量子力学算符
量子力学算符
量子力学算符量子力学是描述微观世界的基础理论，它通过使用数学算符来描述和计算微观粒子的性质和运动。
在量子力学中，算符是表示物理量的数学对象，与经典物理中的变量相对应。
本文将探讨量子力学算符的定义、性质和应用。
一、算符的定义在量子力学中，算符是对量子态进行操作的数学工具。
算符可以表示物理量，如位置、动量、能量等，也可以表示物理过程，如时间演化等。
算符通常用大写字母表示，如X、P、H等。
算符的本质是一个线性映射，它将一个量子态映射为另一个量子态。
量子态可以用波函数表示，在量子力学中，波函数描述了量子系统的状态。
算符作用在波函数上，将其转换为另一个波函数。
二、算符的性质1. 线性性质：算符是线性操作，满足线性叠加原理。
例如，对于两个波函数ψ1和ψ2，以及常数a和b，有A(aψ1 + bψ2) = aAψ1 + bAψ2。
2. 厄米性质：算符的厄米性质与其自伴性有关。
若算符A满足A†= A，则称A为厄米算符。
厄米算符的本征值是实数，并且本征态之间正交。
3. 正规性质：算符的正规性质与其对易性有关。
若算符A和B满足AB-BA = 0，则称A和B是对易的。
对于对易的算符，可以找到同时具有相同本征态的共同本征态。
三、算符的应用1. 算符的测量：在量子力学中，算符可以用来测量物理量。
例如，位置算符X可以测量粒子的位置，动量算符P可以测量粒子的动量。
测量的结果是算符的本征值，而测量后的量子态为对应本征值的本征态。
2. 算符的演化：算符可以描述量子系统的演化。
薛定谔方程描述了量子系统随时间的演化，其中哈密顿算符H起到了重要的作用。
哈密顿算符确定了系统的能量本征值和能量本征态。
3. 算符的相互作用：在量子力学中，不同算符之间可以相互作用。
例如，位置算符和动量算符满足不确定性原理，它们之间的对易关系导致了量子系统的不确定性和局域性。
四、结论量子力学算符是描述和计算量子系统的重要工具。
算符的定义、性质和应用使得我们能够更好地理解和解释微观世界中的现象。
高等量子力学_第二章_算符
条件（1） ：在值域中取一任意 ，证明在定义域有 存在：
1 AB AB
可见对于任意 ，确有 存在，这个 就是 B 。
条件（2） ：若 A 1 A 2 ，用 C 作用在此式两边：
CA 1 CA 2
但此式就是 1 2 ，条件(2)也得到满足，因此 A1 存在。
§2-2 算符的代数运算
在量子力学中，经常出现不可对易线性算符的代数运算， 在这一小节里，我们举几个较复杂的运算例子；并且用代数方 法证明两个常用的算符等式（2.9）和（2.14）两式。
设 A 和 B 为两个线性算符，互不对易。首先我们定义多重对 易式 [ Ai , B]和[ B, Ai ] ：
A A A A a A a
(2.1)
满足下列二条件的，称为反线性算符：
A A A A a A a
*
(2.2)
其中a是任意常数。在量子力学中出现的算符，绝大多数都是线 性算符，下面我们只讨论线性算符。 算符对其定义域中每一个右矢作用，都应有确定的结果。 定义一个具体的算符应当规定其定义域，并指出它对其定义域 中每一个矢量作用的结果。而确定一个具体的线性算符，只须 规定它对其定义域中的一组线性无关的右矢（例如一组基矢） 中每个右矢的作用结果即可。
A B
若两个算符 A和B 满足
[ A, B] AB BA
AB BA
则说这两个算符是可对易的，或称为两个算符对易。 定义： (2.2)
经常使用的几个对易关系：
ˆ ˆ ˆ ˆ [ F , G ] [G , F ]
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [F , G M ] [F , G ] [F , M ]
量子力学之算符
i
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
x pˆ pˆ x i
pˆ pˆ pˆ pˆ 0
, x, y, z
量子力学中最基本的 对易关系。
xpˆ y pˆ y x 0
xpˆ z
pˆ z
x
0
pˆ x pˆ y pˆ y pˆ x 0
ypˆ x pˆ x y 0 zpˆ x pˆ xz 0
~ x
x
)
0
由于ψ、φ是 任意波函数,
( ~ x
x
)
0
~ x
x
所以
同理可证:
~ pˆ x pˆ x
可以证明： ( Aˆ Bˆ ) B~ˆ A~ˆ
(11)厄密共轭算符
算符 Ô 之厄密共轭算符 Ô + 定义:
由此可得：:
d *Oˆ d (Oˆ )*
d *Oˆ d (Oˆ )*
pˆ* (i)* i pˆ
（10）转置算符
算 符Uˆ 的 转 置 算 符U~ˆ 定 义 为 ：
d *U~ˆ dUˆ *
式中 和 是两个任意函数。
例1：
~ x
x
证：
dx
*
~ x
利用波函数标准条件: 当|x|→∞ 时ψ,→ 0。
dx
x
*
* |
dx
*
x
dx
*
x
dx
*
(
（2）算符相等
若两个算符 Ô 、Û 对体系的任何波函数 ψ的运算结果都相 同，即Ô ψ= Û ψ，则算符Ô 和算符Û 相等记为Ô = Û 。
（3）算符之和
Hˆ Tˆ Vˆ
表明
Ham ilton算 符Hˆ 等 于
量子力学中的算符与物理量
量子力学中的算符与物理量在量子力学中，算符（Operator）是一种表示物理量的数学对象，它描述了物理系统的性质和行为。
通过算符的作用，我们可以求解量子态的能量、动量、位置等物理量，从而揭示微观世界的奥秘。
本文将介绍量子力学中算符的定义和性质，并探讨与算符相关的物理量。
一、算符的定义与性质算符是量子力学中的核心概念之一，它是用来描述物理系统的性质和演化规律的数学对象。
在量子力学中，每个可观测的物理量都与一个算符相对应。
算符的定义基于量子态（Quantum State），它可以是一个向量或一个波函数。
在量子力学中，算符通常表示为大写字母，例如A，B，C等。
算符可以作用在量子态上，得到另一个量子态或者量子态所对应的物理量的期望值。
算符的一些基本性质如下：1. 线性性: 算符在量子态上的作用是线性的，即对于量子态的叠加态，算符的作用等于对每个叠加量子态作用后的结果的叠加。
例如，对于两个量子态|a⟩和|b⟩，算符A作用在这两个量子态上的结果是A|a⟩和A|b⟩，则对于叠加态α|a⟩+ β|b⟩，算符A作用的结果是αA|a⟩+ βA|b⟩。
2. Hermite算符: Hermite算符是指满足Hermite共轭性质的算符。
Hermite共轭性质是指算符A在内积中的性质，即对于任意量子态|a⟩和|b⟩，有⟨a|A†|b⟩ = ⟨b|A|a⟩†，其中†表示伴随算符。
Hermite算符在量子力学中是非常重要的，因为它们与物理量的实数性质密切相关。
3. 单位算符: 单位算符是一个与量子态的内积保持不变的算符。
对于任意量子态|a⟩，单位算符作用之后得到该量子态本身，即I|a⟩ =|a⟩。
单位算符在量子力学中起到了标定基准的作用，它不改变量子态的性质。
二、算符与物理量在量子力学中，每个物理量都与一个算符相对应，这个算符被称为物理量算符。
物理量算符的本质是描述物理量的统计规律和演化规律，通过它我们可以求解量子态所对应的物理量的期望值。
量子力学中的量子力学算符与测量
量子力学中的量子力学算符与测量量子力学算符是量子力学中的基本概念之一，用来描述物理系统的性质和变化。
而测量是量子力学中的核心操作之一，用来获取物理系统的信息。
接下来，我们将深入探讨量子力学中的量子力学算符与测量的相关概念和应用。
一、量子力学算符量子力学算符是用来描述量子体系的物理量的操作。
在量子力学中，物理量用算符表示，而算符对应的本征方程确定了物理系统的状态和性质。
常见的量子力学算符包括位置算符、动量算符、角动量算符等。
位置算符（x）用来描述粒子的位置信息，它的本征态是位置空间中的位置函数，表示粒子在不同位置的概率分布。
动量算符（p）用来描述粒子的动量信息，它的本征态是动量空间中的动量函数，表示粒子具有不同动量的概率分布。
角动量算符（L）用来描述粒子的自旋和轨道角动量，它的本征态是自旋或角动量空间中的波函数，表示粒子具有不同自旋或角动量的概率分布。
二、测量在量子力学中，测量是用来获取物理系统信息的过程。
测量的结果可以是物理量的具体数值，也可以是物理量的本征值，测量不同物理量会导致物理系统不同的状态演化。
量子力学中的测量原理主要包括两个关键概念：本征值和本征态。
对于一个可观察量的算符A，它的本征值（a）是对应本征态（|a⟩）的特征值和特征态。
当我们进行测量时，系统将塌缩到某个本征态上，并得到对应的本征值。
测量过程中，根据量子力学的统计解释，测量结果并不是唯一确定的，而是具有一定的概率分布。
这与经典物理中的确定性测量不同，是量子理论的核心特征之一。
三、算符与测量的关系量子力学算符与测量存在着密切的关系。
通过算符的本征值问题可以确定测量结果的可能值，并且测量操作可以通过算符的作用来实现。
以位置算符为例，测量粒子的位置相当于对位置算符进行测量操作。
测量结果将对应粒子出现在不同位置的概率分布，并且测量结果必须是位置算符的本征值。
同样地，动量算符和角动量算符也可以通过类似的方式进行测量。
测量粒子的动量或角动量将得到相应的本征值。
量子力学中的算符
量子力学中的算符量子力学是理论物理学中的重要分支，用于描述微观世界的粒子行为。
在量子力学中，算符是解释和计算系统性质的工具。
算符是操作符号，表示对物理量进行测量或变换的数学操作。
本文将探讨量子力学中的算符及其应用。
一、算符的基本概念在量子力学中，算符是一个函数，作用于量子力学中的态函数，给出经典力学量对应的观测值。
算符通常用大写字母表示，如位置算符X、动量算符P、能量算符H等。
算符的本质是线性变换，它可以将一个态函数变换为另一个态函数。
二、算符的性质1. 线性性：算符对态函数具有线性性质，即对任意态函数ψ和φ以及实数a和b，有A(aψ + bφ ) = aAψ + bAφ。
2. 非可交换性：在量子力学中，算符通常是非可交换的。
即A * B ≠ B * A，其中A和B分别表示两个算符。
3. 唯一性：每个物理量在量子力学中都对应一个唯一的算符。
4. 厄米性：若算符A满足A = A†，则称其为厄米算符。
具有良好的厄米性质的算符对应的物理量是实数。
三、常见算符1. 位置算符X：位置算符表示粒子在空间中的位置。
在一维情况下，位置算符为X = x，其中x是位置的本征值。
2. 动量算符P：动量算符描述粒子的运动状态。
动量算符P = -iħ∂/∂x，其中ħ是普朗克常数，∂/∂x是对位置的偏微分运算。
3. 能量算符H：能量算符描述系统的能量状况。
能量算符H作用于态函数时，能得到对应的能量本征值。
4. 自旋算符S：自旋算符用于描述粒子的自旋性质。
自旋算符具有非常特殊的性质，包括与角动量算符的关系等。
四、算符的应用算符在量子力学中具有重要的应用，下面分别介绍测量算符和演化算符两个方面。
1. 测量算符：量子力学中，算符的本质是测量物理量的工具。
测量算符用于计算在特定状态下的观测值。
以位置算符X为例，测量算符作用于态函数时，能够得到粒子在空间中的位置。
通过测量算符，可以确定微观量子系统的性质。
2. 演化算符：演化算符描述了量子力学中的态函数随时间的演化。
量子力学——算符（精品pdf）
算符
目录
一、位置算符
1.1 厄米算符 1.2 （位置算符）本征值与本征函数
1.3 正则对易关系
二、动量算符
2.1 动量算符导引 2.2 （动量算符）本征值与本征函数
七、自旋算符
7.1 概论 7.2 发展史 7.3 自旋量子数
7.3.1 基本粒子的自旋 7.3.2 亚原子粒子的自旋 7.3.3 原子和分子的自旋
中心的角色。角动量，动量，与能量是物体运动的三个基
本特性
目录 3.1 简介 3.2 数学定义 3.3 角动量是厄米算符 3.4 对易关系
3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.4 在经典力学里的对易关系 3.5 (角动量)本征值与本征函数
目录 1.1 厄米算符 1.2 本征值与本征函数 1.3 正则对易关系
返回目录 3/52
1.1厄米算符
由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以，可观察量 O 的期望值是 实值的：
对于任意量子态 ，这关系都成立：
根据伴随算符的定义，假设 是 的伴随算符，则
因此，
这正是厄米算符的定义。所以，表示可观察量的算符 ，都是厄米算符。
2.3 厄米算符 2.4 正则对易关系
7.3.4 自旋与统计
7.4 自旋的方向
三、角动量算符
3.1 简介 3.2 数学定义 3.3 角动量是厄米算符 3.4 对易关系
3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系
经过一番繁杂的运算，终于得到想要的方程
量子力学中的算符
量子力学中的算符量子力学是描述微观粒子行为的理论，其基本概念之一就是算符。
算符（operator）是量子力学中的基本数学工具，用于描述物理量的测量和演化。
本文将从算符的定义、性质以及在量子力学中的应用等方面进行探讨。
一、算符的定义和性质在量子力学中，算符是描述物理量的数学对象，用于描述系统的状态演化和物理量的测量。
算符作用在量子态上，改变其状态或作用于态矢量的波函数。
1. 算符的基本性质算符具有线性性质，即对于任意的复数a和量子态|ψ⟩、|φ⟩，有：A(a|ψ⟩+ b|φ⟩) = aA|ψ⟩+ bA|φ⟩其中A为算符。
2.算符的厄米性在量子力学中，与每个物理量都有对应的算符。
一个算符是厄米算符，当且仅当它等于其自身的共轭转置，即：A† = A3.算符的本征值与本征态对于算符A，若存在一个常数a和一个非零的量子态|ψ⟩，满足：A|ψ⟩= a|ψ⟩则称a为算符A的本征值（eigenvalue），|ψ⟩为相应的本征态（eigenstate）。
二、算符在量子力学中的应用算符在量子力学中有广泛的应用，下面以几个典型例子来说明其用途。
1.位置算符和动量算符在量子力学中，位置和动量是物理量的基本概念。
对于位置算符X和动量算符P，其定义分别为：X = x，P = -iℏ(d/dx)其中x是位置的算符，ℏ是普朗克常数。
2.哈密顿算符哈密顿算符H在量子力学中描述了体系的能量。
在定态情况下，哈密顿算符作用于波函数后应得到该态的能量值，即：H|ψ⟩= E|ψ⟩其中E为能量的本征值，|ψ⟩为相应的能量本征态。
3.时间演化算符在量子力学中，时间演化算符描述了系统随时间的演化。
设系统在初始时刻t=0时处于量子态|ψ(0)⟩，则该态在后续时刻t的演化由时间演化算符U(t)给出，即：|ψ(t)⟩= U(t)|ψ(0)⟩三、结语算符是量子力学中的重要数学工具，用于描述物理量的测量和演化。
本文介绍了算符的定义、性质以及在量子力学中的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5.3 量子力学算符
1.算符及其运算
算符(operator)是代表进行某种运算规则的一种符号。
例如，数学算符ln 、x
d d
等，
其所进行的运算规则大家是熟悉的。
算符的作用是：算符作用在一个函数上，得到一个新
函数。
如函数f ＝x ２则算符x d d
作用其上即x
f x f 2'd d ==。
令A ˆ表示一个任意的算符(即用“∧”来标记算符)，如果A
ˆ将函数f (x )变成新函数g (x )，就可写成)()(A ˆ
x g x f =。
算符的运算是：若两个算符相加，即
)(B ˆ)(A ˆdef )()B ˆA
ˆ(x f x f x f ++；两个算符相乘，即
)]
(B ˆ[A ˆdef )()B ˆA ˆ(x f x f ；一个算符的平方，则是)]
(A ˆ[A ˆdef )(A ˆ2x f x f ；算符的乘法是结合的，
即)C ˆ
B ˆ(A ˆ
C ˆ
)B ˆA ˆ(=；算符的乘法和加法是分配的，即C ˆ
A ˆ
B ˆ
A ˆ)C ˆ
B ˆ
(A ˆ+=+；若算符A ˆ与B ˆ不是对易的，必有A ˆB ˆB ˆA
ˆ≠；若算符A ˆ和B ˆ是对易的必有A ˆB ˆB ˆA ˆ=。
2.量子力学算符
在量子力学中，系统的每一个力学量都有一个相应的算符。
如坐标x 的算符X
ˆ，动量Ｐx 的算符x P ˆ
，势能Ｖ的算符V ˆ。
不同的力学量算符对波函数的作用方式不同。
如
ψψx =X ˆ，
x i x ∂∂=ψψ P ˆ。
利用算符可非常方便地表示量子力学公式。
如
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∇2222222
def z y x 叫拉普拉斯算符
（laplace operator),
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡+∇-V ˆ2def H ˆ22
m 叫哈密顿算符(Hamilton operator)，利用这些算符则定态薛定谔方程式(5-１１）可简化地表示成
ψψE m =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+∇-V ˆ222 （5-１５）
或ψψE =H ˆ
（5-１６）
3.本征方程
若一个算符作用在一个函数上的结果是一个与该函数成比例的函数，则此函数就称为该算符的一个本征函数（eigen
function)，而比例常数为本征值(eigenvalu)，该方
程式则叫本征方程（eigen equation)。
如方程(5-１６）就是一个本征方程，ψ则为算符H
ˆ的本征函数，而E 为算符的本征值。