2 有限差分法
有限差分法的原理与计算步骤
有限差分法的原理与计算步骤有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值解。
其基本原理是将连续的偏微分方程转化为差分方程，通过逼近导数，使用离散的点代替连续的点，从而将问题转化为代数问题。
下面将详细介绍有限差分法的原理和计算步骤：一、基本原理：有限差分法基于Taylor级数展开，通过利用函数在其中一点附近的导数信息来逼近函数在该点处的值。
该方法将连续的偏微分方程转化为差分方程，使用离散的点代替连续的点，从而将问题转化为代数问题。
在有限差分法中，常用的差分逼近方式有前向差分、后向差分和中心差分。
二、计算步骤：1.网格划分：将求解区域划分为有限个离散点，并定义网格上的节点和网格尺寸。
通常使用等距离网格，即每个网格点之间的间距相等。
2.离散化：将偏微分方程中的各个导数项进行逼近，利用差分近似来替代和求解。
一般采用中心差分逼近方式，即通过函数值在两侧点的差来逼近导数。
3.代数方程系统：利用离散化的差分方程，将偏微分方程转化为代数方程系统。
根据问题的边界条件和初值条件，构建代数方程系统的系数矩阵和常数向量。
4. 求解代数方程：利用求解线性方程组的方法求解代数方程系统，常用的方法有直接法（如高斯消元法、LU分解法）和迭代法（如Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法）。
求解得到各个离散点的解。
5.后处理：根据求解结果进行后处理，包括结果的插值和可视化。
将离散点的解通过插值方法进行平滑处理，并进行可视化展示，以得到连续的函数解。
三、优缺点：1.直观：有限差分法基于网格划分，易于理解和实现。
2.精度可控：可通过调整网格大小和差分逼近方式来控制计算的精度。
3.广泛适用性：可用于求解各种偏微分方程，适用于不同的边界条件和初值条件。
然而，有限差分法也存在一些缺点：1.精度依赖网格：计算结果的精度受到网格划分的影响，因此需要谨慎选择网格大小。
2.限制条件：有限差分法适用于边界对应点处导数有定义的问题，不适用于奇异点和非线性问题。
有限差分法
两端都要给定边界条件（双程坐标） 。
9
(C) 双曲型方程：适当的边界条件和初始条件，与波动传 播的性质有关 如：一维对流方程
∂u ∂u +c =0 ∂t ∂x u (x ,0) = f (x )
解为 u (x , t ) = f (x − ct ) ，代表一个向右(c > 0 时)或向左 ( c < 0 时)传播的波形。必须在波形传来的一侧提供边界条 件（单程坐标） 。
10
不适定的例子：
utt + u xx = 0 u (x ,0) = u t (x ,0) = 0
拉普拉斯方程＋非闭域边界条件，解为 u (x , t ) ≡ 0 。 然而，若定解条件为 u (x ,0) = 0, ut (x ,0) =
u (x , t ) = 1 sin nx ，解为 n
1 sinh nt sin nx n
(
)
n n um+1 = um −
cτ n n um +1 − um −1 2h
(
)
设计算到第 n 步时的累积误差
n ~n εn = 计算值um − 差分法精确解um m
反之
n ~n um = εn + um m
15
则第 n+1 步的计算值
~n ~ n cτ u n − u n ~ ~ um+1 = um − m +1 m −1 2h cτ n cτ n n n = um − um +1 − um −1 + εn − εm +1 − εn −1 m m 2h 2h n = um+1 + εn +1 m
uin +1 − uin −1 uin+1 − uin +1 − uin −1 − uin−1 −α =0 Lh u = τ h2 ατ 2 ⎛ ∂ 2u ⎞ τ 2 ⎛ ∂ 3u ⎞ Ti = Lh u − Lu (x i , t n ) = 2 ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ − L 截断误差 6 ⎜ ∂t ⎟i h ⎜ ∂t ⎟i ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
有限差分法推导
有限差分法推导【最新版】目录1.有限差分法的基本概念2.有限差分法的推导方法3.有限差分法的应用实例4.有限差分法的优缺点正文一、有限差分法的基本概念有限差分法是一种数值计算方法，主要应用于求解偏微分方程的初值问题。
它是通过将连续的函数值用有限个离散点上的函数值来代替，从而将偏微分方程转化为关于这些离散点上的代数方程组。
这种方法可以有效地降低问题的复杂度，使得求解过程更加简便。
二、有限差分法的推导方法有限差分法的推导过程主要包括以下几个步骤：1.对边界条件进行离散处理，将边界上的函数值用有限个离散点上的函数值来代替。
2.对偏微分方程进行离散处理，将偏微分方程转化为关于这些离散点上的代数方程组。
3.求解代数方程组，得到离散点上的函数值。
4.通过插值方法，将离散点上的函数值还原为连续函数。
三、有限差分法的应用实例有限差分法广泛应用于各种物理、工程和数学问题中，例如求解热传导方程、波动方程和亥姆霍兹方程等。
下面以求解一维热传导方程为例，展示有限差分法的应用过程。
假设我们要求解如下的热传导方程：u/t = k * ^2u/x^2x = [0, 1]t = [0, T]边界条件：u(0, t) = f(t), u(1, t) = 0初始条件：u(x, 0) = 0我们可以通过以下步骤应用有限差分法：1.对边界条件进行离散处理，将边界上的函数值用有限个离散点上的函数值来代替。
2.对偏微分方程进行离散处理，将偏微分方程转化为关于这些离散点上的代数方程组。
3.求解代数方程组，得到离散点上的函数值。
4.通过插值方法，将离散点上的函数值还原为连续函数。
四、有限差分法的优缺点有限差分法具有以下优点：1.适用范围广泛，可以应用于各种偏微分方程的初值问题。
2.推导过程相对简单，容易理解和实现。
3.计算精度较高，可以通过增加离散点数来提高精度。
然而，有限差分法也存在以下缺点：1.计算量较大，需要处理大量的代数方程组。
2.对于某些问题，可能需要进行特殊的处理，例如处理不稳定的代数方程组。
有限差分法PPT课件
1
有限差分方法是一种微分方法,广泛用于计算机求解偏微分方程 。
为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法 是将定解区域（场区）离散化为网格离散节点的集合。并以各离 散点上函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定 解问题转化为一组相应的差分方程。根据差分方程组解出各离散 点处的待求函数值——离散解。
Q c hc (T Ta )
Qr (T4Ta4)
代 入
C pz T t kz 2 T 2 h c T 2T 4 2 h c T a 2T a 4
上 式Leabharlann 边界条件： x=0m ,x=1m, y=1m ； q=0 w/m2
y=1m
； T=300 K
12
（2）利用matlab中的pdetool工具箱，首先绘出空间区域，并以0.1m为 步长对其进行网格划分。 （3）输入已知的参数并设定边界条件
2
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
建立节点物理量的代数方程
设立迭代初值
求解代数方程组 否
收敛？ 是
解的分析
改进初场
3
1. 建立控制方程及定解条件
根据实际问题建立偏微分方程，同时给出边界条件。
2. 区域离散化
理论上可以通过任意的网格划分把求解区域划分成许多求解区域，以网格 线的交点作为需要确定的物理量的空间位置。实际应用中根据边界的形状采用 最简单、最有规律，和边界拟合程度最佳的方法来分割。
建立节点物理量的离散方程节点类型内节点边界节点泰勒级数展开法热平衡法泰勒级数展开法热平衡法热平衡法多运用于非均分网格划分下离散方程的建立其物理概念清晰推导过程简洁我们以二维稳态无内热源矩形均分下的温度场为例先用泰勒级数展开法对内节点由ab两个式子即可推出一阶导数和二阶导数的差分一般取中心差分更为精确一阶导数的中心差分
有限差分法基本原理
有限差分法的应用领域
流体力学
用于模拟流体在固定或变形网格 上的流动，如计算流体动力学 （CFD）中的数值模拟。
热传导
用于求解热传导方程，模拟热 量在物体中的传播和分布。
波动传播
用于求解波动方程，如地震波 、声波和电磁波的传播。
有限差分法基本原理
CONTENTS 目录
• 引言 • 有限差分法的基本原理 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点 • 有限差分法的改进方向
CHAPTER 01
引言
有限差分法的定义
有限差分法是一种数值计算方法，通 过将连续的物理量离散化为有限个离 散点上的数值，并建立代数方程来近 似描述物理量随时间和空间的变化规 律。
缺点
精度问题
由于有限差分法采用的是离散化的方法， 因此其精度受到网格大小的影响，网格越
小精度越高，但同时也会增加计算量。
数值耗散误差
在模拟非线性问题时，有限差分法可能会 产生数值耗散误差，导致能量的损失或者
非物理振荡。
数值色散误差
在模拟波动性问题时，有限差分法可能会 产生数值色散误差，导致波的传播速度发 生变化。
常用的离散化方法包括均匀网格、非均匀网格、有限元法等，
应根据实际问题选择合适的离散化方法。
差分近似
Hale Waihona Puke 01差分近似公式根据微分方程的性质，构造差分 近似公式，将微分方程转化为差 分方程。
精度分析
02
03
稳定性分析
分析差分近似公式的精度，确定 其与微分方程的误差大小和分布。
分析差分近似公式的数值稳定性， 确保计算过程中误差不会累积放 大。
二阶偏微分方程组的有限差分解法
二阶偏微分方程组的有限差分解法下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
文档下载后可定制随意修改，请根据实际需要进行相应的调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种各样类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，如想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by the editor. I hope that after you download them, they can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!In addition, our shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!二阶偏微分方程组的有限差分解法引言在科学与工程领域中，二阶偏微分方程组的求解是一项重要而又具有挑战性的任务。
两点边值问题的有限差分法
学生实验报告实验课程名称偏微分方程数值解开课实验室数统学院学院数统年级2021专业班信计2班学生姓名学号开课时间2021 至2021学年第2学期数学与统计学院制开课学院、实验室：数统学院实验时间：2021年月日1,...,1i N =-，网点处准确解记为[]i u ，1,...,1i N =-。
然后计算相应的误差[]0max Ni i ci Ne u u <<=-，[]121N Ni i i e h u u -==-∑及收敛阶()2ln ln 2NNe e ，将计算结果填入第五局部的表格，并对表格中的结果进展解释？4. 将数值解和准确解画图显示，每种网格上的解画在一图。
三．实验原理、方法〔算法〕、步骤1. 差分格式：=-1/h^2(-()+)+()/2h+=A,2. 局部阶段误差： (u)=O(h^2)3.程序clear allN=10; a=0;b=1;p=(x) 1; r=(x) 2; q=(x) 3; alpha=0;beta=1;五．实验结果及实例分析NN ce收敛阶N e收敛阶10 0.00104256 …… 0.00073524 …… 20 0.00026168 1.9341 0.00018348 1.4530 40 0.00006541 2.0001 0.00004585 2.0000 80 0.00001636 1.9993 0.00001146 2.0000 1600.000004092.00000.000002872.0000N 越大 只会使绝对误差变小，方法没变，所以收敛阶一致。
图示为：(绿线为解析解，蓝线为计算解)N=10N=20N=40N=80N=160。
有限差分方法
有限差分方法有限差分法是一种用于数值解决常微分方程（ODE）、偏微分方程（PDE）的数学技术。
它将原本的微分方程式转化为差分方程，最终可以用数值计算解决。
作为一门数值分析技术，有限差分方法主要用于计算解决微分方程的参数和状态。
有限差分法的步骤一般分为三个：（1）数学模型的构建，（2）对物理场的离散化，（3）对差分方程进行求解。
首先，我们要建立准确的物理模型，这一步涉及到选取合适的假设和参数，以及采用适当的边界条件和初始条件。
其次，我们要对原方程进行离散处理，使其转化为有限差分方程，从而为求解此类方程打下基础。
最后，我们要设计出一个有效的求解方法，通过用数值计算解决有限差分方程，获得所求解的结果。
有限差分法的优点主要体现在精度和速度上。
首先，它的精度极高，它可以求解出精确的解，而且计算速度也很快，无需复杂的数学推理，就可以较快速度解决问题，大大降低了计算的难度。
其次，有限差分法可以拓展到更多的系统，不限于只能解决二维静止场，而能够解决一般感兴趣的场景。
此外，有限差分技术也可以解决有时限性的问题，例如分析物体的动态特性。
此外，有限差分方法也存在一些缺点，例如边界条件的处理和计算复杂性的增加。
由于差分的求解是基于某些边界条件的，一旦边界条件发生变化，原有的求解方案就会失效。
此外，在进行离散化处理时，随着问题规模的增大，计算复杂性也会随之增加，使得求解较大规模的问题极其困难。
有限差分法已经成为当今解决复杂问题数值计算的重要技术手段。
它在准确性、精度和计算速度方面均具有优势，深受工业界、医学界及数学领域的青睐。
有限差分法的实际应用也正在层出不穷，今后有望在更多的领域得到广泛的应用。
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o
一阶偏导数的差分格式（P.23）
(
h1 h3 hx
二阶精度,O(h3)
3 ) 0 1 3 O (hx ) x 2hx
二阶偏导数的差分格式（P.23-23） 20 3 2 2 ( 2 )0 1 O ( h x) 2 x hx 20 4 2 2 ( 2 )0 2 O ( h ) y 2 y hy
2) df ( x ) 1 2 d 2 f ( x ) 一阶精度 ,O(h f ( x h) f ( x ) h h 2 dx 2! dx
df ( x) 2 3 d 3 f ( x) 二阶精度,O(h3) h f ( x h) f ( x h ) 2h dx 3! dx 3
由误差的泰勒展开式，如果： （7）
则称为K阶方法。
若迭代公式中ψ（x,y,h)在定义域内连续，并且关于y 满足利普希茨（Lipschitz）条件：
| ( x, y, h) ( x, z , h) | L | y z |
（8）
若截断误差满足式（7），则单步法迭代公式的误差估计式为：
同介质分界面上的差分格式）
第三步，编程计算，迭代运算或者求解方程组
二、泊松方程的有限差分格式 泊松方程：
f
2
2 2 2 f 2 x y
（1）
第一类边界条件:已知整个边界上的位函数，
|C g ( p )
n g ( p)
C
又叫Dirichlet(狄里赫利)问题。
一、有限差分法基本概念
二阶差分
2 f ( x) 1 f ( x h) f ( x) x 2 x x
（前向差分）
1 f ( x h) f ( x ) f ( x ) f ( x h) ( ) x h h
f ( x h) 2 f ( x ) f ( x h) h2
第二类边界条件：已知整个边界上的位函数的
法向导数，即已知导体表面上的面电荷密度， 又叫Neumann（诺埃曼）问题。
第三类边界条件：已知一部分边界上的位函数，另一部分边
界上的位函数的法向导数。又叫混合型边值问题，或拉宾问 题。
二、泊松方程的有限差分格式
场域离散化
y
D
h3
C
h2
h1h4Biblioteka x[ i 1, j 2ij i 1, j x
2
得：
i , j 1 2ij i , j 1 y
2
] f ( xi , yi )
一、有限差分法基本概念
有限差分法求解问题的步骤
第一步：将求解场域离散化
第二步，写出场域内偏微分方程及其边界上（包括场域内不
a 2 b 2 , a 4 ， b4
a (a1 a 3 ) b (b1 b 3 )
二、泊松方程的有限差分格式
a (2a 3 b 2 b 4 4a 0 h ) b (2b1 b 2 b 4 4b 0 ) 0 a （4）
K e L (ba ) 1 L (ba ) Dh e | y (a ) y0 |, L 0 | yn 1 ( xn 1 ) yn 1 | L K | y ( a ) y | D ( b a ) h , L0 0
稳定性
在具体计算时步骤中出现的误差对结果的影响
中心差分
精度：
2 4 f x f ( x) d ( ) 2 d 4 f ( x h) f ( x h) 2 f ( x ) h 2 h 2 4 dx 4! dx
O(h4)，三阶阶精度
一、有限差分法基本概念
偏微分的差分
f ( x) f ( x0 h, y0 ) f ( x0 , y0 ) fx h x
作业
用有限差分法求求解下列问题 一理想导体长矩形管，两边长度分别为a、b，管 内为空气，管壁电位分布如图所示，在矩形波导中央 有一宽度为a/20的金属薄片。试求 (1) 管内电位分布； (2) 管内电场分布。
二、泊松方程的有限差分格式
有源区域和无源区域分界面上的差分格式
A区
2
a
b
a1 a 2 a 3 a 4 4a 0 h 2
0 a
B区
2 0
虚构点
b1 b 2 b 3 b 4 4b 0 0
利用边界条件：
前向差分
例题 求
2 2 [ 2 ( x, y ) 2 ( x, y )] f ( x, y ) x x
的中心差分逼近
解：令 ij ( xi , y j ) i 1, j ( xi h, y j ) i , j 1 ( xi , y j h)
——泊松方程的五点差分格式 当hx=hy时
i 1, j i 1, j i , j 1 i , j 1 4i , j h 2 f i , j
（2）
拉普拉斯方程的差分格式
i 1, j i 1, j i , j 1 i , j 1 4i , j 0
一阶精度,O(h2)
二、泊松方程的有限差分格式
泊松方程的差分格式
1 20 3
h
2 x
2 20 4
h
2 y
f0
在任意一点上
1 1 (i 1, j 2i , j i 1, j ) 2 (i , j 1 2i , j i , j 1 ) f i , j 2 hx hy
2
由以上四式得：
若
a b
0 ——与泊松方程的五点差分格式相似
1 2
2 则 b1 b 2 b 4 a 3 4b 0 h
二、泊松方程的有限差分格式
其他形式网格情况
正三角形六点式
3 2
6 2 0 4 5 1 8
正方形九点式
4
0
1
3 7
5
6
六边形三点式
x h
一、有限差分法基本概念
一阶差分
f ( x) f ( x h) f ( x) h x f ( x) f ( x) f ( x h) h x
h h f (x ) f (x ) f ( x) 2 2 x h
前向差分 后向差分 中心差分
df ( x) 1 2 d 2 f ( x) 2) 一阶精度 ,O(h f ( x h ) f ( x ) h h 精度： dx 2! dx 2
（3）
柱坐标系中拉普拉斯方程的差分格式，式（2.40）——作业
二、泊松方程的有限差分格式
介质分界面上的差分格式 (P.25) 角点介质分界面上的差分格式， 介质与导体分界面的差分格式
式（2.43） 式（2.44）
？
第一类边界条件的差分格式——P.27 第二、第三类边界条件的差分格式——P.28
1
2
0 3
4 (1 2 3 30 ) 2 3h 0
三、差分方程组求解
直接求解线性方程组
P.32
结点N<500
迭代法求解线性方程组 高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组 超松弛迭代法求解线性方程组
return
四、工程应用
有限差分法求解问题的步骤
P.34
第2讲 有限差分法
Finite Difference Method
1
第2讲 有限差分法
提纲
一、有限差分法基本概念 二、泊松方程的有限差分格式 三、差分方程组求解 四、工程应用
2
一、有限差分法基本概念
有限差分法求解的问题：微分方程、偏微分方程、高阶线性 方程、高阶非线性方程，等等.
差分和微分
df f ( x) x dx
2
四、工程应用
举例 差分方程组
2 / h 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 12 26 1 4 1 0 1 0 0 0 0 2 / 13 2 2 0 1 4 1 0 0 0 0 0 3 16 14 h / 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 17 h 2 / 2 h / 0 0 0 1 4 1 0 1 0 5 0 1 0 0 1 4 1 0 0 h 2 / 6 15 2 1 0 0 0 0 1 4 1 0 7 22 24 h / 0 0 0 0 1 0 1 4 1 8 h 2 / 21 2 h / 0 0 0 1 0 0 0 1 4 9 18 20
四、工程应用
有限差分法求解问题的流程图
1 | iN iN ,j ,j |
| iN ,j |
1 iN ,j
四、工程应用
举例
3 2 1 4 5 6 9 8 7
4×4个网格， 9个内结点， 16个边界点
内点差分方程 点1： 点2： …… 点9：
6 2 12 26 41 h 0 5 3 13 1 42 h 2 0 20 18 4 8 49 h 2 0
差分格式的收敛性和稳定性
简化分析：以一个自变量的单步迭代法为例
——收敛性
yn 1 yn h ( xn , yn , h)
其截断误差
a x b, 0 h h0 （5）
（6）
d n (h) yn 1 yn h ( xn , yn , h)
| d n (h) | Dh K 1 D 0, K为整数且 0