薛定谔方程与它的基本意义
薛定谔方程与波函数的意义
薛定谔方程与波函数的意义量子力学（Quantum Mechanics）是一种描述微观世界的理论框架，薛定谔方程（Schrodinger Equation）是其中最为基本的方程之一，而波函数（Wave Function）则是薛定谔方程的解。
薛定谔方程的提出和波函数的出现，彻底改变了人们对微观粒子行为的认识，揭示了粒子实物性质背后的波动性质。
薛定谔方程的形式为：{{Hψ = Eψ}}其中，{{H}} 是系统的哈密顿算符（Hamiltonian Operator），{{ψ}} 是波函数，{{E}} 是系统的能量。
薛定谔方程通常应用于描述微观粒子的运动和相互作用。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子的波函数，而波函数是描述粒子状态的数学函数。
波函数的意义体现在以下几个方面：1. 描述微观粒子的性质：波函数是描述微观粒子行为的工具。
通过波函数，可以获得粒子在空间中的分布概率和动量分布等信息。
波函数是一个复数函数，其模的平方表示在某一时刻发现粒子的概率密度。
波函数的平方和为1，意味着粒子必然处于某个位置。
2. 质点的波粒二象性：根据波动粒子二象性，粒子不仅可以表现出粒子性，还可表现出波动性。
波函数是描述波动性的数学工具，能够描述质点的位置、速度、动量和能量等经典物理量。
3. 波函数的求解：波函数通过薛定谔方程的求解得到。
不同的系统具有不同的哈密顿算符{{H}}，因此对于不同的物理系统，薛定谔方程的形式也会不同。
求解薛定谔方程可以得到粒子的能量和相应的波函数，从而揭示了粒子的量子性质。
4. 波函数的演化：根据薛定谔方程，波函数会随着时间的演化而变化。
在没有外界干扰的情况下，波函数的演化是由方程中的哈密顿算符所决定的。
通过对波函数的演化研究，可以得到粒子在不同时间下的状态信息。
5. 量子力学基本原理的体现：薛定谔方程和波函数是量子力学基本原理的数学表述。
通过方程的求解，可以计算粒子的行为，比如能谱、波包展开和散射等。
薛定谔方程
薛定谔方程（英语：Schrodinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的一个用于描述量子力学中波函数的运动方程[1]，被认为是量子力学的奠基理论之一。
薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。
含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。
不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。
波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。
而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。
薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。
量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。
薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。
薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。
海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。
[编辑]含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。
理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。
在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(1)其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(2)假若，系统内有个粒子，则波函数是定义于-位形空间，所有可能的粒子位置空间。
用方程表达，。
其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。
所以，第个粒子的位置是。
[编辑]不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。
顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。
应用分离变量法，猜想的函数形式为；其中，是分离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会察觉就是能量．代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：。
薛定谔的概念
薛定谔的概念薛定谔的概念是量子物理学中的一项重要理论，由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1926年提出。
薛定谔的概念是描述物质在微观尺度下的行为和性质的数学框架，通过薛定谔方程描述了量子态的演化和量子力学的基本原理。
薛定谔的概念对于理解量子世界的奇特性质和研究微观现象具有重要意义。
在薛定谔的概念中，物质的基本单位是波函数。
波函数是描述粒子性质和运动状态的数学函数，通常用希腊字母Ψ表示。
波函数的平方模的积分值表示在某个给定时刻内，找到粒子在空间中某个位置的概率。
波函数与经典粒子的运动状态之间存在着一种互相转换的关系，以及确定性与不确定性的对立。
薛定谔方程是薛定谔概念的核心。
它描述了波函数随时间演化的动态规律，是用来解释物质微观粒子的行为和性质的一种数学框架。
薛定谔方程是一个偏微分方程，包含了波函数对时间和坐标的偏导数。
它描述了粒子在空间中的运动和态的变化，同时也包含了被观测量和粒子的相互作用。
薛定谔方程对于确定量子态的演变起了关键作用。
通过求解薛定谔方程，可以得到体系的波函数，从而计算系统的各种性质，如能量、动量、位置等。
然而，薛定谔方程的解是复数的波函数，其平方模的积分值并非直接表示概率密度，而是需要经过解释和解读。
量子力学的测量原理是薛定谔概念的重要内容之一。
根据薛定谔的概念，测量操作会干扰波函数，使其塌缩到一个确定的态上。
而在测量之前，波函数处于叠加态，即物理系统处于多个可能的状态的叠加。
这种特性被称为量子叠加原理。
测量结果是随机的，符合一定的概率分布。
而测量的过程会造成波函数的塌缩，即系统在测量后呈现出的确定态是测量前叠加态的一种状态。
薛定谔的概念还包括量子力学中的不确定性原理。
根据薛定谔的概念，无法同时精确确定粒子的位置和动量，其原因是测量会干扰粒子的运动状态。
这就是著名的海森堡不确定性原理。
不确定性原理指出，在某一给定时刻，无法同时精确测量粒子的位置和动量，只能得到它们之间的一个不确定关系。
量子物理薛定谔方程
方程左
端为： i
1 df (t) E
f (t) dt
其解为 f (t) CeiEt /
2
其右端 [ 2 V ( x)]u( x) Eu( x) 2m
方程的解 ( x, t) u( x)eiEt /
定态薛定谔方程 或哈密顿方程 P54 2.3.12式
2
定态薛定谔方 [ 2 V (x)]u(x) Eu(x) (x, t) u(x)eiEt / h
2
2m
2
( x, t)
p2
2m
( x, t)
Ek
( x, t)
其中
2 2 2 2 x2 y2 z2
拉普拉斯算符
Ek
p2 2m
p2 px2 py2 pz2
粒子的动能
由于自由粒子不受外力，没有势能，它的总能量就是它的动
能，即
E
Ek
p2 2m
所以
i
(x,t)
t
E
( x, t )
Ek
( x, t )
14
徐光宪
1920
88
神经外科专家 化学家
15
谷超豪
1926
83
数学家
16 截止22000191年20名孙家最栋高科学技术奖192获9 得者获奖时平80 均年龄81.85火岁箭（卫星岁专家数
总和1637岁），最小的64岁，最大的92岁。
17
师昌绪
1920
90
金属学及材料专家
2010
18
王振义
1924
其目的是通过处理简单的波动方程获 得对量子现象的具体而直观的理解。
如果势能函数不含时间，即对于定态势能场，则有
V (x,t) V (x)
薛定谔方程的解的物理意义用什么表示
薛定谔方程的解的物理意义用什么表示薛定谔方程的解的物理意义是用来描述微观体系电子运动状态，宏观体系我们用牛顿运动定律来描述。
求得是电子的波函数，有了波函数就知道电子的运动轨迹，以及能量。
薛定谔方程是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
补充：薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。
当涉及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。
薛定谔提出的量子力学基本方程。
建立于1926年。
它是一个非相对论的波动方程。
它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。
薛定谔方程
2a n 3, 3 3
n 2, 2 a
n 1, 1 2a
0
a/2
x
28
n很大时，势阱内粒子概率分布趋于均匀
|n|2
En -a/2
量子 经典 a/2
玻尔对应原理：大量子数极限下，量子体系 行为趋于与经典一致。
29
§27.3 势垒穿透
一. 粒子进入势垒
1. 一维势垒模型
23
Δ E n 2n 1 2 1 n 2 1 En n n n
a 或 m Δ En
Δ En n En
宏观或大量子数情形，可认为能量连续。 2. 波长 由能量、动量关系和德布罗意关系有： h p 2mE pn 2mEn n
dT ( t ) 1 1 ˆ 令 i HΦ( r ) = E（常数） dt T ( t ) Φ( r )
上式可分为下面两个方程：
9
dT ( t ) i ET ( t ) dt ˆ HΦ(r ) EΦ(r )
(1)
(2) （振动因子）
方程 (1) 的解： T (t ) Ce
5
▲ 薛定谔方程是量子力学的一个“基本假定”， 是非相对论形式的方程。 ▲ 薛定谔方程是线性偏微分方程，其解满足 态叠加原理。 若 Ψ1 (r , t ) 和 Ψ 2 (r , t ) 是方程的解， 则 c1Ψ1 (r , t ) c2Ψ 2 (r , t ) 也是方程的解。
▲ 方程含有虚数 i ，其解 Ψ 是复函数，不可 2 | Ψ | 测量， 是概率密度，可测量。 ▲ 薛定谔方程关于时间是一阶的，不同于经典 波动方程关于时间是二阶的。 6
考虑振动因子有 Ψ n ( x, t ) Φn ( x ) e
动量表象下的三维薛定谔方程
动量表象下的三维薛定谔方程引言：薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，描述了量子体系的演化规律。
在不同的表象下，薛定谔方程的形式会有所不同。
本文将讨论动量表象下的三维薛定谔方程，探讨其物理意义和数学表示。
一、动量表象下的薛定谔方程在动量表象下，波函数被表示为动量的本征态，即平面波的形式。
三维薛定谔方程可以写作：iħ∂Ψ/∂t = (-ħ^2/2m)∇^2Ψ + VΨ其中ħ是普朗克常数的约化形式，m为粒子的质量，V为势能函数，Ψ为波函数。
二、物理意义解读1. 动量的本征态在动量表象下，波函数Ψ是动量算符的本征态，即表征了粒子的动量信息。
动量表象下的波函数可以通过动量本征态的叠加得到，每个动量本征态对应一个确定的动量值。
2. 波函数的演化动量表象下的薛定谔方程描述了波函数随时间的演化规律。
方程右侧第一项表示了动能的贡献，第二项表示了势能的贡献。
波函数Ψ随时间的变化由方程左侧的时间导数来描述。
3. 粒子的动量分布在动量表象下，波函数的模的平方|Ψ|^2给出了粒子在不同动量取值上的概率密度分布。
通过对波函数模的平方进行积分，可以得到粒子在不同动量范围内的概率。
三、动量表象下的数学描述动量表象下的薛定谔方程是一个偏微分方程，可以通过分离变量的方法求解。
1. 假设波函数可以表示为时间因子和空间因子的乘积形式，Ψ(t, x) = ϕ(t)φ(x)。
2. 将波函数的表达式代入薛定谔方程，得到两个方程，分别是关于时间因子和空间因子的方程。
3. 时间因子的方程可以通过分离变量的方法解得ϕ(t)。
空间因子的方程则变成了一个常微分方程，可以通过适当的边界条件求解。
4. 将时间因子和空间因子的解乘积即可得到完整的波函数解。
四、应用和展望动量表象下的薛定谔方程在量子力学的研究中具有重要的应用价值。
它可以用于描述粒子在势场中的运动规律，解释粒子的散射现象以及研究粒子的波包传播等。
未来的研究可以进一步探索动量表象下薛定谔方程的数学性质，寻找更加精确的解法，并将其应用于更加复杂的物理系统。
薛定谔方程可以解释的生活中的问题
薛定谔方程（Schrödinger equation）是量子力学中的基本方程之一，它描述了微观粒子的运动和行为。
虽然其理论极其复杂，但薛定谔方程却可以被用来解释生活中许多奇妙的现象和问题。
本文将围绕薛定谔方程可以解释的生活中的问题展开讨论，以帮助读者更好地理解这一基础物理理论在日常生活中的应用。
一、量子隧穿效应薛定谔方程首次揭示了量子隧穿效应（quantum tunneling effect），即微观粒子可以在经典力学下无法穿越的势垒的情况下通过反常的方式穿越而无需克服这一势垒。
这一效应在生活中有很多应用，例如：1. 在隧道二极管中，量子隧穿效应使电子得以“穿越”势垒，从而帮助二极管正常工作；2. 核聚变反应中，负电子穿越核力垒，帮助实现核聚变；3. 化学反应中的“反常”速率，有时是由于量子隧穿效应引起的。
二、量子纠缠薛定谔方程还描述了量子纠缠现象，即使两个空间分隔较远的粒子，它们的状态仍然会同时发生变化，这种现象被爱因斯坦称为“一种鬼魅的行为”。
量子纠缠的出现在生活中也有许多实际应用：1. 量子计算机中，利用量子纠缠可以实现超越经典计算机的运算速度和处理能力；2. 量子密钥分发技术中的安全传输，依赖于量子纠缠的特性来保证信息的安全传输；3. 量子纠缠还被应用于实现远距离的量子通信，实现了远距离的量子纠缠态转移。
三、量子力学与生活除了上面提到的具体现象外，薛定谔方程的一些概念和原理也对我们日常生活产生了深远的影响：1. 不确定性原理：薛定谔方程提出了不确定性原理，即无法同时准确地确定微观粒子的位置和动量，这一概念改变了人们对于现实世界的理解，并且在科学研究和生活中也有很多应用；2. 双缝实验：薛定谔方程对光子和电子的双缝干涉实验提出了解释，这一实验揭示了微粒子的波粒二象性，为光学技术和电子技术的发展做出了重要贡献；3. 量子力学的数学形式和基本原理也为信息技术、纳米技术、光学技术等领域的发展提供了理论基础。
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目录 [隐藏] • 1 含时薛定谔方程 • 2 不含时薛定谔方程 • 3 历史背景与发展 4 含时薛定谔方程导引 4.1 启发式导引 ▪ 4.1.1 假设 ▪ 4.1.2 波函数以复值平面波来表达波函数 o 4.2 薛定谔的导引 5 特性 5.1 线性方程 ▪ 5.1.1 证明 o 5.2 实值的本征态 5.3 幺正性 ▪ 5.3.1 证明 o 5.4 完备基底 • 6 相对论性薛定谔方程 • 7 解析方法 8 实例 o 8.1 自由粒子 o 8.2 一维谐振子 8.3 球对称位势 ▪ 8.3.1 角部分解答 ▪ 8.3.2 径向部分解答 • 9 参阅 • 10 参考文献 • 11 外部链接
[编辑] 含时薛定谔方程 虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。在一维空间里，一个单独粒子运动于位势 中的含时薛定谔方程为 ；(1) 其中， 是质量， 是位置， 是相依于时间 的波函数， 是约化普朗克常数， 是位势。 类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势 中的含时薛定谔方程为
。(2) 假若，系统内有 个粒子，则波函数是定义于 -位形空间，所有可能的粒子位置空间。用方程表达，
。 其中，波函数 的第 个参数是第 个粒子的位置。所以，第 个粒子的位置是 。
[编辑] 不含时薛定谔方程 不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。
应用分离变量法，猜想 的函数形式为
； 其中， 是分离常数， 是对应于 的函数．稍回儿，我们会察觉 就是能量． 代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：
。 类似地，方程 (2) 变为
。 [编辑] 历史背景与发展 爱因斯坦诠释普朗克的量子为光子，光波的粒子；也就是说，光波具有粒子的性质，一种很奇奥的波粒二象性。他建议光子的能量与频率成正比。在相对论里，能量与动量之间的关系跟频率与波数之间的关系相同，所以，连带地，光子的动量与波数成正比。 1924年，路易·德布罗意提出一个惊人的假设，每一种粒子都具有波粒二象性。电子也有这种性质。电子是一种波动，是电子波。电子的能量与动量决定了它的物质波的频率与波数。1927年，克林顿·戴维孙和雷斯特·革末将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶。然后，测量反射的强度，探测结果与X射线根据布拉格定律 (Bragg's law) 计算的衍射图案相同。戴维孙-革末实验彻底的证明了德布罗意假说。 薛定谔夜以继日地思考这些先进理论，既然粒子具有波粒二象性，应该会有一个反应这特性的波动方程，能够正确地描述粒子的量子行为。于是，薛定谔试着寻找一个波动方程。哈密顿先前的研究引导著薛定谔的思路，在牛顿力学与光学之间，有一种类比，隐蔽地暗藏于一个察觉里。这察觉就是，在零波长极限，实际光学系统趋向几何光学系统；也就是说，光射线的轨道会变成明确的路径，遵守最小作用量原理。哈密顿相信，在零波长极限，波传播会变为明确的运动。可是，他并没有设计出一个方程来描述这波行为。这也是薛定谔所成就的。他很清楚，经典力学的哈密顿原理，广为学术界所知地，对应于光学的费马原理。借着哈密顿-雅可比方程，他成功地创建了薛定谔方程。薛定谔用自己设计的方程来计算氢原子的谱线，得到了与用玻尔模型计算出的能级相同的答案。 但是，薛定谔对这结果并不满足，因为，索末菲似乎已经正确地计算出氢原子光谱线精细结构常数的相对论性的修正。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式，来寻找一个相对论性方程（现今称为克莱因-高登方程），可以描述电子在库仑位势内的量子行为。薛定谔计算出这方程的定态波函数。可是，相对论性的修正与索末菲的公式有分歧。虽然如此，他认为先前非相对论性的部分，仍旧含有足够的新结果。因此，决定暂时不发表相对论性的修正，只把他的波动方程与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文。1926年，正式发表于物理学界[2]。从此，给予了量子力学一个新的发展平台。
薛定谔方程漂亮地解释了 的行为，但并没有解释 的意义。薛定谔曾尝试解释 代表电荷的密度，但却失败了。1926年，就在薛定谔第四篇的论文发表之后几天，马克斯·玻
恩提出几率幅的概念，成功地解释了 的物理意义[3]。可是，薛定谔本人一直不承认这种统计或几率的表示方法，和它所伴随的非连续性波函数坍缩。就像爱因斯坦的认为量子力学是基本为确定性理论的统计近似，薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最后一年，他写给马克斯·玻恩的一封信内，薛定谔清楚地表明了这看法。
[编辑] 含时薛定谔方程导引
[编辑] 启发式导引 含时薛定谔方程的启发式导引，建立于几个假设：
[编辑] 假设 (1) 一个粒子的总能量 可以经典地表达为动能 与势能 的和： ； 其中， 是动量， 是质量。 特别注意，能量 与动量 也出现于以下两个关系方程。
(2) 1905年，爱因斯坦于提出光电效应时，指出光子的能量 与对应的电磁波的频率 成正比：
其中， 是普朗克常数， 是角频率。 (3) 1924年，路易·德布罗意提出德布罗意假说，说明所有的粒子都具有波的性质，可以用一个波函数 来表达。粒子的动量 与伴随的波函数的波长 有关：
； 其中， 是波数。 用矢量表达， 。 [编辑] 波函数以复值平面波来表达波函数 1925年，薛定谔发现平面波的相位，可用一个相位因子来表示： 。 他想到
， 因此
。 并且相同地由于
， 故
。 因此得到 。 再由经典力学的公式，一个粒子的总能为 ，质量为 ，在势能 处移动：
。 薛定谔得到一个单一粒子在一维空间有位能之处移动时的方程：
。 [编辑] 薛定谔的导引
思考一个粒子，运动于一个保守的位势 。我们可以写出它的哈密顿-雅可比方程
； 其中， 是哈密顿主函数。 由于位势显性地不相依于时间，哈密顿主函数可以分离成两部分：
；
其中，不相依于时间的函数 是哈密顿特征函数， 是能量。 将哈密顿主函数公式代入粒子的哈密顿-雅可比方程，稍加运算，可以得到
； 哈密顿主函数随时间的全导数是
。 思考哈密顿主函数 的一个常数的等值曲面 。这常数的等值曲面 在空间移动的方程为
。 所以，在设定等值曲面的正负面后， 朝着法线方向移动的速度 是
。 这速度 是相速度，而不是粒子的移动速度 ：