计算方法公式总结

计算方法公式总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 计算方法公式总结 绪论 绝对误差 exx，x为准确值，x为近似值。

绝对误差限 ||||exx，ε为正数，称为绝对误差限

相对误差*rxxeexx 通常用rxxeexx表示相对误差 相对误差限||rre或||rre 有效数字

一元函数y=f（x） 绝对误差 '()()()eyfxex

相对误差 ''()()()()()()()rreyfxexxfxeyexyyfx 二元函数y=f（x1,x2） 绝对误差 12121212(,)(,)()fxxfxxeydxdxxx 相对误差1211221212(,)(,)()()()rrrfxxxfxxxeyexexxyxy 机器数系 注：1. β≥2，且通常取2、4、6、8 2. n为计算机字长 3. 指数p称为阶码（指数），有固定上下限L、U

4. 尾数部 120.nsaaa，定位部p

5. 机器数个数112(1)(1)nUL 机器数误差限 舍入绝对 1|()|2npxflx 截断绝对|()|npxflx 舍入相对1|()|1||2nxflxx 截断相对1|()|||nxflxx

秦九韶算法

方程求根

()()()mfxxxgx，()0gx，*x为f（x）=0的m重根。

二分法 迭代法 1()0()kkfxxx k=0、1、2……

{}kx为迭代序列，()x为迭代函数，

**lim{}()kkxxx

局部收敛 注：如果知道近似值，可以用近似值代替根应用定理3判断是否局部收敛 6

牛顿迭代法 '()()()()0kkkfxfxfxxx

1'()(0,1,2,)()kkkkfxxxkfx 注：牛顿迭代对单根重根均局部收敛，只要初值足够靠近真值。

牛顿迭代法对初值要求很高，要保证初值在较大范围内也收敛，加如下四个条件 7

注：证明牛顿迭代法大范围收敛性，要构造一个区间[ε,M(ε)],其中'()()()fMf,在这个区间内验证这四个条件。

如果知道根的位置，构造[ε，M（ε）]时应该包括根，即ε+常数

线性方程组求解 有两种方法：消去法和迭代法 高斯消去法 利用线性代数中初等行变换将增广矩阵转化为等价上三角矩阵。 注意：第一行第一列为0，将第一列不为0的某一行与第一行交换位置，继续初等行变换。 对角占优矩阵 111212122212nn

nnnn

aaaaaaAaaa



1||||(1,2,,)niiijjjiaain

则称A为按行严格对角占优矩阵

1||||(1,2,,)njjijiijaajn

 则称A为按列严格对角占优矩阵

(1,)ijjiaaijn,0,(,)0nxRxxAx 则称A是对称正定的。 当A是上面三种情况时，用高斯消去法消元时0kka，不用换行。 追赶法是高斯消元法的一种特例 9 列主元高斯消元法 10

当()()||max||kkskikkinaa，即第k次消元把k~n行第k列绝对值最大的行（s行）调到第k行，再进行高斯消元。 11 12 迭代序列构造 (1)()kkAxbxBxfxBxf

第三个等式为迭代序列，B为迭代矩阵。 迭代收敛判别 1. 充分条件：迭代矩阵范数小于1，1B 结论：Ax=b有唯一解x*

2. 充要条件：迭代矩阵谱半径小于1,()1B Jacobi迭代法 ALDU其中L（low）为下三角，U为上三角，D为对角线元

素

迭代格式：(1)1()1()kkxDLUxDb

迭代矩阵1()JDLU 收敛性判据：

1||0||||0||0•IJDLDULDU

求出最大值小于1（J的谱半径小于1）即迭代格式收敛. Gauss-Seidel迭代法 迭代格式

(1)1(1)()()kkkxDLxUxb

(1)1()1()()kkxDLUxDLb

迭代矩阵：1()GDLU

常数矩阵：1()gDLb 14

收敛性判据： 1||0|()||()|0|()|0•IGDLDLUDLU

求出最大值小于1（G的谱半径小于1）即迭代格式收敛. 结论：当A是严格对角占优的，则Jacobi和Gauss-Seidal迭代法均是收敛的

插值法 用插值多项式p（x）代替被插函数f(x) 插值多项式：01()nnPxaaxax， n+1个点()(0)iiPxyin

插值区间：[,]ab，插值点满足01naxxxb

求插值多项式P（x），即求多项式系数的过程为插值法 带入可知求系数的插值点行列式为范德蒙行列式，不为0，有唯一解。即n+1插值条

件对应的不超过n次的插值函数P（x）只有一个。 一次线性插值01

1010011

0110

()()()xxxxPxyyylxylxxxxx



000()()()()()niinikiknikiikkiiikxxxxlxxxxx







Lagrange插值多项式

000()()()nnninkkkikkkiikxxLxylxyxx







插值余项 非插值节点上Lagrange插值多项式为被插函数f(x)的近似值 (1)0()()()()()(1)!nnnniifRxfxLxxxn



(,)ab 带导数插值条件的余项估计 16

注：推导过程用罗尔中值定理构造辅助函数1()()()()nntRtKxWt

 17

第二条性质用于可以证明阶数不大于n的f(x)的插值余项为0. 差商和Newton插值法 记忆方法：先记分母，最后一个减去第一个，对应的分子第一项是最后一个临近 k元素的差商，第二项是第一个临近k个元素的差商。

牛顿插值多项式 通常记作Nn（x） 分段样条插值

分段二次样条插值 讨论n为奇偶情况时的三个点 余项估计式

三次样条插值函数

第一类边界条件（端点一阶导数已知） 20 D0等于第一个式子，dn等于第二个式子

自然边界条件（端点二阶导数已知 二阶导数和M0，Mn=0）

曲线拟合 最小二乘原理 函数关于n个点线性无关 21 注：线性无关的函数为231,,,,,nxxxx才是最小二乘多项式 注：记住公式即可。 数值积分和数值微分

kx为求积节点，kA为求积系数。

插值求积公式 24 梯形公式

Simpson公式 Cotes公式 25

截断误差

代数精度 当f(x)为不超过m次多项式时上式成立，f（x）为m+1多项式时上式不成立。则称为求积公式有m次代数精度。

梯形公式代数精度为1，Simpson公式代数精度为3，Cotes公式代数精度为5 截断误差 梯形公式 27

Simpson公式 Cotes公式 Gauss求积公式 求积公式代数精度为2n+1 [-1,1]上的两点Gauss公式（3次代数精度） 1111()()()33fxdxff

[-1,1]上的三点Gauss公式（5次代数精度） 28

1153853()()(0)()95995fxdxfff

记住kkxt，kkAA的关系，ktkA查表即可 29 复化梯形公式2阶，复化Simpson公式4阶，复化Cote公式6阶 计算机通过不断把区间二分，所得前后两次积分差值满足精度条件即可

给定精度ε，21|()()|21nnpIfIf时

221|()()||()()|21nnnp

IfIfIfIf



因而可以取2()nIf为()If的近似值。

梯形 Simpson 数值微分

数值微分截断误差