实验一_绘制二进制熵函数曲线
信源熵函数曲线Matlab仿真
信源熵函数曲线Matlab仿真信源熵函数曲线Matlab仿真实验目的1.掌握离散信源熵的原理和计算方法。
2．熟悉matlab软件的基本操作，练习应用matlab软件进行信源熵函数曲线的绘制。
3.理解信源熵的物理意义，并能从信源熵函数曲线图上进行解释其物理意义。
实验原理离散信源相关的基本概念、原理和计算公式产生离散信息的信源称为离散信源。
离散信源只能产生有限种符号。
假定X是一个离散随机变量，即它的取值范围R={x1，x2，x3，…}是有限或可数的。
设第i个变量x i发生的概率为p i=P{X=x i}。
则：定义一个随机事件的自信息量I（x i）为其对应的随机变量x i出现概率对数的负值。
即：I（x i）= -log2p(x i)定义随机事件X的平均不确定度H（X）为离散随机变量x i出现概率的数学期望，即：单位为比特/符号或比特/符号序列。
平均不确定度H（X）的定义公式与热力学中熵的表示形式相同，所以又把平均不确定度H（X）称为信源X的信源熵。
必须注意一下几点：a.某一信源，不管它是否输出符号，只有这些符号具有某些概率特性，必有信源的熵值；这熵值是在总体平均上才有意义，因而是个确定值，一般写成H（X），X是指随机变量的整体（包括概率分布）。
b.信息量则只有当信源输出符号而被接收者收到后，才有意义，这就是给与信息者的信息度量，这值本身也可以是随机量，也可以与接收者的情况有关。
c.熵是在平均意义上来表征信源的总体特征的，信源熵是表征信源的平均不确定度，平均自信息量是消除信源不确定度时所需要的信息的量度，即收到一个信源符号，全部解除了这个符号的不确定度。
或者说获得这么大的信息量后，信源不确定度就被消除了。
信源熵和平均自信息量两者在数值上相等，但含义不同。
当某一符号x i的概率p(x i)为零时，p(x i)log p(x i) 在熵公式中无意义，为此规定这时的p(x i)log p(x i) 也为零。
当信源X中只含有一个符号x时，必有p(x)=1，此时信源熵H（X）为零。
实验一-信息熵与图像熵计算-正确
实验一信息熵与图像熵计算（2 学时）一、实验目的1.复习MATLAB的基本命令，熟悉MATLAB下的基本函数；2.复习信息熵基本定义,能够自学图像熵定义和基本概念。
二、实验内容1.能够写出MATLAB源代码，求信源的信息熵；2.根据图像熵基本知识，综合设计出MATLAB程序，求出给定图像的图像熵。
三、实验仪器、设备1.计算机－系统最低配置256M内存、P4 CPU；2.MATLAB编程软件。
四实验流程图五实验数据及结果分析四、实验原理1.MATLAB中数据类型、矩阵运算、图像文件输入与输出知识复习。
2.利用信息论中信息熵概念，求出任意一个离散信源的熵（平均自信息量）。
自信息是一个随机变量,它是指某一信源发出某一消息所含有的信息量。
所发出的消息不同，它们所含有的信息量也就不同。
任何一个消息的自信息量都代表不了信源所包含的平均自信息量。
不能作为整个信源的信息测度，因此定义自信息量的数学期望为信源的平均自信息量：1( ) 1 ( ) [log ] ( ) log ( ) i n i i p a i H E p a p a X 信息熵的意义：信源的信息熵H是从整个信源的统计特性来考虑的。
它是从平均意义上来表征信源的总体特性的。
对于某特定的信源，其信息熵只有一个。
不同的信源因统计特性不同，其熵也不同。
3.学习图像熵基本概念，能够求出图像一维熵和二维熵。
图像熵是一种特征的统计形式，它反映了图像中平均信息量的多少。
图像的一维熵表示图像中灰度分布的聚集特征所包含的信息量，令Pi表示图像中灰度值为i的像素所占的比例，则定义灰度图像的一元灰度熵为：2550 log i i i p p H图像的一维熵可以表示图像灰度分布的聚集特征，却不能反映图像灰度分布的空间特征，为了表征这种空间特征，可以在一维熵的基础上引入能够反映灰度分布空间特征的特征量来组成图像的二维熵。
选择图像的邻域灰度均值作为灰度2分布的空间特征量，与图像的像素灰度组成特征二元组，记为(i,j)，其中i表示像素的灰度值(0<=i<=255)，j表示邻域灰度(0<=j<=255),2 ( , ) / ij p f i j N上式能反应某像素位置上的灰度值与其周围像素灰度分布的综合特征，其中f(i,j)为特征二元组(i,j)出现的频数，N为图像的尺度，定义离散的图像二维熵为:2550 log ij ij i p p H构造的图像二维熵可以在图像所包含信息量的前提下，突出反映图像中像素位置的灰度信息和像素邻域内灰度分布的综合特征。
实验1-绘制二进熵函数曲线、串联信道容量曲线
信息论与编码实验1 绘制二进熵函数曲线、串联信道容量曲线学院:物理与电子学院班级:电信1105班姓名:学号:*********一、实验内容用Excel 或Matlab 软件制作二进熵函数曲线、串联信道容量曲线。
二、实验目的1. 掌握Excel 的数据填充、公式运算和图表制作2. 掌握Matlab 绘图函数3. 掌握、理解熵函数表达式及其性质三、实验要求1. 提前预习实验，认真阅读实验原理以及相应的参考书。
2. 认真高效的完成实验，实验中服从实验室管理人员以及实验指导老师的管理。
3. 认真填写实验报告。
四、实验原理1. Excel 的图表功能（略）2. 信源熵的概念及性质()()[]()[]())(1)(1 .log )( .)( 1log 1log )(log )()(10 , 110)(21Q H P H Q P H b nX H a p H p p p p x p x p X H p p p x x X P X i i i λλλλ-+≥-+≤=--+-=-=≤≤⎩⎨⎧⎭⎬⎫-===⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑3. 串联信道的信道容量（图 1）。
图 1 三个二元对称信道（BSC ）的串联p -1 p -1pp0 1 p -1 p -1 p p 0 1 p -1 p -1 p p 0 1 1 0I II III五、实验步骤：1.信息熵函数H.m文件function y = H(p)y=-(p.*log(p)+(1-p).*log(1-p))./log(2);end2 matlab命令p=0.01:0.01:0.99;y1=H(p);y2=H(2.*p.*(1-p));y3=H(p.^3+3.*p.*(1-p).*(1-p));c1=1-y1;c2=1-y2;c3=1-y3;subplot(3,1,1);plot(p,c1);xlabel('p');ylabel('C1');subplot(3,1,2);plot(p,c2);xlabel('p');ylabel('C2');subplot(3,1,3);plot(p,c3);xlabel('p');ylabel('C3');六、实验心得通过本次信息与编码实验，了解了二进制上函数的曲线以及串联信道容量曲线，使自己对书上知识点的把握更加直观，收获很大，更深刻的了解了曲线产生的原理，比书上了解的更加具体，使自己受益匪浅，增加了学习兴趣。
试绘制单个样本的二分类交叉熵损失函数曲线
试绘制单个样本的二分类交叉熵损失函数曲线
二分类交叉熵损失函数是用于衡量二分类问题中模型预测结果与实际
标签之间的差异的一种常用指标。
它通常用于训练神经网络模型，并
且在深度学习领域得到了广泛应用。
下面我们来绘制单个样本的二分类交叉熵损失函数曲线。
假设我们有
一个样本，其真实标签为1，模型预测输出为y。
首先，我们需要定义二分类交叉熵损失函数的公式：
$$L(y,t) = -t \log(y) - (1-t) \log(1-y)$$
其中，y表示模型预测输出的概率值，t表示真实标签的取值（0或1）。
当t=1时，第一项起作用；当t=0时，第二项起作用。
接下来，我们将该公式代入上述样本中，并固定t=1不变。
假设我们
分别取y从0到1之间的100个值，并计算对应的损失函数值L(y,1)，最终得到100个点。
最后，将这些点依次连接起来就可以得到单个样本的二分类交叉熵损
失函数曲线了。
具体绘制方法可以使用Python中的Matplotlib库或
其他相应工具进行实现。
总之，在深度学习领域中，二分类交叉熵损失函数是一种非常重要的指标之一，它可以帮助我们评估模型在二分类问题中的表现，并指导我们进行模型的优化和改进。
2.2熵函数的性质
2.2 熵函数的性质熵函数•H(P)是概率矢量P 的函数，称为熵函数。
•表示方法：–用H(x)表示随机变量x 的熵；–用H(P)或H(p 1, p 2 , …, p q )表示概率矢量为P = (p 1, p 2, …, p q )的q 个符号信源的熵。
–若当q =2 时，因为p 1+p 2 = 1, 所以将两个符号的熵函数写成H(p 1)或H(p 2)。
•熵函数H(P)是一种特殊函数，具有以下性质。
2、确定性：H(1,0)=H(1,0,0)=H(1,0,0…,0)=0•性质说明：这个信源是一个确知信源，其熵等于零。
3、非负性：H(P) ≥0•说明：–这种非负性合适于离散信源的熵，对连续信源来说这一性质并不存在。
以后可看到在相对熵的概念下，可能出现负值。
非负性体现信息是非负的。
4、扩展性•性质说明：信源的取值数增多时，若这些取值对应的概率很小(接近于零)，则信源的熵不变。
),...,,(),,...,,(lim 212110q q q q p p p H p p p H =−+→εεε),,,(log 211q q qi i i p p p H p p ⋅⋅⋅=−=∑=}log )log()(log {lim 110εεεεε∑−=→−−−−−=q i q q i i p p p p 所以，上式成立),,,,(lim 2110εεε−⋅⋅⋅+→q q p p p H 因为5、可加性()()(/)()()(/)(|)(|)(/)H X Y H X H Y X H X Y H Y H X Y H X Y Z H X Z H Y X Z =+=+=+统计独立信源X 和Y 的联合信源的熵等于信源X 和Y 各自的熵之和。
H(XY) = H(X)+ H(Y)可加性是熵函数的一个重要特性，正因具有可加性，才使熵函数的形式是唯一的。
222()log ()()log (/)log ()()(/)()(/):()()(/)(/)1i j i i j j i ijiji i j i j yp x y q x p x y p y x q x p x y H Y X H X H Y X p xy q x p y x p y x =−−⎡⎤=−+⎢⎥⎣⎦=+==∑∑∑∑∑∑∑利用可加性证明22()()log ()()log [()(/)]i j i j iji j i j i ijH XY p x y p x y p x y q x p y x =−=−∑∑∑∑同理=+H XY Z H X Z H Y XZ(|)(|)(/)复习链式法则()()()|H X Y HX HYX=+()()()()()()121213*********...//.../.../...n n n ni i i H X X X H X H X X H X X X H X X X X H X X X X −−==++++=∑复习熵函数的性质H(p 1,p 2,…, p n )对称性非负性极值性连续性扩展性可加性()()()()()()()()()1222122211111211122112221,,...,,...,,...,,,.,,...,,,..,,,...,||n nn n n n n n m nn i i x m i im i Xm q H q p q p q p H q q q q H p p p H XY H X H Y X p q q q p q p H X q x H q x p Y q p =∈=+=+=+∑∑定理：1. H(X/Y ) ≤H (X )2. H (XY ) ≤H (X )+H (Y )证明：222(/)((/)()log (/)()/)(/)()log ()log ()i j i j ijj ji j i j i j i j j i i p x y p x y p H X Y p x y p x y p y p y H p x X x y =−⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦⎡⎤≤−⎢⎥⎣⎦=∑∑∑∑∑∑()()/j H X y H X 与大小比较?\1211/81/825/81/8x y ()()/j H X y H X 与大小比较?定义概率矢量满足仅K-1个分量独立。
一绘制二元熵函数曲线报告
实验一绘制二元熵函数曲线实验报告一、实验目的1.熟悉MATLAB工作环境及工具箱2.理解熵函数表达式及其性质二、实验内容用MATLAB软件编程绘制二元熵函数曲线三、实验过程1.复习二元熵函数，理解二元信源的熵H(w)=-wlogw-(1-w)log(1-w)表达式。
2.熟悉MATLAB软件。
1)MATLAB的操作界面MATLAB操作界面主要分为：任务栏、命令窗、命令历史窗、当前目录浏览器、工作空间浏览器及一个“启动按钮”。
任务栏：位于软件的正上方。
各个菜单分别为：文件、编辑、视窗、调试、桌面、窗体、帮助这几个窗口，点击每个窗口可以选择需要的操作。
命令窗(Command Window)：位于软件操作界面的右侧。
在此窗口里，可以输入各种指令、函数、变量表达式并进行各种操作。
该窗口用于输入命令并显示除图形以外的所有执行结果。
窗口中的“>>”为命令提示符，直接在其后面输入命令并按下回车键后，会出现计算结果在命令后面。
命令历史窗(Command History)：位于软件操作界面的左下方。
这个窗口记录了命令窗口已经运行过的所有命令（指令、函数等），允许用户对这些命令进行选择、复制。
2)MATLAB的函数绘制二维图形最常用的就是plot函数，调用plot函数的三种形式：plot(x)、plot(x,y)、plot(x,y,’r:x’)。
还有就是如何添加横坐标和纵坐标标题的命令语句。
3.实验程序。
w=0.000001:0.0001:0.999999999 %定义w的取值范围y=-w.*log2(w)-(1-w).*log2(1-w) %定义二元熵函数的表达式plot(w,y,'r') %画出二元熵函数的曲线图xlabel('w') %x轴的名称ylabel('H(w)') %y轴的名称grid on %给图形加上网格title('二元熵函数H(w)') %函数曲线的名称运行结果如下：四、实验结果分析从图中可以看出熵函数的一些性质，如果二元信源的输出概率是1或0（即二元信源的输出是确定的），则该信源不提供任何信息。
实验一 绘制二进制熵函数曲线
MATLAB实现
[p,q]=meshgrid(0.000001:0.01:1,0.000001:0.01:1); Hnoise=-p.*log2(p)-(1-p).*log2(1-p); x=(1-p).*q+p.*(1-q); I=-x.*log2(x)-(1-x).*log2(1-x)-Hnoise; mesh(p , q , I) % 噪声熵
二元信源的熵为
H ( p ,1 p ) p log p (1 p ) log(1 p )
Matlab程序
p=0.00001:0.001:0.99999; h=-p.*log2(p)-(1-p).*log2(1-p); plot(p,h); title('二进熵函数曲线'); ylabel('H(p,1-p)')
凸状性 H(p1,p2,…,pk)是上凸函数。
极值性
H ( p 1 , p 2 , ..., p k ) H ( 1 K , ..., 1 K ) lo g K
三、实验内容
用 Matlab 软件绘制二进熵函数曲线。 二元信源
X P(X ) x 1 x 2 , 0 p 1 p 1 p
Matlab程序
p=linspace(eps,1-eps,100); q=linspace(eps,1-eps,100); [P,Q]=meshgrid(p,q); P_Q=P+Q; for n=1:100 for m=1:100 if P_Q(n,m)>=1 Q(n,m)=nan; end end end H=-P.*log2(P)-Q.*log2(Q)-(1-P-Q).*log2(1-P-Q); mesh(P,Q,H) title('三维熵函数的图形')
验证最大离散熵定理 使用matlab 绘制二进制信源的熵随概率变化的曲线
验证最大离散熵定理使用matlab 绘制二进制信源的熵随概率变化的曲线摘要：1.引言2.最大离散熵定理的定义和意义3.二进制信源的熵随概率变化的曲线4.使用Matlab 验证最大离散熵定理5.结论正文：1.引言在信息论中，熵是一个重要的概念，用于度量信息的不确定性或混乱程度。
离散信源的熵是描述其信息产生不确定性的一个指标，而最大离散熵定理则是指离散信源的熵在某种情况下可以达到的最大值。
本文将通过使用Matlab 绘制二进制信源的熵随概率变化的曲线，来验证最大离散熵定理。
2.最大离散熵定理的定义和意义最大离散熵定理是指对于一个有m 个符号的离散信源，其熵H(X) 可以达到的最大值为log2m，当且仅当每个符号出现的概率相等，即P(x)=1/m （x∈X）。
这意味着，当信源的不确定性最大时，信源的熵也达到最大。
3.二进制信源的熵随概率变化的曲线二进制信源是指只有两个符号的信源，例如硬币抛掷。
我们可以通过Matlab 绘制熵随概率变化的曲线，来直观地验证最大离散熵定理。
首先，我们可以定义一个二进制信源，其中每个符号的概率为p 和1-p。
然后，我们可以使用Matlab 的plot 函数绘制熵随概率变化的曲线。
具体地，我们可以将熵的计算公式H(X)=-p*log2p-(1-p)*log2(1-p) 作为plot 的函数，将p 作为x 轴的取值范围，将熵作为y 轴的取值范围。
4.使用Matlab 验证最大离散熵定理通过Matlab 绘制的熵随概率变化的曲线，我们可以看到当p=1/2 时，熵达到最大值，即H(X)=1。
这验证了最大离散熵定理的正确性。
5.结论通过使用Matlab 绘制二进制信源的熵随概率变化的曲线，我们验证了最大离散熵定理的正确性。
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H ( p1, p2 ,1 p1 p2 ) p1 log p1 p2 log p2 (1 p1 p2 )log(1 p1 p2 )
MATLAB函数说明
eps：极小值，避免0概率事件 meshgrid：语法[X,Y] = meshgrid(x,y) 将矢量x
% p为DMS的概率分布，行向量
例1 满足完备性
p=[0.1 0.2 0.3 0.4] h=entropy(p) 运行结果
例2 不满足完备性
p=[0.2 0.19 0.18 0.17 0.16 0.17]
h=entropy(p) 运行结果
绘制二进制对称信道平均互信息量（BSC）
行统计平均，从而得到平均不确定性。
熵的表示
1 H ( X ) H ( p1 , p2 ,..., pk ) pk I ( xk ) pk log pk k 1 k 1
K
K
注意的问题
熵是自信息量的统计平均，因此单位与自信息量的单
位相同，与熵公式中所用对数的底有关： bit/符号、nat/符号、dit/符号、r进制单位/符号。
从图上可以看出：信道给定的条件下，平均互信息随
信源分布呈现上凸性，具有最大值。而在信源给定的 条件下，平均互信息随信道转移概率呈现下凸性，具 有最小值。
四、实验报告要求
简述实验目的；
简述实验原理；
分别绘制二元信源和三元信源的熵。 通过图形分析他们的特点。
特殊公式
某个pk=0时，0log0=0 ( lim x概率事件。
离散熵的性质
可加性
H ( p1q1,..., p1q j ,..., pk q1,..., pk q j ) H ( p1, p2 ,..., pk ) H (q1, q2 ,..., qk )
互信息量
从观察输出结果中得到有关输入符号的信息。
平均互信息量
是统计平均意义下的先验不确定性和后验不确定性之 差，也是互信息量的统计平均。
信道平均互信息量
平均互信息量是非负； 平均互信息量是有界的； 平均互信息量的凸状性。
绘制二进制对称信道平均互信息量（BSC）
平均互信息量表达式
I ( X ; Y ) H (Y ) H (Y | X ) H ( pq pq ,1 pq pq ) H ( p, p)
MATLAB实现
[p,q]=meshgrid(0.000001:0.01:1,0.000001:0.01:1); Hnoise=-p.*log2(p)-(1-p).*log2(1-p); x=(1-p).*q+p.*(1-q); I=-x.*log2(x)-(1-x).*log2(1-x)-Hnoise; mesh(p , q , I) % 噪声熵
非负性
H ( p1, p2,..., pk ) H ( p) 0
凸状性
H(p1,p2,…,pk)是上凸函数。
极值性
1 1 H ( p1 , p2 ,..., pk ) H ( ,..., ) log K K K
三、实验内容
用 Matlab 软件绘制二进熵函数曲线。
和y规定的区域变换为数组X和Y，X和Y可用 于计算自变量函数或绘制3维网格/表面。X的 各行均为矢量x；Y的各列均为矢量y。
nan：无效值 mesh：绘制网格曲面
Matlab程序
p=linspace(eps,1-eps,100); q=linspace(eps,1-eps,100); [P,Q]=meshgrid(p,q); P_Q=P+Q; for n=1:100 for m=1:100 if P_Q(n,m)>=1 Q(n,m)=nan; end end end H=-P.*log2(P)-Q.*log2(Q)-(1-P-Q).*log2(1-P-Q); mesh(P,Q,H) title('三维熵函数的图形')
二元信源
X x1 x2 P( X ) p1 p ,0 p 1
二元信源的熵为
H ( p,1 p) p log p (1 p)log(1 p)
Matlab程序
p=0.00001:0.001:0.99999; h=-p.*log2(p)-(1-p).*log2(1-p); plot(p,h); title('二进熵函数曲线'); ylabel('H(p,1-p)')
绘制三元信源的熵
三元信源
X x1x2 x3 P p p 1 p p x 1 2 1 2
实验一 绘制二进制熵函数曲线
一、实验目的
熟悉工作环境 掌握绘图函数的运用
理解熵函数表达式及其性质
掌握利用MATLAB对信源熵的求解
理解信道平均互信息的性质
二、实验原理
熵
自信息量是针对信源的单个符号而言的，而符号是随
机发生的，因此单个符号的不确定性不足于代表信源 的不确定性性质，为此，可对所有符号的自信息量进
熵函数是非负函数、上凸函数，并且等概率时达到最大值。
计算任意多个符号信源的熵
MATLAB函数说明
sum(A)：求数组A的元素之和
length(X)：求矢量X的长度 log2(X)：计算以2为底X的对数 error：显示错误信息
定义函数
function H=entropy(p) % 该函数用来计算包含任意多个符号的信源熵