高中数学教学论文 《高考数学填空题的解法》

高考数学填空题的解法填空题是数学高考的三种基本题型之一，其求解方法分为：直接运算推理法、赋值计算法、规律发现法、数形互助法等等. 解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求. 下面将按知识分类加以例说.1. 函数与不等式例1 已知函数()1+=x x f ，则()._______31=-f讲解 由13+=x ，得()431==-x f，应填4.请思考为什么不必求()x f1-呢？例2 集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈-<≤-=Nx x M x ,2110log 11的真子集的个数是.______ 讲解 {}{}N x x x x M ∈<≤=∈<≤=,10010N x 2,lgx 1，显然集合M 中有90个元素，其真子集的个数是1290-，应填1290-.快速解答此题需要记住小结论;对于含有n 个元素的有限集合,其真子集的个数是.122- 例3 若函数()[]b a x x a x y ,,322∈+-+=的图象关于直线1=x 对称，则._____=b讲解 由已知抛物线的对称轴为22+-=a x ,得 4-=a ，而12=+ba ，有6=b ，故应填6. 例4 如果函数()221x x x f +=，那么()()()()._____4143132121=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++f f f f f f f讲解 容易发现()11=⎪⎭⎫ ⎝⎛+t f t f ，这就是我们找出的有用的规律，于是 原式＝()2731=+f ，应填.27 本题是2002年全国高考题，十分有趣的是，2020年上海春考题中也有一道类似题：设()221+=xx f ，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得()()()()().______650f 45=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-f f f f2. 三角与复数例5 已知点P ()ααcos ,tan 在第三象限，则角α的终边在第____象限. 讲解 由已知得⎩⎨⎧<>⇒⎩⎨⎧<<,0cos ,0sin ,0cos ,0tan αααα 从而角α的终边在第二象限，故应填二.例6 不等式()120lg cos 2≥x（()π,0∈x ）的解集为__________.讲解 注意到120lg >，于是原不等式可变形为 .0cos 0cos 2≥⇔≥x x 而π<<x 0，所以20π≤<x ，故应填.20⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤<R x x x ，π例7 如果函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8π-=x 对称，那么._____=a讲解 ()ϕ++=2sin 12a y ，其中a =ϕtan .Θ8π-=x 是已知函数的对称轴，282ππϕπ+=+⎪⎭⎫⎝⎛-∴k ，即Z k k ∈+=，43ππϕ， 于是 .143tan tan -=⎪⎭⎫⎝⎛+==ππϕk a 故应填 1-. 在解题的过程中，我们用到如下小结论：函数()ϕω+=x A y sin 和()ϕω+=x A y cos 的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形.例8 设复数⎪⎭⎫⎝⎛<<+=24cos sin 21πθπθθz 在复平面上对应向量1OZ ，将1OZ 按顺时针方向旋转43π后得到向量2OZ ，2OZ 对应的复数为()ϕϕsin cos 2i r z +=，则.____tan =ϕ 讲解 应用复数乘法的几何意义，得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=43sin 43cos12ππi z z ()()[]i θθθθcos sin 2cos sin 222++--=， 于是 ，1tan 21tan 2cos sin 2cos sin 2tan -+=+-=θθθθθθϕ故应填 .1tan 21tan 2-+θθ例9 设非零复数y x ,满足 022=++y xy x ，则代数式 20052005⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y y x x 的值是____________.讲解 将已知方程变形为 112=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x y x ，解这个一元二次方程，得.2321ω=±-=i y x 显然有231,1ωωω-=+=, 而166832005+⨯=,于是原式＝()()200520052005111ωωω+++＝()()20052200521ωωω-+-＝.112=-+ωω在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重视.3. 数列、排列组合与二项式定理例10 已知{}n a 是公差不为零的等差数列，如果n S 是{}n a 的前n 项和，那么._____lim =∞→nnn S na讲解 特别取n a n =，有()21+=n n S n ，于是有().211212lim lim lim 2=+=+=∞→∞→∞→nn n n S na n n n n n 故应填2. 例11 数列{}n a 中，()⎪⎩⎪⎨⎧-=是偶数），（是奇数，n n a n n n 5251n n a a a S 2212+⋅⋅⋅++=, 则.________2lim =∞→nn S讲解 分类求和，得()()，n n n a a a a a a S 24212312+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=-Θ∴8151152511512222lim =--+-=∞→nn S ，故应填81．例12有以下四个命题：①()；〉3122≥+n n n②()；1226422≥++=+⋅⋅⋅+++n n n n ③凸n 边形内角和为()()()；31≥-=n n n f π ④凸n 边形对角线的条数是()()().422≥-=n n n n f其中满足“假设()0,k k N k k n ≥∈=时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当0n n =（0n 是题中给定的n 的初始值）时命题成立”的命题序号是 .讲解 ①当n=3时，13223+⨯>，不等式成立；② 当n=1时，21122++≠，但假设n=k 时等式成立，则()()()()2111221264222++++=++++=++⋅⋅⋅+++k k k k k k ；③ ()()π133-≠f ，但假设()()π1-=k k f 成立，则 ()()()[]；ππ111-+=+=+k k f k f④ ()()22444-≠f ，假设()()22-=k k k f 成立，则()()()()()[].221131-++≠-+=+k k k k f k f故应填②③.例13 某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为 .讲解 中奖号码的排列方法是： 奇位数字上排不同的奇数有35P 种方法，偶位数字上排偶数的方法有35，从而中奖号码共有3355⨯P 种，于是中奖面为%,75.0%10010000005335=⨯⨯P故应填%.75.0例14 ()()7221-+x x 的展开式中3x 的系数是.__________讲解 由()()()()772722221-+-=-+x x x x x 知，所求系数应为()72-x 的x 项的系数与3x 项的系数的和，即有()()，100822447667=-+-C C故应填1008.4. 立体几何例15 过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是________.讲解 长方体的对角线就是外接球的直径R 2, 即有(),505434222222=++==R R从而 ππ5042==R S 球，故应填.50π例16 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写出一个可能的值）．讲解 本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为：611,1211 ,1214，故应填.611、1211 、1214 中的一个即可. 例17 如右图，E 、F 分别是正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是.（要求：把可能的图的序号都填上）讲解 因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD 、面ABB 1A 1、面ADD 1A 1上的射影.四边形BFD 1E 在面ABCD 和面ABB 1A 1上的射影相同，如图○2所示； 四边形BFD 1E 在该正方体对角面的ABC 1D 1内，它在面ADD 1A 1上的射影显然是一条线段，如图○3所示. 故应填○2○3.5.解析几何例18 直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标是___________.讲解 由⎩⎨⎧=-=xy x y 4,12消去y ，化简得 ,0162=+-x x设此方程二根为21x x ，，所截线段的中点坐标为()00y x ，，则.213200210=-==+=x y x x x ，故应填(3,2).例19 椭圆125922=+y x 上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则当m 取最大值时，点P 的坐标是_____________________.○1 ○2 ○3 ○4 A B D CE F A 1B 1C 1D 1讲解 记椭圆的二焦点为21F F ，，有,10221==+a PF PF则知 .25222121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≤⋅=PF PF PF PF m 显然当521==PF PF ，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.故应填()0,3-或().0,3例20 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是()20022≤≤=y x y ，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的取值范围是___________.讲解 依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y 轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为 ().222r r y x =-+由 ()⎪⎩⎪⎨⎧==-+，，22222x y r r y x 消去x ，得 ()0122=-+y r y （*）解出 0=y 或().12r y -= 要使（*）式有且只有一个实数根0=y ，只要且只需要(),012≤-r 即.1≤r再结合半径0>r ，故应填.10≤<r填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要把关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.。