初三数学二次函数拔高题及问题详解

二次函数试题

一;选择题：

1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ）

A -1

B 2

C -1或2

D m 不存在

2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系

B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系

C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系

D 圆的周长与半径之间的关系

4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ）

A y=—（ x-2）2+2

B y=—（ x+2）2+2

C y=— （ x+2）2+2

D y=—（ x-2）2—

5、抛物线y=

2

1

x 2-6x+24的顶点坐标是（ ）

A

（—6，—6）

B （—6

，6）

C （6，6）

D （6，—6）

6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 ①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２c 〈３b

A １

B ２

C ３

D ４

7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则

c b a + =c a b + =b

a c

+ 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -2

1

8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系的大致图象是图中的（ ）

二填空题：

13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。

16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c ＝－２的根为—

———————————。

17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形）

1、已知：二次函数y=x 2

+bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）．

AMC （1）求此二次函数的解析式．

（2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积．

2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0，4)，顶点为（1，92）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D ，试在对称轴上找出点P ，使△CDP 为等腰三角

形，请直接写出满足条件的所有点P 的坐标．

（3）若点E 是线段AB 上的一个动点（与A 、B 不重合），分别连接AC 、BC ，过点E

作EF ∥AC 交线段BC 于点F ，连接CE ，记△CEF 的面积为S ，S 是否存在最大值？若存在，求出S 的最大值及此时E 点的坐标；若不存在，请说明理由．

3、如图，一次函数y ＝－4x －4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线y ＝4

3

x 2＋bx ＋

c 的图象经过A 、C 两点，且与x 轴交于点B ． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）设抛物线的顶点为D ，求四边形ABDC 的面积；

（3）作直线MN 平行于x 轴，分别交线段AC 、BC 于点M 、N ．问在x 轴上是否存在点P ，使

得△PMN 是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．

B x

y O C

A D B

x

y O

C

A

C

O

A y

x

D

B C O

A

y

x

D

B M

N

l :x ＝n

（二次函数与四边形）4、已知抛物线217222

y x mx m =

-+-． (1)试说明：无论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；

(2)如图，当该抛物线的对称轴为直线x =3时，抛物线的顶点为点C ，直线y =x －1与抛物线交于A 、B 两点，并与它的对称轴交于点D ．

①抛物线上是否存在一点P 使得四边形ACPD 是正方形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；

②平移直线CD ，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ，通过怎样的平移能使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．

5、如图，抛物线y ＝mx 2－11mx ＋24m (m ＜0) 与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），抛物线另有一点A 在第一象限，且∠

BAC ＝90°．

（1）填空：OB ＝_ ▲ ，OC ＝_ ▲ ；

（2）连接OA ，将△OAC 沿x 轴翻折后得△ODC ，当四边形OACD 是菱形时，求此时抛物线的解析式；

（3）如图2，设垂直于x 轴的直线l ：x ＝n 与（2）中所求的抛物线交于点M ，与CD 交于点N ，若直线l 沿x 轴方向左右平移，

且交点M 始终位于抛物线上A 、C 两点之间时，试探究：当n 为何值时，四边形N 的面积取得最大值，并求出这个最大值．

6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直角梯形，BC ∥AD ，

∠BAD=90°，BC 与y 轴相交于点M ，且M 是BC 的中点，A 、B 、D 三点的坐标分别是A （ 1 0-，），B （ 1 2-，），D （3，0）．连接DM ，并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ．若抛物线2y ax bx c =++经过点D 、M 、N ．

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线上是否存在点P ，使得PA=PC ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）设抛物线与x 轴的另一个交点为E ，点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值．

7、已知抛物线

223 (0)y ax ax a a =--<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的

顶点．（1）求A 、B 的坐标；

（2）过点D 作DH 丄y 轴于点H ，若DH=HC ，求a 的值和直线CD 的解析式；

（3）在第（2）小题的条件下，直线CD 与x 轴交于点E ，过线段OB 的中点N 作NF 丄x 轴，并交直线CD 于点F ，则直线NF 上是否存在点M ，使得点M 到直线CD 的距离等于点M 到原点O 的距离？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

（二次函数与圆）

8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过M （1，0）和N （3，0）两点，且与y 轴交于D （0，3），直线l 是抛物线的对称轴．1）求该抛物线的解析式．

2）若过点A （﹣1，0）的直线AB 与抛物线的对称轴和x 轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式． 3）点P 在抛物线的对称轴上，⊙P 与直线AB 和x 轴都相切，求点P 的坐标．

9、如图，y 关于x 的二次函数y=﹣

（x+m ）（x ﹣3m ）图象的顶点为M ，

图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于D 点．以AB 为直径作圆，圆心

为C ．定点E 的坐标为（﹣3，0），连接ED ．（m ＞0） （1）写出A 、B 、D 三点的坐标；

（2）当m 为何值时M 点在直线ED 上？判定此时直线与圆的位置关系； （3）当m 变化时，用m 表示△AED 的面积S ，并在给出的直角坐标系中画出S 关于m 的函数图象的示意图。

10、已知抛物线2

y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，

且与x 轴交于A 、B 两点．与y 轴交于点C ．其中AI(1，0)，C(0，3-)．

（1）（3分）求抛物线的解析式；

（2）若点P 在抛物线上运动（点P 异于点A ）． ①（4分）如图l ．当△PBC 面积与△ABC 面积相等时．求点P 的坐标；

②（5分）如图2．当∠PCB=∠BCA 时，求直线CP 的解析式。

答案：

1、解：（1）由已知条件得，（2分）

解得b=﹣，c=﹣，∴此二次函数的解析式为y=x 2

﹣x ﹣；（1分）

（2）∵x 2

﹣x ﹣=0，∴x 1=﹣1，x 2=3，

∴B（﹣1，0），C （3，0），∴BC=4，（1分）

∵E 点在x 轴下方，且△EBC 面积最大，∴E 点是抛物线的顶点，其坐标为（1，﹣3），（1分） ∴△EBC 的面积=×4×3=6．（1分）

2、（1）∵抛物线的顶点为（1，92） ∴设抛物线的函数关系式为y ＝a ( x －1) 2＋92

∵抛物线与y 轴交于点C (0，4)， ∴a (0－1) 2＋92＝4 解得a ＝－1

2

∴所求抛物线的函数关系式为y ＝－12( x －1) 2＋9

2

（2）解：P 1 (1，17)，P 2 (1，－17)， P 3 (1，8)，P 4 (1，17

8

)，

（3）解：令－12( x －1) 2＋9

2

＝0，解得x 1＝－2，x 1＝4

∴抛物线y ＝－12( x －1) 2＋9

2

与x 轴的交点为A (－2，0) C (4，0)

过点F 作FM ⊥OB 于点M ，

∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴MF OC ＝EB AB 又 ∵OC ＝4，AB ＝6，∴MF ＝EB AB ×OC ＝2

3

EB

设E 点坐标为 (x ，0)，则EB ＝4－x ，MF ＝23 (4－x ) ∴S ＝S △BCE －S △BEF ＝12 EB ·OC －12 EB ·MF ＝1

2

EB (OC

－MF )＝12 (4－x )[4－23 (4－x )]＝－13x 2＋23x ＋83＝－1

3( x －1) 2＋3

∵a ＝－1

3

＜0，∴S 有最大值 当x ＝1时，S 最大值＝3 此时点E 的坐标为 (1，0)

3、（1）∵一次函数y ＝－4x －4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，

∴A (－1，0) C (0，－4) 把A (－1，0) C (0，－4)代入y ＝4

3

x 2＋bx ＋c 得

∴?????43－b ＋c ＝0c ＝－4 解得?????b ＝－83c ＝－4

∴y ＝43x 2－8

3

x －4 （2）∵y ＝43x 2－83x －4＝43( x －1) 2－163 ∴顶点为D （1，－16

3）

设直线DC 交x 轴于点E 由D （1，－16

3）C (0，－4) 易求直线CD 的解析式为y ＝－4

3x －4

易求E （－3，0），B （3，0） S △EDB ＝12×6×16

3

＝16

S △ECA ＝12

×2×4＝4 S 四边形ABDC ＝S △EDB －S △ECA ＝12 （3）抛物线的对称轴为x ＝－1 B x y O (第3题图)

C A D

E B x

y O (第3题图)

A P M N