，邻接矩阵是对称的。所以仅需要存储上三角或下三角的元素，因此需要n(n+1)的存储空间。

7.总结

最小生成树主要由Prim算法完成，由于老师平时课上对普利姆算法的知识的透彻讲解，通过整体构思，于是，先确立了基本步骤：1.建立一个具有n个定点的无向图；2.接着创建一个邻接矩阵来存储该图，然后初始化该矩阵；3.最后根据Prim算法，得到了最小生成树以及各边的权值。

皇天不负有心人，按照步骤，忙碌了两周，在不断地努力下，总算将此程序设计出来。尽管不完全是自己独立完成，但仍然很欣慰，因为在设计的过程中，让我了解到要设计一个大型程序，查找资料是至关重要的，在他人的基础上，再根据自己所学进行修改与调试，最后设计出自己想要的程序，这过程艰辛，但只要你持之以恒，定可将问题解决。通过本次实验巩固了课本的基本知识，熟练运用课程知识。提高我的组织数据及编写程序的能力，使我能够根据问题要求和数据对象的特性，学会数据组织的方法，把现实世界中的问题在计算机内部表示出来并用软件解决问题，本次实验大大提高了对编程的爱好，发现，只要认认真真的去思考，没有办不到的事情。