【典型题】高二数学上期末试题及答案
湖南省衡阳市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学含答案
衡阳市2022级高二期末试题数学（答案在最后）请注意：时量120分钟满分150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）2.已知i 为虚数单位，且32i1i z =+，则z =（）A.1i - B.1i-+ C.1i+ D.1i--3.在等差数列{}n a 中，若36202336a a a a +++=，则13a =（）A ．12B ．18C ．6D ．9【答案】D【解析】因为等差数列{}n a 中，所以()()36202332362013436a a a a a a a a a +++=+++==，所以139a =.故选：D.4.在()512x +的展开式中，3x 的系数为（）A ．8B ．10C ．80D ．160【答案】CA．10B．5【答案】D【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得8．函数()f x 是定义在(0,()()ln ln ln ax f ax f x xxax⋅⋅≥在A ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．【答案】B二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.给出如下四个命题正确的是（）A.方程22210x y x +-+=表示的图形是圆B.椭圆22132x y +=的离心率3e =C.抛物线21=2y x 的准线方程是18x =-D.双曲线2212549x y -=的渐近线方程是57y x=±n n n 1423法正确的是()A.q ＝2B.数列{S n ＋2}是等比数列C.S 8＝510D.数列{lg a n }是公差为2的等差数列答案ABC解析因为{a n }为等比数列，且a 1·a 4＝32，所以a 2·a 3＝32.又a 2＋a 3＝12，2＝4，3＝8，＝22＝8，3＝4，＝12.又公比q 为整数，2＝4，3＝8，＝2，即a n ＝2n，S n ＝2×（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.对于A ，由上可得q ＝2，故A 正确；对于B ，因为S n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＋1＋2S n ＋2＝2n ＋22n ＋1＝2，则数列{S n ＋2}是等比数列，故B 正确；对于C ，S 8＝29－2＝510，故C 正确；对于D ，lg a n ＋1－lg a n ＝lg 2，即数列{lg a n }是公差为lg 2的等差数列，故D 错误.故选ABC.11.如图所示，棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A.11D P AB ⊥B.当12A P PB =时，点1C 到平面1D AP 的距离为1C.1AP DC ⋅是定值D.1D P 与AC 所成的角可能是6π设()3,,3P a a -，(03a <<所以11303D AB a P ⋅=⨯+⨯+因为()3,3,0AC =- ，(1D P =所以111cos ,D P AC D P AC D P CA ⋅=同学作答，每人答对的概率均为0．7，两人都答对的概率为0．5，则甲答对的前提下乙也答对的概率是________．(用分数表示)16.在梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB =，1BC CD DA ===，将ACD 沿AC 折起，连接BD ，得到三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积为______.因为ABCD为等腰梯形，AB1B==B=cos BE此时，BC⊥平面ACD，易知，记O为外接球球心，半径为由于BC⊥平面ACD，OBr=四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各小题为12分，共70分。
江苏省高二上学期期末数学试题(解析版)
高二上学期期末数学试题一、单选题1．在等比数列中，，公比，则（ ） {}n a 13a =2q =4a =A ．24 B ．48 C ．54 D ．66【答案】A【分析】根据等比数列通项公式基本量计算出答案.【详解】．33413224a a q ==⨯=故选：A2．曲线处的切线与直线平行，则实数（ ） y =()1,1y kx =k =A ． B ．C ．D ．12-12-12【答案】C【分析】根据导数的几何意义求解．【详解】时，，所以． y '=1x =12y ¢=12k =故选：C ．3．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则α()13,0,n λ= β()22,1,6n =αβ⊥λ=（ ）A ．B ．4C ．D ．1921-【答案】C【分析】根据题意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，结合空间向量的坐标运算，代入计算即可得到结果.【详解】因为，则可得，αβ⊥12n n ⊥且，， ()13,0,n λ= ()22,1,6n =则可得，解得 660λ+=1λ=-故选:C4．若直线与圆相切，则实数取值的集合为（ ）340x y m ++=2220x y y +-=mA ．B ．C ．D ．{}1,1-{}9,1-{}1{}8,2-【答案】B【分析】根据题意，由直线与圆相切可得，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到d r =结果.【详解】由圆可得，表示圆心为，半径为的圆，2220x y y +-=()2211x y +-=()0,11则圆心到直线的距离340x y m ++=d 因为直线与圆相切，340x y m ++=2220x y y +-=所以，解得或，d r =11m =9m =-即实数取值的集合为 m {}9,1-故选:B5．已知，则n ＝（ ）22A C 30n n +=A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】利用排列数、组合数公式得到，解方程即得解. ()31302n n -=【详解】解：，整理得， ()()()22131A C 13022n nn n n n n n --+=-+==2200n n --=解得（舍），． n =-45n =故选：C ．6．函数的图象如图所示，则函数的图象可能是y ()y ()f x f x ==，的导函数y ()f x =A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D ．0x =【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图x 0x 象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单0x x 0x 调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．'()f x ()f x 7．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 ()A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种【答案】D【详解】4项工作分成3组,可得：=6，24C 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成， 可得：种． 36363A ⨯=故选D.8．已知数列首项为2，且，则（ ）{}n a 112n n n a a ++-=n a =A ． B ． C ． D ．2n 121n -+22n -122n +-【答案】D【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项.【详解】由已知得，，则当时，有112n n n a a ++-=12a =2n ≥ ，12111221()()(222)n n n n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-=+++()12121121222222222212n n n n n n n a a --+-=++++=++++==-- 经检验当时也符合该式．∴.1n =122n n a +=-故选：D二、多选题9．下列四个选项中，不正确的是（ ） A ．数列，的一个通项公式是 2345,,,3456⋯1n n a n =+B ．数列的图象是一群孤立的点C ．数列1，，1，，与数列，1，，1，是同一数列1-1-⋯1-1-⋯D ．数列，，是递增数列11,24⋯12n 【答案】ACD【分析】由可判断A ；由数列的通项公式以及可判断B ；由数列定义可判断C ； 11223a =≠N*n ∈由递减数列定义可判断D ． 【详解】对于A ，当通项公式为时，，不符合题意，故选项A 错误；1n n a n =+11223a =≠对于B ，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B 正确； N*n ∈对于C ，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C 错误；对于D ，数列，，是递减数列，故选项D 错误．11,24⋯12n 故选：ACD ．10．下列结论中正确的有（ ） A ．若，则B ．若，则 sin3y π=0y '=2()3(1)f x x f x =-'(1)3f '=C ．若，则D ．若，则y x =1y ='+sin cos y x x =+cos sin y x x +'=【答案】ABC【解析】根据常见的基本初等函数的导数公式和常用的导数运算法则求解即可.【详解】选项A 中，若，故A 正确； sin3y π==0y '=选项B 中，若，则， 2()3(1)f x x f x =-⋅'()6(1)f x x f '-'=令，则，解得，故B 正确； 1x =(1)6(1)f f ''=-(1)3f '=选项C 中，若，则，故C 正确；y x =+1y ='+选项D 中，若，则x ，故D 错误． sin cos y x x =+cos sin y x x '=-故选:ABC【点睛】1.常见的基本初等函数的导数公式 (1) (C 为常数); ()0C '＝(2)； ()1()nn x nx n '∈N －＋＝(3); ； ()sinx cosx '＝()cosx sinx '＝-(4);，且)； ()xx e e '＝()(0x x a a lna a '>＝1a ≠(5)； ，且)． 1(ln )'=x x a a 1 (log )'=log e(a>0x x1a ≠2.常用的导数运算法则法则1： ． ()()()()[]u x v x u x v x ±''±'＝法则2：． ()()()()()()[]u x v x u x v x u x v x '''＝＋法则3： ()()()()()()()()22[](0)u x u x v x u x v x v x v x v x '''≠-＝11．已知名同学排成一排，下列说法正确的是（ ） 7A ．甲不站两端，共有种排法 1656A A B ．甲、乙必须相邻，共有种排法 5252A A C ．甲、乙不相邻，共有种排法2555A A D ．甲不排左端，乙不排右端，共有种排法7657652A A A -+【答案】AD【分析】A 选项通过特殊元素法判断；B 选项利用捆绑法判断；C 选项利用插空法判断；D 选项用总情况减去不满足的情况即可.【详解】A 选项：甲不站两端，甲有种，剩余6人全排，共有种排法，正确；15A 1656A A B 选项：甲、乙必须相邻，甲、乙捆绑有种，作为整体和剩余5人全排，共有种排法，错22A 2626A A 误；C 选项：甲、乙不相邻，先排其他5人有种，再把甲、乙插入6个空中，共有种排法，错55A 5256A A 误；D 选项：甲不排左端，乙不排右端，用7人全排减去甲在左端的和乙在右端的，再加上甲在左端同时乙在右端的，共有种排法，正确.7657652A A A -+故选：AD.12．如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，OABC M OA 2OM MA =N G BC的中点，则用向量，，表示向量中正确的为（ ）MN OA OB OCA ．B ．111344GN OA OB OC =-++111344OG OA OB OC =-+C ． D ．113232GM OA OB OC =++111344GM OA OB OC =--【答案】AD【分析】连接，利用空间向量基本定理以及空间向量的线性运算进行求解即可. ON 【详解】连接，ON因为点，分别是线段，的中点，N G BC MN 所以，111211()222322OG OM ON OA OB OC =+=⨯+⨯+ 化简可得，故B 错误；111344OG OA OB OC =++所以，故A 正确 1111111()()2344344GN ON OG OB OC OA OB OC OA OB OC =-=+-++=-++ ，故C 错误，D 正确；11121113443344GM GO OM OA OB OC OA OA OB OC =+=---+=--故选：.AD三、填空题13．已知，1，、，2，、，，，若向量与垂直为坐标原(2A 3)(4B -)x (1C x -2)OA OB + OC(O点），则等于__． x 【答案】4【分析】由向量垂直的坐标表示求解.【详解】，()()()2,1,3,4,2,,1,,2OA OB x OC x ==-=-，∴()2,3,3OA OB x +=-+向量与垂直，OA OB + OC，∴()·23260OA OB OC x x +=--++=．4x ∴=故答案为：4．四、双空题14．已知函数，则函数的单调递增区间是______，值域为______．()()212log 43f x x x =-+-【答案】[2,3)[0,)+∞【解析】令，求得函数的定义域，根据在其定义域内为单调减函2430t x x =-+->()12log f x t =数，求函数的单调递增区间转化为求函数在定义域内的减区间，再利用()()212log 43f x x x =-+-t 二次函数的值域求整个函数的值域.【详解】解：令，可得，故函数的定义域为. 2430t x x =-+->13x <<()1,3因为在其定义域内为单调减函数，()12log f x t =故求在定义域内的减区间，又函数在定义域内的减区间为，243t x x =-+-t [2,3)所以函数的单调递增区间为，()()212log 43f x x x =-+-[2,3)当时，，则，()1,3x ∈243(0,1]t x x =-+-∈()12log [0,)f x t =∈+∞即函数的值域为. ()()212log 43f x x x =-+-[0,)+∞故答案为：；.[2,3)[0,)+∞【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基本知识的考查.五、填空题15．求和：Sn ＝1＋＋＋1＋＋＋＋…＋＝________.1(12+11(1)24++1214181111(1)242n -+++⋯+【答案】2n ＋－2 112n -【分析】先化简数列，结合分组求和法即可求解． 1212k ka ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】被求和式的第k 项为：111111121211242212kk k k a -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=++++==- ⎪⎝⎭-所以Sn ＝2＝22111(1)(1(1)222n -+-+⋯+-231111(2222n n ⎡⎤-+++⋯+⎢⎥⎣⎦ 111111222212212212n n n n n n -⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦故答案为：2n ＋－2． 112n -16．如图，圆形花坛分为部分，现在这部分种植花卉，要求每部分种植种，且相邻部分不能441种植同一种花卉，现有种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有______种（用数字作答）5【答案】260【分析】先分1，3相同与1，3不相同两类，每类中按分步计数原理，分2，4相同或不同两类求解，然后再分类计数原理求和.【详解】根据题意：当1，3相同时，2，4相同或不同两类，有：种， ()5411380⨯⨯⨯+=当1，3不相同时，2，4相同或不同两类，有：种， ()54312180⨯⨯⨯+=所以不同的种植方案共有种， 80180260+=故答案为：260【点睛】本题主要考查计数原理的应用问题，还考查了分析求解问题的能力，所以中档题.六、解答题17．已知等比数列的首项为2，前项和为，且. {}n a n n S 234230S S S -+=(1)求；n a(2)已知数列满足：，求数列的前项和. {}n b n n b na ={}n b n n T 【答案】(1)2n n a =(2)()1122n n T n +=-⋅+【分析】（1）根据题意，由可得公比，再由等比数列的通项公式即可得到结234230S S S -+=q 果；（2）根据题意，由错位相减法即可求得结果. 【详解】（1）设等比数列的公比为，{}n a q 因为，所以，234230S S S -+=()234320S S S S -+-=所以，所以，所以.342a a =2q =112n n n a a q -==（2）由（1）得，，所以，……①2nn b n =⨯212222n n T n =⨯+⨯++⨯ 所以，……②()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ ①-②，得，()()21112122222212212n nn n n n T n n n +++⨯--=+++-⨯=-⨯=-⨯-- 所以.()1122n n T n +=-⋅+18．已知双曲线的实轴长为，一个焦点的坐标为-.2222:1x y C a b-=()0,0a b >>4()-（1）求双曲线的标准方程;（2）已知斜率为的直线与双曲线交于，两点，且的方程.1l C A B AB =l 【答案】（1）；（2）22148x y -=1y x =±【分析】（1）由双曲线的实轴长及焦点坐标，再由，，之间的关系求出，进而求出双曲线a b c b 的方程；（2）由题意设直线的方程，与双曲线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长的AB ||AB 值，再由题意可得参数的值，即求出直线的方程．AB【详解】（1）由得，又，24a =2a =c =2228b c a =-=故双曲线的方程为．22148x y -=（2）设直线的方程为，代入双曲线方程可得，l y x m =+22280x mx m ---=设，，，，则，．1(A x 1)y 2(B x 2)y 122x x m +=2128x x m =--因为||AB ==， ==1m =±所以直线的方程为．l 1y x =±19．从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中，选出3面排成一排作为一种信号，共能组成多少种信号？ 【答案】24【分析】分步完成：第一步选3面旗帜，第二步3面旗帜全排列，由此可得．【详解】从4面不同颜色旗子中，选出3面排成一排能组成种信号．3343C A 24=20．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm ）满足关系：，设为C x ()()4011035C x x x =≤≤+()f x 隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求的表达式；()f x (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． ()f x 【答案】(1) 800()635f x x x =++()110x ≤≤(2)当隔热层修建5cm 厚时，总费用最小，最小值为70万元．【分析】（1）根据已给模型确定函数解析式； （2）利用导数求得最小值．【详解】（1）每年能源消耗费用为，建造费用为， 40()35C x x =+6x ．． ()()800206635f x C x x x x ∴=+=++()110x ≤≤（2），令得或（舍． ()()22400'635f x x =-+()0f x '=5x =253x =-)当时，，当时，．∴15x ≤<()0f x '<510x <≤()0f x '>在，上单调递减，在，上单调递增．()f x ∴[15)[510]当时，取得最小值（5）．∴5x =()f x f 70=当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为70万元．∴5cm21．三棱柱中，，，线段的中点为，且111ABC A B C -112AB AB AA AC ====120BAC ∠= 11A B M .BC AM⊥(1)求证：平面；AM ⊥ABC (2)点在线段上，且，求二面角的余弦值. P 11B C 11123B P B C =11P B A A --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由、根据线面垂直的判定定理可得平面；AB AM ⊥BC AM ⊥AM ⊥ABC （2）以为原点，以所在的直线为建立空间直角坐标系，求出平面、A 、、AN AC AM x y z 、、11B AA 平面的一个法向量由二面角的向量求法可得答案.1PB A 【详解】（1）三棱柱中，，111ABC A B C -11//AB A B 在中，，线段的中点为，所以，所以；11AB A △11AB AA =11A B M 11A B AM ⊥AB AM ⊥因为，平面，平面，，平面，所以BC AM ⊥BC ⊂ABC AB ⊂ABC AB BC B ⋂=AB BC ⊂、ABC 平面； AM ⊥ABC （2）做交于点，AN AC ⊥BC N 以为原点，以所在的直线为建立空间直角坐标系，A 、、AN AC AM x y z 、、则，，， ()0,0,0A )1,0B-112B -，.()0,2,0C (M 所以，，，112AB =-()BC =(AM = 因为，所以，111222,033B P B C BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭32P ⎛ ⎝所以，32AP ⎛= ⎝ 设平面的一个法向量，则， 11B AA ()1111,,n x y z =11111111020n AB y n AM ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩ 解得，令，所以， 10z=1y 11x =()1n = 设平面的一个法向量，则， 1PB A ()2222,,n x y z =222221222302102n AP y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩令，，所以， 2y =23x =21z =-()21n =- 设二面角的平面角为，则11P B A A --()0180θθ≤≤ ，121212cos cos ,n n n n n n θ⋅==== 由图知二面角的平面角为锐角，11P B A A --所以二面角11P B A A --22．已知函数，．()()2e x f x x ax a =--R a ∈(1)讨论函数的单调性；()f x (2)当时，证明：．0a =()2(ln 2)f x x x >+【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求出不等式，的解集作()f x ()f x '()0f x '<()0f x ¢>答.（2）将不等式等价变形，再分别证明和即可作答.e 1x x >+ln 1x x ≥+【详解】（1）依题意，，令，则或()()()()222e 2e x x f x x a x a x x a '⎡⎤=+--=+-⎣⎦()0f x '=2x =-.x a =当时，，则函数在上单调递增； 2a =-()()22e 0x f x x '+≥=()f x R 当时，当时，，当时，，2a >-()2,x a ∈-()0f x '<()(),2,x a ∈-∞-∞+ ()0f x ¢>于是得在，上单调递增，在上单调递减；()f x (),2-∞-(),a +∞()2,a -当时，当时，，当时，，2a <-(),2x a ∈-()0f x '<()(),2,x a ∞∞-∈-+ ()0f x ¢>因此函数在、上单调递增，在上单调递减，()f x (),a -∞()2,-+∞(),2a -所以当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；2a >-()f x (),2-∞-(),a +∞()2,a -当时，在上单调递增；2a =-()f x R 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.2a <-()f x (),a -∞()2,-+∞(),2a -（2）当时，，，，0a =()2e x f x x =0x >()222(ln 2)e (ln 2)e ln 2x x f x x x x x x x >+⇔>+⇔>+令，则，函数在上单调递增，()e 1,0x g x x x =-->()e 10x g x '=->()g x (0,)+∞，，即，(0,)∀∈+∞x ()(0)0g x g >=e 1x x >+令，，当时，，当时，， ()ln 1,0h x x x x =-->1()1h x x'=-01x <<()0h x '<1x >()0h x '>即函数在上单调递减，在上单调递增，，，即()h x (0,1)(1,)+∞(0,)∀∈+∞x ()(1)0h x h ≥=，ln 1x x ≥+于是得，而，因此，，e 1ln 2x x x >+≥+20x >22e (ln 2)x x x x >+所以成立.()2(ln 2)f x x x >+【点睛】关键点睛：利用导数探讨含参函数的单调性，求出导数后分类讨论解不等式是解决问题的关键.。
高二上学期期末考试数学(理)试题(及答案)
高二上学期期末考试数学(理)试题(及答案)高二上学期期末考试数学（理）试题（及答案)一、选择题（每小题5分，共60分）1.下列说法错误的是（）A。
命题“若x－3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x－3x+2≠2”B。
“x=1”是“x－3x+2=0”的充分不必要条件C。
若p q为假命题，则p、q均为假命题D。
选项A和B都是错误的，选项C是正确的，因此选D。
2.若命题p：x R，使得x+ x+1＜2，则p：x R，则x+x+1≥2.A。
正确B。
错误C。
选项A和B都不正确，因此选C。
3.在△ABC中，三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，若a2+b2=2ab+c2，则角C为（）A。
30°B。
45°C。
150°D。
135°根据余弦定理，c^2=a^2+b^2-2abcosC，代入a^2+b^2=2ab+c^2，得cosC=1/2，因此C=60°，选项B正确。
4.不等式ax－2x+1＜0的解集非空的一个必要不充分条件是（）A。
a＜1B。
a＜2C。
0＜a＜1D。
a≤1不等式ax－2x+1＜0可以写成(x-1)(a(x-1)-1)<0，因此x=1时不等式不成立，即a≠1，因此选项D正确。
5.等差数列公差不为0，首项a1=1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项和为（）A。
90B。
100C。
145D。
190设公差为d，等比中项为a2，则a5/a1=(a2/a1)^3，即a2=sqrt(5)，d=(a5-a1)/4=sqrt(5)/4，因此前10项和为(2a1+9d)10/2=145，选项C正确。
6.如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=AA1=2，∠ACB=90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，当二面角C1－AA1－B为45°时，直线EF和BC1所成的角为（）A。
45°B。
60°C。
福建省高二上学期期末考试数学试题(解析版)
数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知直线与直线垂直，则（）1:210l x ay --=2:210l x y ++==a A. B. 1C. 2D. 41-【答案】B 【解析】【分析】利用两直线垂直的条件求解.【详解】因为直线与直线垂直， 1:210l x ay --=2:210l x y ++=所以，即. ()2120a ⨯+-⨯=1a =故选：B2. 等差数列的前n 项和为，且满足，则（） {}n a n S 252,20a S ==4a =A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】D 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解.【详解】设等差数列的公差为，则，，解得{}n a d 212a a d =+=5151020S a d =+=，10,2a d ==所以. 40236a =+⨯=故选：D.3. 已知直线l 过点，方向向量为，则原点到的距离为（）(2,0)P ()1,1n =-O lA. 1B.C.D. 3【答案】B 【解析】【分析】求出直线的解析式，即可求出原点到的距离. O l 【详解】由题意，在直线中，方向向量为，l ()1,1n =-∴直线l 的斜率存在，设，则直线l 的斜率为：， :l y kx b =+111k -==-∴，:l y x b =-+∵直线l 过点， (2,0)P ∴，解得：，02b =-+2b =∴，即， :2l y x =-+:20+-=l x y∴原点到的距离为：，O l d 故选：B.4. 已知圆与圆，若与有且仅有2221:290C x y mx m +-+-=222:20C x y y +-=1C 2C 一条公切线，则实数的值为（） mA. B. C. D.1±2±【答案】C 【解析】【分析】根据两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，从而可求出结果.【详解】圆可化为，圆心为2221:290C x y mx m +-+-=()221:9C x m y -+=，半径为，()1,0C m 13r =圆可化为，圆心为，半径为，222:20C x y y +-=()222:11C x y +-=()20,1C 21r =又与有且仅有一条公切线， 1C 2C 所以两圆内切，因此，即，2112r r C C =-2=解得， m =故选：C5. 在三棱锥中，点M 是中点，若，则A BCD -BC DM x AB y AC z AD =++（）x y z ++=A. 0 B.C. 1D. 212【答案】A 【解析】【分析】表达出和，得出，，的值，即可求出的值.AM DMx y z x y z ++【详解】由题意，在三棱锥中，点M 是中点， A BCD -BC 连接，，AM DM在中， ABC A ，()12AM AB AC =+u u u r u u u r u u u r 在中，AMD A ， DM AM AD =- ∴, ()12DM AM AD AB AC AD =-=+-∴，， 12x y ==1z =-∴， 111022x y z ++=+-=故选：A.6. 已知点P 在双曲线的右支上，直线交曲线C 于点Q （异于222:1(0)y C x b b-=>OP P ），点F 为C 的左焦点，若为锐角，则b 的取值范围为（） ||4,PF PFQ =∠A.B.C.D.(0,2)(2,(2,)+∞【答案】C 【解析】【分析】设双曲线的右焦点，根据双曲线的定义，可求得，根据已知条件2F 22PF =为锐角，可判断为钝角，结合余弦定理即可求得b 的取值范围.PFQ ∠2FPF ∠【详解】如图所示：设双曲线的右焦点为，则，且，则， 2F 22PF PF a -=1a =22PF PF -=又则，又，所以， ||4,PF =22PF =2226FF c PF PF =<+=3c <而，即，解得222c a b =+219b +<0b <<又因为为锐角，且根据双曲线的对称性知，关于原点对称，PFQ ∠,P Q 22FQ F P ==，，22QFF PF F ∠=∠所以为锐角，2222PFQ QFF PFF PFF PF F ∠=∠+∠=∠+∠所以为钝角，则①，且2FPF ∠22222424204cos 024216c c FPF +--∠==<⨯⨯，又②，22041016c --<<221c b =+由①②两式解得 2<<b所以b 的取值范围为. (2,故选：C7. 在平行六面体中，1111ABCD A B C D -，，则直线111,60AB AD AA DAB BAA DAA ==∠=∠=∠=︒11(01)AQ A B λλ=<<与直线所成角的余弦值为（）1AC DQA. 0B.C.D. 112【答案】A 【解析】【分析】设，由向量的运算得出，进而得出直线1,,a AB b AD c AA ===10AC DQ ⋅= 与直线所成角的余弦值.1AC DQ 【详解】设，不妨设，则1,,a AB b AD c AA ===11AB AD AA ===12a b a c b c ⋅=⋅=⋅= ，， 1AC a b c =++ 11A B A A AB a c =+=-1111()(1)DQ DD D A A Q c b a c a b c λλλ=++=-+-=-+- ()2221(1)(1)1AC DQ a a b a c a b b b c a c b c c λλλλλλ⋅=-⋅+-⋅+⋅-+-⋅+⋅-⋅+-1111111111022222222λλλλλλ=-+-+-+-+-+-=即，则直线与直线所成角的余弦值为.1AC DQ ⊥1AC DQ 0故选：A8. 椭圆的左焦点为F ，右顶点为A ，以F 为圆心，为半径2222:1(0)x y E a b a b+=>>||FO 的圆与E 交于点P ，且，则E 的离心率为（） PF PA ⊥A.B.C.D.23【答案】C 【解析】【分析】由已知得，右焦点为，中利用余弦定理列方cos PF cPFA FA a c∠==+F 'PFF 'A 程，由齐次式可求E 的离心率.,a c 【详解】由题意，，，由，， PF c =FA a c =+PF PA ⊥cos PF cPFA FA a c∠==+右焦点为，连接，有，F 'PF '2PF a c '=-中，，PFF 'A ()()222222222cos 24c c a c PF FF PF c PFF PF FF c a c+--''+-'∠==='⋅+化简得，即，222c a =a =则E 的离心率为c e a ==故选：C【点睛】思路点睛：点P 在椭圆上，一是满足椭圆方程，二是到两焦点距离之和等于2a ，求椭圆离心率，结合其它条件构造齐次式即可得解.,a c 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知椭圆与椭圆，则（）221259x y +=221259x y k k+=--A. B. 短轴长相等C. 焦距相等D. 离心率9k <相等 【答案】AC 【解析】【分析】分别对两个椭圆进行分析，得到对应的短轴长，焦距，离心率等，即可得出结论.【详解】由题意，在中，有，，，221259x y +=5a =3b =4c ===∴短半轴为3，长半轴为5，焦距为，离心率， 428⨯=45c e a ==在中，有，221259x y k k+=--a =b =，4c ===，428⨯=，解得：，离心率， 25090k k ->⎧⎨->⎩9k <e =∴AC 正确，BD 错误. 故选：AC.10. 如图，四边形为正方形，，平面，ABCD //EA BF EA ⊥ABCD ，点在棱上，且，则（）22AB AE BF ===M EC EM EC λ=A. 当时，平面 14λ=//DM BFCB. 当时，平面 12λ=MF ⊥EAC C. 当时，点到平面的距离为 12λ=M BCF 1D. 当时，平面与平面的夹角为 14λ=MBD ABCD π4【答案】BC 【解析】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直A AD AB AE x y z 角坐标系，利用空间向量法逐项判断可得合适的选项.【详解】因为平面，四边形为正方形，以点为坐标原点，EA ⊥ABCD ABCD A 、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，AD AB AE x y z则、、、、、， ()0,0,0A ()0,2,0B ()2,2,0C ()2,0,0D ()0,0,2E ()0,2,1F 对于AD 选项，当时，， 14λ=113,,222M ⎛⎫⎪⎝⎭，易知平面的一个法向量为，313,,222DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭BFC ()0,1,0m =因为，因此，与平面不平行，A 错，102DM m ⋅=≠ DM BFC 设平面的法向量为，，MBD ()1,,n x y z = ()2,2,0DB =-则，取，可得， 11220313222n DB x y n DM x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩3x =()13,3,2n = 易知平面的一个法向量为，ABCD ()20,0,1n =121212cos,n nn nn n⋅<>===⋅所以，平面与平面的夹角不是，D错；MBD ABCDπ4对于BC选项，当时，，12λ=()1,1,1M，，，()1,1,0FM=-()2,2,0AC=()0,0,2AE=所以，，，所以，，，220FM AC⋅=-=FM AE⋅=FM AC⊥FM AE⊥又因为，、平面，平面，B对，AC AE A⋂=AC AE⊂EAC FM∴⊥EAC点到平面的距离为，C对.M BCF1FM mdm⋅==故选：BC.11. 2022年11月29日23时08分，我国自主研发的神舟十五号载人飞船成功对接于空间站“天和”核心舱前向端口，并实现首次太空会师．我国航天员在实验舱观测到一颗彗星划过美丽的地球，彗星沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于这条抛物线的焦点．当此彗星离地球4千万公里时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为，则彗星与地球的60︒最短距离可能为（单位：千万公里）（）A. B. C. 1 D. 31312【答案】CD【解析】【分析】不妨假设该抛物线开口向右，可设该抛物线的方程为，彗星离地()220y px p=>球4千万公里时假设为A点，作轴于，分在的左侧和右侧进行讨论，即可AB x⊥B B F求出最短距离【详解】不妨假设该抛物线开口向右，如图所示，可设该抛物线的方程为()220y px p=>，地球即焦点坐标为，设彗星的坐标为，,02pF⎛⎫⎪⎝⎭()()000,0x y x≥当彗星离地球4千万公里时，设彗星此时处于A 点，即， 4AF =作轴于，则， AB x ⊥B 60AFB ∠=︒当在的右侧时，B F，所以，2AB =2,2p A ⎛+ ⎝代入抛物线可得，解得 12222p p ⎛⎫= ⎪⎝⎭+2p =则根据抛物线的定义可得彗星到地球的距离为， 00112px x +=+≥则彗星与地球的最短距离可能为1千万公里， 当在的左侧时，B F，所以，2AB =2,2p A ⎛- ⎝代入抛物线可得，解得 12222p p ⎛⎫=-⎪⎝⎭6p =则根据抛物线的定义可得彗星到地球的距离为， 00332px x +=+≥则彗星与地球的最短距离可能为3千万公里， 故选：CD12. 大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙．譬如松果、风梨的排列、向日葵花圈数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关．在数学上，斐波那契数列可以用递推的方法{}n a 来定义：，则（）()12211,1,N n n n a a a a a n *++===+∈A. 135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=B. 12320202022a a a a a +++⋅⋅⋅+=C.2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=D. 132420192021202020221220212022111111a a a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++=-【答案】ACD 【解析】【分析】用累加法判断选项AB ，对于C ，只需证明即可,22221231n n n a a a a a a +++++= 用数学归纳法证明;对于D ，得到，即可判断2112122111n nn n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++++++-==-【详解】对于A ，由，可得，则，21n n n a a a ++=+12n n n a a a ++=-342a a a =-，，564a a a =-786,,a a a =- 202120222020a a a =-将上式累加得，又，则有223570212022a a a a a a ++⋅⋅=-⋅+121a a ==.故A 正确；1320212022a a a a ++⋅⋅⋅+=对于B ，由，可得，， 21n n n a a a ++=+321a a a =+432,,a a a =+ 202220212020a a a =+将上式累加得，又，则()123202020222a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+21a =，故B 错误；123202020221a a a a a +++⋅⋅⋅=-+对于C ，有成立,用数学归纳法证明如下: 22221231n n n a a a a a a +++++= ①当时,,满足规律,1n =21121a a a ==⋅②假设当时满足成立,n k =22221231k k k a a a a a a +++++= 当时，则1n k =+222222123111k k k k k a a a a a a a a ++++++++=+ ()11k k k a a a ++=+成立，满足规律,12k k a a ++=故，令，则有22221231n n n a a a a a a +++++= 2021n =成立，故C 正确;2222123202*********a a a a a a ++++=对于D ，由可得，21n n n a a a ++=+2221121111n n n nn n n n n n n a a a a a a a a a a a +++++++-==-所以132420192021202020221111a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++，故D 正确 223334202120212022122020111111a a a a a a a a a a a a =-+-++- 122021202211a a a a =-故选：ACD【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 写出双曲线的一条渐近线方程__________．22:14y C x -=【答案】（或） 2y x =2y x =-【解析】【分析】由双曲线的性质求解即可.【详解】由题意可得，，则双曲线的渐近线方程为1,2a b ==22:14y C x -=.2by x x a=±=±故答案为：（或）2y x =2y x =-14. 正方体中，E 为线段的中点，则直线与平面所成角1111ABCD A BC D -1BB 1C E11A D B 的正弦值为__________．【解析】【分析】建立空间坐标系，利用法向量求解线面角.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标D 1,,DA DC DD ,,x y z 系，如图，设正方体的棱长为2，则;()()()()()1112,2,0,2,0,2,0,0,2,2,2,1,0,2,2B A D E C ；()()()11112,0,1,0,2,2,2,0,0EC BA D A =-=-=设平面的一个法向量为，则，，11A D B (),,n x y z = 11100n D A n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 20220x z y =⎧⎨-=⎩A 令，则.1y =()0,1,1n =设直线与平面所成角为，则. 1C E 11A D Bθ11sin n EC n EC θ⋅===15. 在平面上给定相异的两点A ，B ，设点P 与A ，B 在同一平面上，满足，当||||PA PB λ=且时，点P 的轨迹是一个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆．在中，0λ>1λ≠PAD A ，边中点为，则的最大值为__________．||||,(3,0)PA PD A =-PD (3,0)B ∠PAB 【答案】 π6【解析】【分析】设，可得，利用可得(),P x y ()6,D x y --||||PA PD =，结合图象即可得到与该圆相切时，最大()()225160x y y -+=≠PA ∠PAB 【详解】设，由边中点为可得，(),P x y PD (3,0)B ()6,D x y --因为，整理可得||||PA PD==，()()225160x y y -+=≠所以的轨迹是圆心为，半径为4的圆上（排除轴上的点）， P ()5,0Qx 则当与该圆相切时，最大，， PA ∠PAB 1tan 2PQ PAB AQ∠==因为所以 π0,2PAB ∠<<π,6PAB ∠=故答案为：π616. 平面上一系列点，其中()()()111222,,,,,,,n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11(1,2),0n n A y y +>>，已知在曲线上，圆与y 轴相切，且圆与圆n A 24y x =()()222:n n n n A x x y y r -+-=n A 外切，则的坐标为__________；记，则数列的前6项和为1n A +3A 1n n n b y y +={}n b __________． 【答案】 ①. ②. 12,93⎛⎫⎪⎝⎭247【解析】【分析】由圆与y 轴相切得出圆的半径为，由圆与圆外切，得出n A n A n x n A 1n A +，进而由递推公式结合求解即可.()112n n n n y y y y ++=-12y =【详解】因为圆与y 轴相切，所以圆的半径为， n A n A n x 又圆与圆.n A 1n A +1n n x x +=+两边平方并整理得，结合， ()2114n n n n y y x x ++-=22114444n n n n y y x x ++⋅=⨯⨯，得， 10n n y y +>>()112n n n n y y y y ++=-122nn ny y y +=+即，，以此类推 121212y y y ==+323y =727y =因为，所以，故. 323y =319x =312,93A ⎛⎫⎪⎝⎭数列的前6项和为{}n b ()()()()()()1223344556672y y y y y y y y y y y y -+-+-+-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()177224y y ==-故答案为：；. 12,93⎛⎫ ⎪⎝⎭247四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，点xOy OABC ,3COA C π∠=D 为的中点，的外接圆为圆M ．AB OAC A（1）求圆M 的方程；（2）求直线被圆M 所截得的弦长．CD【答案】（1） 224(1)3x y ⎛-+= ⎝（2【解析】【分析】（1）由已知可得为正三角形，可求出圆心坐标和半径得求圆M 的方程； OAC A （2）根据相应点的坐标，得到直线CD 的方程，求圆心到直线距离，利用几何法求弦长. 【小问1详解】（1）因为， ，所以为正三角形， OA OC =π3COA ∠=OAC A由，得， 2OA OC ===(20)A ，所以外接圆圆心为 ，又半径， OAC A M ⎛ ⎝R MO ==所以圆M 的方程为224(1)3x y ⎛-+-= ⎝【小问2详解】由题意得 ， ，B 52D ⎛⎝直线CD 的斜率，52k ==直线CD 方程为即，1)y x =-40x +-=M 到CD 的距离为，1d 所以CD 被圆M 截得的弦长为. ==18. 已知等比数列的各项均为正数，且． {}n a 2123264,9a a a a a +==（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前n 项和． 3log n n n b a a =+{}n b 【答案】（1）13n n a -=（2）()21312nn n +--【解析】【分析】（1）根据条件列方程组，求出首项和公比，利用通项公式可得答案； （2）先求出的通项公式，利用分组求和法可求和. n b 【小问1详解】设正项等比数列的公比为，因为，{}n a q 2123264,9a a a a a +==所以，解得，所以. 1124261149a a q a q a q +=⎧⎨=⎩113a q =⎧⎨=⎩1113n n n a a q --==【小问2详解】 由（1）可得，设数列的前n 项和为，131n n b n -=+-{}n b n S则()()21121333011n n n S b b b n -=+++=++++++++- . ()()21131311322n n n n n n --=+=+---19. 已知点，点B 为直线上的动点，过点B 作直线的垂线l ，且线段(0,1)F 1y =-1y =-的中垂线与l 交于点P ．FB （1）求点P 的轨迹的方程；Γ（2）设与x 轴交于点M ，直线与交于点G （异于P ），求四边形面积的FB PF ΓOMFG 最小值．【答案】（1） 24x y =（2【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义求解轨迹方程；（2）设出直线，联立方程，得出，用表示出四边形的面积，结合基124x x =-1x OMFG 本不等式求解最值. 【小问1详解】由题意点到直线的距离与到点的距离相等，所以点P 的轨迹是以P 1y =-(0,1)F (0,1)F 为焦点，以直线为准线的抛物线， 1y =-所以方程为. 24x y =【小问2详解】设直线的方程为，，则.PG 1y kx =+1122(,),(,)P x y G x y ()1,1B x -如图，设与轴的交点为，则易知为的中位线，所以. 1y =-y N OM FNB A 1,02xM ⎛⎫⎪⎝⎭联立，得，， 214y kx x y=+⎧⎨=⎩A 2440x kx --=12124,4x x k x x +==-不妨设，则， 1>0x 214x x =-四边形面积为OMFG111221111142222222x x x S OF x OF x x ⎛⎫⎛⎫=+=-=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当.1x =OMFG 20. 世界上有许多由旋转或对称构成的物体，呈现出各种美．譬如纸飞机、蝴蝶的翅膀等．在中，．将绕着旋转到的位ABC A2,120AB BC ABC ==∠=︒ABC A BC DBC △置，如图所示．（1）求证：；BC AD ⊥（2）当三棱锥的体积最大时，求平面和平面的夹角的余弦值． D ABC-ABD BDC 【答案】（1）证明见解析 （2 【解析】【分析】（1）做辅助线，先证明线面垂直，利用线面垂直证明线线垂直；（2）根据三棱锥的体积最大，确定平面的垂直关系，利用空间向量求解平面的夹角. 【小问1详解】取的中点，连接，AD E ,CE BE 由题意可知，所以； ,AC DC AB DB ==,CE AD BE AD ⊥⊥因为平面，所以平面； ,,CE BE E CE BE ⋂=⊂BCE AD ⊥BCE 因为平面，所以. BC ⊂BCE BC AD ⊥【小问2详解】由题意可知三棱锥的体积最大时，平面平面； D ABC -DBC ⊥ABC 在平面内作出，且与的延长线交于点，连接； DBC DO BC ⊥CB O OA 因为平面平面，平面平面，， DBC ⊥ABC DBC ABC BC =DO BC ⊥所以平面；根据旋转图形的特点可知，两两垂直， DO ⊥ABC ,,OD OA OC 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， O ,,OA OC OD ,,x y z因为，所以；2,120AB BC ABC ==∠=︒1OA OD OB ===；())(()0,1,0,,,0,3,0B AD C ，)(1,0,0,BA BD =-=-设平面的一个法向量为，则，， ABD (),,n x y z = 00n BA n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩y y -=-=令；y =()n =r易知平面的一个法向量为,BDC )OA =设平面和平面的夹角为，则ABD BDC θcosOA n OA nθ⋅===所以平面和平面. ABD BDC21. 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为1千万元，由于管理经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为千万元，乙超市第n 年的销售额比前一年的销售额212n +多千万元．123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）分别求甲、乙超市第n 年销售额的表达式；（2）若其中一家超市的年销售额不足另一家超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？【答案】（1）甲超市第n 年销售额为，乙超市第n 年销售额为1,1122n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，12323n n b -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭（2）乙超市将被甲超市收购，至少第6年【解析】【分析】（1）设甲、乙超市第年销售额分别为千万元、千万元，利用n n a n b 1n n n a S S =－-即可求出，利用累加法求出即可；n a n b （2）先解释甲超市不可能被乙超市收购，然后利用得到，通12n n b a <2213312nn n c -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过得到，代入具体的值即可 10n n c c +->2n ≥n 【小问1详解】设甲、乙超市第年销售额分别为千万元、千万元，n n a n b 假设甲超市前年总销售额为，则，n n S 212n n S +=当时，， 2n ≥()2211111222n n n n n a S S n --++=-=-=-易得不满足上式，故； 11a =1,1122n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，时，，112b n =≥，1123n n n b b --⎛⎫-= ⎪⎝⎭故()()()211213212221...333n n n n b b b b b b b b --⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋯+-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213213n⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，12323n -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭显然也适合，故；1n =12323n n b -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭【小问2详解】甲超市不可能被乙超市收购，乙超市将被甲超市收购，理由如下： ①因为，，当时，， 3n b <11a b =2n ≥23122n n a a b ≥=>所以甲超市不可能被乙超市收购；②设即，即， 12n n b a <1221334n n n ---<22130312n n -⎛⎫+> ⎪⎝⎭设，2213312nn n c -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令11221122131120312312633n n nn n n n c c ++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--=-⨯> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即，解得，所以2231n⎛⎫ ⎪≤⎝⎭2n ≥1234c c c c <<>< ， 1104c =-<552132132320,342434243128c ⎛⎫=-=-=-< ⎪⎝⎭，662164164640,31272912729768c ⎛⎫=-=-=-> ⎪⎝⎭77210312c ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭所以，解得，22130312nn n c -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭6n ≥综上，至少第6年时乙超市将被甲超市收购22. 已知椭圆过点．2222:1(0)x y E a b a b +=>>（1）求E 的方程；（2）过作斜率之积为1的两条直线与，设交E 于A ，B 两点，交E 于C ，(1,0)T 1l 2l 1l 2l D 两点，的中点分别为M ，N ．探究：与的面积之比是否为定,AB CD OMN A TMN △值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）22142x y +=（2）为定值，定值为2，理由见解析 【解析】【分析】（1）由题意可得写出关于的等式，即可求出E 的方程； ,,a b c （2）设直线与椭圆进行联立可得，同理可得:1,AB x my =+222,22m M m m -⎛⎫⎪++⎝⎭可得到直线过定点，然后利用2222,.2121m m N m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭()221:2,m MN x y m+=+(2,0)Q 面积公式即可 【小问1详解】由题意可得，解得，22222211a b c aa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩则E 的方程 22142x y +=【小问2详解】与面积之比为定值，定值为2，理由如下：OMN A TMN △设直线（），:1,AB x my =+0m ≠()()1122,,,,A x y B x y 联立可得，， 221142x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222230m y my ++-=216240m ∆=+>则 12122223,,22m y y y y m m --+==++所以 122222,11,2222M M M y y m m y x my m m m m +--===+=⋅+=+++所以， 222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭设，同理可得 1:1CD x y m =+2222,.2121m m N m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以， ()22222222211212212MN m m m m m m k m m m -+++==-+++所以直线即 ()222212:,22m m MN x y m m m +⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭()2212,m x y m +=+所以恒过定点，MN (2,0)Q 设点到直线的距离分别是,O T MN 12,,d d 则 112212212OMN TMN MN d OQ S d S d TQMN d ⨯====⨯A A 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； 12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。
潍坊市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题与答案
潍坊市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.5534C C +=（）A.5B.10C.15D.202.设空间向量()1,2,1a =- ，()2,4,b k =-- ，若a b，则实数k 的值为（）A.2B.10- C.2- D.103.已知两直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，且12,k k 是方程210x x +-=的两根，则1l 与2l 的位置关系为（）A.平行B.相交且垂直C.重合D.相交且不垂直4.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a = ，AD b = ，1AA c =，点P 在1AC 上，且123AP AC = ，则AP = （）A.222333a b c ++B.111333a b c ++C.222333a b c-++D.111333a b c--5.月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点()0,1F ，半椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线22x =与半圆交于点A ，与半椭圆交于点B ，则ABF △的面积为（）A.1)4+ B.3(21)2+ C.1+ D.214+6.有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（）A.240B.360C.480D.7207.若圆()()221:22C x y m ++-=与圆()()222:121C x y -++=相交，则实数m 的取值范围为（）A.()4,6 B.()4,10 C.()4,36 D.()16,368.如图，已知二面角l αβ--的度数大小为π3，在α与β的交线l 上取线段AB =,AC BD 分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线l ，且1AC =，2BD =，则CD 的长为（）A.6B.10C.D.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知直线:l y x =，点()0,1A -，则（）A.过点A 与l 平行的直线的方程为1y x =-B.点A 关于l 对称的点的坐标为()0,1 C.点A 到直线l 的距离为22D.过点A 与l 垂直的直线的方程为=1y x --10.若423401234(21)x a a x a x a x a x -=++++，则（）A.01a = B.0123416a a a a a ++++=C.02441a a a ++= D.1340a a +=11.一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A 表示事件“取出的两球不同色”，B 表示事件“第一次取出的是黑球”，C 表示事件“第二次取出的是黑球”，D 表示事件“取出的两球同色”，则（）A.A 与D 相互独立.B.A 与B 相互独立C.B 与D 相互独立D.A 与C 相互独立12.已知椭圆C ：22143x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，且点M 是直线4x =上任意一点，过点M 作C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为,A B ，则（）A.12AF F △的周长为6B.A ，2F ，B 三点共线C.A ，B 两点间的最短距离为2D.12AMF BMF ∠=∠三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置.13.62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为______．14.针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗.已知甲、乙两个机构各自研制成功的概率为15，14，而且两个机构互不影响，则甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为______.15.已知抛物线28y x =，F 为抛物线的焦点，且P 是该抛物线上一点，点()6,2A ，则PA PF +的最小值为______.16.在直三棱柱111ABC A B C -中，14AA =，AB =α经过点A ，且直线1AA 与平面α所成的角为30°，过点1A 作平面α的垂线，垂足为H ，则点1A 到平面α的距离为______，直线1AA 与BH 所成角的范围为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D -''''中，点E 是B C '的中点（1）证明：//D E '平面A BD '；（2）求直线//D E '与平面ABCD 所成角的正弦值.18.如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点M 在其准线上，MF =，直线MF 的倾斜角为135︒，且与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点（1）求C 的方程；（2）求AOB 的面积.19.现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个.（1）求这个零件是次品的概率；（2）已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率.20.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，点1(1,0)A -，22,3)A 都在双曲线C 上，且C 的右焦点为F .（1）求C 的离心率及其渐近线方程；（2）设点000(,)(2)P x y x ≠是双曲线C 右支上的任意一点，记直线PF 和1PA 的斜率分别为12k k 、，证明：212221k k k =-.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，90BCD ABC ∠=∠=︒，222AB CD BC ===M 是棱PC 上的点，且PM PC λ=，01λ≤≤.（1）求证：BD ⊥平面PAD ；（2）设二面角M BD C --的大小为θ，若13cos 13θ=，求λ的值.22.如图，已知圆22:23210T x y x ++-=，圆心是点T ，点G 是圆T 上的动点，点H 的坐标为)3,0，线段CH 的垂直平分线交线段TC 于点R ，记动点R 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点H 作一条直线与曲线E 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，若CA AH λ= ，CB BH μ=，试探究λμ+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（3）过点()2,1M 作两条直线MP ，MQ ，分别交曲线E 于P ，Q 两点，使得1MP MQ k k ⋅=.且MD PQ ⊥，点D 为垂足，证明：存在定点F ，使得DF 为定值.潍坊市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题答案1.C【分析】先根据组合数的性质将其化简，再运用组合数计算公式即得.【详解】由2155534554=+5=15C 21C C C +⨯⨯+=.2.A【分析】由向量平行的坐标表示求解．【详解】由题意24121k --==-，解得2k =．3.B【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得．【详解】由题意121k k =-，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交．4.A【分析】根据已知条件，利用空间向量的线性运算即得.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，111AC AB BC CC AB AD AA =++=++因为AB a = ，AD b = ，1AA c =，点P 在1AC 上，且123AP AC = ，所以()122223333AB AD A AP a b c A ++==++ .5.D【分析】依据题意求得椭圆和圆的方程后，解出关键点的坐标，再求面积即可.【详解】由题意得，半圆的方程为221(0)x y y +=≤，在半椭圆中1b c ==，则a =，故半椭圆方程为221(0)2y x y +=≥，将22x =代入半椭圆，解得1B y =，将22x =代入半圆，解得22A y =-，故222AB +=，然1212224ABF S ++=⨯⨯=，6.B【分析】先按人数分组，再分配到三个学校可得．【详解】选按人数3，2，1分成3组再分配到三个学校，不同的分法种数为323633C C A 360=．7.D【分析】利用圆心距离与两圆半径关系求解．【详解】由已知1(2,2)C -，2(1,2)C -，125C C =，151-<<+，解得1636m <<．8.C【分析】利用CD CA AB BD =++，将其两边同时平方即可求2CD ，再开方即可求解.【详解】由图得：CD CA AB BD =++，又由题意知：π2π,,,π33CA AB BD AB CA BD ⊥⊥=-= ，所以()2222CD CD CA AB BD CA AB BD==++=++ 222222CA AB BD CA AB BD AB CA BD =+++⋅+⋅+⋅ 222ππ2π2cos 2cos 2cos223CA AB BD CA AB BD AB CA BD =+++⋅+⋅+⋅ 221120021262⎛⎫=+++++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以26CD CD =⇒=，所以CD ，9.ACD【分析】由平行垂直求出直线方程判断AD，写出对称点坐标判断B，由得点到直线距离判断C．【详解】与直线y x =平行的直线方程可设为y x m =+，代入点(0,1)A -坐标得10m -=+，即1m =-，即平行线方程为1y x =-，A 正确；A 关于l 的对称点坐标为(1,0)-，B 错；A 到直线l 的距离为22d ==，C 正确；与直线l 垂直的直线方程可设为y x n =-+，代入A 点坐标得10n -=+，1n =-，直线方程即为=1y x --，D 正确．10.AC【分析】根据给定条件，利用二项式定理，结合赋值法逐项计算判断即得.【详解】令423401234()(21)f x x a a x a x a x a x =-=++++，对于A，由0x =，得0(0)1a f ==，A 正确；对于B，由1x =，得01234(1)1a a a a a f ++++==，B 错误；对于C，由=1x -，得01234(1)81a a a a a f -+-+=-=，因此0241(1)4(1)2a f f a a +-+=+=，C 正确；对于D，13(1)(1)402f f a a --+==-，D 错误.11.BCD【分析】根据相互独立事件的概念进行判定.【详解】不放回依次取出两个，基本事件有12,13,14,23,24,34,21,31,41,32,42,43，共12种，事件A =“13,14,23,24,31,41,32,42”；事件B =“12,13,14,21,23,24”；事件C =“12,21,31,41,32,42”；事件D =“12,21,34,43”.事件AD =∅，事件AB =“13,14,23,24”，事件BD =“12,21,”，事件AC =“31,41,32,42”，则()()8261,123122P A P B ====，()61122P C ==，()41123P D ==，()0P AD =，()41123P AB ==，()21126P BD ==，()41123P AC ==，所以()()()P AD P A P D ≠，所以A 与D 不相互独立；()()()P AB P A P B =，所以A 与B 相互独立；()()()P BD P B P D =，所以B 与D 相互独立；()()()P AC P A P C =，所以A 与C 相互独立；12.ABD【分析】根据椭圆焦点三角形的周长的算法，可判断A 的真假；求出切点弦AB 的方程，判断是否过右焦点2F 可判断B 的真假；求过右焦点的弦长的最小值，判断C 的真假；利用斜率与倾斜角的关系及正切的差角公式计算即可判定D 项.【详解】设椭圆长轴长2a ，短轴长2b ，焦距2c ，则由椭圆方程可知2,1a b c ===，如图：因为A 在椭圆C 上，所以1224AF AF a +==，1222F F c ===，所以12AF F △的周长为226a c +=，故A 正确；对B：设M 点的坐标为()4,t ，()11,A x y ，()22,B x y ，由图可知，过M 点作椭圆22143x y +=的切线，切线斜率必存在.所以过A 点的切线方程可设为：()11y y k x x -=-，联立方程组：()1122143y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()22211113484120k x k y kx x y kx ++-+--=，由Δ0=得：()()()222111184344120k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤--+--=⎣⎦⎣⎦，整理得：()()2211340y kx k--+=⇒()()22211113240ykx y k x --+-=，因为：2211143x y +=⇒2211334x y -=-，2211443y x -=-，所以：2221111342043x y kx y k ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭⇒2221111924160x kx y k y ++=⇒()211340x ky +=⇒11340x ky +=,即1134x k y =-.所以过点A 的切线为：()111134x y y x x y -=--⇒11143x x y y +=.又切线过点M ，所以1113ty x +=.同理：2213ty x +=.故A ，B 两点都在直线13tyx +=上，而点2F ()1,0也在这条直线上，所以A ，2F ，B 三点共线，故B 正确；对C：若直线AB 无斜率，则232232b AB a =⨯=⨯=,若直线AB 有斜率，结合B 项结论可设其方程为：()1y k x =-,联立方程组：()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()22234112x k x +-=，整理得：()22223484120kxk x k +-+-=，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+，所以()()()()222121212221691434k x x x x x x k ⨯+-=+-=+，所以：()212221213333434k AB x k k+=-==+>++.综上：3AB ≥.故C 错误；对D：设过M 点的切线方程为：()4y k x t =-+，联立方程组：()224143y k x t x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()222223483264324120k x kt k x k kt t ++-+-+-=，由Δ0=得：()2222283243464324120kt k k k kt t ⎡⎤⎡⎤--+-+-=⎣⎦⎣⎦，整理得：2212083kt t k +--=，不妨设12,MA MBk k k k ==，则2121223,312t t k k k k -+==，易知121221121200354141tan tan 0035114141t t k k k t t k F MA F MB t t tk tk k k -------+∠==∠==--+++⋅+⋅-+，且12,AMF BMF ∠∠均为锐角，故12211235tan tan 35k t t k F MA F MB tk tk --∠-∠=-++()()()()2121212158835t k k tk k ttk tk -++-=++()()()()221222153833035t tt t ttk tk -⨯+⨯--==++，所以12AMF BMF ∠=∠，故D 正确.【点睛】难点点睛：对于B 项，利用同解方程求出切点弦方程即可，而积累结论：过椭圆22221x y a b +=上一点()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，过椭圆22221x y a b+=外一点()00,P x y 的切点弦方程为00221x x y ya b+=，如此可直接快速判定B 项；对于C 项，通过分类讨论及弦长公式计算即可，而积累结论焦点弦通径最短可快速得出结论；对于D 项，根据同解方程得出两切线斜率的关系式，结合到角公式计算即可.13.【分析】由题意利用二项式定理可得解.【详解】二项式62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式6662162C C 2rr r r r r r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令620r -=，可得3r =，所以展开式中的常数项为336C 2160⨯=.故答案为：160.14.【分析】甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的对立事件为甲、乙两个机构一个也没有研制成功，由此求得甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率.【详解】由于两个机构互不影响，故甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的对立事件为甲、乙两个机构一个也没有研制成功，所以甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为：11321(1)15455P =---=-=.故答案为：2515.【分析】作邮抛物线的准线，把PF 转化为P 到准线的距离PQ ，由三点共线得最小值．【详解】由题意抛物线28y x =的准线l 的方程是2x =-，过P 作PQ l ⊥于Q ，则PQ PF =，所以PA PF PA PQ +=+当且仅当,,A P Q 三点共线时，PA PQ +取得最小值6(2)8--=，所以PA PF +的最小值是8.故答案为：8.16.【分析】利用1AH AH ⊥，得出H 在以1AA 为直径的球面上，其时可得出1A 到平面α的距离，由直线1AA 与平面α所成的角为30°，得H 在以1AA 为轴，顶角为60︒的圆锥面上，从而得出H 的轨迹是圆，然后建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求得BH 与1AA 所成角的余弦值，角的范围．【详解】如图，连接AH ，因为1A H α⊥，AH α⊂，所以1AH AH ⊥，所以H 在以1AA 为直径的球面上，又直线1AA 与平面α所成角为30︒，而1A AH ∠即为直线1AA 与平面α所成的角，因此130A AH ∠=︒，因此H 在以1AA 为轴，顶角为60︒的圆锥面上，过H 作1HO AA ⊥于点O，则112,1,3HA HA HO A O AO =====，其中1HA 的长即为1A 到平面α的距离．所以H 在圆锥AO 的底面圆上，O，以AB 为y 轴，1AA 为z 轴，过A 与AB 垂直的直线的为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,B，设,3)H θθ，BH θθ=- ，取1AA 的一个方向向量为(0,0,1)n =，cos ,BH n BH n BH n ⋅===1,22∈，又0,πBH n ≤≤，所以ππ,[,]63BH n ∈ ，所以直线BH 与1AA 所成角的范围是[,63ππ，即[30,60]︒︒，故答案为：2；[30,60]︒︒．17.【分析】（1）根据给定条件，利用面面平行的判定与性质推理即得.（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【小问1详解】在正方体ABCD A B C D -''''中，四边形BDD B ''是其对角面，则//B D BD ''，BD ⊂平面A BD '，B D ''⊄平面A BD '，于是//B D ''平面A BD '，同理//B C '平面A BD '，又B D B C B ''''= ，,B D B C '''⊂平面B CD ''，因此平面//A BD '平面B CD ''，又D E '⊂平面B CD ''，所以//D E '平面A BD '.【小问2详解】以D 为原点，,,DA DC DD '的方向分别为x 轴、y 轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,1),1(,1,)22E D '，11(,1,)22D E '=- ，显然平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n = ，设直线D E '与平面ABCD 所成角为θ，则1||62sin |cos ,|6||||D E n n D E D E n θ'⋅'=〈〉=='⋅，所以直线D E '与平面ABCD 所成角的正弦值为66.18.【分析】（1）记准线与x 轴交点为K ，MKF为等腰直角三角形，得MF =，从而求得p 得抛物线方程；（2）直线AB 方程代入抛物线方程，应用韦达定理得1212,x x x x +，然后求得弦长AB ，再求得O 到直线AB 的距离后可得三角形面积．【小问1详解】因为直线MF 的倾斜角为135︒，记准线与x 轴交点为K ，易知MKF为等腰直角三角形，且MF =，所以焦点到准线的距离为2，即2p =，所以抛物线的方程为24y x =.【小问2详解】由（1）可得()1,2M -，()1,0F ，因为直线MF 的倾斜角为135︒，所以直线MF 的斜率为1k =-，所以直线MF 的方程为1y x =-+，即AB 的方程为1y x =-+，联立21,4,y x y x =-+⎧⎨=⎩可得2610x x -+=，所以12126,1,x x x x +=⎧⎨=⎩所以()22121211423648AB x x x x =++-=-=，又点O 到直线AB 的距离1222d ==，所以AOB 的面积112||82222AOB S AB d =⋅=⨯⨯=△19.【分析】（1）根据题意，结合全概率公式，准确计算，即可求解；（2）根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解.【小问1详解】解：记事件1A ：第一台车床加工的零件，记事件2A ：第二台车床加工的零件，记事件B ：这个零件是次品，由题意可得12()0.45P A ==，23()0.65P A ==，1(|)0.06P B A =，2(|)0.05P B A =，由全概率公式可得：1122()()(|)()(|)0.40.060.60.050.054P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=.【小问2详解】解：由（1）知，已知这个零件是次品，它是第一台车床加工的概率为1111()()(|)0.0244(|)()()0.0549P A B P A P B A P A B P B P B ⋅====.20.【分析】（1）把1A 、2A 的坐标代入双曲线C 得方程可得答案；（2）求出1k 、2k 得()()002222021211+=-+y x k k x ，再由点P 的坐标满足双曲线方程代入可得答案.【小问1详解】由题意，把()11,0A -，(2A -代入双曲线C 得：22211231a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a =，b =，2c =，所以双曲线C 的方程为2213y x -=，故离心率2ce a==，渐近线方程为y =；【小问2详解】由题意得，12,k k 一定存在且21k ≠±，()2,0F ，00x >，0102PF y k k x ==-，1021PA y k k x ==+，则()()()00022222020221121111y y x x k y k x x ++==-+-+，又点P 的坐标满足220013y x -=，则220033y x =-，故()()()()()000002122220000021212122121y x y x y k k k x x x x y ++===-=----+-+-，所以212221k k k =-.21.【分析】（1）由余弦定理计算后由勾股定理逆定理证明AD BD ⊥，取AD 的中点O ，连结PO ，由面面垂直得线面垂直，从而得线线垂直PO BD ⊥，然后可得证题设线面垂直；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角，从而求出λ值．【小问1详解】因为90BCD ∠=︒，22CD BC ==，所以4BD =，45CBD ∠=︒，在ABD △中，45ABD ∠=︒，42AB =，由余弦定理得，222cos 4AD AB BD AB BD ABD =+-⋅∠，所以222AD BD AB +=，即90ADB ∠=︒，AD BD ⊥，取AD 的中点O ，连结PO ，因为PAD 是等边三角形，所以PO AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又因为BD ⊂平面ABCD ，所以PO BD ⊥.又因为PO AD O = ，PO ，AD ⊂平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD .【小问2详解】取AB 的中点N ，连结ON ，则ON BD ∥，所以AD ON ⊥，以O 为原点，,,ON OD OP的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,2,0A -，()0,2,0D ，()4,2,0B ，()2,4,0C ，(0,0,3P ，(0,2,23)AP =，((()0,2,32,4,32,42,23(1)DM DP PM DP PC λλλλλ=+=+=-+-=--，又()4,0,0DB = ，设平面MBD 的一个法向量为(),,n x y z =r，则0,0,DM n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，2(42))0,40,x y z x λλλ⎧+-+-=⎪⎨=⎪⎩当12λ=时，平面MBD ⊥平面ABCD ，不合题意；当12λ≠时，令21z λ=-，得平面MBD的法向量为)()1,21n λλ=--，易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =，由于平面MBD 与平面ABCD 所成角的余弦值为1313，故有|cos ,|13m n ==，解得13λ=或35λ=.22.【分析】（1）根据题意，得RT RH RT RG TG TH +=+===动点R 的轨迹是以T ，H 为焦点，长轴长为的椭圆；（2）设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立，由向量坐标运算表示λμ+，化简即可；（3）设PQ 的方程是y hx m =+，与椭圆方程联立，由条件1MP MQ k k ⋅=，可得()22821230m k m k +++-=，则63m k =--或12m k =-，可证直线PQ 经过定点()6,3K -，又因为MD PQ ⊥，所以D 在以线段MK 为直径的圆上，可得解.【小问1详解】因为22210x y ++-=，所以22(24x y ++=，所以()T，半径r =因为线段GH 的中垂线交线段TG 于点R ，所以RH RG =，所以RT RH RT RG TG TH +=+===所以动点R的轨迹是以0()T，)H为焦点，长轴长为的椭圆，所以a =，c =b =故曲线E 的方程为22163x y +=..【小问2详解】当直线AB的斜率不存在时，其方程为x =，与y轴不相交，不合题意，舍去，当直线AB 的斜率存在时，设AB 所在直线方程为()3y k x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22(1,63y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y整理得2222(12)660k x x k +-+-=，0∆>恒成立，所以21222122126612x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又因为直线AB 与y 轴的交点为C，所以()0,C ，所以()11,CA x y =+，)11,AH x y =-，()22,CB x y =+，)22,BH x y =- ，又因为CA AH λ=，所以)11x x λ=，同理)22x x μ=，所以λ=，且μ=所以2222436621212k k k λμ--⨯+-+==，整理后得222221212121243612663k k k k k λμ-++==-=-+-+-，所以λμ+为定值4-，原题得证.【小问3详解】设1122(,),(,)P x y Q x y ，显然PQ 的斜率存在，12x ≠，22x ≠，设PQ 的方程是y hx m =+，由22,26,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得()222214260k x kmx m +++-=，则()()()222222Δ16421268630k m k m k m =-+⋅-=-+>，即2263k m +>，由韦达定理得12221224212621km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，根据已知1MP MQ k k ⋅=，可得121211122y y x x --⋅=--，即()()12121212124y y y y x x x x -++=-++，又11y kx m =+，22y kx m =+，代入上式整理得()22821230m k m k +++-=，则63m k =--或12m k =-，当63m k =--时，直线PQ 的方程为()63y k x =--，所以直线PQ 经过定点()6,3-，当12m k =-时，直线PQ 的方程为()21y k x =-+，所以直线PQ 经过定点()2,1与M 重合，舍去，故直线PQ 经过定点()6,3K -，又因为MD PQ ⊥，所以D 在以线段MK 为直径的圆上.所以F 为线段MK 的中点，即()4,1F -，所以1122DF MK ===【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y ，()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为1212,x x x x +的形式；（5）代入韦达定理求解.。
高二数学上学期期末考试试题(及答案)
高二数学上学期期末考试试题(及答案)高二数学上学期期末考试试题及答案第I卷（选择题）1.在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，则C=（）。
A。
2π/3 B。
π/3 C。
π D。
3π/4改写：在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，求C的大小。
答案：B2.在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求以下条件p的充要条件。
A。
充要条件B。
充分不必要条件C。
必要不充分条件D。
既非充分也非必要条件改写：在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求p的充要条件。
答案：B3.已知等比数列{an}中，a2a10=6a6，等差数列{bn}中，b4+b6=a6，则数列{bn}的前9项和为（）。
A。
9 B。
27 C。
54 D。
72改写：已知等比数列{an}和等差数列{bn}的一些条件，求{bn}的前9项和。
答案：C4.已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，则数列{a1}的前n 项和为（）。
A。
n^2/(n-1) B。
n(n+1)/(2n+1) C。
3(2n+3)/(2n+1) D。
3(n+1)/(n-1)改写：已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，求数列{a1}的前n项和。
答案：B5.设 2x-2y-5≤2，3x+y-10≥3，则z=x+y的最小值为（）。
A。
10 B。
8 C。
5 D。
2改写：已知不等式2x-2y-5≤2和3x+y-10≥3，求z=x+y的最小值。
答案：C6.对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②“14”的必要不充分条件；④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<5”的充要条件。
其中真命题的个数为（）。
A。
0个 B。
1个 C。
2个 D。
3个改写：对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，判断下列命题的真假，并统计真命题的个数。
答案：C7.对于曲线C：x^2+y^2=1与直线y=k(x+3)交于点A,B，则三角形ABM的周长为（）。
天津市高二上学期期末数学试题(解析版)
高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知空间向量，，，则（ ）(1,2,3)a =-(2,1,1)b =- (2,0,3)c = ()a b c ⋅+=A ．B ．C ．D ．10-(4,2,12)--(5,0,15)-【答案】A【分析】根据向量数量积的坐标运算求解. 【详解】，(4,1,4)b c →→+=- ，41123410a b c →→→⎛⎫∴⋅+=⨯-⨯-⨯=- ⎪⎝⎭故选：A2．直线的倾斜角为（ ） 20x y +-=A ．45° B ．90°C ．135°D ．150°【答案】C【分析】求出直线的斜率，根据斜率的定义即可得出倾斜角.【详解】直线化为，则斜率，又倾斜角， 20x y +-=2y x =-+tan 1k α==-0180α≤<︒所以倾斜角为. 135 故选：C.3．抛物线的准线方程为 24y x =A ． B ．C ．D ．=1x -1y =-1x =1y =【答案】A【分析】利用的准线方程为，能求出抛物线的准线方程. 22y px =2px =-24y x =【详解】，24,24,2y x p p =∴== 抛物线的准线方程为， ∴24y x =2p x =-即，故选A .=1x -【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.4．在等差数列中,,,则公差为（ ） {}n a 138a a +=2440a a =A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】设公差为,根据题意将已知条件化为和的形式,解方程组即可得到结果. d 1a d 【详解】设公差为,则d , ()()1113112428834040a a d a a a d a d a a ++=+=⎧⎧⇒⎨⎨+⋅+==⎩⎩解得. 11,3a d ==故选:C.5．若双曲线与椭圆） 221259x y +=A ． B ． C． D ．y =y =y =y =【答案】D【分析】根据椭圆确定双曲线焦点，再由离心率求出，即可求出双曲线渐近线方程.a 【详解】由椭圆知，其焦点坐标为，221259x y +=(4,0)±所以双曲线的焦点坐标为，即， (4,0)±4c =又，所以，所以， c e a ==a =2224b c a =-=所以双曲线的渐近线方程为， y x ==故选：D6．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到直线的距离为ABCD A B C D -''''E AB E AC'（ ） A BCD ．14【答案】B【分析】建立如图所示，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间A ,,AB AD AA 'x y z 直角坐标系，根据公式点到直线的距离为.A xyz -E AC 'd =【详解】由题知，棱长为1的正方体中，为线段的中点，ABCD A B C D -''''E AB 所以建立如图所示，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角A ,,AB AD AA 'x y z 坐标系，A xyz -所以,1(,0,0),(0,0,0),(1,1,1)2E A C '所以,1(,0,0),(1,1,1)2AE AC '== 所以点到直线的距离为, E AC'd ====故选：B7．数列中，，且，则{}n a 11a =12nn n a a +=+9a =A ．1024 B ．1023 C ．510 D ．511【答案】D【分析】由题意结合递推关系求解的值即可.9a 【详解】由题意可得：，则：12nn n a a +-=.9a ()()()1213298a a a a a a a =+-+-++- 1289122221511=++++=-= 本题选择D 选项.【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．8．已知直线与圆相交于A ，B 两点，若m 30(0)x y m m ++=>22240x y y +--=||AB=的值为（ ） A B C ．3 D ．4【答案】D【分析】求出圆心和半径，再利用圆心到直线的距离求得即可解得d 222r d -=的值.m 【详解】，化简为， 22240x y y +--=22(1)415x y +-=+=可得圆心()0,1圆心到直线的距离d ，即， 222r d∴-=()25,15,1252d m m =∴+=±+=或（舍去） 4m ∴=6m =-故选：D.9．已知F 是椭圆的左焦点，点，若P 是椭圆上任意一点，则的最大22143x y +=(4,3)Q ||||PQ PF +值为（ ）A ．B ．C ．D ．4+4+【答案】A【分析】设椭圆的右焦点为，，计算得到答案. ()11,0F 1||||2PQ PF aQF +≤+【详解】设椭圆的右焦点为，()11,0F11||||||2||244PQ PF PQ a PF a QF +=+-≤+=+=+当三点共线，且在之间时等号成立. 1,,P Q F 1F ,P Q 故选：A二、填空题10．已知空间向量，，且与是共线向量，则实数x 的值为_______．(2,1,3)a =- (4,2,)b x =- a b【答案】6-【分析】根据向量共线得到，列出方程组，求出答案. a b λ=【详解】设，则，解得：. a b λ= 24123x λλλ=-⎧⎪-=⎨⎪=⎩126x λ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩故答案为：-611．已知的三个顶点，，，则边上的高所在直线方程为_______． ABC A (3,1)A -(3,3)B -(1,7)C BC 【答案】580x y -+=【分析】求出直线的斜率，进而由垂直关系得到所求直线的斜率，由直线方程点斜式得到答案. BC 【详解】直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为， BC 73513+=--BC 15则边上的高所在直线方程为， BC ()1135y x -=+整理得. 580x y -+=故答案为：580x y -+=12．在平行六面体中，，，，ABCD A B C D -''''5AB =4=AD 3AA '=60BAD BAA DAA ''∠=∠=∠=︒，则的长为_______． AC '【分析】由空间向量基本定理得到，平方后得到，得到的长. AC AB AD AA =+'+' 297AC '= AC '【详解】由题意得：，AC AB AD AA =+'+'故()22222222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''''=++=+++⋅+⋅+⋅25169254cos 60253cos 60243cos 60=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒，5054534397=+⨯+⨯+⨯=故.AC13．已知等比数列满足，，则_______． {}n a 11a =-13521a a a ++=-357a a a ++=【答案】84-【分析】根据等比数列的通项公式求解即可.【详解】，2413511(1)21,1a a a a q q a ++=++=-=- ，解得，24121q q ++=∴24q =， 1352357()21484a a a a a a q ++∴++=⋅=-⨯=-故答案为：84-14．过双曲线的右焦点作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，以为直径的22221(0,0)x y a b a b-=>>AB 圆恰好过双曲线的左焦点，则双曲线的离心率为_______．【答案】11【分析】设双曲线的左右焦点分别为，根据题意可得，从而建立方程，即可求12F F ，1212F F AB =得双曲线的离心率.【详解】设双曲线的左右焦点分别为，22221(0,0)x y a b a b-=>>12F F ，过双曲线的右焦点做x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，22221(0,0)x y a b a b-=>>则，又因为以为直径的圆恰好过双曲线的左焦点，22b AB a =AB 所以，即，所以，1212F F AB =22b c a =2220c ac a --=则，解得：， 2210e e --=1e =+1e =故答案为：115．已知实数x ，y 满足，则的最小值是_______． 22(2)1x y -+=1y x-【答案】43-【分析】设，转化为直线与圆有公共点，只需联立方程有解，利用判别式1y k x-=1(0)y kx x =+≠即可求出. 【详解】令，即， 1y k x-=1(0)y kx x =+≠联立，消元得， ()22121y kx x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩22(1)(24)40k x k x ++-+=由题意，，解得， 22(24)16(1)0k k ∆=--+≥403k -≤≤故的最小值为. 1y k x -=43-故答案为：43-三、解答题16．已知等比数列的前n 项和为，，，等差数列满足，{}n a n S 4178a a -=339S ={}n b 11b a =81b +是和的等差中项，求和的通项公式．2a 3a {}n a {}n b 【答案】，.3nn a =21n b n =+【分析】根据等差数列及等比数列的通项公式列方程求解即可. 【详解】设的公比为，显然.{}n a q 1q ≠由题意 解得()3113178,139,1a q a a q q⎧-=⎪-⎨=⎪-⎩13,3a q ==所以的通项公式为.{}n a 3nn a =设数列的公差为，则 {}n b d 1233,9,27a a a ===所以，所以， 89271182b ++==817b =即，解得，.3717d +=2d =3(1)221n b n n =+-⨯=+17．已知圆心为C 的圆经过，两点，且圆心C 在直线上． (4,2)A (1,5)B 27120x y -+=(1)求圆C 的方程；(2)已知点，点N 在圆C 上运动，求线段中点P 的轨迹方程． (7,2)M MN 【答案】(1)22(1)(2)9x y -+-=(2) 229(4)(2)4x y -+-=【分析】（1）设出圆的标准方程，将点的坐标代入圆的方程，结婚圆心在直线,A B 27120x y -+=上，列出方程组，解之即可求解；（2）设点的坐标是，点的坐标是，利用中点坐标公式和点在圆上运动即可求P (,)x y N 11(,)x y N C 解.【详解】（1）设圆的方程为，由题意得C 222()()x a y b r -+-=，解得 ()()()()222222421527120a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+=⎪⎩123a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以圆的方程为.C 22(1)(2)9x y -+-=（2）设点的坐标是，点的坐标是， P (,)x y N 11(,)x y 由于点的坐标为，点是线段的中点，所以， M (7,2)P MN 1172,22x y x y ++==于是1127,22x x y y =-=-因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，N C N C 即2211(1)(2)9x y -+-=所以，22(271)(222)9x y --+--=整理得 229(4)(2)4x y -+-=所以，线段中点的轨迹方程. MN P 229(4)(2)4x y -+-=18．如图，在四棱锥中，底面，，，P ABCD -PA ⊥ABCD AD BC ∥AB AD ⊥，E 为中点，作交于点F ． 112PA AB BC AD====PB EF PC ⊥PC(1)求证：平面；PC ⊥AEF (2)求平面与平面夹角的余弦值． AEF PBD 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法证明线面垂直； （2）把二面角计算问题转化为法向量夹角问题.【详解】（1）证明：依题意得，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如A ,,AB AD AP x y z图所示的空间直角坐标系.，(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1)B C D P 因为点为中点，所以，E PB 11(,0,)22E 所以，，又，11(,0,22AE = (1,1,1)PC =- 而，11101(1)022AE PC ⋅=⨯+⨯+⨯-= 所以.AE PC ⊥由已知，且，在平面内, EF PC ⊥AE EF E ⋂=,AE EF AEF 所以平面.PC ⊥AEF （2）由（1）知为平面的一个法向量，PCAEF 又，,(0,2,1)PD =-(1,0,1)PB =- 设平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补PBD (,,)n x y z = AEF PBD PC n 角.，所以，所以0,0,n PB n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020x z y z -=⎧⎨-=⎩,1.2x z y z =⎧⎪⎨=⎪⎩取，则(2,1,2)n = cos ,||||n PC n PC n PC ⋅<>===所以平面与平面AEF PBD19．已知椭圆过点2222:1(0)x y C a b a b +=>>)(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且，求直线l 的方程．2FB AF =【答案】(1)22132x y +=(2)1)y x =-【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，将点的坐标代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得直线l 的方程． 【详解】（1）由椭圆过点可知，，23a =又，即，e =a =223a c =所以，所以，2223a b =22b =所以椭圆的标准方程为.C 22132x y +=（2）由（1）知，，设直线的方程为，联立，解(1,0)F l (1)y k x =-1122(,),(,)A x y B x y ()221321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，2222(23)6360k x k x k +-+-=所以， 22121222636,2323k k x x x x k k -+==++由得，即，2FB AF =2112(1)x x -=-2132x x =-所以，所以，，211263223k x x k +-=+2126323k x k +=+2226323k x k -+=+所以，化简得， 222222636363232323k k k kk k +-+-+⨯=+++236k =所以的方程k =l 1)y x =-20．已知数列的前n 项和为，且．{}n a n S ()23n n S a n n *=-∈N (1)求证：是等比数列；12n a ⎧⎫+⎨⎩⎭(2)在与之间插入n 个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前nn a 1n a +2n +n d 1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭项和.【答案】(1)证明见解析 (2) 525443n nn T +=-⋅【分析】（1）由与的关系，分，求数列的通项公式即可； n S n a 1,2n n =≥（2）利用错位相减法求和即可得解.【详解】（1）当时，，得，所以， 1n =11231a a =-11a =11322a +=当时，2n ≥1123(1)n n S a n --=--所以，即， 1122331n n n n S S a a ---=--12331n n n a a a -=--所以 131n n a a -=+所以 11111111313()2223111222n n n n n n a a a a a a -----++++===+++即数列是以为首项，公比为3的等比数列. 1{}2n a +32（2）由（1）得，所以， 11333222n n n a -+=⋅=312n n a -=由题意，即 1(1)n n n a a n d +-=+⋅133(1)2n n n n d +-=+⋅所以，所以 31nn d n =+111(1)()33n n n n n d +==+⋅设前项和为 1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 所以 1231111n nT d d d d =++++ 即 ① 231111234(1)3333n n T n =⨯+⨯+⨯+++⋅ ② ()23411111112341333333n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⋅++⋅ ①-②得：21112211121311(1)(1)3333336233n n n n n T n n +++=+++-+=+-⋅-+15251623n n ++=-⋅所以. 525443n n n T +=-⋅。
高二数学上学期期末考试题精选及答案
高二数学上学期期末考试题精选及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 有七名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站在正中间，乙和丙两位同学必须站在一起，则不同的站法一共有（）A. 180种B. 90种C. 60种D. 30种答案：A2. 若函数f(x) = x^2 + mx + 1有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A. m > 2B. m < -2C. m > -2D. m < 2答案：D3. 已知函数f(x) = (x - 2)^2 + 1的最小值是（）A. 0B. 1C. 4D. 5答案：B4. 若a，b是方程x^2 - 3x + 1 = 0的两根，则a^2 + b^2的值等于（）A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C5. 设函数f(x) = x^3 - 3x + 1，则方程f(x) = 0在区间（0，3）内的实根个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B6. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 3，若f(x) > 0，则x的取值范围是（）A. x > 0B. x < -3C. x > -1D. x < 1答案：C7. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 4，若f(x) > 0，则x 的取值范围是（）A. x > 1B. x < 1C. x > 2D. x < 2答案：A8. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x) < 0，则x的取值范围是（）A. x > 3/2B. x < 3/2C. x > 3D. x < 3答案：B二、填空题（每题5分，共30分）9. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(3)的值。
答案：710. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f(-1)的值。
答案：011. 若函数f(x) = x^2 + kx + 1的图象上存在点P(m，n)，使得f(m) = n，求实数k的取值范围。
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【典型题】高二数学上期末试题及答案一、选择题1．在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“23x y +≤”的概率，则(P = ) A ．23 B ．12 C ．49D ．29 2．如图阴影部分为曲边梯形，其曲线对应函数为1x y e =-，在长方形内随机投掷一颗黄豆，则它落在阴影部分的概率是（ ）A ．23e -B ．13e -C ．43e -D ．53e - 3．气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于022C .现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8则肯定进入夏季的地区有（ ）A ．①②③B ．①③C ．②③D ．①4．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（ ）A ．0795B ．0780C ．0810D ．08155．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（ ）A ．116B ．18C．38D．3166．执行如图所示的程序框图，若输入8x=，则输出的y值为（）A．3B．52C．12D．34-7．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（）A．112B．12C．13D．168．某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A，B两个贫困县各有15名村代表，最终A县有5人表现突出，B县有3人表现突出，现分别从A，B两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B县选取的人表现不突出的概率是（）A．13B．47C．23D．569．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为( )A．1636B．1736C．12D．1936a=-，则输出的S=10．执行如图所示的程序框图，如果输入的1A．2B．3C．4D．511．执行如图的程序框图，如果输出的是a=341，那么判断框（）k<A．4k<B．5k<C．6k<D．712．赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设DF=2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若正方形ABCD 的边长为4, E 为四边形上任意一点,则AE 的长度大于5的概率等于______14．执行如图所示的程序框图若输人x 的值为3，则输出y 的值为______．15．若(9)85a =，(5)301b =，(2)1001c =，则这三个数字中最大的是___16．某单位有职工900人，其中青年职工450人，中年职工270人，老年职工180人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为10人，则样本容量为________．17．如图是某算法流程图，则程序运行后输出S 的值为____．18．根据如图所示算法流程图，则输出S 的值是__．19．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为__________.20．如图，曲线sin 32xy π=+把边长为4的正方形OABC 分成黑色部分和白色部分.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是__________．三、解答题21．甲、乙两位同学参加数学应用知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：（Ⅰ）分别估计甲、乙两名同学在培训期间所有测试成绩的平均分；（Ⅱ）从上图中甲、乙两名同学高于85分的成绩中各选一个成绩作为参考，求甲、乙两人成绩都在90分以上的概率；（Ⅲ）现要从甲、乙中选派一人参加正式比赛，根据所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？说明理由.22．用秦九韶算法求()543383f x x x x =+-25126x x ++-,当2x =时的值. 23．我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t ），将数据按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）记事件A ：“全市家庭月均用水量不低于6t ”，求()P A 的估计值；（2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值（精确到0.01）；（3）求全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值（精确到0.01）.24．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求2n m <+的概率25．某校高二年级800名学生参加了地理学科考试，现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组[)4050，；第二组[)5060，；……；第六组[]90100，，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）求每个学生的成绩被抽中的概率；（2）估计这次考试地理成绩的平均分和中位数；（3）估计这次地理考试全年级80分以上的人数.26．东莞市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展.通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼，摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在[20,70]之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：（1）求频率分布直方图中x的值，并根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数x和中位数m（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中抽出20个最佳作品，并邀请相应作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会.①在答题卡上的统计表中填出每组相应抽取的人数：年龄[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]人数②若从年龄在[30,50)的作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在[30,40)的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可.【详解】如图所示，01,01x y ≤≤≤≤表示的平面区域为ABCD ， 平面区域内满足23x y +≤的部分为阴影部分的区域APQ ，其中2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为1222233119p ⨯⨯==⨯. 本题选择D 选项.【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.2．D解析：D【解析】【分析】通过定积分可求出空白部分面积，于是利用几何概型公式可得答案.【详解】由题可知长方形面积为3，而长方形空白部分面积为：()()11001|2x x e dx e x e -=-=-⎰， 故所求概率为25133e e ---=，故选D. 【点睛】 本题主要考查定积分求几何面积，几何概型的运算，难度中等.3．B解析：B【解析】试题分析：由统计知识①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22可知①符合题意；而②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24中有可能某一天的气温低于22C o ，故不符合题意，③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．若由有某一天的气温低于22C o 则总体方差就大于10.8，故满足题意，选C考点：统计初步4．A解析：A【解析】分析：先确定间距，再根据等差数列通项公式求结果. 详解：因为系统抽样的方法抽签，所以间距为10002050= 所以抽取的第40个数为1520(401)795+⨯-= 选A.点睛：本题考查系统抽样概念，考查基本求解能力.5．B解析：B【解析】【分析】设阴影部分正方形的边长为a ，计算出七巧板所在正方形的边长，并计算出两个正方形的面积，利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】如图所示，设阴影部分正方形的边长为a，则七巧板所在正方形的边长为，由几何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率()2218a =，故选：B. 【点睛】本题考查几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.6．C解析：C【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算y 值并输出，模拟程序的运行过程，直到达到输出条件即可.【详解】输入8，第一次执行循环：3y =，此时5y x -=，不满足退出循环的条件，则3x =， 第二次执行循环：12y =，此时52y x -=， 满足退出循环的条件，故输出的y 值为12，故选C . 【点睛】 本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7．C解析：C【解析】【分析】基本事件总数n 2343C A ==36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322332A C A =+=12，由此能求出小明恰好分配到甲村小学的概率．【详解】解：大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教， 每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总数n 2343C A ==36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322332A C A =+=12，∴小明恰好分配到甲村小学的概率为p 121363m n ===． 故选C ．【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．B解析：B【解析】【分析】由古典概型及其概率计算公式得：有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=，得解． 【详解】由已知有分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则共有111115*********C C C C ⋅-⋅=种不同的选法，又已知有人表现突出，且B 县选取的人表现不突出，则共有1151260C C ⋅=种不同的选法，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=. 故选：B ． 【点睛】本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力，求解时注意与古典概率模型的联系.9．C解析：C 【解析】 【分析】由题意从(1)班、(2)班的样本中各取一份，(2)班成绩更好即(2)班成绩比(1)班成绩高，用列举法列出所有可能结果，由此计算出概率。