利用导数研究函数的图像-曲线的绘制
大学文科数学_张国楚_函数的性质和图象
第四章导数的应用问题——洛比达法则、函数的性质和图像人若志趣不远，心不在焉，虽学无成。
——张载：《张载集》只要将数学应用于社会科学的研究之后，才能使得文明社会的发展成为可控制的现实。
——怀特海本章简介导数作为函数的变化率，在研究函数变化的性态中有着十分重要的意义，在自然科学、工程技术以及社会科学等领域中得到了广泛的应用。
本章将介绍中值定理，然后以中值定理为基础，以导数为工具，解决一类特殊极限的简便计算问题，函数的增减性、极值和最值，以及函数图像的绘制等问题。
1联结局部与整体的纽带——中值定理1.1费马定理提出问题函数在某个区间的整体性质与该区间内部某一（或某些）点的导数之间有无关系？若有，那是什么关系？（本节主要解决这个问题）学习过程1、函数极值概念设函数在点的某邻域有定义，如果对于该邻域内任意异于的值，都有，则称函数在点处取得极大值（极小值），而称为函数的极大值点（或极小值点）。
极大值和极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点称为函数的极值点。
比如，函数在点处取得极大值1，而在点处取得极小值-1。
通过观察不难发现，可导函数的曲线在和处的切线平行于轴。
把函数的这种性质加以概括总结就可得出费马定理。
2、费马定理及其几何意义（1）费马定理如果是函数的极值点，并且在该点可导，那么。
证明：不妨设在邻域内，于是，当，当时，.由导数的定义和极限的性质得：因此，。
（2）费马定理的几何意义函数的图象如果在相应于极值的点处有切线的话，那一定是一条水平切线。
（3）驻点（稳定点）使导数为零的点称为函数的驻点或稳定点。
想一想：驻点是否一定是极值点？回答是否定的。
如下图4.1、4.2所示，的极小值点，所以，即的驻点；而函数虽有，即的驻点，但它不是极值点。
做一做：请求函数的极值点。
此函数有驻点吗？1.2中值定理提出问题请观察图4.3，然后回答：在连续曲线弧上除端点外，是否存在一点（或一些点），使通过该点切线平行于联结端点的线段AB？回答是肯定的，我们将这一结果加以总结便可得出中值定理。
函数图像绘制技巧与分析
函数图像绘制技巧与分析函数图像是数学中常见的一种形式，它能够直观地展现函数的性质和特点。
在学习和研究函数时，绘制函数图像是一种非常重要的方法。
本文将介绍一些函数图像绘制的技巧，并对函数图像进行一些分析。
一、函数图像绘制的基本步骤绘制函数图像的基本步骤包括确定函数的定义域、确定坐标轴范围、选择合适的点进行绘制、绘制曲线、标注关键点和分析曲线的性质。
首先，确定函数的定义域是绘制函数图像的基础。
函数的定义域是指函数能够取值的范围。
例如，对于函数y = 1/x，其定义域为x ≠ 0。
在确定定义域后，我们可以确定坐标轴的范围，使得函数图像能够在坐标系中完整地展示。
其次，选择合适的点进行绘制。
为了准确地绘制函数图像，我们需要选择一些关键的点来代表函数的特点。
一般来说，选择函数的零点、极值点、拐点等作为绘制的点是比较常见的方法。
通过计算函数在这些点的取值，我们可以得到这些点的坐标，从而绘制出函数图像。
然后，绘制曲线。
通过连接选择的点，我们可以绘制出函数的曲线。
在绘制曲线时，可以使用直线段和曲线段相结合的方式，使得曲线更加平滑和自然。
接下来，标注关键点。
在绘制完曲线后，我们可以通过标注关键点的方式来更好地展示函数的性质。
例如，在函数图像上标注函数的零点、极值点等，有助于读者更加直观地理解函数的特点。
最后，分析曲线的性质。
通过观察函数图像，我们可以分析函数的增减性、奇偶性、周期性等特点。
例如，如果函数图像在某个区间上是递增的，那么我们可以得出函数在该区间上是增函数的结论。
通过对函数图像的分析，我们可以更深入地理解函数的性质。
二、函数图像绘制的技巧在绘制函数图像时，有一些技巧可以帮助我们更加准确和高效地完成任务。
首先，利用对称性。
许多函数具有对称性，例如偶函数和奇函数。
对于偶函数，其函数图像关于y轴对称；对于奇函数，其函数图像关于原点对称。
通过利用对称性，我们可以只绘制函数图像的一部分，然后通过对称性得到整个函数图像。
初等函数的求导问题双曲函数与反双曲函数的导数
切线斜率
在几何上，导数等于曲线在某一点处 的切线斜率。
导数的计算方法
链式法则
对于复合函数的导数，链式法 则是重要的计算方法，即求内 层函数的导数后再乘以外层函
数的导数。
乘积法则
两个函数的乘积的导数是两个 函数分别求导后再求和。
商的导数公式
商的导数是分子和分母分别求 导后再相减。
幂函数的导数
幂函数的导数根据指数的不同 有不同的公式，如指数为1时， 幂函数的导数为y' = nx^(n-1)
实例
求双曲函数$y = sinh(2x)$的导
数。根据求导公式，$y'
=
cosh(2x)$。
反双曲函数求导实例
反双曲函数求导公式
对于反双曲函数$y = arcsin(x)$，其 导数为$y' = frac{1}{sqrt{1 - x^2}}$。
实例
求反双曲函数$y = arcsin(frac{1}{2})$的导数。根据求导 公式，$y' = frac{1}{sqrt{1 (frac{1}{2})^2}} = frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} = frac{sqrt{3}}{3}$。
应用实例分析
应用实例
在物理学中，双曲函数和反双曲函数常用于描述某些物理现 象，如波动、振动等。通过求导，可以进一步研究这些现象 的变化规律和性质。
应用实例
在经济学中，反双曲函数也常用于描述某些经济现象，如投 资回报率、风险评估等。通过求导，可以进一步研究这些现 象的变化趋势和最优解。
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利用导数研究函数的图像
总结词
通过求导可以绘制出函数的图像，并 了解其变化趋势。
详细描述
第06讲 利用导数研究函数的零点(方程的根) (精讲+精练)(学生版)
第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数高频考点二：证明唯一零点问题高频考点三：根据零点情况求参数①利用最值（极值）研究函数零点问题②利用数形结合法研究函数的零点问题③构造函数研究函数零点问题第四部分：高考真题感悟第五部分：第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）（精练）1、函数的零点（1）函数零点的定义：对于函数()y f x=，把使()0f x=的实数x叫做函数()y f x=的零点．（2）三个等价关系方程0)(=xf有实数根⇔函数)(xfy=的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数)(xfy=有零点．2、函数零点的判定如果函数()y f x=在区间[,]a b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b⋅<，那么函数()y f x=在区间(,)a b内有零点，即存在(,)c a b∈，使得()0f c=，这个c也就是()0f x=的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．注意：单调性+存在零点=唯一零点1．（2022·全国·高二）已知函数()f x的定义域为[]15-，，部分对应值如下表：()f x的导函数()y f x='的图象如图所示，则下列关于函数()f x的命题：① 函数()y f x=是周期函数；② 函数()f x在[]02，是减函数；③ 如果当[]1,x t∈-时，()f x的最大值是2，那么t的最大值为4；④ 当12a<<时，函数()y f x a=-有4个零点．其中真命题的个数是A．4个B．3个C．2个D．1个2．（2022·甘肃·金昌市教育科学研究所高三阶段练习（文））已知函数()2e1xf x x a=+-()a R∈有两个极值点，则实数a的取值范围为（）A．1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭B．2,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭C．1,e⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D．2,e⎛⎫-+∞⎪⎝⎭3．（2022·全国·高二）若函数()3239f x x x x m =--+仅有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()5,-+∞B ．(,27)(5,)-∞-⋃+∞C ．(,27)-∞D ．(,5)(27,)-∞-⋃+∞4．（2022·甘肃武威·模拟预测（文））函数()326f x x x m =-+有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣4，4）B ．[﹣4，4]C ．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）D ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）5．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数()e x f x =与()1g x x =+，则它们的图象交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定高频考点一：判断、证明或讨论函数零点（根）的个数1．（2022·全国·高二）设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )（ ）A ．在区间1(,1)e，(1，e )内均有零点 B ．在区间1(,1)e，(1，e )内均无零点C ．在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1，e )内无零点D ．在区间1(,1)e 内无零点，在区间(1，e )内有零点2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()12xx e f x e=-+，其中e 为自然对数的底数， 2.7182818e =……，则()f x 的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．（2022·全国·高三专题练习（理））函数()()1ln 03f x x x x =->的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．（2022·全国·高二课时练习）求函数3()231f x x x =-+零点的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数()e x f x =与()1g x x =+，则它们的图象交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定6．（2022·江苏苏州·模拟预测）方程3269100x x x -+-=的实根个数是______ ．7．（2022·全国·高三专题练习）函数()1x f x e x =-+的零点个数是__________．8．（2022·广东佛山·高二阶段练习）已知函数()()1ln 2af x x a x x=+---，其中R a ∈． (1)若()f x 存在唯一极值点，且极值为0，求a 的值； (2)若2e a <，讨论()f x 在区间2[1,e ]上的零点个数．9．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习（文））给定函数()()1e xf x x =+．(1)判断函数()f x 的单调性，并求出()f x 的极值； (2)求出方程()()f x a a R =∈的解的个数．高频考点二：证明唯一零点（根）问题1．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知函数321()(1)3=-++f x x a x x ．(1)若1a =，求()f x 的单调区间及相应区间上的单调性； (2)证明:()f x 只有一个零点．2．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知函数()ln x axf x x+=，R a ∈. (1)若0a =，求()f x 的最大值；(2)若01a <<，求证：()f x 有且只有一个零点.3．（2022·广西玉林·模拟预测（文））已知函数217()ln 4,()2ln 22f x x x xg x x x =-=++. (1)求函数()f x 的最小值；(2)证明：函数()()()h x f x g x =+仅有一个零点.高频考点三：根据零点（根）情况求参数①利用最值（极值）研究函数零点（根）问题1．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数32()34f x x ax bx =+++在1x =-时有极值0． (1)求函数()f x 的解析式；(2)记()()21g x f x k =-+，若函数()g x 有三个零点，求实数k 的取值范围．2．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）已知函数()21xx x f x e+-=. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()y f x a =-（a 为常数）有3个不同的零点，求实数a 的取值范围.3．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））已知函数3()91f x ax x =-+，0a >． (1)若3a =，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 恰有三个零点，求实数a 的取值范围．4．（2022·北京丰台·一模）已知函数()f x = (1)当1a =时，求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； (2)若函数2()()3ag x f x =-恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．5．（2022·广西桂林·二模（理））已知函数()()()211e 2xf x x ax a R =--∈ (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.②利用数形结合法研究函数的零点（根）问题1．（2022·宁夏·银川二中高二期末（理））已知函数ln ()xf x x= (1)填写函数()f x 的相关性质；2．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（文））设函数3()65f x x x x R =-+∈，. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若关于x 的方程()f x a =有三个不等实根，求实数a 的取值范围.3．（2022·全国·信阳高中高三阶段练习（理））已知函数()2e xf x a x =-（R a ∈，e 为自然对数的底数）.(1)若()0f x =有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；4．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））已知函数()322f x x ax bx =++-在2x =-时取得极值，且在点()()1,1f --处的切线的斜率为3- . (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()y f x λ=-有三个零点，求实数λ的取值范围.5．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数()()2x x f x e ae a =+∈R(1)讨论()f x 的单调性；(2)设()()21x g x a x e x =-+，若方程()()g x f x =有三个不同的解，求a 的取值范围.6．（2022·四川绵阳·二模（文））已知函数()2()ln 1R f x x ax a =+-∈(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．③构造函数研究函数零点（根）问题1．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知函数()e xf x =（e 为自然对数的底数），()sing x a x =（,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦），a R ∈.(1)若直线:l y kx =与函数()f x ，()g x 的图象都相切，求a 的值； (2)若方程()()f x g x =有两个不同的实数解，求a 的取值范围.2．（2022·重庆南开中学高二期末）已知函数()()2ln ,f x x x g x x ax b ==++.(1)若()f x 与()g x 在1x =处有相同的切线，求实数,a b 的取值；(2)若2b =时，方程()()f x g x =在()1,+∞上有两个不同的根，求实数a 的取值范围.3．（2022·四川·成都七中高三阶段练习（理））已知函数()(1)f x a x =-，()e (1)x g x bx =-，R a ∈． (1)当2b =时，函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围； (2)当b a =时，不等式()()f x g x >有且仅有两个整数解，求a 的取值范围．4．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()()11ln e f x a x x=+++，()()e x g x x a a =++∈R ．(1)试讨论函数()f x 的单调性；(2)若当1≥x 时，关于x 的方程()()f x g x =有且只有一个实数解，求实数a 的取值范围．5．（2022·河南·三模（理））已知函数()()ln 1f x x =+，()e 1xg x =-.(1)判断函数()()()h x f x g x =-的零点个数；6．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()(1)x f x e a x =+-，()sin cos g x ax x x =++ (1)求函数()f x 的最值；(2)令()()()h x f x g x =-，求函数()h x 在区间(,)4π-+∞上的零点个数，并说明理由．1．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)a x x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．2．（2021·全国·高考真题）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 只有一个零点 ①21,222e a b a <≤>；②10,22a b a <<≤．3．（2021·浙江·高考真题）设a ，b 为实数，且1a >，函数()2R ()x f x a bx e x =-+∈（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（3）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点()1221,,x x x x >，满足2212ln 2b b ex x e b>+.(注： 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数)一、单选题1．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）已知a ∈R ，则函数()()32113f x x a x x =-++零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．与a 有关2．（2022·浙江省浦江中学高二阶段练习）已知函数()22x f x xe x x m =---在()0,∞+上有零点，则m 的取值范围是（ ）A ．)21ln 2,-+∞⎡⎣B ．)2ln 21,--+∞⎡⎣C ．)2ln 2,-+∞⎡⎣D ．21ln 2,2-+∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．（2022·全国·高二）函数32()2f x x x x =-++-的零点个数及分布情况为（ ） A ．一个零点，在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭内B ．二个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,∞+内C ．三个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,+∞内D ．三个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,1，()1,+∞内4．（2022·全国·高二）直线y a =与函数33y x x =-的图象有三个不同的交点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．[2,)+∞D ．(,2]-∞-5．（2022·全国·高二）已知函数20()210x e x f x x x x -⎧≤=⎨--+>⎩，若函数()()g x f x kx =-有两个零点，则实数k 等于（e 为自然对数的底数）（ ） A ．e -B ．1-C ．2D ．2e6．（2022·河南·襄城高中高二阶段练习（理））已知函数()2ln f x x =，()322g x x ex ax =-+，其中e 为自然对数的底数，若方程()()f x g x =存在两个不同的实根，则a 的取值范围为（ ） A ．2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．22,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭C ．()2,e -∞D ．22,e e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭7．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数22()2(2)e (1)e x x f x a a x x =+-++有三个不同的零点123,,x x x ，且1230x x x <<<，则3122312222e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．368．（2022·全国·高三专题练习）已知方程|ln |2x kx =+在区间()50,e 上恰有3个不等实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．5331,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5331,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．4221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题9．（2022·河南焦作·二模（理））函数1()e ln 1x f x a x -=--在(0,)+∞上有两个零点，则实数a 的取值范围是_______. 10．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数()3112,21ln ,2x m x f x x x m x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是________．11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知不等式21e 0x x a +-≥有且只有两个整数解，则实数a 的范围为___________．12．（2022·全国·高二）已知函数3211()(2)1()32xf x ax ax e x a R =---+∈在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________. 三、解答题13．（2022·河南·栾川县第一高级中学高二阶段练习（理））已知()2()e ()x f x x a a =+∈R ．(1)若2是函数()f x 的极值点，求a 的值，并判断2是()f x 的极大值点还是极小值点； (2)若关于x 的方程()2ln e x f x x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．参考数据：ln 20.693≈14．（2022·陕西宝鸡·二模（文））已知函数()1e x f x ax =--，a ∈R ． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若方程()ln f x x x =在(1,e)上有实根，求实数a 的取值范围．15．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知函数()ln f x x =. (1)当[)1,x ∞∈+时，证明：函数()f x 的图象恒在函数()322132=-g x x x 的图象的下方； (2)讨论方程()0f x kx +=的根的个数.16．（2022·吉林·长春外国语学校高二阶段练习）若函数()32113f x x ax bx =++-，当2x =时，函数()f x 有极值13-.(1)求函数的解析式；(2)若关于x 的方程()f x k =有三个解，求实数k 的取值范围.17．（2022·浙江浙江·二模）已知函数2()ln (2)f x x a x a =+<． (1)若2a =-，求函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论．。
常用导数图像
常用导数图像导数在微积分中起着至关重要的作用，它描述了一个函数在某一点处的变化率。
导数的图像可以帮助我们更直观地理解函数的斜率和变化趋势。
在本文中，将介绍几种常用函数的导数图像，包括线性函数、平方函数、正弦函数和指数函数等。
线性函数首先，让我们来看一下线性函数的导数图像。
对于函数f(f)=ff+f，其中f和f是常数，其导数f′(f)=f恒为常数。
这意味着线性函数的导数图像是一条水平直线，斜率恒定为f。
图中横轴表示自变量f，纵轴表示导数f′(f)。
例如，对于f(f)=2f+3，其导数图像将是一条斜率为2的水平直线。
平方函数接下来，我们来探讨平方函数的导数图像。
考虑函数f(f)=f2，其导数f′(f)=2f。
平方函数的导数图像是一条抛物线，斜率随着f的取值而变化。
当f=0时，斜率为0，在原点处达到极小值。
随着f增大，斜率也逐渐增大。
因此，平方函数的导数图像呈现出逐渐增大的趋势。
正弦函数现在我们转向正弦函数的导数图像。
正弦函数f(f)=fff(f)的导数f′(f)=fff(f)。
正弦函数的导数图像是一个周期性变化的曲线，代表着正弦函数的斜率随着f的变化而变化。
在导数图像中，我们可以观察到正弦函数的斜率在不同的f值处出现正弦曲线的特征。
指数函数最后，我们来看一下指数函数的导数图像。
指数函数f(f)=f f的导数f′(f)=f f。
指数函数的导数图像是一条逐渐增长的曲线，斜率随着f的增大而增大。
指数函数是增长最快的函数之一，因此其导数图像呈现出急剧增长的态势。
通过以上几种函数的导数图像，我们可以更好地理解导数在函数变化中的作用。
导数图像提供了直观的信息，帮助我们分析函数的斜率和变化趋势。
深入研究导数图像有助于我们更好地掌握微积分的重要概念，为解决实际问题提供了有力的工具。
以上为常用导数图像的简要介绍，希望能够帮助读者更好地理解函数的变化规律。
以上为常用导数图像文档，供参考。
导数在实际生活中的应用
VS
最小值问题
利用导数求解函数在某区间上的最小值， 如求解成本最低、风险最小等问题。
边际成本与收益分析
边际成本
利用导数计算企业在生产过程中的边际成本，即每增加一单位产 量所增加的成本。
边际收益
利用导数计算企业在销售过程中的边际收益，即每增加一单位销售 量所增加的收益。
边际成本与收益的关系
通过比较边际成本与边际收益，确定企业的盈亏平衡点，以制定合 适的生产和销售策略。
图像处理中边缘检测技术
要点一
边缘检测
利用导数可以检测图像中的边缘信息，即图像中灰度值发 生突变的位置。这是因为在边缘处，灰度值的变化率（即 导数）往往较大。常用的边缘检测算子如Sobel算子、 Laplacian算子等都是基于导数计算的。
要点二
特征提取
通过对图像进行导数运算，可以提取出图像中的纹理、角 点等特征信息，这些信息在图像识别、目标跟踪等任务中 具有重要作用。
导数在实际生活中的应用
汇报人： 2023-12-01
• 导数基本概念与性质 • 最优化问题中的导数应用 • 运动学中的导数应用 • 图形学中的导数应用 • 工程领域中导数应用举例 • 生物医学领域中导数应用举例
01
导数基本概念与性质
导数定义及几何意义
导数定义
函数在某一点处的导数描述了函数在该点附近的变化率，即函数值随自变量变化的快慢程度。
滤波器参数优化
通过导数方法，对滤波器参数进行优化设计，以满足特定信号处理 需求。
噪声抑制能力
基于导数理论，评估滤波器的噪声抑制能力，以提高信号处理质量 。
06
生物医学领域中导数应用举例
药物代谢动力学模型建立
药物浓度变化率
大学微积分(常见问题与解答)
辅导答疑第一章微积分的基础和研究对象1. 问：如何理解微积分（大学数学）的发展历史？微积分与初等数学的主要区别是什么？答：微积分的基础是---集合、实数和极限，微积分的发展历史可追溯到17世纪，在物理力学等实际问题中出现大量的（与面积、体积、极值有关的）问题，用微积分得到了很好的解决。
到19世纪，经过无数数学家的努力，微积分的理论基础才得以奠定。
可以说，经过300多年的发展，微积分课程的基本内容已经定型，并且已经有了为数众多的优秀教材。
但是，人们仍然感到微积分的教与学都不是一件容易的事，这与微积分学科本身的历史进程有关。
微积分这座大厦是从上往下施工建造起来的。
微积分从诞生之初就显示了强大的威力，解决了许多过去认为高不可攀的困难问题，取得了辉煌的胜利，创始微积分数学的大师们着眼于发展强有力的方法，解决各式各样的问题，他们没来得及为这门学科建立起严格的理论基础。
在以后的发展中，后继者才对逻辑细节作了逐一的修补。
重建基础的细致工作当然是非常重要的，但也给后世的学习者带来了不利的影响，今日的初学者在很长一段时间内只见树木不见森林。
微积分重用极限的思想，重用连续的概念，主要是在研究函数，属于变量数学的范畴。
而初等数学研究不变的数和形，属于常量数学的范畴。
2．问：大学数学中研究的函数与初等数学研究的函数有何不同之处？答：在自然科学，工程技术甚至社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念之一，其意义远远超过了数学范围，在数学中函数处于基础核心地位。
函数不仅是贯穿中学《代数》的一条主线，它也是《大学数学》这门课程的研究对象。
《大学数学》课程中，将在原有初等数学的基础上，对函数的概念、性质进行重点复习和深入的讨论，并采用极限为工具研究函数的各种分析性质，进而应用函数的性质去解决实际问题。
第二章微积分的直接基础-极限1．问：阿基里斯追赶乌龟的悖论到底如何解决的？答：阿基里斯追赶乌龟的悖论是一个很有趣的悖论。
如果芝诺的结论是正确的，则追赶者无论跑得多么快也追不上在前面跑的人，这显然与我们在生活中经常见到的现象相违背。
1.3导数在研究函数中的应用
1/20/2020
如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极 值点，那么这个极值点必定是最值点。
1/20/2020
※动手试试
讨论函数（f x）=4x3
4x2
x在
0，1 2
的最值情况。
1/20/2020
小结：
1、基本知识 2、基本思想
1/20/2020
（1）求函数的定义域
（2）求函数的导数
（3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围，即 函1/2数0/2的020单调区间。
练习:判断下列函数的单调性
• (1)f(x)=x3+3x; • (2)f(x)=sinx-x,x∈(0,π); • (3)f(x)=2x3+3x2-24x+1; • (4)f(x)=ex-x;
x ,1 1 1,1 1 1,
f ' x
0
0
f x 单调递减 2 单调递增 2 单调递减
∴当 x 1时,f (x) 有极小值，并且极小值为2.
当
1/20/2020
x 1
时, f (x)
有极大值，并且极大值为 2.
思考：已知函数 f x ax3 bx2 2x 在 x 2, x 1处取得极值。
※典型例题
求函数f (x) 6 12x x3在3，3上的最大值与最小值.
在闭区间上求函数最值时，必须确定函数的极大值和极小值吗？
解：f ' x 12 3x2 x 3,3
令f ' x 0,解得：x 2或x 2 1、求出所有导数为0的点；
又f (2) 22，f (2) 10，f (3) 15, f (3) 3
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可见讲课开始后第13分钟时小学生兴趣 最大.在此时刻之前学习兴趣递增，在此时 刻之后学习兴趣递减.
学习兴 趣增加
学习兴 趣最大
学习兴 趣减少
t 13
知识回顾 Knowledge
Review
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提示与分析：
先建立目标函数，然后再用求最值的方法
求出未知量.
解 (1)由C( x) 25000 200x x2 ,得 40
平均成本C( x) ( 25000 200 x )
x
40
因而 dC dx
25000 x2
1 40
,
令 dC dx
0, 得
舍去
x 1000或 x 1000.
唯一驻点
3)
2,
2( x 2)( x 3)
lim[
2x]
x
x1
2( x 2)( x 3) 2x( x 1)
lim
x
x1
通分
lim 4x 12 4, x x 1
y 2x 4是曲线的一条斜渐近线.
f ( x) 2( x 2)( x 3)的两条渐近线如图 x1
2、利用导数绘制函数的图像 图形描绘的步骤：
(1) 确定函数的定义域； (2) 考察函数的对称性、周期性； (3) 求函数的间断点、驻点、不可导点，把定 义域分成若干个子区间； (4) 列表讨论函数在各个子区间内的增减性、 凹凸性，判断极值点和拐点；
(5) 确定曲线的渐近线； (6) 求曲线上的一些辅助点，比如与坐标 轴的交点； (7) 根据以上讨论，从左到右，把曲线上 的特殊点用平滑曲线连接起来，完成作图.
凸 弧
分界 点
二、利用导数绘制函数的图像
1、曲线的渐近线
定义 当曲线 y f ( x) 上的一动点 P沿着曲
线移向无穷点时, 如果点 P 到某定直线L的距离
趋向于零, 那么直线 L 的渐近线 水平渐近线
斜渐近线
铅直渐近线(垂直于 x 轴的渐近线)
渐近线.
例如 y
1
有两条铅直渐近线
( x 2)( x 3)
x 2, x 3.
两条铅 直渐近 线
y arctan x有两条水平渐近线
π
π
y , y .
2
2
斜渐近线
如果 lim [ f ( x) (ax b)] 0 x
或
lim [ f ( x) (ax b)] 0 (a, b 为常数)
( 2 , ) 2
凹
y 1
2
o
2
2
x
2
三、应用举例
例4 已知某厂生产x件产品的成本为 C( x) 25000 200 x x2 (元)，问： 40
(1)若使平均成本最小，应该生产多少件产品？ (2)若产品以每件500元售出，要使利润最大， 应该生产多少件产品？
这是一道关于最大、最小值的应用题.
f ( x) 0
o
f ( x)的图像为凹弧
切线的斜率 越来越大
y f (x)
x
观察右图：
当x从小变大时，
y
f ( x)从大变小.
切线的斜率越 来越小
f ( x)单调减少 f ( x) 0
y f (x)
o
x
f ( x)的图像为凸弧
二阶导数为正，曲线开口向上，是凹弧； 二阶导数为负，曲线开口向下，是凸弧；二
阶导数为零，且两侧异号，是拐点.
例1 判断曲线 y x3 的凹凸性.
解 y 3x2 , y 6x, D : (, ). 当x 0时， y 0, 曲线 在(, 0]为凸的；
当x 0时，y 0, 曲线 在[0, )为凹的. 注意到点(0, 0)是曲线由凸变凹的分界点.
拐点
凹 弧
y x3
如果 lim f ( x) 或 lim f ( x) 那
x x0
x x0
么x x0 就是 y f ( x) 的一条铅直渐近线.
水平渐近线(平行于 x 轴的渐近线)
如果 lim f ( x) b 或 lim f ( x) b (b 为
x
x
常数)那么 y b 就是 y f ( x)的一条水平
故生产1000件产品可使平均成本最小.
(2)利润函数L( x) 500x (25000 200x x2 )
40
总收入
成本
由
dL dx
300
x 20
0
得
x 6000,
唯一驻点
故生产6000件产品，可使利润最大.
例5 心理学研究表明，小学生对概念的接受 能力G(即学习兴趣、注意力、理解力的某种 量度)随时间t的变化规律为
但 lim[ f ( x) ax] 不存在, x
可以断定 y f ( x) 不存在斜渐近线.
例2 求曲线f ( x) 2( x 2)( x 3)的渐近线. x 1
提示与分析： 铅直渐近线 定义域不存在的点
曲线的渐近线
自变量趋向无穷远
水平渐近线 处，函数的极限
斜渐近线 斜渐近线与水平渐近
线不会同时出现
x
那么 y ax b 就是 y f ( x)的一条斜渐近线.
斜渐近线求法:
f (x)
lim
a, lim[ f ( x) ax] b.
x x
x
y ax b 即为曲线 y f ( x)的一条斜渐近线.
注意：如果 lim f ( x) 不存在， x x
或 lim f ( x) a 存在, x x
解 函数的定义域为D : (,1) (1, ),
2( x 2)( x 3)
lim f ( x) lim
,
x 1
x 1
x1
2( x 2)( x 3)
lim f ( x) lim
.
x 1
x 1
x1
x 1是曲线的铅直渐近线.
又
lim
x
f
(x) x
lim
x
2( x
x
2)( x ( x 1)
第四节
利用导数研究函数的图像
—曲线的绘制
主要内容： 一、函数的凸凹性 二、利用导数绘制函数的图像
在研究函数特性时往往需要 知道函数的直观图形，利用函 数的一阶、二阶导数可以绘制 出函数的较精细的图形.本节将 研究这个问题.
一、曲线弯曲方向—凹凸性
观察右图：
当x从小变大时，
y
f ( x)也从小变大. f ( x)单调增加
2
2
(x) 2xex2 ,(x) 2ex2 4x2ex2 2ex2 (2x2 1).
lim( x) lim e x2 0, 得水平渐近线 y 0.
x
x
列表确定单调区间、凹凸区间及极值、拐点.
x0
( x) 0 ( x) 2
(0, 2 ) 2
( x) 极大值
1
凸
2 2
0
拐点 21 (,) 2e
G(t) 0.1t 2 2.6t 43 t [0, 30].
问t为何值时学生学习兴趣增加或减退？何时
学习兴趣最大？
函数的增减性
最值问题
解 G(t) 0.2t 2.6 0.2(t 13), 由G(t) 0，得t 13. 唯一驻点
所以x 13是G(t)的最大值.
当t 13时,G(t) 0,G(t)单调增加；
例3 作函数 ( x) e x2的图形.
解 定义域为D : (, ), 函数为偶函数，
只需做(0, )的函数图像，
( x) (ex2 ) 2xex2 , 复合函数求导
( x) (2xe x2 ) 2e x2 4x2e x2 .
令 ( x) 0,得驻点 x 0,
令 ( x) 0,得特殊点x 2 , x 2 .