数项级数敛散性判别法(总结)
数项级数敛散性判别方法
数项级数敛散性判别方法数项级数是由一系列项相加而得的无穷级数，其中每个项都是一个数字。
判定一个数项级数的敛散性是非常重要的，因为这决定了级数是否收敛（最终总和有一个有限的值）或者发散（最终总和无穷大）。
在数学中，有许多方法用于确定数项级数的敛散性。
下面将介绍一些常用的方法。
1.利用比较判别法：如果一个数项级数的项的绝对值可以比较为另一个已知的收敛级数或发散级数的项的绝对值的大小，那么可以通过比较判别法来判断原数项级数的敛散性。
a)如果一个级数的项的绝对值总是大于一个收敛级数的项的绝对值的大小，那么原级数也发散。
b)如果一个级数的项的绝对值总是小于一个发散级数的项的绝对值的大小，那么原级数也收敛。
c)如果一个级数的项的绝对值与一个收敛级数或发散级数的项的绝对值的大小相同，那么原级数的敛散性不能确定。
2.利用比值判别法：给定一个数项级数A，可计算相邻两项的比值，并观察这个比值的极限。
a) 如果比值极限小于1，即lim，A(n+1)/A(n)， < 1，那么级数A收敛。
b) 如果比值极限大于1，即lim，A(n+1)/A(n)， > 1，那么级数A发散。
c) 如果比值极限等于1，即lim，A(n+1)/A(n)， = 1，那么比值判别法无法确定级数A的敛散性。
3.利用根值判别法：给定一个数项级数A，可计算相邻两项的根值，并观察这个根值的极限。
a) 如果根值极限小于1，即lim√(，A(n)，) < 1，那么级数A收敛。
b) 如果根值极限大于1，即lim√(，A(n)，) > 1，那么级数A发散。
c) 如果根值极限等于1，即lim√(，A(n)，) = 1，那么根值判别法无法确定级数A的敛散性。
4.绝对收敛性和条件收敛性：如果一个级数的各项的绝对值所组成的级数收敛，那么称原级数是绝对收敛的。
否则称为条件收敛的。
5.交错级数的收敛判别法：交错级数是由正项和负项交替出现的级数。
a)如果交错级数的交错项（即正项和负项的绝对值所组成的级数）满足单调递减且趋于零，那么交错级数收敛。
判别数项级数敛散性的一些方法和技巧
判别数项级数敛散性的一些方法和技巧要判断数项级数的敛散性，我们可以使用一些方法和技巧。
以下是一些常见的方法和技巧：1.非负项级数的比较判别法：-比较判别法：如果一个数项级数的绝对值项与一个已知级数的绝对值项相比，可以发现后者收敛，则前者也收敛；如果后者发散，则前者也发散。
-极限判别法：如果一个数项级数的绝对值项的极限为零，而另一个已知级数的绝对值项发散，则前者也发散；如果后者收敛，则前者也收敛。
-比值判别法：如果一个数项级数的绝对值项的比值极限存在且小于1，那么级数收敛；如果比值极限大于1，那么级数发散；如果比值极限等于1，判定不确定。
2.收敛级数的性质：-绝对收敛和条件收敛：如果一个数项级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛；如果绝对值级数发散，但原级数收敛，则称为条件收敛。
-级数的加减法和乘法：只要两个级数中有一个收敛，那么它们的和、差和乘积也收敛。
3.交错级数的收敛性：-莱布尼茨判别法：对于一个交错级数，如果该级数的绝对值项递减趋于零，则级数收敛；如果绝对值项不满足这个条件，则级数发散。
4.幂级数的收敛性：- 幂级数的收敛半径：对于一个幂级数∑an(x-a)^n，可以通过求其收敛半径来判断其在收敛范围内是否收敛。
收敛半径可以使用根值判别法或比值判别法进行计算。
5.特殊级数的敛散性：-调和级数：调和级数∑1/n发散，但调和级数∑1/n^p，其中p>1，收敛。
- 几何级数：几何级数∑ar^n，在，r，<1时收敛，否则发散。
6.柯西收敛准则：-柯西收敛准则：一个数项级数收敛当且仅当对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，级数的部分和之差的绝对值小于ε。
7.级数的整体性质：-典型例子：级数的敛散性常常可以通过和或平方根的形式来判断。
例如，级数∑1/n^2收敛，而级数∑1/n发散。
通过以上这些方法和技巧，我们可以判断数项级数的敛散性并进行求和计算。
但需要注意的是，并非所有的数项级数都可以通过这些方法和技巧来判断其敛散性，有些级数可能需要更复杂的方法来求解。
数项级数敛散性判别方法(20210312140148)
华北水利水电大学课题: 数项级数敛散性判别方法（总结）专业班级:水利港航39 班成员组成: 丁哲祥1联系方式:数项级数敛散性判别法（总结）摘要：数项级数是逼近理论中的重要内容之一，也是高等数学的重analysis. We learn thissemester the severalseries gathered of the criterion has many scattered metho d, this paper folding a seriesoflogarithmscattered discriminant method is analyzed sum-up, get theproblem solvingmethod.Key words : Several series;Gathered scattered sex; I要组成部分。
本章我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方 法然后讨论函数的幂级数展开和三角级数展开。
我们这学期学习过的 数项级数敛散性判别法有许多， 本文对数项级数敛散性的判别方法进 行了分析归纳总结，得到的解题方法。
以便我们更好的掌握它。
关键词 ：数项级数 敛散性 判别方法 总结Abstractthe mathematicaldentifying method; analysis summaryof theSeveral seriesgatheredcriterion scattered method (summary)The sequenceseries is one of the main contents in数项级数的定义数项级数的定义设｛a n｝是一个数列，则称表达式a i+a2+a3+…a n+…为(常数项)无穷级数，简称数项级数或级数，记为a n或a n称a n为级数的通项或一般项。
n 1下面举几个例子：(1)1+2+3+4+5+6+…+n+…二n ;(2) 1-111 (1)n1+・・・=2 3 4 n (1)n1n常见的数项级数正项级数：级数中所有项均大于等于零。
数项级数敛散性判别法
数项级数敛散性判别法数项级数是由一系列数值相加而得到的无穷级数。
在数学中，我们经常需要判断一个数项级数的敛散性，即判断它是否会无限逼近一个有限值（收敛）或者永远无法收敛（发散）。
下面将介绍一些常见的判断数项级数敛散性的方法。
1.正项级数判别法（比较判别法）：对于一个数项级数∑an，如果对于所有的n，都有an≥0，并且an+1≤an，那么我们可以使用正项级数判别法来判断敛散性。
即如果极限值lim(n→∞)an=0，则级数收敛；如果极限值lim(n→∞)an>0，则级数发散。
2.比值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)an+1/an=r，那么根据r的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
3.根值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)√(n)(an) = r，那么根据r 的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
4.绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的各项都是正数，并且该级数收敛，那么称该级数是绝对收敛的。
如果一个级数是收敛的，但其对应的绝对值级数是发散的，则称该级数是条件收敛的。
5.莱布尼茨判别法：对于一个交替级数∑((-1)^(n+1)*bn)，如果满足以下条件，那么该级数收敛：- bn>0，即各项都是正数；- bn≥bn+1（递减趋势）；- lim(n→∞)bn=0。
6.积分判别法：如果能够找到一个函数f(x)，使得f(x)在[1,∞)上连续且单调递减，并且∑an与∫f(x)dx之间有关系，那么可以使用积分判别法来判断敛散性。
具体判别如下：- 如果∫f(x)dx收敛，那么∑an也收敛；- 如果∫f(x)dx发散，那么∑an也发散。
关于数项级数敛散性的判定
关于数项级数敛散性的判定摘要：就数项级数敛散性的判定进行了深入细致的分析、探究与总结，重点论述了正项级数及一般项级数的敛散性判别方法，提出了数项级数敛散性判定的一般步骤，以及判定过程中需要注意的一些问题。
使得对数项级数敛散性的知识有了更深的认识，提高了解题能力。
关键词：数项级数；正项级数；交错级数；一般项级数；敛散性 引言：无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是研究“ 无穷项相加” 的理论 ，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。
如今，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的有力工具，而应用的前提是级数收敛，所以其收敛性的判别就显得十分重要，判断级数敛散的理论和方法很多，本文的根本目的是对数项级数敛散性的判定进行深入的研究与总结。
1.预备知识： 1.1级数的定义及性质定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式......21++++n u u u称为数项级数。
其中n u 称为该数项级数的通项。
数项级数的前n 项之和记为：∑=+++==nk n k n u u u u S 121...。
称为数项级数第n 个部分和。
定义2：若数项级数的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称数项级数收敛。
若{}n S 是发散数列，则称数项级数发散。
即：n n S ∞→lim 不存在或为∞。
性质：（1）级数收敛的柯西准则：级数收敛的充要条件：0>∀ε，0>∃N ,使得当N m >以及对任意正整数P ，都有 ε<++++++p m m m u u u (21)推论：级数收敛的必要条件：若级数收敛，则0lim =∞→n n u 。
（2）设有两收敛级数n u s ∑=，n v ∑=σ，则其和与差)(n n v u ±∑也收敛，并且σ±=±∑s v un n)(。
判别数项级数敛散性的常用方法与技巧
判别数项级数敛散性的常用方法与技巧判断数项级数的敛散性是数学分析中的一个重要问题。
对于数项级数a₁+a₂+a₃+⋯，判断它的敛散性可以使用多种方法和技巧。
以下是判别数项级数敛散性的常用方法和技巧：1.部分和序列法（也称柯西收敛准则）：数项级数收敛的必要条件是它的部分和序列收敛。
即，如果部分和序列Sₙ=a₁+a₂+⋯+aₙ收敛，则数项级数也收敛。
这个方法常用于证明一些级数的发散。
2.比较判别法：将待判别的级数与已知级数进行比较，从而确定待判别级数的敛散性。
-比较判别法一：如果对于所有n，都有0≤bₙ≤aₙ，且∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。
如果∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。
-比较判别法二：如果对于所有n，都有aₙ≤bₙ≥0，且∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。
如果∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。
比较判别法常见的应用有比较无穷大级数、比较一致收敛级数和比较正项级数等。
3. 极限判别法（拉阿贝尔判别法）：对于正项级数(非负数列构成的级数)，如果存在极限lim(n→∞)(aₙ/aₙ₊₁)，则：-若极限存在且大于1，则级数发散；-若极限存在且小于1，则级数绝对收敛；-若极限等于1，则不能确定级数的敛散性。
极限判别法适用于有常数项的级数以及指数函数和幂函数构成的级数。
4. 积分判别法：对于正项级数∑aₙ，如果存在连续函数f(x)，满足aₙ = f(n)且f(x)在x≥1上单调递减，则∑aₙ和∫f(x)dx同敛散。
即，级数与积分的敛散性相同。
积分判别法适用于正项级数，特别适用于有幂函数构成的级数。
5.序列收敛法：将待判别级数的项化为序列的形式，然后判断这个序列是否收敛。
如果序列收敛，则级数收敛；如果序列发散或趋于正无穷，则级数发散。
序列收敛法适用于特定结构的级数，如差分级数。
以上是常用的判别数项级数敛散性的方法和技巧。
在具体问题中，可以结合使用不同的方法确定级数的敛散性。
需要注意的是，判别数项级数敛散性的方法与技巧是基于数学分析中的定理和推理的，需要熟练掌握并灵活运用。
判别数项级数敛散性的一些方法和技巧
例 ２ 判别 级数 （
一１ ）的敛 散性 ．
解 此 为 正项 级数 ， 于 一 ｃ 由 ｘ ， 。时
上
Ｔ ／
ｎ
则∑ 发散 。 ．
”一 １
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证 明 若 ≥ 。 ， 等式 （ ）成立 ， 时 不 １ 则
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Ｓ ＴＵＤＩ Ｎ ＯｌＬＥ ＥＳ Ｉ Ｃ ＧＥ Ｍ ＡＴＨ ＥＭ ＡＴＩ ＣＳ
高 等 数 学 研 究
３ ３
判 别 数 项 级 数 敛 散 性 的 一 些 方 法 和 技 巧
王 静 ，谭 康 。 ，任 秀娟 。
解 因为
ｓｎ（ ） ｉ 抛 一 ｎ ｉ ａ ｓｎ
— — — — 一
的敛 散性 ．
ｌ ｎｎ
堡
ｌ ｎ
： ｌ２ ｎ
— １。 ｎ
，
ｉ ｎｎ
ｎ＝ １
（ ＞ １ 的敛 散性． ）
都是 非 负递减 的 ， 当 Ｐ≠ ｌ时 ， 而
ｄ ｘ １ Ｉ ＋
解
因 为
ｘ ｎｘ 一 （ 一 声 １ｐ １ ｌＰ １ ）ｎ－ ２’
当 Ｐ＝ １时 ，
ｌ ｎｎ
：
一
ｌｎ ｎ
ｌ［ｎ １踟 ， ｎ １（ｎ … Ｌ… …… ‘
收敛 ， Ｐ≤ １ 发散 ． 时
Ⅱ ，
例 ５ 判别 级数
解 因 为
“”
一
“夕 ）的敛 散性 ． １
＼
６ 拆 项 法
将 一般 项用 等价 变 形 、 理 化 、 有 三角 基本 公 式等 拆成几 项 之差也 是一 种 常用 方法 ． 例 ７ 判 别级 数
微积分第二版课件第二节数项级数敛散性判别法
定理 正项级数 un 收敛的充分必要条件为：它的 n1
前n 项部分和所构成的数列 {Sn}有上界.
定理(比较判别法1) 设两个正项级数 un与 vn ,
n1
n1
如果满足 un vn ,(n 1,2,)，那么
(1) 若 vn收敛, 则 un 收敛.（大的收敛小的必收敛）
n1
n1
(2) 若 un 发散, 则 vn 发散. (小的发散大的必发散）
kvn (k
0) ，则正项级数
un
也发散.
n1
例
判定级数
(1)
n1
1 2n
; 1
(2)
n1
n 2n
1
n
的敛散性.
解
(1)因为
un
1 1 0(n 1,2,) 2n 1 2n
而级数
1
发散，由比较法知
1
发散.
n12n
n12n 1
(2)对于正项级数
n1
n n 2n 1
因为
un
n
n
比值的极限 lim un1 ，则
n1
n un
（1）当 1时，级数收敛；
（2）当 1 时，级数发散；
（3）当 1时，级数可能收敛也可能发散.
说明：比值判别法比比较判别法使用方便，它主 要判别一般项由指数幂或阶乘等形式构成的正项级数
的敛散性.但当 1 时，判别法失效.
例
判定 (1)
综合上述有 n1n1p当p 1时收敛，0 p 1时发散.
例 判定 (1)
1
, (2)
1
的敛散性.
n1(n 1)(n 4) n1n n 2
解
(1)因为 0 un
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华北水利水电学院数项级数敛散性判别法。
（总结）课程名称：高等数学（下）专业班级：成员组成联系方式：2012年5月18日摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。
但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。
有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。
但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。
所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。
关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。
英文题目Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them.Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment.引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。
并总结出判断敛散性的一般思维过程。
以下介绍相关定义及定理一、常数项级数的概念 定义：无穷多常数项累加求和...............4321++++=∑a a a a an常见的几类重要的常数项级数正项级数：级数中所有项均大于等于零。
交错级数：级数中的项正负相间的级数。
等比级数∑=++++++n n aq aq aq aq aq a (32)调和级数P--级数在以下的判别中这几类级数将会有重要的运用二、相关定理定理一：如果0lim ≠∞→n n a ，则可判断该级数一定不收敛。
111123n+++++11n n∞==∑1111123p p p p n+++++11pn n∞==∑定理二、等比级数判别法：)0(11≠∑∞=-a arn n当1<r 时，级数收敛； （2）当1≥r 时，级数发散定理三、--p 级数判别法：)0(11>∑∞=p n n p(1)当10≤<p 时，级数发散 (2)当1>p 时，级数收敛注：调和级数是特出的p 级数，这时p=1。
定理四、设∑n u 与∑n v 是两个正项级数，若当n n v u ≤且级数∑n v 收敛时，级数∑n u 也收敛； 当n n u v ≤且级数∑n v 发散时，级数∑n u 也发散；定理五、（极限形式）若∑n u为正项级数，且lim qu u n n =+1则(1)当1<q 时，级数∑n u 也收敛；(2)当1>q 时，或+∞=q 时，级数∑n u 发散；注：当1=q 时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛的，也可能是发散的.例如，级数∑21n 与∑n 1，它们的比式极限都是1lim1=+∞→n n n u u 但∑21n 是收敛的，而∑n 1是发散的.注：对于定理四和定理五当判断一个级数的敛散性时，需要构造一个级数，这个构造的过程就要求我们对一些常用的有特殊性质的级数有所了解。
例如：调和级数，等比级数，p 级数。
比较法虽然简单，但是需要构造新级数，所以比较麻烦。
以下介绍一种方法用于自身比较。
定理六、（极限形式）若∑nu 为正项级数，且1lim =∞→n n n u 则(1)当1<l 时，级数收敛 (2)当1>l 时，级数发散注：当1=l 时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，级数∑21n 与∑n 1，二者都有1lim =∞n nn u ，但∑21n 是收敛的，而∑n 1是发散的.但∑21n 是收敛的，而∑n1是发散的.定理七、 若交错级数nn n u ∑∞=--11)1(满足：（1）),2,1(1 =≥+n u u n n ； （2）lim =+∞→n n u ．则交错级数收敛绝对收敛与条件收敛对于一般项级数,21 ++++n u u u 其各项为任意实数，若级数∑∞=1n nu各项的绝对值所构成的正项级数∑∞=1n nu收敛，则称级数∑∞=1n nu绝对收敛；若级数∑∞=1n nu收敛，而级数∑∞=1n nu发散，则称级数∑∞=1n nu条件收敛．易知2111)1(n n n ∑∞=--是绝对收敛级数，而n n n 1)1(11∑∞=--是条件收敛级数．定理八、 若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu必收敛．对于有些特殊级数，既不是正项级数也不是交错级数，可以通过取绝对值，转换为正项级数后，再利用定理八，进行判断。
以下介绍一种通过积分判断的方法。
此方法的特点是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。
定理九 设)(x f 为[),1+∞上非负减函数，则正项级数∑)(n f 与反常积分⎰+∞1)(dxx f 同时收敛或同时发散。
证明：由假设)(x f 为[),1+∞上非负减函数，则对任何正数A ，)(x f 在[1，A]上可积，从而有⎰--≤≤nn n f dx x f n f 1)1()()(， ,3,2=n依次相加，得∑⎰∑∑-====-≤≤11122)()1()()(m n mmn mn n f n f dx x f n f若反常积分收敛，则对m ∀，有 ⎰⎰∑+∞=+≤+≤=111)()1()()1()(dxx f f dx x f f n f S mmn m 。
于是，知 级数∑)(n f 收敛。
反之，若级数∑)(n f 收敛，则对任意正整数)1(>m ，有∑∑⎰=≤=≤-=-Sn f n f S dx x f m n m m)()()(1111。
又因)(x f 为[),1+∞上非负减函数，故对任何1>A ，有 SS dx x f n A<≤≤⎰1)(0, 1+≤≤n A n 。
故知，反常积分⎰+∞1)(dxx f 收敛。
同理可证它们同时发散。
三、以下给出例题做具体分析例题1、判断级数∑∞=+11100n n n是否收敛解：010011100lim≠=+∞→n n n ，所以此级数发散。
但是当0lim =∞→n n u 时，不能判断该级数是否收敛。
例如∑∞=11n n 。
因此0lim =∞→n n u 只是一个必要条件，而非充分条件。
例题2、0>k ,且∑∞=12n na 收敛,证明k n a nn n+-∑∞=21)1(绝对收敛?(此题正是利用了比较法,轻松地证明了此题.)解：)1(22212k n a kn a n n ++≤+又∑∞=12n na 、∑∞=+121n kn 收敛,则k n a nn +∑∞=21收敛,故k n a nn n+-∑∞=21)1(绝对收敛.例题3、 判别级数∑∞=+⋅1)1ln 1(n n n n 的敛散性.解：利用不等式x x <ln 有1111ln 11ln 1+⋅-<+⋅-=+⋅=n n n n n n n n u n因为∑∞=+⋅1)111(n n n 收敛,故∑∞=+⋅1)1ln 1(n n n n 收敛.例题4 、断调和级数1111123n n ==++++∑∞1……n 的敛散性。
解 因为 1111123n n ==++++∑∞1……n 可以按如下加括号，得，级数....)16115114113112111110191()81716151()4131()211(++++++++++++++++而上述加括号后的级数的各项大于级数 (21)2121.......)161161161161161161161161()81818181()4141(21+++=+++++++++++++++的对应项，又后一级数112n =∑∞是发散的，所以原调和级数11n n =∑∞是发散的。
注:在级数敛散性判断时，对于某些一般项处理起来比较困难时，可以通过合并或拆分来使一般项变得方便处理。
例题5、判断级数∑∞=122sin n n n 是否收敛解：因2221sin n n n ≤，且∑∞=121n n 为p=2时的p 级数，此级数收敛。
所以∑∞=122sin n n n 也收敛。
注：如果级数中不是所有的项都满足n n u v ≤，而是从有限项开始才满足。
也可以用比较法判断敛散性。
因为改变级数的前有限项不改变级数的敛散性。
例题6、 证明级数+++++!1!31!211n收敛．证 n n u n ⨯⨯⨯⨯== 3211!1满足121!10-<<n n ，而11)21(-∞=∑n n 是等比级数)121(<=q ，由比较判别法可知，级数∑∞=1!1n n 收敛．本题应用比较法虽然可以解决，但是比较繁琐。
以下用比值法解该题。
解法二、因1lim lim1==∞→+∞→n a a n nn n ，所以判断该级数收敛。
例题7、 判别级数∑n 1sin的敛散性解：它不是等比级数也不是--p 级数，也无法用比式判别法和根式判别法来解题。
由于 111sin lim=∞→nn n ，根据比较原则，及调和级数∑n 1发散，所以级数∑n 1sin也发散.注：这是比较法的极限形势。