初二数学一次函数图象及性质(含答案)

一次函数图象及性质

中考要求

例题精讲

一、一次函数的概念

一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，这时即是前一节所学过的正比例函数．

⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．

⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．

⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．

二、一次函数的图象

⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线．

⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连

成直线即可． ①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，

，()1k ，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0b k ??

- ???

，，即直线与两坐标轴的交点．

⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条

直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+．

三、一次函数的性质

1．一次函数图象的位置

在一次函数y kx b =+中：

⑴当0k >时，其图象一定经过一、三象限；当0k <时，其图象一定经过二、四象限．

⑵当0b >时，图象与y 轴交点在x 轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当0b <时，图象与y 轴 交点在x 轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．

反之，由一次函数y kx b =+的图象的位置也可以确定其系数k 、b 的符号． 2．一次函数图象的增减性 在一次函数y kx b =+中：

⑴当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大；

⑵当0k <时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小．

一、正比例函数的概念

【例1】 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？

（1）15x y +=-

（2）5x

y =- （3）21y x =-- （4）35

x

y =--

（5）()()212y x x x =--- （6）21x y -= 【答案】（2）是正比例函数，（1）（2）（4）是一次函数

【例2】 已知3a y ax -=，若y 是x 的正比例函数，则a 的值是 ． 【解析】 正比例函数的比例系数0a ≠且31a -= 【答案】4

【例3】 已知y m +与x n +（m ,n 为常数）成比例，试判断y 与x 成什么函数关系？ 【解析】 依题意，设y m k x n +=+（）

整理得：y kx kn m =+-

【答案】y 是x 一次函数

【巩固】 已知2y -与x 成正比例，当3x =时，1y =,求y 与x 之间的函数关系式，并判断它是不是正比例

函数。

【解析】 依题意，设2y kx -=，整理得：2y kx =+，将31x y ==，代入上式，得：132x =+

∴13x =-，∴1

23

y x =-+

【答案】不是正比例函数，是一次函数 【例4】 函数已知2

8

(3)1m

y m x -=-+，当m 为何值时，y 是x 的一次函数？

【解析】 依题意，得：28130m m ?-=?-≠?

，∴3

3m m =±??≠?

∴当3m =-时，y 是x 的一次函数 【答案】3m =-

【巩固】 已知2(1)1y m x m =-+-，当m 取何值时，y 是x 的正比例函数？ 【解析】 ∵正比例函数(0)y kx k =≠，所以210

10

m m ?-=?-≠?

∴1m =±且1m ≠

∴当1m =-时，y 是x 的正比例函数。

【答案】当1m =-时，y 是x 的正比例函数

【例5】 若23y x b =+-是正比例函数，则b 的值是（ ）

A.0

B.23-

C.23

D.3

2

-

【答案】选C

【例6】 已知函数1

(2)k y k x

-=- (k 为常数)是正比例函数，则k = ．

【解析】 由题意可知，11k -=，故2k =±． 又因为20k -≠，2k ≠，则2k =-． 【答案】2k =-

二、正比例函数的图像及性质

【例7】 一次函数y x =-的图象平分（ ）

A 、第一、三象限

B 、第一、二象限

C 、第二、三象限

D 、第二、四象限

【答案】选D

【例8】 在平面直角坐标系中，正比例函数(0)y kx k =<的图象的大体位置是（ ）

A

．B

．C

．D

．

【答案】选B

【例9】 下列表示一次函数y mx n =-与正比例函数y mnx =(m n 、为常数，0mn ≠且）

图象中，一定不正确的是（ ）

A

．B

．C

．D

．

【答案】选A

【例10】 已知正比例函数y kx =(0k ≠，k 为常数)，经过点(24)，，以下哪个点不在该正比例函数图图象

上( )

A ．(24)--，

B ．(00)，

C ．(12)，

D ．(12)-， 【答案】D

三、一次函数的概念及性质

【例11】 在坐标系中画出下列函数的图象.

⑴2y x =；23y x =+；21y x =-；⑵12y x =-；122y x =-+；1

22

y x =--

2

x-2

【巩固】如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数1y k x =，2y k x =，3y k x =，4y k x =的图像分别是1l ，

2l ，3l ，4l ；那么1k ，2k ，3k ，4k 的大小关系是 ．

l

l

【解析】2143k k k k <<<．我们探究可以发现：k 越大，越接近于y 轴；k 越小，越接近于x 轴．k 在各

个象限的增大境况如图所示．

【答案】2143k k k k <<<

【例12】 若一次函数2(1)12

k

y k x =-+

-的图象不经过第一象限，则k 的取值范围是 ． 【解析】 由题意，2(1)0102

k k -

?-

【答案】12k <<

【例13】 如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么（ ）

A.00k b >>，

B.00k b ><，

C.00k b <>，

D.00k b <<，

【解析】 一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，画出大致图像，则0k >0b < 【答案】选B

【例14】 已知点()()1242y y -，，，

都在直线122

y x =-+上，则12y y ，大小关系是（ ） A ．12y y > B. 12y y = C ．12y y < D ．不能比较

【解析】 考察一次函数的性质，1

22y x =-+的0k <，则y 随x 的增大而减小

【答案】选A

【例15】 一次函数的图象过点()1,0，且函数值随着自变量的增大而减小，写出一个符合这个条件的一次

函数解析式 ．

【答案】1y x =-+（不唯一）考查一次函数的性质．

【巩固】 已知一次函数的图象过点()0,3与()2,1，则这个一次函数y 随x 的增大而 ． 【答案】减小

【例16】 已知一次函数y kx k =+，若y 随x 的减小而减小，则该函数的图象经过（ ）

A ．第一、二、三象限

B ．第一、二、四象限

C ．第一、三、四象限

D ．第二、三、四象限

【答案】选A

【巩固】若0ab >，0bc <，则a a

y x b c

=-+经过（ ）

A ．第一、二、三象限

B ．第一、三、四象限

C ．第一、二、四象限

D ．第二、三、四象限

【解析】根据题意可得0a b -<，0

a

c < 【答案】选D

【例17】 ⑴将直线2y x =向右平移2个单位所得的直线的解析式是 .

⑵直线22y x =+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的直线的解析式是 .

【解析】 若一次函数图像左右平移，与x 轴正方向相同减，相反加；

上下平移，与y 轴正方向相同加，相反减.

【答案】⑴2(2)24y x x =-=-；⑵2(3)2226y x x =-+-=-

【例18】 如果直线y ax b =+不经过第四象限，那么ab 0（填“≥”、“≤”、“=”）． 【答案】≥

【例19】 下面哪个正比例函数的图象经过一、三象限 ( )

A

．y x =

B ．()3.14πy x

=-

C.π2y x ?=?? D

．(5y x =- 【答案】选D.

【例20】 已知一次函数(5)1y a x a =-+-的图象如图所示，则a 的取值范围是 .

【解析】 根据题意可得：50

10a a ->??->?

，解得15a <<．

【答案】15a <<

【例21】 已知一次函数(3)(2)y k x k =-+- (k 为常数)的图象经过一、二、三象限，求k 取值范围．

【解析】 由题意可知30

20k k ->??->?，解得23k <<．

【答案】23k <<

【例22】 如图的坐标平面上有四直线1L 、2L 、3L 、4L ．若这四直线中，有一直线为方程式35150

x y -+=的图形，则此直线为何？（ ）

A.1L

B.2L

C.3L

D.4L

【答案】选A ．

课后作业

【习题1】正比例函数y kx =的图象是经过原点的一条（ ）

A.射线

B.双曲线

C.线段

D.直线

【答案】选D ．

【习题2】函数()2

21

1m

y m x mn -=-+在 ______ 条件下，y 是x 的一次函数；在 _________条件下，y 与

x 成正比例函数．

【答案】1m =-时该函数为一次函数；1m =-且0n =时该函数为正比例函数 【习题3】已知1

(2)2m y m x

m -=-++是一次函数，求它的解析式．

【解析】 根据题意可得：1120m m ?-=??-=/??

，解得2m =-，所求一次函数为4y x =-.

【答案】4y x =-

【习题4】⑴如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么( )

A ．0k >，0b >

B ．0k >，0b <

C ．0k <，0b >

D ．0k <，0b < ⑵已知一次函数y kx b =+的图象经过(1x ，1y )和(2x ，2y )两点，且12x x <,12y y <，则( ) A ．0k > B ．0k <，0b > C ．0k <，0b < D ．0k < ⑶已知一次函数y kx k =+，若y 随x 的减小而减小，则该函数的图象经过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 ⑷如图，一次函数1

y ax a

=+

的图象大致是( ) y

x

O y

x O y

x O O x y

A B C D

【答案】⑴B ，⑵A ，⑶A ，⑷B ．

【习题5】函数y ax b =+①和y bx a =+②（0ab ≠)在同一坐标系中的图像可能是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】选D ．

【习题6】当k 的取值范围为_______时，关于x 的方程2252x k x x -+=+-+至少有3个解．

A.3k >

B.37k ≤≤

C.37k <<

D.37k ≤<

【答案】选D ．