北航有限元分析与应用第一讲
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北航有限元第一讲共88页文档
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
北航有限元第一讲4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
有限元分析及应用讲义(北理工)
有限元分析方法及应用 机电学院本科课程内部讲义北京理工大学2014目 录第一章 有限元概述 (3)1.1 有限元历史 (3)1.2 有限元的定义及基本原理 (4)1.3 有限元分析的一般流程 (6)1.4 有限元的应用范围 (7)第二章 基础知识篇 (8)2.1 外力、应力、应变和位移 (8)2.2 两类平面问题 (10)2.3 平衡微分方程 (11)2.4 几何方程 (12)2.5 物理方程 (14)2.6 边界条件 (17)2.7 弹性力学的解题方法（解析法） (18)2.8 虚功方程 (27)第三章 应用CAE篇 (31)3.1 几何清理及网格划分 (32)3.2 材料模型及单元类型 (55)3.3 边界与载荷 (56)3.4 后处理 (60)第四章 线性分析及应用篇 (62)4.1 线性静力分析基础 (62)4.2静力分析简介及步骤 (64)4.3模态分析 (71)第五章 非线性 (75)5.1 几何非线性问题的有限元法 (76)5.2 材料非线性问题的有限元法 (83)第一章有限元概述1.1 有限元历史20世纪40年代，由于航空事业的飞速发展，对飞机结构提出了愈来愈高的要求，即重量轻、强度高、刚度好，人们不得不进行精确的设计和计算，在这一背景下，逐渐在工程中产生了矩阵分析法。
结构分析的有限元方法在二十世纪五十年代到六十年代创立的。
1956年，波音公司的Turner, Clough, Martin, Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了将矩阵位移法推广到求解平面应力问题的方法，即把结构划分成一个个三角形和矩形“单元”，在单元内采用近似位移插值函数，建立了单元节点力和节点位移关系的单元刚度矩阵，并得到了正确的解答。
1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（Finite Element）这一术语。
有限元分析及应用课件
参数设置
设置材料属性、单元类型等参数。
求解过程
刚度矩阵组装
根据每个小单元的刚度，组装成全局的刚度矩阵。
载荷向量构建
根据每个节点的外载荷，构建全局的载荷向量。
求解线性方程组
使用求解器（如雅可比法、高斯消元法等）求解线性方程组，得到节点的位移。
后处理
01
结果输出
将计算结果以图形、表格等形式输 出，便于观察和分析。
有限元分析广泛应用于工程领域，如结构力学、流体动力学、电磁场等领域，用于预测和优化结构的 性能。
有限元分析的基本原理
离散化
将连续的求解域离散化为有限 个小的单元，每个单元具有特
定的形状和属性。
数学建模
根据物理问题的性质，建立每 个单元的数学模型，包括节点 力和位移的关系、能量平衡等。
求解方程
通过建立和求解线性或非线性 方程组，得到每个节点的位移 和应力分布。
PART 05
有限元分析的工程应用实 例
桥梁结构分析
总结词
桥梁结构分析是有限元分析的重要应用之一，通过模拟桥梁在不同载荷下的响应，评估 其安全性和稳定性。
详细描述
桥梁结构分析主要关注桥梁在不同载荷（如车辆、风、地震等）下的应力、应变和位移 分布。通过有限元模型，工程师可以预测桥梁在不同工况下的行为，从而优化设计或进
刚性问题
刚性问题是有限元分析中的一种 特殊问题，主要表现在模型中某 些部分刚度过大，导致分析结果 失真
刚性问题通常出现在大变形或冲 击等动态分析中，由于模型中某 些部分刚度过高，导致变形量被 忽略或被放大。这可能导致分析 结果与实际情况严重不符。
解决方案：为避免刚性问题，可 以采用多种方法进行优化，如采 用更合适的材料模型、调整模型 中的参数设置、采用更精细的网 格等。同时，可以采用多种方法 对分析结果进行验证和校核，以 确保其准确性。
设置材料属性、单元类型等参数。
求解过程
刚度矩阵组装
根据每个小单元的刚度，组装成全局的刚度矩阵。
载荷向量构建
根据每个节点的外载荷，构建全局的载荷向量。
求解线性方程组
使用求解器（如雅可比法、高斯消元法等）求解线性方程组，得到节点的位移。
后处理
01
结果输出
将计算结果以图形、表格等形式输 出，便于观察和分析。
有限元分析广泛应用于工程领域，如结构力学、流体动力学、电磁场等领域，用于预测和优化结构的 性能。
有限元分析的基本原理
离散化
将连续的求解域离散化为有限 个小的单元，每个单元具有特
定的形状和属性。
数学建模
根据物理问题的性质，建立每 个单元的数学模型，包括节点 力和位移的关系、能量平衡等。
求解方程
通过建立和求解线性或非线性 方程组，得到每个节点的位移 和应力分布。
PART 05
有限元分析的工程应用实 例
桥梁结构分析
总结词
桥梁结构分析是有限元分析的重要应用之一，通过模拟桥梁在不同载荷下的响应，评估 其安全性和稳定性。
详细描述
桥梁结构分析主要关注桥梁在不同载荷（如车辆、风、地震等）下的应力、应变和位移 分布。通过有限元模型，工程师可以预测桥梁在不同工况下的行为，从而优化设计或进
刚性问题
刚性问题是有限元分析中的一种 特殊问题，主要表现在模型中某 些部分刚度过大，导致分析结果 失真
刚性问题通常出现在大变形或冲 击等动态分析中，由于模型中某 些部分刚度过高，导致变形量被 忽略或被放大。这可能导致分析 结果与实际情况严重不符。
解决方案：为避免刚性问题，可 以采用多种方法进行优化，如采 用更合适的材料模型、调整模型 中的参数设置、采用更精细的网 格等。同时，可以采用多种方法 对分析结果进行验证和校核，以 确保其准确性。
有限元分析基础教学课件
一种基于最小势能原理的有限元分析 方法，通过将问题离散化为多个子问 题，并求解每个子问题的线性方程组 ，得到问题的近似解。
03
有限元方法
有限元方法的基本思想
划分网格
将连续的求解区域离散为有限个小的单元， 单元之间通过节点连接。
近似解法
用每个小单元上的近似函数来逼近原函数， 从而得到整个求解区域的近似解。
骤。
设定边界条件和载荷
讲述如何运行分析，包括选择求解器、设置 迭代次数、收敛判据等。
运行分析
说明如何为模型设定边界条件和施加载荷， 包括位移、力、温度等。
结果后处理
介绍如何查看和解析结果，包括位移、应力 、应变等。
有限元分析软件编程接口
软件支持的语言
介绍软件支持的编程语言，如 Fortran、C、Python等。
求解平衡方程
通过建立每个小单元上的平衡方程，结合边 界条件和初始条件，求解每个小单元的近似 解。
有限元方法的实现步骤
划分网格
将求解区域离散为有限个小的单 元，选择合适的网格划分方式， 如三角形、四边形等。
求解方程
通过求解刚度矩阵方程，得到每 个小单元的位移分布和应力分布 。
01
建立模型
根据实际问题的需求，建立合适 的数学模型，包括定义求解区域 、定义材料属性、施加边界条件 等。
变形体虚功原理
虚功原理
在变形体上引入虚位移，并计算 虚功，通过虚功等于零的条件， 求解平衡方程。
虚位移
在有限元分析中，将真实位移离 散为多个节点的位移，这些位移 称为虚位移。
最小势能原理与里茨方法
最小势能原理
在变形过程中，物体总势能的变化等 于零，即在平衡状态下，物体的总势 能达到最小值。
03
有限元方法
有限元方法的基本思想
划分网格
将连续的求解区域离散为有限个小的单元， 单元之间通过节点连接。
近似解法
用每个小单元上的近似函数来逼近原函数， 从而得到整个求解区域的近似解。
骤。
设定边界条件和载荷
讲述如何运行分析，包括选择求解器、设置 迭代次数、收敛判据等。
运行分析
说明如何为模型设定边界条件和施加载荷， 包括位移、力、温度等。
结果后处理
介绍如何查看和解析结果，包括位移、应力 、应变等。
有限元分析软件编程接口
软件支持的语言
介绍软件支持的编程语言，如 Fortran、C、Python等。
求解平衡方程
通过建立每个小单元上的平衡方程，结合边 界条件和初始条件，求解每个小单元的近似 解。
有限元方法的实现步骤
划分网格
将求解区域离散为有限个小的单 元，选择合适的网格划分方式， 如三角形、四边形等。
求解方程
通过求解刚度矩阵方程，得到每 个小单元的位移分布和应力分布 。
01
建立模型
根据实际问题的需求，建立合适 的数学模型，包括定义求解区域 、定义材料属性、施加边界条件 等。
变形体虚功原理
虚功原理
在变形体上引入虚位移，并计算 虚功，通过虚功等于零的条件， 求解平衡方程。
虚位移
在有限元分析中，将真实位移离 散为多个节点的位移，这些位移 称为虚位移。
最小势能原理与里茨方法
最小势能原理
在变形过程中，物体总势能的变化等 于零，即在平衡状态下，物体的总势 能达到最小值。
有限元分析与应用——第一章 PPT课件
0
0
k2u2 k2u3 k3u3 k3u4
k3u3 k3u4 k4u4 k4u5 0
k4u4 k4u5 P
写成矩阵的形式为
k1
=
k1 k1 k2 k2 0 0
k1 k1 0 0 0
0 k2 k 2 k3 k3 0
k1 k1 k2 k2 0 0
有限元方法与ANSYS简介
有限元方法是用于求解工程中各类问题的数值方法，应 力分析中稳态的、瞬态的、线性的或非线性的问题以及热传导、 流体流动和电磁学中的问题都可以用有限元方法进行分析解决。 现代有限元方法的20世纪早期开始，20世纪50年代，boeing公司 采用三角元对机翼进行建模，推动了有限元方法的应用。到20 世纪60年代，人们接受了“有限元”这个词。 ANSYS是一个通用的有限元计算机程序，其代码长度超 过10万行。应用ANSYS可以进行静态、动态、热传导、流体流 动和电磁学等分析。在过去的20多年里，ANSYS是主要的有限 元分析程序。现在ANSYS被广泛应用在如航天、汽车、电子、 核科学等领域。
第一章 概述
有限元方法是广泛用于解决应力分析、热传 递、电磁场和流体力学等工程问题的数值方 法。
本章的内容
（1）工程问题 （2）数值方法 （3）有限元方法与ANSYS简介 （4）有限元方法的基本步骤 （5）直接公式法 （6）最小总势能公式 （7）加权余数法 （8）结果的验证 （9）理解问题
工程问题
0
R1 0 0 0 0
0 k2 k 2 k3 k3 0
0 k3 k3 k 4 k4
0 u1 0 0 u 2 0 0 u3 0 k4 u 4 0 k4 P u5
有限元分析基础课件第一章
物体离散化 将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型， 这一步称作单元剖分。 离散后单元于单元之间利用单元的节点相互连接起来； 单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描 述变形形态的需要和计算进度而定。 用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划 分单元数目非常多而又合理，则所获 得的结果就与实 际情况相符合。
1956年Turener和Clough等用有限元法第一次得 出了平面应力问题的正确答案。 1960年Clough又进一步应用有限元法处理了平面弹 性问题，并提出了有限元法的名称，这才使得有限元 法的理论和应用都得到了迅速发展。 20世纪70年代以后，随着计算机和软件技术的发展 有限元法得到了迅猛的发展。
对于实际的连续结构，任何位置的物体都是相 互连接、相互作用的，而在被离散成有限元模型 后，假设相邻单元除节点外都是不相互连接、不相 互作用的，这一点是不符合实际的，但当单元趋近 无限小、节点无限多时，则这种离散结构将趋近于 实际的连续结构。 有限元法的离散处理的本质就是将原始的无限 自由度的连续体物理系统转换成由有限个节点自由 度组成的离散系统，且当所分割的单元无限小时， 该离散系统完全等价于原始的连续系统。
有限元基础理论
与ANSYS应用
CAD/CAE/CAM：CAD 工具用于产品结构设计，形 成产品的数字化模型，有限元法则用于产品性能的分 析与仿真，帮助设计人员了解产品的物理性能和破坏 的可能原因，分析结构参数对产品性能的影响，对产 品性能进行全面预测和优化；帮助工艺人员对产品的 制造工艺及试验方案进行分析设计。当前，有限元法 在产品开发中的作用，已从传统的零部件分析、校核 设计模式发展为与计算机辅助设计、优化设计、数字 化制造融为一体的综合设计。
增强可视化的前置建模和后置数据处理功能 目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很强 的前置建模和后置数据处理模块。使用户能以可视图 形方式直观快速地进行网格自动划分，生成有限元分 析所需数据，并按要求将大量的计算结果整理成变形 图、等值分布云图，便于极值搜索和所需数据的列表 输出。
有限元分析及应用-工程硕士-第1讲
有限元分析及应用 胡于进
有限元法基本思想
离散化是分析的基础。有限 元法可以模型化任何复杂几 何形状的物体或求解区域， 离散精度高。如右图，齿轮 轮齿模型。有限元法可采用 变密度的网格，很好地逼近 了原始的轮廓形状，齿根部 位的应力集中也可通过网格 加密来提高计算精度。
a) 差分法离散
y c3
b) 有限元法离散
u3 3 R3
1
2
1、结构离散
y
F11
l1
u2 2
F21
l2
1 u1 ○
1）杆单元 2）截面尺寸不同离散为不 同的杆单元 3）局部坐标
1
l1
x
y
F22
2 u2 ○
2 u3 F3
2
3
l2
x
有限元分析及应用
胡于进
有限元法分析实例 y
2、单元分析 1）位移函数 单元1为例
F11
1 u1 ○
u2 2
F21
有限元分析及应用 胡于进
直接实验模型 相似实验模型 试验
典型工程问题物理模型
有限元分析及应用
胡于进
典型工程问题的数学模型
弹性力学问题 热传导问题 流体力学问题 电磁场问题 多场耦合问题 边界条件
有限元分析及应用
应力场 温度场 流速场 电磁场 力-热等 偏微分方程边值问题
胡于进
偏微分方程
典型工程问题的数学描述
A、由势能变分原理（势能最小原理）得 势能变分，整理得平衡方程
∂Π1 ∂Π1 = 0= , 0 ∂u1 ∂u2
1 A1 E 1 −1 u1 F1 = 1 l1 −1 1 u2 F2
有限元分析及应用
胡于进
有限元法基本思想
离散化是分析的基础。有限 元法可以模型化任何复杂几 何形状的物体或求解区域， 离散精度高。如右图，齿轮 轮齿模型。有限元法可采用 变密度的网格，很好地逼近 了原始的轮廓形状，齿根部 位的应力集中也可通过网格 加密来提高计算精度。
a) 差分法离散
y c3
b) 有限元法离散
u3 3 R3
1
2
1、结构离散
y
F11
l1
u2 2
F21
l2
1 u1 ○
1）杆单元 2）截面尺寸不同离散为不 同的杆单元 3）局部坐标
1
l1
x
y
F22
2 u2 ○
2 u3 F3
2
3
l2
x
有限元分析及应用
胡于进
有限元法分析实例 y
2、单元分析 1）位移函数 单元1为例
F11
1 u1 ○
u2 2
F21
有限元分析及应用 胡于进
直接实验模型 相似实验模型 试验
典型工程问题物理模型
有限元分析及应用
胡于进
典型工程问题的数学模型
弹性力学问题 热传导问题 流体力学问题 电磁场问题 多场耦合问题 边界条件
有限元分析及应用
应力场 温度场 流速场 电磁场 力-热等 偏微分方程边值问题
胡于进
偏微分方程
典型工程问题的数学描述
A、由势能变分原理（势能最小原理）得 势能变分，整理得平衡方程
∂Π1 ∂Π1 = 0= , 0 ∂u1 ∂u2
1 A1 E 1 −1 u1 F1 = 1 l1 −1 1 u2 F2
有限元分析及应用
胡于进
有限元分析——_课件
John Swanson 博士创建，是目前世界CAE行业最大公 司。
1.2.2 ANSYS10.0 创新之处 1.2.3 ANSYS 10.0 使用环境
ANSYS及ANSYS/LS-DYNA程序可运行与PC机、 NT工作站、UNIX工作站及巨型计算机等各类计算机 及操作系统中，其数据文件在其所有的产品系列和工 作平台上均兼容。并与多种CAD软件共享数据。
2. ANSYS/Structural：通过利用其先进的非线性功能， 该模块可进行高目标的结构分析，具体包括：几何非 线性、材料非线性、单元非线性及屈曲分析。该模块 可以使用户精确模拟大型复杂结构的性能。
3. ANSYS/Linear plus：该模块是从ANSYS/Structural派 生出来的，一个线性结构分析选项，可用于线性的静 态、动态及屈曲分析，非线性分析仅包括间隙元和板/ 梁大变形分析。
4. ANSYS/Thermal：该模块同样是从ANSYS/Mechanical 中派生出来的，是一个可单独运行的热分析程序，可 用于稳态及瞬态热分析。
5. ANSYS/Flotran：该程序是个灵活的CFD软件，可求解 各种流体流动问题，具体包括：层流、紊流、可压缩 流及不可压缩流等。通过与ANSYS/Mechanical耦合， ANSYS/FLOTRAN 是 唯 一 一 个 具 有 设 计 优 化 能 力 的 CFD软件，并且能提供复杂的多物理场功能。
8. ANSYS/ED：该模块是一个功能完整的设计模拟程序， 它拥有ANSYS隐式产品的全部功能，只是解题规模受 到了限制（目前节点数1000）。该软件可独立运行， 是理想的培训教学软件。
9. ANSYS/LS-DYNA：该程序是一个显示求解软件，可 解决高度非线性结构动力问题。该程序可模拟板料成 形、碰撞分析、涉及大变形的冲击、非线性材料性能 以及多物体接触分析，它可以加入第一类软件包中运 行，也可以单独运行。
1.2.2 ANSYS10.0 创新之处 1.2.3 ANSYS 10.0 使用环境
ANSYS及ANSYS/LS-DYNA程序可运行与PC机、 NT工作站、UNIX工作站及巨型计算机等各类计算机 及操作系统中，其数据文件在其所有的产品系列和工 作平台上均兼容。并与多种CAD软件共享数据。
2. ANSYS/Structural：通过利用其先进的非线性功能， 该模块可进行高目标的结构分析，具体包括：几何非 线性、材料非线性、单元非线性及屈曲分析。该模块 可以使用户精确模拟大型复杂结构的性能。
3. ANSYS/Linear plus：该模块是从ANSYS/Structural派 生出来的，一个线性结构分析选项，可用于线性的静 态、动态及屈曲分析，非线性分析仅包括间隙元和板/ 梁大变形分析。
4. ANSYS/Thermal：该模块同样是从ANSYS/Mechanical 中派生出来的，是一个可单独运行的热分析程序，可 用于稳态及瞬态热分析。
5. ANSYS/Flotran：该程序是个灵活的CFD软件，可求解 各种流体流动问题，具体包括：层流、紊流、可压缩 流及不可压缩流等。通过与ANSYS/Mechanical耦合， ANSYS/FLOTRAN 是 唯 一 一 个 具 有 设 计 优 化 能 力 的 CFD软件，并且能提供复杂的多物理场功能。
8. ANSYS/ED：该模块是一个功能完整的设计模拟程序， 它拥有ANSYS隐式产品的全部功能，只是解题规模受 到了限制（目前节点数1000）。该软件可独立运行， 是理想的培训教学软件。
9. ANSYS/LS-DYNA：该程序是一个显示求解软件，可 解决高度非线性结构动力问题。该程序可模拟板料成 形、碰撞分析、涉及大变形的冲击、非线性材料性能 以及多物体接触分析，它可以加入第一类软件包中运 行，也可以单独运行。
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1956年M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽约举行 的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到 求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单 元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系 的单元刚度矩阵。
KR
kk4 3 113 3 kk1 22 21 1 kk4 3 114 4 kk1 22 22 2u v2 2X Y22
实例2 （连续问题）
通过材料力学求解和有限元求解进行比较 例：等截面直杆在自重作用下的拉伸 图(a)
单位杆长重量为q，杆长为L，截面面积为A，弹性模数为E
x L
0
u
N
N
L
3
5 qa2
我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其 中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理）， 钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限 单元法理论）。遗憾的是，从1966年开始的近十年期间，我国的研究 工作受到阻碍。
有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程 问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展， 为工程设计和优化提供了有力的工具。
有限元法是一种数值计算方法。可广泛应用于各种微分方程描述 的场问题的求解。
1-6 有限元法的几个热点问题
• 新型单元的研究
1、面向特性材料（如复合材料）的单元位移模式研究 2、面向几何设计的新型单元（如超单元）的研究
• 面向物理问题的有限元建模
如有限元建模专家系统、决策支持系统、网格划分算法 等
• 有限元法计算速度的研究
u
1 2
k
1 14
v
1 2
F
1 y1
k
1 2
1
u
1 1
k
1 2
2
v
1 1
k
1 2
3
u
1 2
k
1 2
4
v
1 2
F
1 x2
k
1 3
1
u
1 1
k
1 3
2
v
1 1
k
1 33
u
1 2
k
1 3
4
v
1 2
F
1 y2
k
1 4
1
u
1 1
k
1 4
2
v
1 1
k
1 4
3
u
1 2
k
1 4
4
v
1 2
记为矩阵形式:
• 单元2节点力平衡方程
1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理 和结构分析论文。
1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（finite element）这一术语。
1-5 有限单元法的形成与发展
数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变 分原理和加权余量法。
在 1963 年 前 后 ， 经 过 J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限元法 就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理 导出的有限元计算公式。
1-3 有限元法基本思想
节点
vm
m (xm ym )
um
vi ui
vj
单元
y i( xi yi)
uj
j(x j y j) x
Y2
实例1(离散系统)结构离散 2 X 2
①
• 节点位移向量表示：
{1}[u1 1,v1 1,u1 2,v1 2]T
1
• 节点力向量表示：
{F1}[F x1 1,F y1 1,F x12,F y 12]T
i-1 i i+1
n-1 n
图 2-2
i-1
Li
i q (Li Li1)
Li1
2
i+1
图 2-3
实例2 （单元分析）
有限单元法求解直杆拉伸：
3、假设线单元上的位移为线性函数
x xi1
i-1
Li
i
u
u i1 u (x) ui
X 图 2-4
uu(x)ui1ui Liui1(XXi1)
εx
du ui dX
F 1
K
1
1
F2 K22
实例1（整体分析）
• 整体分析： 作用于每个节点上的节点力平 衡，即
Fxe1Xi
e1
Fye1Yi
e1
• 结合前式推导得：
kk121111
k112 k212
k113 k213
k114 k214
0 0 u1 X1
0
0
v1
Y1
kk341111
k312 k412
1-4 有限元法的基本步骤 力学模型
P
(平面应力问题)
• 所研究问题的数
学建模
• 物体离散
• 单元分析
• 整体分析与求解
• 结果分析及后处 理
P
有限元模型
1-5 有限单元法的形成与发展
在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两种不同 的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可以回顾 到二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师 对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标 准离散系统与人为分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相 似性。
有限元分析及应用
Finite Element Analysis and Application
第一章 绪论
1-1 工程和科学中典型问题
在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。第一类问题， 可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、 建筑结构框架和桁架结构。把这类问题称为离散系统。如左图所示 平面桁架结构，是由6个承受轴向力的“杆单元”组成。尽管离散系 统是可解的，但是求解右图这类复杂的离散系统，要依靠计算机技 术。
2 u2 3 u3
图 2-6
假设线单元数为3个的情况，
平衡方程有3个：
i=1时，
2 u1
u2
q a2 EA
i=2时,
i=3时，
联立解得
u
1
5 2
qa2 EA
u12u2u3EqAa2
பைடு நூலகம்
u2 u3
q a2 2 EA
u
2
8 2
qa 2 EA
9 qa2 u 3 2 EA
与材料力学的精确解答在结点处完全相同
1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能写成 变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤 求解。
1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin 法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。
1-5 有限单元法的形成与发展
1-2 场问题的一般描述
---微分方程+边界条件
1) 应力场----弹性力学 2) 温度场----热传导
y
3) 电磁场----电磁学 x
4) 流速场----流体力学
A、B----微分算子（如对坐 标或时间的微分）
u----未知场函数，可为标量 场（如温度），也可为矢 量场（如位移、应变、应 力等）
A1(u) A(u)=A2(u) 0
...
B(u) BB12((uu))0 ...
在内 在上
实例：二维热传导（稳态）问题
•原理：从两个方向传入微元体的热量与微元体内热源 产生的热量Q平衡
• 基本方程：
A ( )(k ) (k ) Q 0 内 x x y y
• 边界条件：
0 上
v
1 2
F y12
• 节点1沿x方向的位
2
移 移 为全：(uE11l1为A)10、l时1 其轴E余A向cl节1o压s点力位1v11Fy11u11
①
F x11
u
1 2
F x12
②
3
F
2 y2
2
F x22
②
F y23
3
F x23
实例1（单元分析）
• 节点1作用于单元1上的力，在x和y方向的分量分别为：
1-1工程和科学中典型问题
第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程 和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题 等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问 题称为连续系统，或场问题。
尽管已经建立了连续系统 的基本方程，由于边界条件 的限制，通常只能得到少数 简单问题的精确解答。对于 许多实际的工程问题，还无 法给出精确的解答，例如图 示 V6 引 擎 在 工 作 中 的 温 度 分 布。为解决这个困难，工程 师们和数学家们提出了许多 近似方法。
将位移和内力的关系代入得
ui-1(1i)uiiui 12E qA (11 i)L i2
用结点位移表示的平衡方程，其中i=1，2，… n有n个方程
未知数也有n个，解方程组，得出结点位移，进而计算应力
实例2 （整体分析与求解）
有限单元法求解直杆拉伸：
L1 a L2 a L3 a
0 u0 1 u1
k313 k121 k413 k221
k311 k122 k414 k222
k123 k223
k124 k224
KR
kk4 3 113 3 kk1 22 21 1 kk4 3 114 4 kk1 22 22 2u v2 2X Y22
实例2 （连续问题）
通过材料力学求解和有限元求解进行比较 例：等截面直杆在自重作用下的拉伸 图(a)
单位杆长重量为q，杆长为L，截面面积为A，弹性模数为E
x L
0
u
N
N
L
3
5 qa2
我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其 中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理）， 钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限 单元法理论）。遗憾的是，从1966年开始的近十年期间，我国的研究 工作受到阻碍。
有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程 问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展， 为工程设计和优化提供了有力的工具。
有限元法是一种数值计算方法。可广泛应用于各种微分方程描述 的场问题的求解。
1-6 有限元法的几个热点问题
• 新型单元的研究
1、面向特性材料（如复合材料）的单元位移模式研究 2、面向几何设计的新型单元（如超单元）的研究
• 面向物理问题的有限元建模
如有限元建模专家系统、决策支持系统、网格划分算法 等
• 有限元法计算速度的研究
u
1 2
k
1 14
v
1 2
F
1 y1
k
1 2
1
u
1 1
k
1 2
2
v
1 1
k
1 2
3
u
1 2
k
1 2
4
v
1 2
F
1 x2
k
1 3
1
u
1 1
k
1 3
2
v
1 1
k
1 33
u
1 2
k
1 3
4
v
1 2
F
1 y2
k
1 4
1
u
1 1
k
1 4
2
v
1 1
k
1 4
3
u
1 2
k
1 4
4
v
1 2
记为矩阵形式:
• 单元2节点力平衡方程
1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理 和结构分析论文。
1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（finite element）这一术语。
1-5 有限单元法的形成与发展
数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变 分原理和加权余量法。
在 1963 年 前 后 ， 经 过 J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限元法 就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理 导出的有限元计算公式。
1-3 有限元法基本思想
节点
vm
m (xm ym )
um
vi ui
vj
单元
y i( xi yi)
uj
j(x j y j) x
Y2
实例1(离散系统)结构离散 2 X 2
①
• 节点位移向量表示：
{1}[u1 1,v1 1,u1 2,v1 2]T
1
• 节点力向量表示：
{F1}[F x1 1,F y1 1,F x12,F y 12]T
i-1 i i+1
n-1 n
图 2-2
i-1
Li
i q (Li Li1)
Li1
2
i+1
图 2-3
实例2 （单元分析）
有限单元法求解直杆拉伸：
3、假设线单元上的位移为线性函数
x xi1
i-1
Li
i
u
u i1 u (x) ui
X 图 2-4
uu(x)ui1ui Liui1(XXi1)
εx
du ui dX
F 1
K
1
1
F2 K22
实例1（整体分析）
• 整体分析： 作用于每个节点上的节点力平 衡，即
Fxe1Xi
e1
Fye1Yi
e1
• 结合前式推导得：
kk121111
k112 k212
k113 k213
k114 k214
0 0 u1 X1
0
0
v1
Y1
kk341111
k312 k412
1-4 有限元法的基本步骤 力学模型
P
(平面应力问题)
• 所研究问题的数
学建模
• 物体离散
• 单元分析
• 整体分析与求解
• 结果分析及后处 理
P
有限元模型
1-5 有限单元法的形成与发展
在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两种不同 的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可以回顾 到二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师 对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标 准离散系统与人为分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相 似性。
有限元分析及应用
Finite Element Analysis and Application
第一章 绪论
1-1 工程和科学中典型问题
在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。第一类问题， 可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、 建筑结构框架和桁架结构。把这类问题称为离散系统。如左图所示 平面桁架结构，是由6个承受轴向力的“杆单元”组成。尽管离散系 统是可解的，但是求解右图这类复杂的离散系统，要依靠计算机技 术。
2 u2 3 u3
图 2-6
假设线单元数为3个的情况，
平衡方程有3个：
i=1时，
2 u1
u2
q a2 EA
i=2时,
i=3时，
联立解得
u
1
5 2
qa2 EA
u12u2u3EqAa2
பைடு நூலகம்
u2 u3
q a2 2 EA
u
2
8 2
qa 2 EA
9 qa2 u 3 2 EA
与材料力学的精确解答在结点处完全相同
1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能写成 变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤 求解。
1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin 法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。
1-5 有限单元法的形成与发展
1-2 场问题的一般描述
---微分方程+边界条件
1) 应力场----弹性力学 2) 温度场----热传导
y
3) 电磁场----电磁学 x
4) 流速场----流体力学
A、B----微分算子（如对坐 标或时间的微分）
u----未知场函数，可为标量 场（如温度），也可为矢 量场（如位移、应变、应 力等）
A1(u) A(u)=A2(u) 0
...
B(u) BB12((uu))0 ...
在内 在上
实例：二维热传导（稳态）问题
•原理：从两个方向传入微元体的热量与微元体内热源 产生的热量Q平衡
• 基本方程：
A ( )(k ) (k ) Q 0 内 x x y y
• 边界条件：
0 上
v
1 2
F y12
• 节点1沿x方向的位
2
移 移 为全：(uE11l1为A)10、l时1 其轴E余A向cl节1o压s点力位1v11Fy11u11
①
F x11
u
1 2
F x12
②
3
F
2 y2
2
F x22
②
F y23
3
F x23
实例1（单元分析）
• 节点1作用于单元1上的力，在x和y方向的分量分别为：
1-1工程和科学中典型问题
第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程 和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题 等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问 题称为连续系统，或场问题。
尽管已经建立了连续系统 的基本方程，由于边界条件 的限制，通常只能得到少数 简单问题的精确解答。对于 许多实际的工程问题，还无 法给出精确的解答，例如图 示 V6 引 擎 在 工 作 中 的 温 度 分 布。为解决这个困难，工程 师们和数学家们提出了许多 近似方法。
将位移和内力的关系代入得
ui-1(1i)uiiui 12E qA (11 i)L i2
用结点位移表示的平衡方程，其中i=1，2，… n有n个方程
未知数也有n个，解方程组，得出结点位移，进而计算应力
实例2 （整体分析与求解）
有限单元法求解直杆拉伸：
L1 a L2 a L3 a
0 u0 1 u1
k313 k121 k413 k221
k311 k122 k414 k222
k123 k223
k124 k224