概率论常用统计分布

又因为 Xi ~ N (0, 1),
由定义
X
2 i
~
2 (1),
即
X
2 i
~
1 2
,
1 2
,
i 1, 2, L , n.
因为X1, X2, , Xn相互独立,
所以
X12 ,
X
2 2
,
,
X n2也相互独立,
根据 分布的可加性知
2 n
n i 1
Xi2
~
n 2
,
1 2
.
(3) 2 分布的性质
由中心极限定理得
lim
P{
2 n
n
x}
n
2n
n
X
2 i
n
x
lim P{ i1
n
n
x}
1
t2
e 2 dt
2
即 2分布的极限分布是正态分布，也即当n
很大时，n2 n 服从N
2n
(0,1),进而n2
N (n,2n).
例1 设X ~ N (0,4),Y ~ 2(2)，且X ,Y相互独立，
试求解 X 2 Y 的概率分布. 4
本，则称统计量χn2
X12
X
2 2
L
Xn2服从
自由度为n的 2分布.
自由度：
指
n2
X12
X
2 2
X
2 n
中右端包含独立
变量的个数.
(2) χn2分布的概率分布
定理5.4
2 n
分布的概率密度:
p(
x)
n 22
1 (
n
)
x
n 1
2e
x 2
2
x0
0
其它
证
因为
2 (1)
分布即为
1 2
,
1 2
分布,
服从 2分布.
解
X1
X2
~
N (0,2),
则 Y1
X1
X2 2
~
N (0,1)
同理 X3 X4 X5 X6 ~ N (0,4),
则
Y2
X3
X4
X5 4
X6
~
N (0,1)
又
Y1
X1 X2 与 2
Y2
X3
X4 X5 4
X6
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相互独立.
所以 ( X1 X2 )2 ( X3 X4 X5 X6 )2
样本均值的分布将随样本量
增大而接近正态分布,
但是Cosset在实验中遇到的样本容量仅有5~6 个，在其中他发现实际数据的分布情况与
正态分布有着较大的差异.
y
Cosset样本曲线
正态曲线
O
x
于是Cosset怀疑存在一个不属于正态的 其他分布，通过学习终于得到了新的密度曲线， 并在1908年以“Student”笔名发表了此项结果，
2
4
Y12 Y22 ~ 2(2)
则C1 1 2 ,C2 1 4 .
2. t 分布
历史上，正态分布由于其广泛的应用背景 和良好的性质，曾一度被看作是“万能分布”， 在这样的背景下，十九世纪初英国一位年轻 的酿酒化学技师Cosset. WS, 他在酒厂从事试验 数据分析工作，对数据误差有着大量感性的认 识，我们知道在总体均值和方差已知情况下，
h(t)
n
2
πn
1 n
1
t2 n
n1
2
,
2
t y
t分布的概率密度曲线如图. 显然图形是关于 t 0 对称. 当n充分大时，其图形
3
x2
e
x2 2
d
x]
3
2
0
0
D( Xi2) E( Xi4) [E( Xi2 )]2
3 1 2, (i 1, 2, , n)
故
E
(
2 n
)
E
n i 1
Xi2
n
E( Xi2 ) n,
i 1
( E(Xi2) 1 )
D(
2 n
)
D
n
Xi2
n
D( Xi2 ) 2n.
i 1 i1
i 1
性质2 ( 2分布的数学期望和方差)
若
2 n
~
2(n),
则
E
(
2 n
)
n,
D(
2 n
)
2n.
证 因为 Xi ~ N(0, 1), 所以
E( Xi2) D( Xi ) [E( Xi )]2 1,
E( Xi4 )
x4
1
x2
e 2 d x
2
2
2
x
3
de
x2 2
0
2
[
x3e
x2 2
性质3
设
2 n
~
2(n),则对任意x,有
lim
P{
2 n
n
x}
x
1
e
t2 2
dt
.
n
2n
2
n
证 由假设和定义5.6, n2
X
2 i
,
其中X1
,
X 2 ,
,
Xn
i 1
独立且每个X i
~
N (0,1),因而X12,
X
2 2
,
,
X n2独立同分布,
且
E
(
X
2 i
)
1,
D(
X
2 i
)
2
(i 1, 2,L , n)
性质1 ( 2 分布的可加性)
设 Y1 ~ 2(n1), Y2 ~ 2(n2 ), 并且 Y1, Y2 独
立, 则 Y1 Y2 ~ 2(n1 n2 ).
(此性质可以推广到多个随机变量的情形)
设 Yi ~ 2(ni ), 并且 Yi (i 1, 2, , m) 相互
m
独立, 则 Yi ~ 2(n1 n2 nm ).
解 因为X ~ N (0,4)且 X ,Y 相互独立，所以
X ~ N (0,1)
且
X
2
2 与Y相互独立
4
又因为 X 2 ~ χ 2(1)，由可加性得
4
得
X 2 Y ~ χ2(3).
4
例2 设X1, X2, , X6为来自正态总体N(0,1)的一组
样本, 求C1 , C 2使得
Y C1( X1 X2 )2 C2( X3 X4 X5 X6 )2
S 1 m(X 2 Y 2 Z2) 2
的分布规律.
要求S的分布,自然首先就要知道S中的随机变量 X2 Y2 Z2
的概率分布. 对于这种在实际中经常碰到的随机变量平方
和问题，我们自然希望能够对其加以总结，卡方 分布就是在类似的实际背景下提出的.
(1) 定义
定义5.6 设X1, X2, , Xn是来自总体N (0,1)的样
1. 2 分布
正态分布是自然界中最常见的一类概率 分布，例如测量的误差；人的生理尺寸：身
高，体重等都近似服从正态分布.常见的问题 是关于这些正态随机变量的平方以及平方和 的概率分布问题.
例如在统计物理中，若气体分子速度是随 机向量 V ( X ,Y , Z ) 各分量相互独立，且均服 从 N (0,1.5), 要求该分子运动动能
第二节 常用统计分布
一、常见分布
二、概率分布 的分位数
回
停 下
一、常见分布
在实际中我们往往会遇到这样的问题,要求有 关随机变量的函数的概率分布.
例如在无线电接收中，某时刻接收到的信号 是一个随机变量X ，若我们把 这个信号通过平方示波器，则 输出的信号为
Y X2
通常需要求出Y的概率分布. 本节介绍一些最常见的统计分布.
后人称此分布为“t 分布”或“学生氏”分布.
(1) 定义
定义5.7 设 X ~ N (0, 1), Y ~ 2(n), 且 X , Y
独立,则称随机变量 T X Y /n
服从自由度为 n的 t 分布, 记为 T ~ t(n).
t 分布又称学生氏
(Student)分布.
(2) t(n) 分布的概率密度函数为