有限元分析第二章1
有限元课件第2章-单元分析精选全文完整版
a1
1 2A
ui uj
xi xj
yi yj
um xm ym
1
a2
1 2A
1
ui uj
yi yj
1 um ym
（2-14）
1
a3
1 2A
1
xi xj
ui uj
1 xm um
式中， A为三角形单元的面积，有
1 A 11
2
xi xj
yi yj
（2-15）
1 xm ym
y
m（7）
i（2）
j（1）
x
特别指出：为使求得面积的值为正值，本单元节点号
（2-16）
1 2A
[(ai
bi
x
ci
y)
i
(a
j
b
j
x
c
j
y)
j
(am
bm
x
cm
y)
m
]
令
Ni
1 2A
(ai
bi x ci y)
(i, j, m)
（2-18）
位移模式（2-16）可以简写为
u Niui N ju j Nmum Ni i N j j Nm m （2-19）
式（2-19）中的Ni、Nj、Nm是坐标的函数，反应 了单元的位移形态，称为单元位移函数的形函数。数
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
u v
j j
缩写为
um
vm
{ f } [N ]{ } （2-20）
[N]为形函数矩阵，进一步写成分块形式：
[N ] [[ Ni ] [N j ] [Nm ]]
第二章 平面刚架的有限元
[k ](e )的第三列对应于只有节点 (e)在产生单 的第三列对应于只有节点1
位角位移的情况，如图所示。 位角位移的情况，如图所示。
这时除了 外，两节点的其余位移分量都为零。它相当于 一根悬臂梁，自由端有铰链支撑，在节点1(e)处产生单位转角。 要产生这个变形并能保持该梁的平衡，在节点1(e)处要 施加横向力
一维单元（刚架杆单元） 图2-1 一维单元（刚架杆单元
在局部坐标系中， 在局部坐标系中，杆单元每个节点都有三个位移 分量，如图(a)所示。每个节点都有三个力分量， 所示。 分量，如图 所示 每个节点都有三个力分量， 如图（ ）所示。 如图（b）所示。
图中 u ( e ) ,
f
(e) x
——轴向位移、轴向力 轴向位移、 轴向位移 ——横向位移、横向力 横向位移、 横向位移 ——角位移、弯矩 角位移、 角位移
(e (e k13 ) 和k 43 ) = 。 [k ](e ) 中的后三列元素也可以用同 0 同样
(e) 2y
=−f
(e) 1y
( m2e ) =
样的方法导出。
局部坐标系中杆单元(e)的节点力和节点位移 之间的关系式为
EA 0 L 12 EJ 0 L3 6 EJ 0 L2 = EA 0 L 0 12 EJ L3 6 EJ 0 L2 0 6 EJ L2 6 EJ L 0 6 EJ L2 2 EJ L EA L 0 0 EA L 0 0 0 12 EJ L3 6 EJ L2 0 12 EJ L3 6 EJ L2 0 6 EJ L2 2 EJ L 0 6 EJ L2 4 EJ L
有限元(第二章-杆单元部分)tg
−
1 2 1 2 1 2 1 − 2
−
1 2 1 2 1 2 1 − 2
1 2 1 − 2 1 − 2 1 2
按节点号叠加得6×6阶总刚度矩阵
−1 1 0 0 1 0 1 − 1 0 1 + 2 2 [K ] = 0 0 − 1 2 2 0 0 − 1 2 2 1 0 −1 2 2 0 0 1 − 2 2 1 2 2 1 2 2 1 − 2 2 0 0 0 −1 1 1 − 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 − 2 2 2 2 1 1 − 1+ 2 2 2 2
2-10 刚度矩阵元素的带状分布
【例】对图（a）中结构分别采用图（b）、图 （c）两种编号方式以观察其刚度矩阵的带宽。
对于图(b)、(c) 编号方式的结构，总刚度矩阵 的非零元素分布分别如下图(a)、(b) 所示。
[K ]
e
λ2 AE λµ = L − λ2 − λµ
λµ µ2 − λµ − µ2
Fx1 1 Fy1 AE 0 = L − 1 F x2 Fy 2 0
即：
0 − 1 0 u1 0 0 0 v1 0 1 0 u 2 0 0 0 v 2
{F }= [K e ]{δ }
求各杆单元的λ和μ的值。Φ角是按 逆时针从x轴正向转到单元ij方向的
三杆受力桁架
单元⑴ 单元⑵ 单元⑶
ϕ = 0 o , λ = 1, µ = 0 ϕ = 90 o , λ = 0 , µ = 1 ϕ = 135 o , λ = −
1 1 ,µ = 2 2
单元刚度矩阵分别为
第二章 有限元法的直接刚度法
Qi
=[Qi Mi ]
T
=[ fi θi ]
T
Mi
f-挠度（上为正）θ-转角（逆时针为正）； Fy-外部集中力Mz-外部扭矩
qj f j
i e j
qi fi
mi θi
单元特性－ 每个单元２个节点，每个
X’
mj θ
j
节点２个位移即２个自由度。则每个单元共 ４个自由度
节点力－单元与节点之间的作用力 pi=
l2 l
kjj -6EA 4EA
l2 l
l
3
l
2
e 单元刚度矩阵[K] 的子矩阵块[ k i j ] 表示: 当 j 节点发生
单位位移，且其他节点位移为０时，对应于 i 节点的节点力
2.1.4
直梁总体刚度矩阵
有限元法是把一个连续体，简化为由有限个离散单元 组合而成的等效离散模型进行求解的。
F A B C M D
i
e
j
X’
单元
2.1.1
划分单元
划分单元的原则: 杆件的交点、界面变化处、支撑点 和自由端、集中载荷处、欲求位移 处、单元大小尽量一致。
2.1.2 直梁节点位移，力与载荷
Y
Qi f i
Mi θi
Fy 1 ① Mz 2 ② 3 ③ 4 X
节点载荷 －节点处所受的外力
节点位移δi=
y’
fi θi
Qi=
内力Q-剪力M-弯矩
qi
mi
=[ qi mi ]
T
一、度量梁变形的两个基本位移量
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。 与 y 同向为正，反之为负。 y C w C1
P
x
02-01有限元分析基础-理论基础
Kq=f——————（1） 其中：K是整体刚度矩阵；
q是节点位移矩阵； f是载荷矩点位移 解有限元方程Kq=f可得到位移。在根据方
程组的特点来选择合适的计算方法。
通过上述分析了解到，有限元分析的基本 思路是“先离散在组装”，离散为了进行单 元分析，组装为了对整体结构进行分析。
σ=Eε—————（2-4） 将式（2-2）、式（2-3）代入到式（2-4） 后简化得到：
F=(AE/l)Δl—————（2-5) 式（2-5）与弹簧方程F=kx很相似。因此， 受轴向力作用的等截面杆看做一个弹簧，则：
keq=AE/l——————（2-6）
一、有限元分析理论基础
根据上述分析，杆件的截面面积都是在 一个方向上变化的。可以将杆件近似地看做 是由4个弹簧串联起来的模型。
(2)假定一个近似描述单元特性解 为研究典型单元的力学特性，不妨先考虑
横截面积为A、长度为l的杆件在外力F作用下 构件的变形。
杆件的平均应力由下式给出： σ=F/A————（2-2） 杆件的平均正应变ε为
ε=Δl/l————（2-3)
一、有限元分析理论基础
在弹性区域内，应力和应变服从胡克定 律，即：
1.2 定义单元特性 (2)定义单元的力学关系
根据单元的材料、形状、尺寸、节点数目、 位置等参数，找出单元节点力和节点位移的 关系式。 (3)计算等效节点力
物理模型离散化后，假定力是通过节点在 单元间进行传递的，但对于实际连续体，力 是通过单元的公共界面在单元间进行传递。
一、有限元分析理论基础
1.3 组装单元 利用结构中力的平衡条件和边界条件将各
利用以上模型，假定力施加在各节点上。 可根据有图中节点1~节点5的受力情况, 得到各节点上力的静平衡： 节点1：R1-k1（u2-u1）=0 节点2：k1（u2-u1）-k2（u3-u2）=0 节点3：k2（u3-u2）-k3（u4-u3）=0 节点2：k3（u4-u3）-k4（u5-u4）=0 节点2：k4（u5-u4）-P=0
第二章平面桁架有限元及程序设计案例
§1.1 有限单元法的概念
基本思路：借助数学和力学知识,利用计算机技术解决工 程技术问题 有限元分析是利用数学近似分析方法对真实物理系统 （几何、载荷工况）进行模拟，利用简单而又相互作用的 元素，即单元，用有限数量的未知量去逼近无限未知量的 真实系统。
有限单元法(FEM) 是20世纪50年代以来随着计算机的广 泛应用而发展起来的一种现代数值解法。该方法首先应用 在连续力学领域 —— 飞机结构静、动态特性分析中。随后 很快就广泛应用于求解传导、电磁场、流体力学等连续性 问题。
引入边界条件，求解结点上的未知场变量；
六、其他参数的计算
利用已经求解的场变量，计算其他场变量；
§1.3 常用的有限元分析软件
(1) ANSYS
是商业化比较早的一个软件（收购了一些其他软件 公司）
功能强大、模块多、比较通用； 土木工程：CivilFEM
(2) MSC
产品系列多、通用软件、二次开发功能强； 土木工程：MSC.MARC系列，Patran, MSC Nastran 及Adams
500
600
3.141518269
3.141536068
7
8 9 10
3.096194954
3.104496068 3.110541737 3.115105951
700
800 900 1000
3.14154775
3.141555901 3.141561854 3.141566356
100000
3.14159262729364
在建的大连国际贸易中心大厦 (78层，342米)
63863个梁柱单元；
34180个结点；
§1.1 有限单元法的概念
在建的大连市体育中心
有限元分析基础ppt课件
32
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
b. 单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在
位移函数中。
c. 单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻
单元之间的位移协调性。 由单元结点位移，确定待定系数项
17
第二章 结构几何构造分析
②超静定结构——自由度大于零的几何不变结构。其特 性：
a. 超静定结构仅仅满足静力平衡条件的解有无穷多 个，但同时满足结构变形协调条件的解仅有一个。
b. 超静定结构的内力及支反力不仅与载荷有关，而 且与林料的力学性能和截面尺寸有关。
c. 超静定结构在非载荷因素作用下，如温度变化、 支座沉陷、制造误差等而产生的位移会受到多余约束的 限制，结构内必将产生内力。
33
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
3.2.2 梁单元平面弯曲的位移函数
梁单元平面弯曲仅考虑结点的四个位移分
量 i， i ， j ， j ，由材料力学知,各截面的转角:
v x
故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个 待定系数 1， 2， 3， 4的多项式 v(x) 1 2 x 3 x 2 4 x3
全为零。 d. 若静定结构在载荷作用下， 结构中的某一部分
能不依靠于其它部分， 独立地与载荷保持平衡时，则 其它部分的内力为零。
e. 当将一平衡力系作用于静定结构的一个几何不 变部分时，结构的其余部分都无内力产生。
f. 当静定结构中的一个内部几何不变部分上的载 荷作等效变换时，其余部分的内力不变。
g. 当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造 改变时，其余部分的内力不变。
第二章 杆系结构的有限元法分析
F ⓔ Fxi
Fyi
Fzi
M xi
M yi
M zi
Fxj
Fyj
Fz j
M xj
M yj
T
M zj
EA
EA
l
0
0
0
0
0
0
l
0
0
0
0
Fxi
0
12 EI z l3
0
0
0
6 EI z l2
0
12EI l3
z
0
0
0
6 EI z l2
ui
Fyi
0
0
12EI y l3
0
6EI y l2
所谓杆件是指从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件。在结
构力学上我们通常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆 件称为梁。在有限单元法中这两种情况的单元分别称为杆单元和梁单元。但由于 在实际工程结构中，同一构件上，上述几种受力状态往往同时存在，因此为方便 起见，本书都称之为杆单元。并且，本书所讨论的杆单元均是指等截面直杆单元， 对于变截面杆和弯曲杆件，我们在进行单元划分时可以将其分为若干等截面杆单 元。因此本书的分析方法仍然对其适应。
在所有结构中，杆系结构是最简单的一类结构，也是我们在工程上最常
见的一类结构。如平面桁架、平面刚架、连续梁、空间刚架、空间桁架等都属于 此类结构，以此类结构为基础介绍有限单元法的分析过程。
首先了解一下有限单元法分析问题的基本步骤。
第一步：对结构物进行离散化，划分为有限个单元
3 2
4 5
1
6
1
2
3
4
5
第八步：引入边界条件
有限元1-2章
2010-5-11
2
主要的数值分析(模拟) 主要的数值分析(模拟)方法
1.有限差分法 1.有限差分法 2.有限单元法 2.有限单元法
数值分析方法的特点是计算工作量大, 数值分析方法的特点是计算工作量大,一般必须借助 电子计算机才能完成. 电子计算机才能完成.
2010-5-11
3
数值分析方法的用途
13
加权余量法解例
微分方程: 微分方程: 其边界条件: 其边界条件:
d 2u + u + x = 0 (0 ≤ x ≤1) 2 dx
当 当 x = 1 时, u = 0
x = 0时, u = 0
取近似解为
u = x(1 x)(a1 + a2 x + )
为待定参数 a1,a2 …为待定参数
一般近似解项数越多,精度就越高. 一般近似解项数越多,精度就越高.以下仅讨论 一项和两项近似解. 一项和两项近似解.
能量方程:
θ θ (ρuc pθ ) + (ρvc pθ ) = k + k x y x x y y
(1-25)
6
2010-5-11
1956年,美国的Turner,Clough等人在分析 年 美国的 等人在分析 飞机结构时, 飞机结构时,第一次给出了用三角形单元求解 平面应力问题的正确解答.采用的是直接刚度 平面应力问题的正确解答.采用的是直接刚度 法.1960年, Clough进一步处理了平面弹性问 年 进一步处理了平面弹性问 并第一次提出了"有限单元法"的名称. 题,并第一次提出了"有限单元法"的名称.
2010-5-11 9
里兹法解例
微分方程: 微分方程: 其边界条件: 其边界条件:
第二章 有限元法的基本概念
x , y , xy(x,y) xz＝ zy＝0,z＝m(x+ y ) z ＝ yx ＝ zx ＝ 0 x , y , xy (x,y)
u (x,y), v (x,y); w=0
二、平面问题的基本方程
平衡方程
x yx fx 0 x y xy y fy 0 x y
• 有限元法用离散化(discretization)的方法彻底地解决了 这一问题。不管多么复杂的结构，总可以用一个离散化的模 型来代替。整个结构被划分成有限个小的区域，称为单元， 所划分的每个单元的几何形状是有一定规则的。先用弹性力 学理论计算出每个单元的特性，然后再把各单元集合在一起 形成完整的结构。用适当的方法对这个离散化的模型求解， 就可以代替对原有结构的求解。
平面问题的应变协调方程
2 y 2 xy 2 x 2 2 x y y x
x , y , xy
第二章 有限元法的基本概念
2.1 有限元法的产生及应用
• 有限元法(Finite Element Method，简称FEM)，又称 有限单元法、有限元素法，它是随着大型高速数字电子计 算机的出现而发展起来的一种有效的数值计算方法。 传统的材料力学给出了某些计算位移和应力的解析公
2
2 y 2 xy 2 x 2 2 x y y x 2 y z 2 2 z y 2 2
yz
yz
2 z x 2
2 zx 2 x 2 zx z
xy
ห้องสมุดไป่ตู้yz
v u x y
w v y z
l xy m y F y
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有限元分析第二章平面问题的有限单元法第二章平面问题的有限单元法2-1、有限单元法的概念2-2、有限单元法的计算步骤2-3、单元位移函数2-4、单元载荷移置2-5、单元应力矩阵2-6、单元刚度矩阵2-7、单元刚度矩阵的物理意义及其性质2-8、整体分析2-9、整体刚度矩阵的形成2-10、支承条件的处理2-11、整体刚度矩阵的特点2-1 有限单元法的概念有限单元法的发展历史：弹性力学扩大了材料力学分析问题的范围，提高了解题的精度。但仅仅在少数一些较简单的经典问题上，能获得较为精确而实用的解答。由于复杂的数学运算；或难以确定简单合理的数学模型，对于大量的工程实际问题往往难以解决。
计算机的出现引起了力学学科的变革。采用力学分析的解析法不能解决的问题，应用数值法(以计算机为工具)可以求出近似解。有限单元法是广泛应用的一种数值法。有限单元法的物理概念清晰，易于掌握和应用，计算速度快，精确程度高，具有灵活性和通用性，可以解决一些复杂的特殊问题，例如复杂的几何形状，任意的边界条件，不均匀的材料特性，结构中包含杆件、板、壳等不同类型的构件等。近二、三十年来，广泛应用于航空、造船、土木、水利、机械工业中。2-1 有限单元法的概念通过材料力学求解和有限元求解进行比较例：等截面直杆在自重作用下的拉伸图(a)单位杆长重量为q，杆长为L，截面面积为A，弹性模数为E
LxL-x
L3
L3
L3
0u
dx
X
NN
Nx(a)(b)(c)ͼ 2-1
EAqa252EAqa282
EAqa292
3La=2-1 有限单元法的概念材料力学方法求解直杆拉伸：图(b)---位移法考虑微段dx，内力N=q (L-x)dx的伸长为
x截面上的位移：
根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里应变
应力
EAx)dxq(LEAN(x)dxΔ(dx)
==
)2x(LxEAqEAx)dxq(LEAN(x)dxu2x 0 x
0 ===
X)(LEAqdXduεx==
X)(LEAqEεσxx==2-1 有限单元法的概念有限单元法求解直杆拉伸：
1L2L
iL1iL+
1
ͼ 2-2nn-1i+1ii-12
iL
1iL+ͼ 2-3i+1
ii-12)LL( q1ii++
1、离散化2、外载荷集中到结点上，即把投
影部分的重量作用在结点i上2-1 有限单元法的概念有限单元法求解直杆拉伸：3、假设线单元上的位移为线性函数
iLͼ 2-4i
i-1
X
ux1ix
1i u)x( u
i u
) XX(L u u u)x( uu1ii1ii1i
+==
i1iixLuudX
duε
==
)Luu(EEi1ii
ii
==
)Luu( E A A Ni1ii
ii
==
)Luu( E A N1ii1i
1i+
++
=2-1 有限单元法的概念有限单元法求解直杆拉伸：4、以i结点为对象，列力的平衡方程
令将位移和内力的关系代入得
i N
1i N+ͼ 2-5
i2)LL( q1ii++
0Fx=
2)LL( qNN1ii1i i +
+
+=
1iiiL
L
+=
1)-(2 L )11(EA2quu )1(u2ii1i ii i1-i
+=+++
用结点位移表示的平衡方程，其中i=1，2，…n有n个方程未知数也有n个，解方程组，得出结点位移，进而计算应力2-1 有限单元法的概念有限单元法求解直杆拉伸：假设线单元数为3个的情况，平衡方程有3个：i=1时，
i=2时,i=3时，联立解得
aL1 =aL3 =aL2 =0
u
1 u
2 u3 u
0123ͼ 2-6
22 1 aEAquu 2=
23 2 1 aEAquu 2u =+
23 2 aEA 2quu =+
EAqa25u21 =EAqa28u22 =EAqa29u2
3 =
与材料力学的精确解答在结点处完全相同2-1 有限单元法的概念有限单元法的基本思路：(1) 把物体分成有限大小的单元，单元间用结点相连接。(2) 把单元结点的位移作为基本未知量，在单元内的位移，设成线性函数(或其它函数)，保证在单元内和单元间位移连接。(3) 将结点的位移与结点的力联系起来。(4) 列出结点的平衡方程，得出以结点位移表达的平衡方程组。(5) 求解代数方程组，得出各结点的位移，根据结点位移求出各单元中的应力。
有限单元法的基本未知量是结点位移，用结点的平衡方程来求解。2-2 有限单元法的计算步骤弹性力学平面问题的有限单元法包括三个主要步骤：1、离散化2、单元分析3、单元综合
ͼ 2-72-2 有限单元法的计算步骤1、离散化有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三角形单元。这些单元在结点处用铰相连，荷载也移置到结点上，成为结点荷载。在结点位移或其某一分量可以不计之处，就在结点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。2-2 有限单元法的计算步骤jmijmi
iv
ivjvͼ 2-8
mviujumuiVjVmViU
jU
mU(a)(b)
ee
2、单元分析对三角形单元，建立结点位移与结点力之间的转换关系。
=mmj
j
iie
vuv
u
vu
=mmj
j
iie
VUV
U
VUF
结点位移结点力2-2 有限单元法的计算步骤2、单元分析-----单元刚度矩阵取结点位移作基本未知量。由结点位移求结点力：
其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出单元刚度矩阵。单元分析的步骤可表示如下：
2)-(2 KF
eee
=
½áµãλÒÆÄÚ²¿¸÷µãλÒÆÓ¦±äÓ¦Á¦½áµãÁ¦
(1)µ¥Ôª·ÖÎö(4)(3)(2)2-2 有限单元法的计算步骤3、单元综合将离散化了的各个单元合成整体结构，利用结点平衡方程求出结点位移。在位移法中，主要的任务是求出基本未知量---结点位移。为此需要建立结点的平衡方程。
ijm¢Û¢Ü¢Ù¢Ú¢Û¢Û¢Ù¢Ù¢Ü¢Üiiii)1(iV
yiPxiP)e(iU)3(iV)3(iU)1(iU)4(iV)4(iU
)e(iV
(a)(b)(c)ͼ 2-9