抽象函数性质
常见抽象函数类型
常见抽象函数类型及解题策略没有给出具体解析式的函数()x f y =，称为抽象函数。
抽象函数问题将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数、周期性等性质和图象集于一身，所以这类问题可以全面综合考查我们对于函数概念和性质的理解。
常见抽象函数类型 具体函数()()()c y f x f y x f +±=±（c 为常数） b kx y +=()()()y f x f xy f =αx y = ()()()y f x f xy f ±= x y a log =()()()y f x f y x f ⋅=±x a y = ()()n x f x f +=（n 为周期） x y sin =，x y cos =，x y tan =. 常用方法：①特殊值法，如()()()1,1,0-f f f ；②“凑”（转化）的方法；③同时借助于函数的单调性、奇偶性等性质.例题：一，()()()c y f x f y x f +±=±型 （b kx y +=）1，函数()x f 的定义域为R ，R y x ∈∀,，有()()()y f x f y x f +=+；且当0)(0<>x f x 时，，且()21-=f ，求()x f 在区间[]3,3-上的最大值和最小值. 2，函数()x f ，R y x ∈∀,，满足条件()()()y x f y f x f ++=+2；2)(0>>x f x 时，； ()53=f ，求不等式()3222<--a a f 的解.二，()()()y f x f xy f =型 （αx y =）3，函数()x f ，R y x ∈∀,，满足()()()y f x f xy f =，且()00≠f ，试判断()x f 的奇偶性.三，()()()y f x f xy f ±=型 （x y a log =）4，已知()x f 的定义域为R ，R y x ∈∀,，()()()y f x f xy f +=.求证：()x f 是偶函数.5，()x f 是定义在()+∞,0上的单调增函数，满足()()()y f x f xy f +=，()13=f ， ① 求()1f ； ② 若()()28≤-+x f x f ，求x 的取值范围. 四，()()()y f x f y x f ⋅=±型 （x a y =）6，函数()x f ，R y x ∈∀,，满足()0≠x f ，()()()y f x f y x f ⋅=+，且当时，0<x ()1>x f ，求当时，0>x ()x f 的取值范围.五，()()n x f x f += （x y sin =，x y cos =，x y tan =.）7，()x f 是定义在R 上的函数，()()()x f x f x f -+=+112，又()221+=f ，求()2001f . 8，函数()x f ，R y x ∈∀,，满足()()()()y f x f y x f y x f 2=-++，并存在实数c ，使得02=⎪⎭⎫ ⎝⎛c f ，试问()x f 是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由.。
与抽象函数三种性质相关问题的解法
０ ｄ一 ２ ， ＜ｄ一 ｌ 厂 ０一 ２ ， （ ）一ｆ（ １ ｄ一 ）＜
与确定 函数 的单 凋性 类 似 ， 依据 抽 象 函 数所满 足的 条件 源自 出符 合奇偶 性定 义 的关 得
点之一 ．
崔 金兴
孙鸿发
２２０ ６ １０
＝ｆ（ ）ｆ（ ）一１ ． Ｘ ［ 。 ２ ］
（） ｉ当 ２ ＞０时 ， （ ） ＿ ２ ＞１ ， ｄ＞０ 厂 ＞０ 由 知 ，（ ＞１ ，（ ） ｎ） ， ａ 一１ ， ，（ ）一ｆ（ ） ＞０ 故 １ ２ ＞０ 即 ｆ（ ） ， 】 ＞ｆ（ ） ２ ；
Ｆ（ ） Ｒ上 递增 ． 在 例 ２ 函数 ， ） 义 在 Ｒ 上 ， ＞０时 ， （ 定
， ） ， 对 任 意 ｄ、 ∈ 尺， ｆ（ （ ＞１ 且 ６ 有 Ⅱ＋ ” ＝ ， 。 ・ （ ）证 明 ｆ（ ） Ｒ上 的 增 函数 ． （ ）ｆ ６ 是
证 明 ： ０＝０、 取 ６＝ １ 得
证 明 ：－ ＋ｖ） ＿ｆ（ ＿ ＋ｆ（ 一ｙ） ｆ（ ） － ＝２
， ｖ 对 、 都成立 ， （） 令 ＝０对 于 Ｖｙ 有 ， ｆＯ ） （ ＋ｆ（ ） Ｏ一 ＝ｆ（），（ 及 ｆ（ ｙ Ｏ ‘ ） Ｏ ）
－
ｆ（ ） １ ＝ｆ（ ） ｆ １ ０ ・（ ）
’ ． ’
一） ＝ 案
（） （ ） （ ｉ ， Ⅱ ＝１ 。为 正 常数 ） ｉ （） （ ） 奇函数 ； １ ｆ 为
维普资讯
２０ ０ ２年 第 ２期
河 北理 科 教 学研 究
问题 讨 论
与 抽 象 函 数 三 种 性 质 相 关 问 题 的 解 法
抽象函数
抽象函数抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难.解决抽象函数常用的方法有(1)赋值法；（2）模型函数法；（3）代换法；（4）递推法；（5）迭代法等。
一．求函数值紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。
【例1】已知f x ()的定义域为R +，且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ，y 都成立，若f ()84=，则f (2)=_______。
变式：1.设f(x)(x ∈R ）为奇函数，f(1)=21，f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)= _______。
2.定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f = ( ) （A ）-1 （B ）0（C ）1（D ）23.已知函数y=f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)=0，对任意x ∈R ，都有f (x +4)=f (x )+f (4) 成立，则f (2006)= ( )A ．4012B ．2006C ．2008D ．04.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有 )()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是 A. 0 B.21 C. 1 D. 25 5.设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）2136.定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(3)f -等于（ C ） A ．2B ．3C ．6D ．9二．比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。
大学抽象函数教案设计
一、教学目标1. 理解抽象函数的概念及其性质。
2. 掌握抽象函数的运算规律，包括极限、连续性、可导性等。
3. 能够运用抽象函数解决实际问题。
二、教学重点1. 抽象函数的概念及性质。
2. 抽象函数的运算规律。
三、教学难点1. 抽象函数的连续性、可导性的判断。
2. 抽象函数在实际问题中的应用。
四、教学过程（一）导入1. 回顾初等函数的概念及性质。
2. 引入抽象函数的概念，提出本节课的学习目标。
（二）新课讲授1. 抽象函数的定义：形如f(x) = y的函数，其中x、y是实数，y是x的函数，且y的解析式不含有具体的函数符号（如sin、cos等）。
2. 抽象函数的性质：a. 奇偶性：若对于任意x，有f(-x) = f(x)，则称f(x)为偶函数；若对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数。
b. 单调性：若对于任意x1 < x2，有f(x1) ≤ f(x2)，则称f(x)在区间[a, b]上单调递增；若对于任意x1 < x2，有f(x1) ≥ f(x2)，则称f(x)在区间[a, b]上单调递减。
c. 有界性：若存在实数M，使得对于任意x，有|f(x)| ≤ M，则称f(x)在区间[a, b]上有界。
3. 抽象函数的运算规律：a. 极限：若lim(x→x0)f(x) = A，则称f(x)在x=x0处极限存在，记作lim(x→x0)f(x) = A。
b. 连续性：若对于任意ε > 0，存在δ > 0，使得对于任意x，当|x-x0| < δ时，有|f(x) - f(x0)| < ε，则称f(x)在x=x0处连续。
c. 可导性：若f(x)在x=x0处的导数存在，则称f(x)在x=x0处可导。
（三）课堂练习1. 判断以下函数的奇偶性、单调性和有界性：a. f(x) = x^2b. f(x) = |x|c. f(x) = e^x2. 求以下函数的极限：a. lim(x→0) x^2b. lim(x→1) (1/x - 1)c. lim(x→∞) (1/x^2)（四）案例分析1. 举例说明抽象函数在实际问题中的应用。
抽象函数的三类性质等式的辨别
这样理解周期性 等式 ｘ ｒ －（） ＋ ） ｘ— 两个 ｆ 自变量之差 为 时 ，函数值相等 ，简述为 ： “ 差 相 等 ” ．
等式考察得非常频繁， 而这些性质等式 ， 又恰 恰是学生在学习中最容易迷惑 的地方 ，本文 试就这些等式隐含的性质 ，介绍一些简便易 行的判别法．
１ 三类等式
１１ 周 期 性等 式 ．
已知定义在 Ｒ上的函数 ｙ ）对任意 ＝ ， Ａｘ
自变量 ， 函数 ） 若满足如下等式之一 ： ＋ ）， ； ２ （ ） ｘ １ 一 ） ＋） １； ｘ １＝ ＋ ） ） ；
州 ） 州 ） 一 ； ，
于是 ： ， ① ②式均读作 ： ２ 差 相等 ③式读作 ： ｌ 差 互反 ④式读作 ： ｌ 差 互倒 ⑤式同理理解 即可． １ ． ２中的轴对称性等式 ： 我们可以先从② 式中来加 以理解 ， 自变量 １ 与 １ 视为 ： 慨 自 变量从 １ 处变化 ， 不论 向左 （ 减小 ） 还是向右 （ 增大 ） ，只要变化量均是 则 ：函数值均相
，
１即 ： ， 为
应 用－ 硬 式足 理 的 三 个 策略 ＝ －
谭 瑞军 （ 江苏省 华 罗庚 中学 ２３０ ） １２０
二项式定理在处理有关整除 、 求余 、 近似
计算 、 代数等式或不等式 的证明以及 比较大 小等方面的问题时有着广泛的应用 ， 可将其
在这些方面的应用策略归纳为 “ 、展” 拆” “ 、
对 称性 质 ．
１ 轴对称性等式 ． ２ 已知定义在 Ｒ上的函数 ｙ ）对任意 ，
自 变量 函数ｙ ） ， ＝ 若满足如下等式之一： Ａｘ
卅 ２ 吨 ） ） ； １ ） １ｘ ， 慨 － ）
对称中心坐标 为 ： ｘ ｘ２ （ｉ ＋
从高考看抽象函数性质的研究
把 看做 ， 它也可以表述为 ： ２ 每相差常数 朋寸 ， 函
数值总相等 ， 这个正是函数周期性 的图象特点。 于是 类似 的问题如 ： 对定义在Ｒ 上的函数 ） 满 足厂 （ ＋ ２ ） ＝ ４ ） ， 令ｘ ＋ ２ ＝ ｘ 一 ４ ＝ ｘ ， 则 Ｘ ２ 每相差６ 个单 位 ， 函 数 值 总相 等 ， 于是 读 出周 期 是 ６ ； 若改为厂 （ ＋ ２ ） ＝ ４ ） ， 则 ： 每相差６ 个单位 函数值互 为相反数 ， 那 么再差６ 个单位函数值 又相等 ， 因此读 出函数周期 是１ ２ 。 综上对于抽象函数读取周期关键 就是凑定义 。
考点聚焦
⑦
从 高考 看 柚 象 函数 性 质 白 Ｉ ｌ 研 究
■ 阎建魁
高考一 直比较关注学生理性思维发展 ，这使得 抽 象函数成 为高考 的考查热点之一 。抽象 函数没有 具 体表 达式 ， 研究起来就 比较困难 ； 加之在 目前教学 实际 中有关抽象 函数周期性 、 对称性 、 单调 性 、 奇偶 性 的学 习常停 留在对一些教辅资料公式 的背诵和套 用上， 使得学生研究起来更加“ 抽象 ” 。 抽 象问题 的解决关键是使其具体化 ，纵观抽象 函数问题 ，它们 的共 同点是关注某个具体概念的生 成 ，因此关 注概念 的理解往往使得做抽象函数问题 事半 功倍 。为了中学生更容易理解 ， 本 文从周期性 、 单 调性 等性质给 出抽象 函数研究 的策略 ： 凑定义 。
融会贯通 。
只有在做题 的过程 中， 才能将 知识 千变万化 ， 以 不 变应 万 变 。 只有在做题 的过程 中， 才 能看 到 自己的不足 ， 指 出 自己需 要 改 进 的地 方 。 只有在做题的过程中， 才能改掉 自己粗心的经典 的参考 书， 不需要太多。我上中学 的时候 ， 很看 中天津 出版 社 出的书和海滨 区出的书 ， 不知现在行情如何 ， 毕竟 二十年 了。再则 ， 要选有章节讲解 的书 ， 为什 么这样 做， 有解析 ， 而且有每章重点 、 次重点的介绍 。 再次， 做题一定要看清题意 ， 要看 清题设里说 了 哪些条件 ， 让你解决什么问题 ？ 从题设中寻求解题 的 思路 。 第四， 做几何题 必须得 画图， 不管是平 面几何还 是 高中涉入 的立体几何。 画好 图后 ， 要分析题意 ， 运用 自己所学 的定 理 、 公 式往里套 ， 并根据题意及 问题 ， 做适 当的辅助线 ， 使 它朝着 问题 的要求方向去做 ，最终得 出问题所要 求 证 的东 西 。
函数性质—抽象函数奇偶性、单调性综合解答题-解析版
函数性质—抽象函数奇偶性、单调性综合解答题参考答案与试题解析一．解答题（共 12 小题）1. 函数 f (x ) 对于任意的实数 x ， y 都有 f (x + y ) = f (x ) + f ( y ) 成立，且当 x > 0 时 f (x ) < 0 恒成立． （1） 求 f (0) 的值，并证明函数 f (x ) 为奇函数；（2） 求证 f (x ) 在 R 上为减函数；（3） 若 f （1） = -2 且关于 x 的不等式 f (x 2 - x + k ) < 4 恒成立，求k 的取值范围．【解答】解：（1）令 x = y = 0 得 f (0) = 0 ．令 y = -x 代入原式得 f (x - x ) = f (x ) + f (-x ) = f (0) = 0 ， 所以 f (-x ) = - f (x ) ，故该函数是奇函数． （2）由已知得 f (x + y ) - f (x ) = f ( y ) = f [(x + y ) - x ] ． 所以任取 x 2 > x 1 ，则f (x 2 - x 1 ) = f (x 2 ) + f (-x 1 ) = f (x 2 ) - f (x 1 ) ，因为 x 2 - x 1 > 0 且当 x > 0 时 f (x ) < 0 ，所以 f (x 2 - x 1 ) < 0 ，即 f (x 2 ) - f (x 1 ) < 0 ，所以 f (x 2 ) < f (x 1 ) ，故该函数在 R 上是减函数．（3）因为 f （1） = -2 ，所以 f (-1) = - f （1） = 2 ，所以 f (-2) = 2 f (-1) = 4 ． 所以原不等式可化为： f (x 2 - x + k ) < f (-2) ． 结合（2）知，函数 f (x ) 在 R 上是增函数．所以 x 2 - x + k > -2 恒成立．即 k > -x 2 + x - 2 = -(x - 1)2 + 9恒成立．24 所以只需k > 9即可．42. 已知函数 f (x ) 对一切 x ， y ∈ R ，都有 f (x + y ) = f (x ) + f ( y ) ，当 x > 0 ，有 f (x ) < 0 ．（1）求： f (0) = 0 ；（2）证明：函数 f (x ) 为奇函数；（3）若 f （1） = -2 ，求 f (x ) 在[-3 ， 3] 上的最值；（4） 若对任意t ∈ R ，不等式 f (t 2 - 2t ) + f (2t 2 - k ) < 0 恒成立，求k 的取值范围．【解答】解：（1）令 x = y = 0 ，可得 f (0) = f (0) + f (0) ， ∴ f (0) = 0 ．（2）证明：令 y = -x 可得： f (0) = f (x ) + f (-x ) ，∴ f (-x ) + f (x ) = 0 ， 又 f (x ) 的定义域为 R ， ∴ f (x ) 是奇函数．（3）设 x 1 ， x 2 是 R 上任意两个数，且 x 1 < x 2 ，则 x 2 - x 1 > 0 ，∴ f (x 2 - x 1) < 0 ，∴ f (x 2 ) - f (x 1 ) = f (x 2 ) + f (-x 1 ) = f (x 2 - x 1 ) < 0 ，∴ f (x ) 在 R 上是减函数，（1） = -2 ，∴ f （2） = 2 f （1） = -4 ， ∴ f （3） = f （1） + f （2） = -6 ． ∴ f (-3) = 6 ．∴ f (x ) 在[-3 ， 3] 上的最小值是 f （3） = -6 ，最大值是 f (-3) = 6 ．（4）由 f (t 2 - 2t ) + f (2t 2 - k ) < 0 得： f (t 2 - 2t ) < - f (2t 2 - k ) = f (k - 2t 2 ) ，∴t 2 - 2t > k - 2t 2 ， 即 k < 3t 2 - 2t ．= 3(t - 1)2- 1- 1 ，∴ k < - 1．33 3 3 3．已知 f (x ) 是定义在[-1 ，1] 上的奇函数，且 f （1） = 3 ，若a ， b ∈[-1 ，1] ， a + b ≠ 0 时，有 f (a ) + f (b ) > 0 成a + b立．（1） 判断 f (x ) 在[-1 ，1] 上的单调性，并证明； （2） 解不等式： f (x + 1) < f (21) ；x - 1（3） 若当a ∈[-1 ，1] 时， f (x ) m 2 - 2am + 3 对所有的 x ∈[-1，1] 恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）任取 x 1 ， x 2 ∈[-1，1] ，且 x 1 < x 2 ，则-x 2 ∈[-1，1] ，f (x ) 为奇函数，∴ f (x ) - f (x ) = f (x ) + f (-x ) = f (x 1 ) + f (-x 2 ) (x- x ) ， 1212x - x 1 2由已知得 f (x 1 ) + f (-x 2 ) > 0 ， x - x 1 2< 0 ，∴ f (x ) - f (x ) < 0 ，即 f (x ) < f (x ) ．x - x1 21 2 1 2 1 2∴ f (x ) 在[-1 ，1] 上单调递增．f 3t 2- 2tf ⎨ 22 ⎪ ⎧x + 1 < 1 ⎪x -1 （2） f (x ) 在[-1 ，1] 上单调递增，∴ ⎪-1 ⎪ ⎪-1 ⎩x + 1 2 1 x - 1 1 ，解得-3 1 x < -1， ∴不等式的解集为{x | - 3 2x < -1} ．（3） （1） = 3 ， f (x ) 在[-1 ，1] 上单调递增，∴在[-1 ，1] 上， f (x ) 3 ，即m 2 - 2am + 3 3 ，∴m 2 - 2am 0 对 a ∈[-1 ，1] 恒成立，求m 的取值范围．设 g （a ） = -2m a + m 2 0 ，①若m = 0 ，则 g （a ） = 0 0 ，自然对a ∈[-1 ，1] 恒成立．②若m ≠ 0 ，则 g （a ）为a 的一次函数，若 g （a ） 0 对 a ∈[-1 ，1] 恒成立， 则必须 g (-1) 0 ，且 g （1） 0 ，∴ m ∴ m 的取值范围是m = 0 或 m - 2 或m - 2 或m 2 ．2 或 m = 0 ． 4. 已知定义在 R 上的函数 f (x ) 对任意 x ， y ∈ R ，总有 f (x ) + f ( y ) = f (x + y ) +1 ，且当 x > 0 时， f (x ) > 1 ．( I ) 若令h (x ) = f (x ) -1 ，证明：函数h (x ) 为奇函数； ( II ) 证明：函数 f (x ) 在 R 上是增函数；( III ) 解关于 x 的不等式 f (x 2 ) - f (3tx ) + f (2t 2 + 2t - x ) < 1 ．其中t ∈ R ．【解答】解： ( I ) 证明：令 x = y = 0 ，则 f (0) = 1 令 y = -x ，即 f (x ) + f (-x ) = f (0) +1 ，即 f (x ) + f (-x ) = 2 所以： f (-x ) -1 = - f (x ) + 1，即h (-x ) = -h (x )故函数h (x ) 为奇函数； （3 分）( II ) 证明：设任意 x 1 ， x 2 ∈ R 且 x 1 > x 2则 f (x 1 ) - f (x 2 ) = f (x 1 ) + f (-x 2 ) - 2 = f (x 1 - x 2 ) +1 - 2 = f (x 1 - x 2 ) -1因为： x 1 > x 2 所以 x 1 - x 2 > 0 ，故 f (x 1 - x 2 ) > 1所以 f (x 1 ) > f (x 2 ) ，故函数 f (x ) 在 R 上是增函数； （7 分）( III ) 因为 f (x 2 ) - f (3tx ) + f (2t 2 + 2t - x ) < 1所以 f (x 2 ) + f (2t 2 + 2t - x ) < f (3tx ) +1即 f (x 2 + 2t 2 + 2t - x ) +1 < f (3tx ) +1即 f (x 2 + 2t 2 + 2t - x ) < f (3tx )又因为函数 f (x ) 在 R上是增函数所以 x 2 + 2t 2 + 2t - x < 3tx即： x 2 - (3t + 1)t + 2t 2 + 2t < 0即： (x - 2t )(x - t -1) < 0 ⅰ ) 当t = 1 时，原不等式无解；ⅱ ) 当t > 1 时，原不等式的解集{x | t + 1 < x < 2t }ⅲ ) 当t < 1 时，原不等式的解集{x | 2t < x < t + 1}⋯ （12 分）5. 已知函数 f (x ) 为奇函数，且当 x 0 时， f (x ) = (x -1)2 - 3x + a ．（1） 求a 的值，并求 f (x ) 在(-∞, 0) 上的解析式；（2） 若函数 g (x ) = f (x ) + kx 在[-3 ， -1] 上单调递减，求k 的取值范围．【解答】解：（1） f (x ) 为奇函数，∴ f (0) = 0 ，即1 + a = 0 ，∴ a = -1 ，令 x < 0 ，则-x > 0 ，∴ f (-x ) = (-x -1)2 + 3x -1 = (x + 1)2 + 3x -1 = - f (x ) ，∴ f (x ) = -(x + 1)2 - 3x + 1 ，故 f (x ) 在(-∞, 0) 上的解析式为 f (x ) = -(x + 1)2 - 3x + 1．（2） g (x ) = f (x ) + kx = -(x +1)2 - 3x +1 + kx = -x 2 + (k - 5)x ，开口向下，对称轴为 x = k - 5 ，2g (x ) 在[-3 ， -1] 上单调递减，∴ k - 52- 3 ，解得k -1． 故 k 的取值范围为(-∞ ， -1] ．6. 设函数 f (x ) 是实数集 R 上的单调增函数，令 F (x ) = f (x ) - f (2 - x ) ． （1） 求证： F (x ) 在 R 上是单调增函数；（2）若 F (x 1 ) + F (x 2 ) > 0 ，求证： x 1 + x 2 > 2 ．【解答】解：（1）任取 x 1 ， x 2 ∈ R ，且 x 1 < x 2 ，则 F (x 1 ) - F (x 2 ) = [ f (x 1 ) - f (2 - x 1 )] -[ f (x 2 ) - f (2 - x 2 )] = [ f (x 1 ) - f (x 2 )] +[ f (2 - x 2 ) - f (2 - x 1 )] ；f (x ) 是实数集 R 上的增函数，且 x 1 < x 2 ，则 f (x 1 ) - f (x 2 ) < 0 ， 由 x 1 < x 2 ，得-x 1 > -x 2 ，∴2 - x 1 > 2 - x 2 ，∴f (2 -x1) >f (2 -x2 ) ，5f ∴ f (2 - x 2 ) - f (2 - x 1) < 0 ，∴[ f (x 1 ) - f (x 2 )] +[ f (2 - x 2 ) - f (2 - x 1 )] < 0 ；即 F (x 1) < F (x 2 ) ；∴ F (x ) 是 R 上的增函数．（2） 证明： F (x 1 ) + F (x 2 ) > 0 ，∴ F (x 1) > -F (x 2 ) > 0 ；由 F (x ) = f (x ) - f (2 - x ) 知，-F (x 2 ) = -[ f (x 2 ) - f (2 - x 2 )] = f (2 - x 2 ) - f (x 2 ) = f (2 - x 2 ) - f [2 - (2 - x 2 )] = F (2 - x 2 ) ，∴ F (x 1) > F (2 - x 2 ) ；又 F (x ) 是实数集 R 上的增函数， 所以 x 1 + > 2 - x 2 ．， 即 x 1 + x 2 > 2 ．7. 已知函数 y = f (x ) 对任意的实数ab 都有： f (a + b ) = f （a ） + f （b ） -1 ，且 x > 0 时， f (x ) > 1 ，（1）求证： f (x ) 是 R 上的增函数；（2）若 f （4） = 5 ，求 f （2）的值，并解不等式 f (3m 2 - m - 2) < 3 ．【解答】解：（1）证明： f (a + b ) = f （a ） + f （b ） -1 ，且 x > 0 时， f (x ) > 1 ，设 x 1 < x 2 ，则 x 2 - x 1 > 0 ， f (x 2 - x 1 ) > 1 ，∴ f (x 2 ) - f (x 1 ) = f [(x 2 - x 1 ) + x 1 ] - f (x 1 ) = f (x 2 - x 1 ) + f (x 1 ) -1 - f (x 1 ) = f (x 2 - x 1 ) -1 > 1 -1 = 0 ，∴ f (x ) 是 R 上的增函数；（2） （4） = f (2 + 2) = f （2） + f （2） -1 = 5 ， ∴ f （2） = 3 ．∴ f (3m 2 - m - 2) < 3 = f （2），又 f (x ) 是 R 上的增函数；∴3m 2 - m - 2 < 2 ，∴-1 < m < 43∴不等式 f (3m 2 - m - 2) < 3 的解集为：{m | -1 < m < 4} ．38. 已知定义域为 R 的函数 f (x ) 对任意的实数a ， b 均有 f (a + b ) = f （a ）（b ），且当 x < 0 时， f (x ) > 1 ．（1） 求 f (0) 的值；（2） 求证：对任意的 x ∈ R 都有 f (x ) > 0 ；ff f （3） 求证： f (x ) 在 R 上为减函数；（4）当 f （4） = 1 16 时，解不等式 f (x - 3) < 1．4【解答】（1）解：由于 f (a + b ) = f （a ） （b ），则 f (0) = f 2 (0) ，即有 f (0) = 0 或 1．若 f (0) = 0 ，则令a = x ， b = 0 ，有 f (x ) = 0 不成立， 故 f (0) = 1．（2）证明：由于 f (a + b ) = f （a ） （b ），可令a = b = x，则 f (x ) = f 2 ( x) 0 ，由当 x < 0 时， f (x ) > 1 ，22则 f (x ) ≠ 0 ，故有对任意的 x ∈ R 都有 f (x ) > 0 ；（3）证明：设 x 1 > x 2 ，则 x 2 - x 1 < 0 ，当 x < 0 时， f (x ) > 1 恒成立，则 f (x 2 - x 1 ) > 1 ，∴ f (x 1 ) + f (x 2 - x 1 ) = f (x 2 ) > f (x 1 ) ，∴函数 y = f (x ) 是 R 上的减函数；（4）解：当 f （4） = 1 16即有 f （2） = 1，4时，则有 f （4） = f 2 （2），不等式 f (x - 3) < 1，即为 f (2 + x - x 2 ) < f （2）， 4由于函数 y = f (x ) 是 R 上的减函数， 则 2 + x - x 2 > 2 ，解得0 < x < 1． 即有解集为(0,1) ．9. 已知 f (x ) 对任意实数a ， b 都有 f (a + b ) = f （a ） + f （b ） -2 且当 x > 2 时，有 f (x ) > 2 ． （1） 求证： f (x ) 在 R 上为增函数；（2） 若 f （1） = 2 ，求满足不等式 f (3t - 2) + f (t - t 2 ) < 4 的实数t 的取值范围．【解答】（1）证明：任取 x 1 ， x 2 ∈ R 且 x 1 < x 2 ， 则 x 2 - x 1 > 0 ， f (x 2 - x 1 ) > 2 ．f (a + b ) = f （a ） + f （b ） -2 ，∴ f (x 2 ) = f [(x 2 - x 1 ) + x 1 ] = f (x 2 - x 1 ) + f (x 1 ) - 2 > 2 + f (x 1 ) - 2 = f (x 1 ) ，∴ f (x 2 ) > f (x 1) ，∴ f (x ) 在 R 上为增函数．f (5 - x 2 ) f (5 - x 2 )1 x （2）解： f (3 - 2) + f (t - t2 ) < 4 ，即 f (3t - 2) + f (t - t 2 ) - 2 < 2 ，∴ f (3t - 2 + t - t 2 ) < 2 ．（1） = 2 ，∴ f (4t - 2 - t 2 ) < f （1），又 f (x ) 在 R 上为增函数， ∴4t - 2 - t 2 < 1， 即t 2 - 4t + 3 > 0 解得t > 3 或t < 1故实数t 的取值范围为(-∞ ，1) ⋃(3 ， +∞) ．10. 已知函数 f (x ) 的定义域为(0, +∞) ，当 x > 1 时， f (x ) > 0 且 f (xy ) = f (x ) + f ( y )（1）求 f （1），并求证： f ( 1) =- f (x )x（2） 证明 f (x ) 在定义域上是增函数．（3） 如果 f (1) = -1求满足不等式 f ( 31 x - 2) 2 的 x 的取值范围．【解答】解：（1） f (xy ) = f (x ) + f ( y ) 令 x = y = 1 ，则 f （1） = f （1） + f （1） 解得 f （1） = 0令 y = 1 ，则 f (x 1) = f (x ) + f ( ) = f （1） = 0xx x故 1f ( ) =- f (x )x（2）设0 < x < x ，则 x 2 > 1 ，则 f ( x2 ) > 0 ，1 211 则令 x = x ， y = x2 ，1则 f (x ) = f (x x 1 x 2 ) = f (x ) + x 2> f (x )2 1 x f ( ) 1 x11 1故 f (x ) 在定义域上是增函数 1f ( ) 3 = -1 ，∴ f （3） = 1， f （9） = f （3） + f （3） = 2 又 f (x ) 在定义域上是增函数， 故不等式 f (即1x - 21x - 2 ) 2 可化为 f ( （9） f 1 ) f x - 29 （3） xf (x + y ) = f (x ) f ( y ) ，解得2 < x即满足条件的 x 的取值范围为(2 ， 19]911. 已知函数 y = f (x ) 满足对任意实数 x ， y 有 f (x + y ) = f (x ) （1）求 f (0) 的值；（2）求证： x < 0 ， f (x ) > 1 ； （3）讨论函数 y = f (x ) 的单调性；（4）解不等式 f (x 2 + x ) < f (3 - x ) ．f ( y ) ，且当 x > 0 ， 0 < f (x ) < 1 ．【解答】解：（1）令 y = 0 ，可得 f (x + 0) = f (x ) （2）设 x < 0 ，则-x > 0 ， 当 x > 0 ， 0 < f (x ) < 1， ∴0 < f (-x ) < 1 ，f (x - x ) = f (x ) f (-x ) = 1，f (0) ，∴ f (0) = 1 ；∴ f (-x ) = 1 ，f (x )∴0 <1f (x )< 1 ， ∴ f (x ) > 1 ；（3）在函数 f (x ) 定义域 R 上任取自变量 x 1 ， x 2 且 x 1 < x 2 ，∴ x 2 - x 1 > 0 ．∴ f (x 2 ) - f (x 1 ) = f [x 1 + (x 2 - x 1 )] - f (x 1 ) = f (x 1 ) f (x 2 - x 1 )] - f (x 1 ) = f (x 1 )[ f (x 2 - x 1 ) -1] ． 当 x > 0 时，有0 < f (x ) < 1， ∴ f (x 2 - x 1) < 1．∴函数 f (x ) 定义域 R 上单调递减．（4） f (x 2 + x ) < f (3 - x ) ，∴ x 2 + x > 3 - x ． ∴ x 2 + 2x - 3 > 0 ，∴ x < -3 或 x > 1 ，∴不等式的解集为： (-∞ ， -3) ⋃(1， +∞) ．12. 已知函数 f (x ) 定义域为[-1 ，1] ，若对于任意的 x ，y ∈[-1 ，1] ，都有 f (x + y ) = f (x ) + f ( y ) ，且x > 0 时，有 f (x ) > 0 ．（Ⅰ）证明函数 f (x ) 是奇函数；19 9⎩ ⎩ （Ⅱ）讨论函数 f (x ) 在区间[-1 ，1] 上的单调性；（Ⅲ）设 f （1） = 1，若 f (x ) < m 2 - 2am + 1，对所有 x ∈[-1，1] ， a ∈[-1 ，1] 恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】证明：（Ⅰ）因为有 f (x + y ) = f (x ) + f ( y ) ，令 x = y = 0 ，得 f (0) = f (0) + f (0) ，所以 f (0) = 0 ， 令 y = -x 可得： f (0) = f (x ) + f (-x ) = 0 ， 所以 f (-x ) = - f (x ) ， 所以 f (x ) 为奇函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 f (x ) 是定义在[-1 ，1] 上的奇函数，由题意设-1 x 1 < x 2 1 ，则 f (x 2 ) - f (x 1 ) = f (x 2 ) + f (-x 1 ) = f (x 2 - x 1 )由题意 x > 0 时，有 f (x ) > 0 ，∴ f (x 2 ) > f (x 1 )∴ f (x ) 是在[-1 ，1] 上为单调递增函数；（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）结论可得 f (x ) 在[-1 ，1] 上为单调递增函数，所以 f (x ) 在[-1 ，1] 上的最大值为 f （1） = 1，所以要使 f (x ) < m 2 - 2am + 1，对所有 x ∈[-1，1] ， a ∈[-1 ，1] 恒成立， 只要m 2 - 2am + 1 > 1，即m 2 - 2am > 0 ， 令 g （a ） = m 2 - 2am = -2am + m 2⎧g (-1) > 0由⎨g (1) > 0 ⎧2m + m 2 > 0 ，可得⎨-2m + m 2 > 0解得： m > 2 或m < -2故实数m 的取值范围是(-∞ ， -2) ⋃(2 ， +∞)。
抽象函数的对称性和周期性
、
证 明 ： 函数 ｙ ｆｘ 上 任 取 一 点 （ 。 ， ｔ ｌｆｘ ） 点 ｘ ， 在 ＝（ ） ｘ ， ） ￣ ｙ＝ （ １， Ｙ Ｉ ］ Ｉ Ｙ） 于直 线Ｘ １关 －
二
＝
例 １（０ ９ 国 Ｉ） 数ｆｘ 的 定 义 域 为 Ｒ， （＋ ） （一 ． ０全 ２ 函 （） 若ｆｘ １ 与ｆｘ １ 都 是 奇 函数 ， （ ） ） 则
一
例 ２（０９ 东 理 ） 知 定 义 在 Ｒ上 的 奇 函 数 ｆｘ ， 足 ｆ ．２ ０ 山 已 （ ）满 ｘ ４ 一 ｆｘ ， 在 区 间 ［ ， ］ 是 增 函数 ， 方 程ｆｘ ＝ ｍ 一 ） （ ）且 ０２上 若 （ ） ｍ（ ＞ ０ 在 区 间上 有 四个 不 同 的根 ｘ ， ，３Ｘ ， ｌ 【 ｘ ｘ ） ｌｘ ｘ ，４则ｘ ）＋ ３ ４ ｚ ２ ＝
在 区间［，］ 是增 函数 ， ０２ 上 因此 ｆｘ 在 区 间 ［ ２ ０ 上 也 是 增 函 （） 一 ，］ 数 。 由 于ｆｘ ４ ＝ ｆ ） （一 ）ｆｘ ， 此 函 数是 以８ 周期 又 （一 ）一（ 知ｆｘ ８ －（ ）因 ｘ 为 的周 期 函数 。如 下 图所 示 ， 么方 程 ｆｘ ＝ ｍ Ｏ 在 区 间 ［８ 那 （ ）ｍ（ ＞ ） 一， ８ 上 有 四个 不 同 的 根ｘ ，２ｘ ，４不 妨设 ｘ＜ ２ｘ＜ ４ 由 对称 性 ］ １ｘ ，３ｘ ， ｌｘ＜ ３ ｘ ，
知 ｘ＋ ２ １ Ｘ＋ ４ ４， 以ｘ＋ ２ｘ＋ ４ 一１ ＋ ＝ ８， １ｘ＝ ２，３ｘ＝ 所 ｌｘ＋ ３ Ｘ－ ２ ４ 一
（ ｆｘ 是 偶 函 数 （ ｆｘ 是 奇 函数 （ ）（ ） ｆｘ ２ （ ｆ Ａ）（ ） Ｂ）（ ） Ｃ ｆｘ ＝ （＋ ） Ｄ） （ ＋ ） 奇 函数 ｘ ３是 解 ： ｘ １ 与 ｆｘ １ 都 是 奇 函 数 ． 一 ＋ ） ｆｘ １ ， 一 。 （ ＋ ） （－ ） ． ｆ ｆ ｘ １ 一 （＋ ）ｆ （ （ ｘ １＝ ｆ 一 ） 一 ）一（ １ ， ｘ 函数 ｆｘ 关 于 点 （ ， ） 点 （ １０ 对 称 ， （） １Ｏ 及 一 ，） 函数 ｆｘ 是 周 期 （）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
抽象函数性质综述
抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质得代数表述,综合考查学生对于数学符号语言得理解与接受能力,考查对于函数性质得代数推理与论证能力,考查学生对于一般与特殊关系得认识.
函数得周期性、对称性一般与抽象函数结合,综合函数得其它性质一起考查。
函数得周期性要紧扣周期函数得定义.要注意,函数得周期性只涉及到一个函数、
函数得对称性比较复杂,要分清就是一个函数得对称性,还就是两个函数得对称性;分清就是轴对称还就是中心对称.
一、基本定义
1、定义1:(周期函数)对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域得每一个值时,都有,那么,函数就叫做周期函数。
非零常数叫做这个函数得周期。
2、定义2:(同一函数图象得对称性)若函数图象上任一点关于点(或直线)得对称点仍在函数得图象上,则称函数得图象关于点(或直线)对称、
3、定义3:(两个函数图象得对称性)若函数图象上任一点关于点(或直线)得对称点在函数得图象上;反过来,函数图象上任一点关于点(或直线)得对称点也在函数得图象上,则称函数与得图象关于点(或直线)对称.
二、关于周期性、对称性得几个基本结论及证明
１、若函数得定义域为,且恒成立,则函数就是以为周期得周期函数;
２、若函数得定义域为,且恒成立,则函数得图象关于直线对称;
3、若函数得定义域为,且恒成立,则函数得图象关于点对称;
4、若函数得定义域为,且恒成立,则函数就是以为周期得周期函数;
5、若函数得定义域为,则函数与得图象关于直线对称;
６、若函数得定义域为,则函数与得图象关于点对称。
略证:1、,函数就是以为周期得周期函数.
2、函数图象上得任一点(满足)关于直线得对称点为,
点仍在函数得图象上,从而函数得图象关于直线对称、
３、函数图象上得任一点(满足)关于点得对称点为,
点仍在函数得图象上,从而函数得图象关于点对称、
４、
,函数就是以为周期得周期函数、
５、函数图象上得任一点(满足)关于直线得对称点为,
点在函数得图象上;反之函数得图象上任一点关于直线得对称点也在函数图象上、从而函数与得图象关于直线对称.
６、函数图象上得任一点(满足)关于点得对称点为,
点在函数得图象上;反之函数得图象上任一点关于点得对称点也在函数图象上、从而函数与得图象关于点对称。
三、关于周期性、对称性得若干易混淆得常用结论
１、若函数满足,则函数得图象关于轴对称;函数与函数得图象也关于轴对称、
2、若函数满足,则函数得图象关于原点对称;函数与函数得图象也关于原点对称、
3、若函数满足,则函数得图象关于轴对称;而函数与函数得图象关于直线对称。
4、若函数满足,则函数得图象关于原点对称、而函数与函数得图象关于点对称.
5、若函数满足,则函数得图象关于直线对称;而函数与函数得图象关于轴对称、
6、若函数满足,则函数得图象关于点对称;而函数与函数得图象关于原点对称、
7、若函数满足,则函数得图象关于直线对称;函数与函数得图象也关于直线对称、
８、若函数满足,则函数得图象关于点对称;函数与函数得图象也关于点对称、
9、若函数满足,则函数就是以为周期得周期函数;若函数满足,则函数就是以为周期得周期函数、
四、函数周期性与对称性得关系
１、定义在上得函数,若同时关于直线与对称,即对于任意得实数,函数同时满足,,则函数就是以为周期得周期函数.
2、定义在上得函数,若同时关于点与点对称,即对于任意得实数,函数同时满足,,则函数就是以为周期得周期函数.
３、定义在上得函数,若同时关于直线与点对称,即对于任意得实数,函数同时满足,,则函数就是以为周期得周期函数.
略证:
１、＝
,函数就是以为周期得周期函数、
2、３同理可证。
五、函数周期性、对称性与奇偶性得关系
1、定义在上得函数,若同时关于直线与对称,即对于任意得实数,函数同时满足,,则函数就是以为周期得周期函数,且就是偶函数。
2、定义在上得函数,若同时关于直线与点对称,即对于任意得实数,函数同时满足,,则函数就是以为周期得周期函数,且就是奇函数、
3、定义在上得函数,若同时关于点与直线对称,即对于任意得实数,函数同时满足,,则函数就是以为周期得周期函数,且就是偶函数。
4、定义在上得函数,若同时关于点与点对称,即对于任意得实数,函数同时满足,,则函数就是以为周期得周期函数,且就是奇函数、
5、若偶函数关于直线对称,即对于任意得实数,函数满足,则就是以为周期得周期函数.
6、若偶函数关于点对称,即对于任意得实数,函数满足,则就是以为周期得周期函数.
7、若奇函数关于直线对称,即对于任意得实数,函数满足,则就是以为周期得周期函数。
8、若奇函数关于点对称,即对于任意得实数,函数满足,则就是以为周期得周期函数、
略证:
1、由上述四中得第1点即可得函数就是以为周期得周期函数,
又
函数就是偶函数。
2、3、４同理可证、５、６、7、8可利用上述四中得结论证得、以上各条结论均可结合正弦、余弦函数为特例来加以理解。
六、其它结论
1、若函数为偶函数,则函数得图象关于直线对称、
2、若函数为奇函数,则函数得图象关于点对称.
注:上述两个结论可以通过图象得平移来理解、
３、定义在上得函数满足,且方程恰有个实根,则这个实根得与为。
4、定义在上得函数满足,则函数得图象关于点对称。
略证;任取,令,则,,
由中点公式知点与点关于点对称、由得任意性,知函数得图象关于点对称、
５、能得出函数为周期函数得常见结论还有:函数满足对定义域内任一实数(其中为常数),
①,则就是以为周期得周期函数;
②,则就是以为周期得周期函数;
③,则就是以为周期得周期函数;
④,则就是以为周期得周期函数;
⑤,则就是以为周期得周期函数.
⑥,则就是以为周期得周期函数。
⑦,则就是以为周期得周期函数.
注:上述结论可以通过反复运用已知条件来证明。