第六讲：分式方程(1)
分式方程课件初中数学PPT课件(2024)
典型例题
一项工程，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要30天完成。如果两人合作，需要多少 天完成？
17
行程问题
01 路程、速度、时间之间的关系
路程 = 速度 × 时间
02 行程问题中常见的等量关系
甲的路程 + 乙的路程 = 总路程
03 典型例题
两辆汽车同时从相距360千米的两地相对开出， 经过2.4小时相遇。已知甲车每小时行70千米，乙 车每小时行多少千米？
高次分式方程
对于高次分式方程，可以先将其降次，转化为低次分式 方程或整式方程进行求解。具体方法包括因式分解、配 方法等。
2024/1/28
15
03
分式方程应用举例
2024/1/28
16
工程问题
2024/1/28
工作总量、工作时间、工作效率之间的关系
工作总量 = 工作时间 × 工作效率
工程问题中常见的等量关系
为整式方程。
步骤
找出分母中的最小公倍数。
2024/1/28
两边同时乘以最小公倍数，消去分母 。
解整式方程，得到未知数的值。
检验未知数的值是否符合原方程的约 束条件。
8
换元法
• 原理：通过引入新的变量，将分式方程转化为整式方程或更简单的分式方程。
2024/1/28
9
换元法
步骤
2024/1/28
将原方程中的相关项用新 变量表示，得到新的方程 。
质。
消元法
02
通过消去部分未知数，将多元分式方程组转化为低元方程组或
整式方程组进行求解。
变量有界法
03
利用已知条件对变量进行有界限制，从而简化多元分式方程组
讲义6：分式方程
七年级上：初一数学提高（1）班辅导讲义6：分式方程及整数指数幂姓名______________辅导时间______【知识要点】1、 分式方程：分母中含有未知数的方程。
.解分式方程的基本思想：去分母，把分式方程转化为整式方程解分式方程的一般步骤：（1） 去分母：在原方程的两边同时乘以最简公分母，把分式方程转化成整式方程（2） 解这个整式方程：得到整式方程的根（3） 验根：检验整式方程的根是否为原分式方程的根（把整式方程的根代入最简公分母检验，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去）（4） 写结论：原方程的根为……，或原方程无解列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。
2、整数指数幂：正整数、0、负整数都可以作指数；幂的有关运算法则依然成立（0和负整数作指数时要求底数不等于0）3、科学计数法的简单应用【基础自测】1、下列方程中是分式方程的是（ ）A.2413x x +-+ B. 5042x x -+= C. ()34243x x -= D. 142x x +=+ 2、1a =-是下列哪个方程的根？（ ）A. 21012a a -=++B. 2201a a-=- C. 21012a a +=-+ D. 2212a a =-+ 3、下列运算正确的是（ ）A. ()224--=B. 2124--=C. 22155x x -=D. ()122xy xy-= 4、下列等式正确的是（ ）A. ()311--=B. ()()236222-⨯-=C. ()()826555-÷-=-D. ()0241-=5、分式方程5231x x=-的解是______________ 6、 若分式方程()()2815x a a x +=--的解为15x =-，则a ＝____________； 7、x ＝1_________（是、不是）方程1111x x x +=--的根8、去分母解关于x 的方程3022x m x x --=--时会产生增根，则m ＝ _______ 9、科学计数法表示：1340000＝ _________________；0.0001034＝ __________________10、写出原数：65.7110-⨯=______________；84.0310-⨯=______________； 11、大小比较：24--，20.2-，0133⎛⎫- ⎪⎝⎭，334-⎛⎫ ⎪⎝⎭：___________________________________ 12、用50克盐加水调制成浓度为25%的盐水，需要加水____________克13、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空调，两队恰好同时开工同时完工；甲队比乙队每天多安装2台，设乙队每天安装x 台空调，根据题意，可以列出方程为____________【例题选讲】：1、解方程 （1）21211x x =-- （2）3233x x x =+--（3）22254212343x x x x x -=-+-++ （4）23251x x x x x +-=+-2、（1）m 为何值时，关于x 的方程22432x mx x x -+-=+2会产生增根？（2）已知关于x 的方程323-=--x m x x 解为正数,求m 的取值范围.3、计算：（1）()11xy x y --+； （2）()()1122x y x y ----+÷-（3）2110162123733---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-+-⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）()110111432232---⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯÷+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4、 应用题：（1）轿车和货车同时从上海出发，轿车行270千米到达南京时，货车才行120千米到达无锡，如果轿车每小时比货车多行50千米，那么求轿车的速度（2）一个分数的分母比它的分子大5；如果这个分数的分子加上14，分母减去1，那么所得的分数为原分数的倒数，去这个分数（3）某文具厂加工一种学生画图工具2500套，在加工了1000套后，采用了新技术，使每天的工作效率提高到原来的1.5倍，结果提前5天完成任务。
第06课时 分式方程及其应用PPT课件
根据题意得:26a+35(200-a)=6280,
(2)若两种芯片共购买了 200 条,且购买的总费用为 6280 元,求购
解得:a=80.
买了多少条 A 型芯片?
答:购买了 80 条 A 型芯片.
+3
例 1 [2017·宁夏] 解方程:
-
4
-3 +3
=1.
[方法模型] 解分式方程时易出现的错误:
(1)漏乘没有分母的项;
(2)没有验根;
(3)去分母时,没有注意符号的变化.
解:去分母,得 x2+6x+9-4x+12=x2-9,
移项、合并同类项,得 2x=-30,
系数化为 1,得 x=-15,
)
B.4
=1 的解为 x=2,则 m
C.3
D.2
-1
=1 的解
为 x=2,∴x=2 满足关于 x 的分式方程
-3
-1
-3
=1,∴
2-1
=1,解得 m=4.故选 B.
高频考向探究
探究三 分式方程的应用
例 3 [2018·岳阳] 为落实党中央“长江大保护”新发展理念,我
市持续推进长江岸线保护,还洞庭湖和长江水清岸绿的自然
完成的绿化面积的 2 倍,并且甲工程队完成 300 平方米的绿化
面积比乙工程队完成 300 平方米的绿化面积少用 3 小时.乙工
程队每小时能完成多少平方米的绿化面积?
解:设乙工程队每小时能完成 x 平方米的
300 300
绿化面积.根据题意,得
-
2
=3.
解得 x=50.
经检验,x=50 是分式方程的解且符合题意.
《分式方程》Ppt精品实用课件初中数学1
即
,
行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车 含字母的分式方程与一般分式方程的解法相同，需要注意的是，要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示已知数，同时还要注意题
目中所给的限制条件. 解：方程两边同时乘以(x-m)(x-n),
关于x的分式方程①
和②
有什么区别？
的平均速度为多少？ 整理得
学习目标
1.了解含字母的分式方程的概念，掌握解含字母的分式 方程的步骤. 2.能熟练运用解含字母的分式方程的步骤进行计算.
课堂导入
某次列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前 若分式方程中除了含有表示未知数的字母外，还含有表示已知数的字母，则该方程是含有字母的分式方程.
解：方程两边同时乘以x(x-1)，得6x=x+3-k(x-1).
解：方程两边同时乘以x(x-1)，得6x=x+3-k(x-1). 行 (s+50) km所用时间为_____h.
得2(x-2)-(1-kx)=-1，即(2+k)x=4. 经检验，a=-3是关于a的分式方程的解，所以a=-3.
答：提速前列车的平均速度为 km/h.
整理得(5+k)x=3+k. 解得 .
拓展提升
若关于x的分式方程 2 - 1- kx 1 无解，求k的值.
x-2 2-x
分析：分式方程无解分为两种情况：
①分式方程化为整式方程后，求出整式方程的解使得
最简公分母为0； ②分式方程化为的整式方程无解. 根据两种情况分类讨论，确定 k 的值即可.
3 6 2x
关于x的分式方程①除了含有未知数x，还含有 字母v，s，其中v，s表示常数，而②为一般的 分式方程.
分式方程①的解应该是用含有字母s，v的式 子表示的值.
《分式方程》PPT课件
（来自《典中点》）
知识点 3 分式方程的根（解）
知3－导
使得分式方程等号两端相等的未知数的值 叫做分式方程的解(也叫做分式方程的根).
知3－讲
例3 [中考·遵义]若x＝3是分式方程 a 2 1 x x2
＝0的根，则a的值是( A )
A．5 B．－5 C．3
D．－3
导引：把x＝3代入分式方程，得到关于a的一元一次方
C．m＝3
D．m＝0或m＝3
3
若关于x的分式方程
6
( x 1)( x 1)
m
x 1 有增
根，则它的增根是( )
A．0
B．1 C．－1 D．1和－1
（来自《典中点》）
1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程. 2.列分式方程的步骤：
(1)审清题意； (2)设未知数； (3)找到相等关系； (4)列分式方程.
漏乘．
（来自《点拨》）
1 解方程： (1) x 5 4; 2x 3 3 2x
3
x
(2) x2 9 x 3 1.
知2－练
（来自《点拨》）
知2－练
2
【中考·济宁】解分式方程
2 x1
x2 1 x
3
时，去分母后变形正确的为( )
A．2＋(x＋2)＝3(x－1)
B．2－x＋2＝3(x－1)
C．2－(x＋2)＝3
38 2 2 1. 9x x
如果设小红步行的时间为x h，那么她乘公共汽 车的时间为(1－x) h， 根据等量关系(2)，可得到方程
38 2 9 2 .
1 x
x
知1－导
讨论： 上面得到的方程与我们已学过的方程有什么 不同？这两个方程有哪些共同特点？
分式方程ppt课件
的教育活动.某校积极响应,开设校园农场.七年级学生共收获农产品
1 800 kg,八年级学生共收获农产品1 440 kg,已知八年级学生比七年
级学生人均多收获1 kg农产品,七年级学生人数是八年级学生人数的
1.5倍.若设八年级有x名学生,则可列分式方程为
-
.
=1
.
新知应用
又用8 000元购进了第二批这种太阳伞,所购数量是第一批的2倍,但每
把太阳伞贵了4元.则两次共购进这种太阳伞 600 把.
-
x=3
.
=1 有增根,则 m 的值为
5
2.(2022 成都)分式方程
-
-
+
=1 的解是
- -
- -
+
4.(2023 眉山)关于 x 的方程
m≥-5且m≠-3
.
-
-3=
-
.
的解为非负数,则 m 的取值范围是
-
5.解方程:
(1)
+
+
- -
=1;
∴原计划每天修建盲道 240 m.
-2=
,解得 x=240.
销售及其他问题
[例2] 随着人们“节能环保,绿色出行”意识的增强,越来越多的人喜
欢骑自行车出行,给自行车商家带来商机.某自行车行经营的一种自行
车2023年销售总额为 80 000元.2024年该种自行车的销售单价比2023
年降低200元,销售数量是2023年的2倍,销售总额能达到128 000元,求
x(x+1)-(x-1)(x+1)=3.
解这个方程,得 x=2.
检验:当 x=2 时,(x-1)(x+1)≠0.
人教版八年级上册数学《分式方程》分式PPT教学课件
a是分式方程的解
整式方程
最简公分母为0
a是分式方程的解
课题引入
例4. 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成
1
总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程
3
全部完成.哪个队的施工速度快?
1
【分析】甲队1个月完成总工程的 ，设乙队单独施工1个月能完成总
3
1
1
6
工程的 ，那么甲队半个月完成总工程的______，乙队半个月完成总
② 解整式方程,得
x=3.
解整式方程
③ 检验：把x=3代入原方程
左边= 31 1 , 右边= 1
31 2
∵ 左边=右边
∴ 原方程的根是 x=3.
2
.
检
验
例2 解分式方程 x 1 5x2 9
x 1 x 1
解 方程两边同乘以最简公分母(x＋1)(x－1),
得 （x-1)2 =5x+9
解整式方程,得 x1=－1, x2=8
b为非0常数)，哪些是整式方程？哪些是分式方程？
课题引入
【方法小结】要判断一个方程是否为分式方程，关键看分母
中是否含有未知数。
1
解：方程 + =
9000
2，
是分式方程；方程 − 2
1500
300
480
2
3
=
， −
= 4，
=
+3000
2
−1
−1
= 0， =
，4 − 5 = 0， −
3
2
=
分式方程的解法(1)
例解下列分式方程：x 2x (1) 1 x 1 3x 3
x 3 (2) 1 x 1 ( x 1)( x 2)
解下列分式方程：
1 2 (1) 2x x 3
2 4 (2) 2 x 1 x 1
5 1 (3) 2 2 0 x x x x
顺航 逆航
时间(h)
100 v 20 60 v 20
v+20
v-20
100 60 20 v 20 v
归纳
比较
x x3 1 3 2
整式方程
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
练习1：下列方程中不是分式方程的是( A )
x x 1 A. 3 2 1 ( x 1) 3 C. x
分式方程的解法(1)
x x3 复习 解一元一次方程： 1 3 2
解：方程两边同乘以6，得 去分母 去括号 移项、合 并同类项 系数化为1
2 x 3( x 3) 6
2 x 3x 9 6 5x 15 x3
导入：一艘轮船在静水中的最大速度为 20km/h，它沿江以最大航速顺流航行 100km所用的时间，与以最大速度逆流 航行60km所用时间相等，江水的流速 为多少？ 设江水的流速为vkm/h 速度(km/h)
2 x 1 B. x 5 6 1 2 1 D. 2 x 3 x
探究 怎样解分式方程
100 60 20 v 20 v
解：方程两边同乘以 (20 v)( 20 v) ,得
100(20 v) 60(20 v)
解得 v 5
最简公分母
左边=右边 检验：将v=5代入原方程， 所以，v=5是原方程的解
分式-完整版课件
一、分式方程的概念
二、解分式方程
三、分式方程解的情况
复习回顾一:
一、什么是分式方程？
方程中只含有分式和整式，且分母中 含有未知数的方程。
复习回顾(1)下x 2列2方程3x中，分式4x 方 程3y有（7 ５
）个
一(2) 1 3
x2 x
(4) x(x1) 1 x
(3) 3 x x （6）2xx110
1应.若是方X=程-2 2x.34xa21 有增根，则增根
2 ax 3
2.解关于x的方程
x2x2
4 x2
产生增根，则常数a= -4或6 。
3.当m为何值时，方程
x 2 x3
m x3
解
为非负数？
一、分式方程的概念 二、解分式方程
解分式方程必须检验有无增根。
三、分式方程解的情况
a
x2 1产生增根，
则增根可能是X=1或x=-1 ;a的值
是 2或0 .
变式 3
已知关于ｘ的方程
a 1 2x x1 x2 1
①
去分母，得 a(x1)(x21)2x
②
当方程②的根不是方程①的根时，a为多少？
分析：∵方程②的根不是方程①的根 ∴分式方程①有增根，增根可能为x=1，-1。 而增根x=1，-1是整式方程的解
把x=1代入方程② 即2a=2,解得a=1 把x=-1代入方程②即a·0=0+(-2)∴此方程无解
综上所述，a的值是1
问题：若方程①有增根，则增根必为 X=1 。
变式4、当a为何值时,方程
x 1 a x1 x2 1
的解是正数?
若解是负数呢？
变式5、当a为何值时,方程
x 1 x1
中考数学专题复习课件 --- 第六讲一元一次方程与分式方程
【解析】选A.把x=2代入方程2x+3m-1=0,解得m=-1.
2.(2010 ·东营中考)分式方程 (A)-3 (B)2 (C)3
1 3 的解是( x2 x
)
(D)-2
【解析】选C.原方程去分母,得x=3x-6,解得x=3,经检验x=3是
原方程的根,或者把选项代入原方程检验即可.
3.(2010·河北中考)小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了 1元和5元的纸币共12张.设所用的1元纸币为x张，根据题意，
去分母，得(2x-8)-4=8, 去括号，得2x-8-4=8, 移项，合并同类项，得2x=20, 系数化为1，得x=10.
【纠错空间】上述解题过程出现了三个常见错误： (1)不会利用分式的符号法则对分式进行等值变形，这个法则 是“分式的分子、分母和分式本身的符号，任意改变两处， 分式的值不变”，按此法则，下列变形应该是：
3
检验：当 x 26 时，x-7≠0,且原方程的左右两边相等，
∴原方程的解为 x 26 .
3
3
x 1.(2010·江西中考)解方程： 2 x2
4 1. x2 4
【解析】 去分母，得(x-2)2+4=x2-4, 解得x=3. 检验：当x=3时，x2-4≠0, ∴x=3是原方程的解.
【解析】设原计划每天修水渠 x 米.
3 根据题意得： 600 3 600 20, x 1.8x
解得：x=80, 经检验：x=80是原分式方程的解. 答：原计划每天修水渠80米.
解分式方程常见的错误
【例】解分式方程 2x 8 4 8.
x7 7x 2x 8 4Байду номын сангаас【错误解析】变形，得 8 , x 7 x 7
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第六讲：分式方程（1）
除去什么分式方程的技巧不谈，分式方程里的一个特别值得注意的问题就是我们以前反复强
调过的，乘0除0的问题，这是根本。
例1.若关于x的分式方程212xax的解是正数，求a的取值范围.
练1.关于x的方程211xmx的解是正数,求m的取值范围.
例2.已知关于x的方程22xcxc的两个解是122,xcxc,求关于x的方程
22
11xaxa
的所有解.
例3.若关于x的分式方程311xaxx无解,求a的值.
练2.
(1)m为多少时,解分式方程225111mxxx会产生增根.
(2)关于x的方程2221511kkxxxxx有增根x=1,求k的值.