非线性偏微分方程

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偏微分方程的分类

偏微分方程的分类偏微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。

根据方程中未知函数的自变量的个数和方程中出现的最高阶导数的个数不同，可以将偏微分方程分为几类。

一、偏微分方程的分类1. 一阶偏微分方程：当方程中出现的最高阶导数为一阶导数时，我们称之为一阶偏微分方程。

一阶偏微分方程在物理学和工程学中有着广泛的应用，如热传导方程、波动方程等。

2. 二阶偏微分方程：当方程中出现的最高阶导数为二阶导数时，我们称之为二阶偏微分方程。

二阶偏微分方程是偏微分方程中最为常见的一种，例如泊松方程、亥姆霍兹方程等。

3. 高阶偏微分方程：除了一阶和二阶偏微分方程之外，还存在高阶偏微分方程，即方程中出现的最高阶导数大于二阶导数的情况。

高阶偏微分方程在某些特定的领域中有着重要的应用，如梁-爱因斯坦方程等。

4. 线性偏微分方程：线性偏微分方程是指方程中未知函数及其导数之间是线性关系的偏微分方程。

线性偏微分方程的性质相对容易研究，通常可以通过变量分离、特征线法等方法求解。

5. 非线性偏微分方程：非线性偏微分方程是指方程中未知函数及其导数之间是非线性关系的偏微分方程。

非线性偏微分方程的性质较为复杂，通常需要借助数值方法或者变换方法求解。

6. 椭圆型偏微分方程：椭圆型偏微分方程是指方程的二阶导数中的系数满足某些条件，使得方程在解析性质上类似于椭圆形的偏微分方程。

椭圆型偏微分方程在静电场、稳态热传导等问题中有着重要应用。

7. 抛物型偏微分方程：抛物型偏微分方程是指方程的二阶导数中的系数在某些条件下，使得方程在解析性质上类似于抛物线的偏微分方程。

抛物型偏微分方程在热传导、扩散等问题中有着广泛的应用。

8. 双曲型偏微分方程：双曲型偏微分方程是指方程的二阶导数中的系数在某些条件下，使得方程在解析性质上类似于双曲线的偏微分方程。

双曲型偏微分方程在波动传播、振动等问题中有着重要的应用。

二、结语偏微分方程的分类为我们理解和研究不同类型的偏微分方程提供了一定的指导。

monge—ampére方程边值问题的多解

monge—ampére方程边值问题的多解Monge—Ampère方程是一个非线性偏微分方程，常用于描述凸函数的性质。

它的边值问题是一个经典的数学问题，研究了其中的多解性质。

在本文中，我们将探讨Monge—Ampère方程边值问题的多解性质。

首先，我们来定义Monge—Ampère方程的边值问题。

假设Ω是一个有界开集，u是定义在Ω上的一个二次连续可微函数。

我们考虑下面的非线性偏微分方程：det(D^2u) = f(x), x ∈Ω,u = g(x), x ∈∂Ω,其中D^2u是Hessian矩阵，det(D^2u)是其行列式，f(x)是已知函数，g(x)是边界条件。

这个方程描述了u的Hessian矩阵的行列式等于给定函数f(x)，同时边界上的值等于给定函数g(x)。

首先，我们考虑方程的存在性。

对于一般的函数f(x)和g(x)，Monge—Ampère方程的边值问题可能没有解。

这是由于方程的非线性性质导致的。

然而，当f(x)和g(x)满足一定的条件时，方程的解是存在的。

具体的存在性定理可以通过正则化方法证明。

接下来，我们来讨论方程的唯一性。

对于一般的函数f(x)和g(x)，Monge—Ampère方程的边值问题可能有多个解。

这是由于方程的非线性性质导致的。

事实上，我们可以构造出一些例子来说明这一点。

例如，考虑一个二维平面上的圆形区域Ω，边界条件为u(x,y) = x^2 + y^2。

我们可以选择不同的函数f(x)来满足边界条件。

对于f(x) = 4，方程的解是唯一的，即u(x,y) = x^2 + y^2。

然而，对于f(x) = 8，方程的解不再唯一。

事实上，我们可以构造出无穷多个解，如u(x,y) = x^2 + y^2 + h(x,y)，其中h(x,y)是任意的二次连续可微函数。

这个例子表明，Monge—Ampère方程边值问题可以有多个解。

偏微分方程的一些基本概念和应用

偏微分方程的一些基本概念和应用偏微分方程是数学中的一个分支，涉及到一些物理现象，例如热传导、流体力学、电子学等等。

偏微分方程中的“偏”指的是方程中包含多个变量，而“微分”指的是对这些变量进行求导。

在本文中，我们将介绍一些偏微分方程的基本概念以及它们在科学和工程中的应用。

基本概念偏微分方程可以分为两类：线性和非线性。

线性偏微分方程的一般形式如下：$$L(u)=\sum_{|\alpha|\leq m}a_{\alpha}(x)\partial^{\alpha}u=f(x)$$其中 $u=u(x)$ 是待求函数，$\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)$ 是一个 $n$ 维非负整数向量，$|\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_n$ 是它的范数。

$\partial^{\alpha}=\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partialx_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}...\partial x_n^{\alpha_n}}$ 是一个多元偏导数算子。

$L(u)$ 是一个线性微分算子，它可以表示成一个多项式：$$L(u)=\sum_{|\alpha|\leqm}a_{\alpha}(x)\partial^{\alpha}u=a_{00}(x)u+\sum_{|\alpha|=1}a_{\ alpha}(x)\partial^{\alpha}u+\sum_{|\alpha|=2}a_{\alpha}(x)\partial^{\ alpha}u+...+\sum_{|\alpha|=m}a_{\alpha}(x)\partial^{\alpha}u$$其中 $m$ 是一个非负整数，$a_{\alpha}(x)$ 是一个与 $x$ 有关的系数函数。

$f(x)$ 是一个已知函数，它称为右端源项。

俞正强方程的认识课堂实录

俞正强方程的认识课堂实录俞正强方程是指由俞正强教授提出的一组非线性偏微分方程，其形式如下：∂u/∂t + ∂(u^n)/∂x = ν∂^2u/∂x^2。

其中，u表示未知函数，t和x分别表示时间和空间变量，n是一个正实数，ν是一个正实数或复数，表示扩散系数。

这个方程在数学物理领域中具有重要的意义，它描述了一类非线性扩散现象。

在物理学和应用数学中，这类方程被广泛应用于描述各种现象，如流体力学、传热、生物学等领域。

对于这个方程的理解，可以从多个角度进行分析。

首先，从数学角度来看，这是一个非线性偏微分方程。

非线性指的是方程中包含了未知函数u的幂次项，使得方程的解不再满足线性叠加原理。

偏微分方程表示未知函数u对时间t和空间x的偏导数之间存在关系，即方程中包含了函数的导数。

这种方程的求解需要借助数学分析和数值计算等方法。

其次，从物理角度来看，这个方程描述了一种非线性扩散现象。

扩散是指物质在空间中由高浓度区域向低浓度区域传播的过程。

而非线性扩散则表示扩散速率与浓度之间存在非线性关系，即浓度的高低对扩散速率有显著影响。

这种现象在自然界和工程领域中都普遍存在，如流体中的湍流扩散、热传导中的非线性热扩散等。

此外，从应用角度来看，俞正强方程在科学研究和工程应用中有着广泛的应用价值。

通过对这个方程的研究，可以揭示非线性扩散现象的特性和规律，为相关领域的问题提供解决思路和方法。

例如，在流体力学中，可以通过该方程研究湍流的扩散行为，从而优化工业过程中的混合和传输过程；在生物学中，可以利用该方程研究物质在细胞中的传输行为，从而深入理解生物体内的物质交换过程。

总结起来，俞正强方程是一组非线性偏微分方程，描述了一类非线性扩散现象。

从数学、物理和应用角度来看，它具有重要的理论和实际意义，对于揭示非线性扩散现象的特性和规律，以及解决相关问题具有重要的作用。

黎卡提方程与最优控制

黎卡提方程与最优控制
目录
• 黎卡提方程简介 • 最优控制理论 • 黎卡提方程与最优控制的关联 • 黎卡提方程与最优控制的未来发展
01
黎卡提方程简介
黎卡提方程的定义
黎卡提方程是一类非线性偏微分方程，通常用于描述物理、工程和金融等领域中的动态系统。
它是由意大利数学家黎卡提在19世纪提出的，因此以他的名字命名。
求解最优解
结合最优控制方法，可以求解黎卡提方程，得到最优解。
两者相互影响的实例分析
线性二次调节器问
题
这是一个典型的例子，其中黎卡提方程和最优控制理论相互影响，共同决定了系统的最优性能。
经济调度问题
在电力系统的经济调度中，通过应用黎卡提方程和最优控制理论，可以实现电力系统的经济运行。
机器人轨迹规划
随机型最优控制问题
这类问题中，系统的状态和输入都是随机的，目标是找到最优的控制策略使得期望的性能指标达到最优。
最优控制的应用实例
航天器轨道控制
通过最优控制理论，可以设计出最优的轨道控制策略，使得航天器能够以最小的燃料消耗和最短的时间完成轨道转移。
电力系统调度
通过最优控制理论，可以设计出最优的电力系统调度策略，使得电力系统的运行成本最低，同时满足电力需求和安全运行的要求。
在机器人轨迹规划中，利用黎卡提方程描述机器人动态，并应用最优控制理论实现轨迹优化。
04
黎卡提方程与最优控制的未来发展
黎卡提方程的深入研究领域
黎卡提方程的数值解法
研究更高效、稳定的数值算法，以解决高维、非线性黎卡提方程的求解问题。
黎卡提方程的稳定性分析
深入探讨黎卡提方程解的稳定性条件，为实际应用提供理论支持。

偏微分方程的解法

偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中的一个重要分支，它描述了多变量函数的偏导数之间的关系。

这些方程在自然科学、工程应用和社会科学等领域都发挥着重要作用。

解决偏微分方程是一个复杂而有挑战性的过程，需要运用多种数学方法和工具来求解。

在本文中，我将为您介绍几种常见的偏微分方程的解法，并提供一些示例以帮助您更好地理解。

以下是本文的主要内容：1. 一阶线性偏微分方程的解法1.1 分离变量法1.2 特征线方法2. 二阶线性偏微分方程的解法2.1 分离变量法2.2 特征值法2.3 Green函数法3. 非线性偏微分方程的解法3.1 平移法3.2 线性叠加法3.3 变换法4. 数值方法解偏微分方程4.1 有限差分法4.2 有限元法4.3 谱方法5. 偏微分方程的应用领域5.1 热传导方程5.2 波动方程5.3 扩散方程在解一阶线性偏微分方程时，我们可以使用分离变量法或特征线方法。

分离变量法的基本思路是将方程中的变量分离，然后通过积分的方式求解每个分离后的常微分方程，最后再将结果合并。

特征线方法则是将方程中的变量替换为新的变量，使得方程中的导数项消失，从而简化求解过程。

对于二阶线性偏微分方程，分离变量法、特征值法和Green函数法是常用的解法。

分离变量法的核心思想与一阶线性偏微分方程相似，将方程中的变量分离并得到常微分方程，然后进行求解。

特征值法则利用特征值和特征函数的性质来求解方程，适用于带有齐次边界条件的问题。

Green函数法则通过引入Green函数来求解方程，其特点是适用于非齐次边界条件的情况。

非线性偏微分方程的解法则更加复杂，常用的方法有平移法、线性叠加法和变换法。

这些方法需要根据具体问题的特点选择合适的变换和求解技巧，具有一定的灵活性和创造性。

除了上述解析解法，数值方法也是解偏微分方程的重要手段。

常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。

偏微分方程的分类与应用场景

偏微分方程的分类与应用场景偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中研究函数的微分方程的一种重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

它描述了多个变量之间的关系，并用于研究自然界中的各种现象和问题。

本文将探讨偏微分方程的分类以及在不同应用场景中的具体应用。

一、偏微分方程的分类偏微分方程按照方程所涉及的变量和未知函数的阶数，可以分为各种类型，常见的分类如下：1. 一阶偏微分方程（First-order PDEs）：这类方程中，未知函数及其偏导数的最高阶数为一阶。

例如线性传热方程、线性对流方程等都属于一阶PDEs。

2. 二阶偏微分方程（Second-order PDEs）：这类方程中，未知函数及其偏导数的最高阶数为二阶。

二阶偏微分方程是研究最广泛且也最有挑战性的类型，常用于描述波动、扩散、静电场和引力场等现象。

其中常见的二阶偏微分方程包括泊松方程、热方程和亥姆霍兹方程等。

3. 高阶偏微分方程（Higher-order PDEs）：这类方程中，未知函数及其偏导数的最高阶数大于二阶。

高阶偏微分方程往往需要更复杂的数学方法和技巧来求解，因此在实际应用中较为罕见。

4. 线性偏微分方程（Linear PDEs）：这类方程中，未知函数及其偏导数之间的关系是线性的。

线性偏微分方程的求解比较容易，且可以通过叠加原理进行求解。

常见的线性偏微分方程有波动方程、亥姆霍兹方程和拉普拉斯方程等。

5. 非线性偏微分方程（Nonlinear PDEs）：这类方程中，未知函数及其偏导数之间的关系是非线性的。

非线性偏微分方程的求解相对困难，往往需要借助数值计算或其他近似方法来求解。

非线性偏微分方程在流体力学、非线性光学等领域具有重要应用。

二、偏微分方程的应用场景1. 热传导方程（Heat Equation）：热传导方程是一种描述物质温度分布随时间变化的偏微分方程，常应用于研究热传导、换热和热流动等问题。

非线性偏微分方程

FINITE DIMENSIONAL REDUCTION OF NONAUTONOMOUS DISSIPATIVESYSTEMSAlain MiranvilleUniversit´e de Poitiers Collaborators:Long time behavior of equations of the formy′=F(t,y)For autonomous systems:y′=F(y)In many situations,the evolution of the sys-tem is described by a system of ODEs:y=(y1,...,y N)∈R N,F=(F1,...,F N)Assuming that the Cauchy problemy′=F(y),y(0)=y0,is well-posed,we can deﬁne the family of solv-ing operators S(t),t≥0,acting on a subset φ⊂R N:S(t):φ→φy0→y(t)This family of operators satisﬁesS(0)=Id,S(t+s)=S(t)◦S(s),t,s≥0We say that it forms a semigroup onφQualitative study of such systems:goes back to Poincar´eMuch is known nowadays,at least in low di-mensionsEven relatively simple systems can generate very complicated chaotic behaviorsThese systems are sensitive to perturbations: trajectories with close initial data may diverge exponentially→Temporal evolution unpredictable on ti-me scales larger than some critical value→Show typical stochastic behaviorsExample:Lorenz systemx′=σ(y−x)y′=−xy+rx−yz′=xy−bzObtained by truncature of the Navier-Stokes equationsGives an approximate description of a layer of ﬂuid heated from belowSimilar to what is observed in the atmosphereFor a suﬃciently intense heating:sensitive dependence on the initial conditions,repre-sents a very irregular convection→Butterﬂy eﬀectVery often,the trajectories are localized in some subset of the phase space having a very complicated geometric structure(e.g.,locally homeomorphic to the product of R m and a Cantor set)→Strange attractor(Ruelle and Takens)Main feature of a strange attractor:dimen-sionSensitivity to initial conditions:>2(dimen-sion of the phase space≥3,say,3)Contraction of volumes:its volume is equal to0→noninteger,strictly between2and3→Fractal dimensionExample:Lorenz system:dim F A=2.05...Distributed systems:systems of PDEsφis a subset of an inﬁnite dimensional func-tion space(e.g.,L2(Ω)or L∞(Ω))Solution:y:R+→φt→y(t)x→y(t,x)If the problem is well-posed,we can deﬁne the semigroup S(t):S(t):φ→φy0→y(t)The analytic structure of a PDE is much more complicated than that of an ODE:the global well-posedness can be a very diﬃcult problemSuch results are known for a large class of PDEs→it is natural to investigate whether the notion of a strange attractor extends to PDEsSuch chaotic behaviors can be observed in dissipative PDEsChaotic behaviors arise from the interaction of•Energy dissipation in the higher part of the Fourier spectrum•External energy income in the lower part•Energyﬂux from the lower to the higher modesThe trajectories are localized in a”thin”in-variant region of the phase space having a very complicated geometric structure→the global attractor1.The global attractor.S(t)semigroup acting on E:S(t):E→E,t≥0S(0)=Id,S(t+s)=S(t)◦S(s),t,s≥0 Continuity:x→S(t)x is continuous on E,∀t≥0A set A⊂E is the global attractor for S(t)if(i)it is compact(ii)it is invariant:S(t)A=A,t≥0(iii)∀B⊂A,lim t→+∞dist(S(t)B,A)=0dist(A,B)=supa∈A infb∈Ba−b EEquivalently:∀B⊂φbounded,∀ǫ>0,∃t0= t0(B,ǫ)s.t.t≥t0implies S(t)B⊂UǫThe global attractor is uniqueIt is the smallest closed set enjoying(iii)It is the maximal bounded invariant setTheorem:(Babin-Vishik)We assume that S(t)possesses a compact attracting set K, i.e.,∀B⊂E bounded,lim t→+∞dist(S(t)B,K)=0Then S(t)possesses the global attractor A.The global attractor is oftenﬁnite dimen-sional:the dynamics,restricted to A isﬁnite dimensionalFractal dimension:Let X be a compact setdim F X=lim supǫ→0+ln Nǫ(X)ǫNǫ(X):minimum number of balls of radius ǫnecessary to cover XIf Nǫ(X)≤c(1Theorem:(H¨o lder-Ma˜n´e theorem)Let X⊂E compact satisfy dim F X=d and N>2d be an integer.Then almost every bounded linear projector P:E→R N is one-to-one on X and has a H¨o lder continuous inverse.This result is not valid for other dimensions (e.g.,the Hausdorﬀdimension)If A hasﬁnite fractal dimension,then,ﬁxing a projector P satisfying the assumptions of the theorem,we obtain a reduced dynamical system(S),S= P(A),which isﬁnite dimensional(in R N)and H¨o lder continuousDrawbacks:(S)cannot be realized as a system of ODEs which is well-posedReasonable assumptions on A which would ensure that the Ma˜n´e projectors are Lipschitz are not knownComplicated geometric structure of A and AThe lower semicontinuitydist(A0,Aǫ)→0asǫ→0is more diﬃcult to prove and may not hold It may be unobservable:∂y∂x2+y3−y=0,x∈[0,1],ν>0y(0,t)=y(1,t)=−1,t≥0A={−1}There are many metastable”almost station-ary”equilibria which live up to t⋆≡eν−12.Inertial manifolds.A Lipschitzﬁnite dimensional manifold M⊂E is an inertial manifold for S(t)if(i)S(t)M⊂M,∀t≥0(ii)∀u0∈E,∃v0∈M s.t.S(t)u0−S(t)v0 E≤Q( u0 E)e−αt,α>0,Q monotonicM contains A and attracts the trajectories exponentiallyConﬁrms in a perfect way theﬁnite dimen-sional reduction principle:The dynamics reduced to M can be realized as a Lipschitz system of ODEs(inertial form)Perfect equivalence between the initial sys-tem and the inertial formDrawback:all the known constructions are based on a restrictive condition,the spectral gap condition→The existence of an inertial manifold is not known for several important equations, nonexistence results for damped Sine-Gordon equations3.Exponential attractors.A compact set M⊂E is an exponential at-tractor for S(t)if(i)It hasﬁnite fractal dimension(ii)S(t)M⊂M,∀t≥0(iii)∀B⊂E bounded,dist(S(t)B,M)≤Q( B E)e−αt,α>0,Q monotonicM contains AIt is stillﬁnite dimensional and one has a uni-form exponential control on the rate of at-traction of trajectoriesIt is no longer smoothDrawback:it is not unique→One looks for a simple algorithm S→M(S)Initial construction:non-constructible and valid in Hilbert spaces onlyConstruction in Banach spaces:Efendiev, Miranville,Zelik→Exponential attractors are as general as global attractorsMain tool:Compact smoothing property on the diﬀerence of2solutionsLet S:E→E.We consider the discrete dynamical system generated by the iterations of S:S n=S◦...◦S(n times)Theorem:(Efendiev,Miranville,Zelik)We consider2Banach spaces E and E1s.t.E1⊂E is compact.We assume that•S maps theδ-neighborhood Oδ(B)of a bounded subset B of E into B•∀x1,x2∈Oδ(B),≤K x1−x2 ESx1−Sx2 E1Then the discrete dynamical system gener-ated by the iterations of S possesses an ex-ponential attractor M(S)s.t.(i)M(S)⊂B,is compact in E anddim F M(S)≤c1(ii)S M(S)⊂M(S)(iii)dist(S k B,M(S))≤c2e−c3k,k∈N,c3>0 (iv)The map S→M(S)is H¨o lder continu-ous:∀S1,S2,dist sym(M(S1),M(S2))≤c4 S1−S2 c5,c5>0, wheredist sym(A,B)=max(dist(A,B),dist(B,A))S =supSh Eh∈Oδ(B)Furthermore all the constants only depend on B,E,E1,δand K and can be computed explicitly.Remarks:1)We have a mapping S→M(S)and,due to the H¨o lder continuity,we can construct continuous families of exponential attractors2)Exponential attractors for a continuous semigroup S(t):Prove that∃t⋆>0s.t.S⋆=S(t⋆)satisﬁes the assumptions of the theorem→M⋆for S⋆If(x,t)→S(t)x is Lipschitz(or H¨o lder)on B×[0,t⋆],setS(t)M⋆M=∪t∈[0,t⋆]We again have a mapping S(t)→M(S)which is H¨o lder continuous3)For damped hyperbolic equations:asymp-totically smoothing property4.Finite dimensional reduction of nonau-tonomous systems.Systems of the form∂yDrawback:the uniform attractor has inﬁnite dimension in general.Example:∂yThe family{A(t),t∈R}is a pullback attrac-tor for U(t,τ)if(i)A(t)is compact in E,∀t∈R(ii)U(t,τ)A(τ)=A(t),∀t≥τ(iii)∀B⊂E bounded,dist(U(t,t−s)B,A(t))=0lims→+∞Remarks:1)The pullback attractor is unique2)If the system is autonomous,we recover the global attractor3)In general,A(t)hasﬁnite fractal dimen-sion,∀t∈RDrawback:The forward convergence does not hold in generalExample:y′=f(t,y),where f(t,y)=−y if y≤0,(−1+2t)y−ty2 if t∈[0,1],and y−y2if t≥1Then A(t)={0},∀t∈R,but every trajectory starting from a neighborhood of0leaves this neighborhood never to enter it againThe forward convergence does not hold be-cause the rate of attraction is not uniform in t→This can be solved by constructing ex-ponential attractorsWe can construct a family{M(t),t∈R}, called nonautonomous exponential attractor, s.t.(i)dim F M(t)≤c1,∀t∈R,c1independent of t(ii)U(t,τ)M(τ)⊂M(t),∀t≥τ,(iii)∀B⊂E bounded,dist(U(t,τ)B,M(t+τ))≤Q( B E)e−αt,t∈R,t≥τ,α>0,Q monotonic(iii)implies the pullback attraction,but also the forward attraction→(i)and(iii)yield a satisfactoryﬁnite di-mensional reduction principle for nonautono-mous systemsRemarks:1)The time dependence is arbitrary2)The map U(t,τ)→{M(t),t∈R}is also H¨o lder continuous。

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非线性偏微分方程及其几种解法综述姓名：柏宝红学号：BY1004120目录1、绪论 (3)1.1背景 (3)1.2 现状 (7)2、非线性偏微分方程的几种解法 (10)2.1逆算符法 (10)2.2 齐次平衡法 (11)2.3 Jacobi椭圆函数方法 (12)2.4 辅助方程方法 (14)2.5 F-展开法 (15)2.6 双曲正切函数展开法 (17)1、绪论以应用为目的，或以物理、力学等其他学科问题为背景的微分方程的研究，不仅是传统应用数学中一个最主要的内容，也是当代数学的一个重要组成部分.它是数学理论与实际应用之间的一座重要桥梁，研究工作一直十分活跃，研究领域日益扩大。

目前微分方程研究的主体是非线性微分方程，特别是非线性偏微分方程(NLPDE).很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程的研究.现实生活的许多领域内数学模型都可以用NLPDE来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是NLPDE，另外，随着研究的深入，有些原先可用线性微分方程近似处理的问题，也必须考虑非线性的影响，所以对NLPDE的研究，特别是NLPDE求解精确解的研究工作就显示出了很重要的理论和应用价值，但是数学研究的结果，在目前还未能提供一种普遍有效的求精确解的方法.20世纪50年代以来，人们对非线性现象的研究中提出了“孤子”的概念，进而使得对NLPDE求解的研究成为非线性科学中的热点。

下面介绍一下孤立子理论的研究背景、研究现状。

1.1背景孤立子理论己经成为应用数学和数学物理的一个重要组成部分，在流体力学，等离子物理，经典场论，量子论等领域有着广泛的应用。

随着近代物理学和数学的发展，早在1834年由英国科学家Russell发现的孤立波现象近二十多年来引起了人们的极大关注，对这一现象的兴趣与日俱增.这是因为一方面孤立子具有粒子和波的许多性能，在自然界中有一定的普遍性，利用孤立子理论也成功地解释了许多物理上长期用经典理论未能解答的现象;另一方面，随着孤立子物理问题的深入研究，孤立子的数学理论也应运而生，并已初步形成比较完善的理论体系。

孤立子理论自1965年由Zabusky 和Kruskal 对孤立子(Soliton ，简称孤子)命名后得到了迅速地发展.究其原因是孤波现象无所不在，从天上涡旋星系的密度波，线，超流氦一3，超导JosePhson 结，磁学，结构相变，液晶，流体动力学以及基本粒子等，都与孤子有关.其发展大致可分三个阶段：第一阶段，主要是在19世纪.最早讨论孤立子问题的是ScottRussell 。

1844年英国工程师Russell 发现船在运河中快速行驶着，当这条船突然停止时，在船头附近产生了一个光滑的、像小山包一样的水波，然后这个水波离开船头保持它的形状和速度保持不变，接着这个水波的高度逐渐减少，最后在运河的一个拐弯处消失掉，他把这种水波称为孤立波，认为它就是流体运动的一个稳定解.直到1895年，荷兰阿姆斯特丹大学的Korteweg 教授和他的学生 devries 才一成功导出了著名KdV 方程，求出了与Russell 描述一致的即具有形状不变的脉冲状的孤立波解，在理论上证实了孤立波的存在，并对孤立波现象作了较为完整的分析，解释了Russell 的浅水波，解决了这个问题。

他们的数学模型为60t x xxx u uu u ++= （1.1）孤立波解为：21(,)sec (())22c u x t h x ct =- 后人称1(,)u x t 为1一孤立子解，如果令x ct ξ=-，那么1u 在平面上的图为图1.1所示图1.1 光滑孤立子1u 在u ξ-平面上的图形1965年美国数学家Kruskal 和abusky 对KdV 方程的孤立波解进行数学模拟，他们发现两个孤立波相撞之后，各自的运动方向和大小形状都保持不变.这种性质与物理中粒子的性质类似，因此他们称这种孤立波为孤立子.在通常情况下，人们把孤立波和孤立子混为一谈，不把它们区别开来。

与此同时，在1876一1882年发现的Backlund 变换，成为后来发展孤子理论的重要基础。

第二阶段大致可划在1955一1975年。

1955年，Fermi ，Pasta ，Ulam(FPU)将64个质点用非线性弹簧连成一条非线性振动弦，用计算机计算了一维非线性晶格在各个振动模之间的转换。

初始时，这些谐振子的所有能量都集中在一个质点上，其他63个质点的初始能量为零。

按照经典的理论，只要非线性效应存在，就会有能量均分，各态历经等现象出现，即任何微弱的非线性相互作用，可导致系统的非平衡状态向平衡状态的过渡。

但实际计算的结果却与经典理论是背道而驰.实际上，经过相当长时间之后，能量似乎又回到了原来的初始分布，这就是著名的FPU问题。

由于FPU问题是在频域空间考察的，未能发现孤波解，因此该问题未能得到正确的解释。

后来，人们发现可以把晶体看成具有质量的弹簧拉成的链条，这恰好是Fermi研究的情况。

Toda研究了这种模式的非线性振动，得到了孤波解，使FPU 问题得到正确的解答，从而进一步激发起人们对孤立波的研究兴趣。

1965年，zabusky和Kxusal对等离子体中孤立波的相互碰撞过程进行计算机数值模拟，进一步证实了孤立波在碰撞前后波形和速度保持不变的论断，并且把它命名为孤立子(soliton)，它是指一大类非线性偏微分方程的许多具有特殊性质的解，以及具有相应的物理现象，它的性质具体为：(1)能量比较集中；(2)孤立子相互碰撞时具有弹性散射现象。

从此孤立子理论的研究工作得到了迅速发展。

第三阶段(1973至今)，把孤子概念及理论广泛应用于物理学，生物学，天文学等各个领域，开展了高维孤子的研究.1980年非线性效应专刊PhysicaD问世，与此同时，光纤中的孤子已在实验中产生出来.此后的发展更是突飞猛进。

综上所述，孤立子理论的产生和发展是与近代物理密切相关的.孤立子理论不但包括了有关的数学理论，也包括了物理理论，数学的严密性和物理的启发性和实用性两者相互结合，相互依存，相互渗透，相互促进，使孤立子理论显示出强大的生命力，这也是现代自然科学发展的重要特征之一。

孤立子一词虽被广泛引用，但无一般性定义数学中，将孤立子理解为非线性偏微分方程的局部行波解，所谓局部是指微分方程的解在空间的无穷远处趋于零或确定常数的情况。

换言之，孤立子指的是稳定的孤立波，即与同类孤波碰撞后不会消失，而且波形、波速和幅度不会改变或只有微弱改变的孤立波.在物理中，孤立子被理解为经典场方程的一个稳定的有限能量的不弥散的解，即能量集中在一个狭小的区域内且相互作用后不改变波形和波速。

许多非线性发展方程，如KdV方程、Sine一Gordon方程、Boussinesq方程、KP方程，Toda 晶格方程等都具有孤立子解.孤立子除常见的钟型和扭型外还有包络孤子、哨孤子、拓扑性孤子和非拓扑性孤子、呼吸子、亮孤子和暗孤子、正孤子和反孤子以及它们叠加而形成的形形色色的孤立子。

1.2 现状求解微分方程是古老而在理论和实际上又很重要的研究课题，显示解，特别是行波解可以很好的描述各种物理现象，如振动、传播波等.但由于非线性微分方程的复杂性，至今仍有大量的重要方程无法求出精确解，即使己经求出精确解，也各有各的技巧，至今尚无一般的求解方法。

所幸的是孤立子理论中蕴涵着一系列构造精确解的有效方法，如反散射法(IST)、Bäcklund变换法、Darboux变换法、Hirota 双线性法、Painlevė有限展开法，延拓法及Lie群法等。

随着各种求解方法的出现，不但过去难以求解的方程得到解决，而且许多新的，具有重要物理意义的解不断被发现和利用。

1967年，Gardrier等人发明了求解KdV方程的逆散射方法(也称为非线性)，这一方法利用量子力学中的Schrodinger方程特征值问题(正散射问题)及其反问题(反散射问题)之间的关系，经过求解Gel’fand一Levitan一Marck一enko线性积分方程而给出KdV方程初值问题的解。

它不仅对应用技术提供了崭新的方法和概念，而且对数.学自身的发展也有深远影响。

随后，Lax将该方法加以综合和推广，使之能够用于求解其他非线性偏微分方程的初值问题，从而逐步形成一种系统的求解方法。

1972年，Zakharov和Shabat推广了这一方法，求出高阶KdV方程，立方Sehrodinger方程等的精确解。

Ablowitz，Kaup，Newell和Segur则更加一般化反散射方法。

李诩神、田畴、屠规章教授等也为发展反散射方法做了很好的工作。

1971年，Hirota所引进的双线性变换法(Hirota方法)，是构造非线性偏微分方程N一孤立子解及其Backlund变换的一种重要而直接的方法。

1975年，Wahlquit和Estabrook提出延拓结构法，以外微分形式为工具，给出寻找与反散射方法相联系的线性特征值问题的系统的方法。

1991年，李诩神教授基于对称约束提出一种非线性偏微分方程的直接的变量分离方法；随后，楼森岳教授等提出另一种更有效的直接变量分离法得到了许多的(2+l)维非线性发展方程的精确解。

精确求解非线性发展方程的工作具有重复性、固定的套路和规律、计算量大的特点，计算机代数的出现使人们摆脱了刻板、大量而重复的计算，提高了速度保证了准确率.1996年，Parkes和Duffy给出了求非线性发展方程孤立波解的双曲正切函数法的Mathematiea程序包。

王明亮教授等基于非齐次项与高阶导数项平衡的原则，将非线性方程齐次化、代数化，提出了齐次平衡法。

近年来提出并发展起来的齐次平衡方法，实际上是求非线性偏微分方程精确解的一种指导原则，故也称为齐次平衡原则。

依据该原则，可事先判定某类非线性偏微分方程是否有一定形式的精确解存在，如果回答是肯定的，则可按一定的步骤求出它来，并同时得到其满足某些条件的Backlund变换。

因而齐次平衡原则具有直接、简洁、步骤分明的特点，再者，还适用于计算机的符号计算系统进行计算，且得到的是精确的结果.至今，齐次平衡原则在非线性数学物理中已得到广泛的应用，且其应用范围正在不断的扩展，己成为处理非线性数学物理相关问题的有效工具之一。

所以，近年来在齐次平衡原则下又发展了多种求解非线性偏微分方程精确解的方法：像Tanh一函数法，Sine一Cosine方法，Jacobi 椭圆函数展开法，Riccati方程方法及F一展开法等。

这些方法一般都借助于计算机代数系统(Mathematica或Maple)，求解方便、直接，而且可以对解进行数值模拟以便于直观分析解的性质。

2、非线性偏微分方程的几种解法2.1逆算符法据逆算符方法的基本思想，把偏微分方程(,,,,...)0t x xx Au A u u u u ==改写为：0Lu Ru Nu ++= （2.1）其中L 和R 是线性微分算子，Nu 是非线性项。