第二章 有限差分基础

第2章 有限差分基础（finite difference method ，FDM ）1.1 偏微分方程的一般形式()()φφφρρφq x x x u t j j j j +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂Γ∂∂=∂∂+∂∂ （ 2-1 ） 2.1 网格划分一般有限差分采用结构化网格划分。

即节点对应于当地坐标系统的原点。

它的轴同网格线一致。

即两个同一族的网格线不相交，且没对网格线对应不同的族。

每一个节点可用唯一的一个坐标表示，如（ξ1, ξ2）。

网格线能用ξ1＝const, ξ2＝const 表示。

1D 2D有限差分法就是要将节点上的偏微分方程用相邻点上的值表示，变成线性代数方程式。

i-1ii+1N1 N jj+1 j-1j 11i-1 i i+1为流体力学的微分方程的数值求解方法之代表。

必要条件：∙ 连续领域内的分配有限的网格∙领域内的函数分布可用网格点上的值代表1. 计算分子（computational molecule ）5点计算分子 15点计算分子 7点计算分子这些节点又称为计算分子。

方程的个数应与未知数相同，即每个节点有一个方程式。

EWNET N2. T aylor 展开例如：一维时间变量φ的理论解为φ(t,x)，它在离散点上的值为投影（projection ）的近似值为：()x i t n ∆Λ,φ,n: 时间的step 数i:空间的step 数为了求得此近似解，需对微分方程进行差分近似。

利用T aylor 展开可得到几个差分表示形式，仅考虑空间依存问题：在∆x 很小时，位置j ∆x 内的物理量φ用φj 来表示，则位置(j+1)∆x 上的值φj+1表示为：()⋅⋅⋅+∂∂∆+∂∂∆+=+ii i i x x x x 222121φφφφ （ 2-2 ）(j-1)∆x 上的值φj+1表示为：()⋅⋅⋅+∂∂∆+∂∂∆-=-ii i i x x x x 222121φφφφ （ 2-3 ） 2.2 基本差分格式1. 一阶导数（first derivative ）的近似()xu orx∂∂∂∂φρφ（ 2-4 ） i. 向前差分(forward difference ，FDS)利用( 1 ) 式，可得到1阶微分的向前差分形式:)(1x O xx j j j ∆+∆-=∂∂+φφφ （ 2-5 ） ii. 向后差分(backward difference ，BDS)利用( 1 ) 式，可得到1阶微分的向后差分形式)(1x O xx j j j ∆+∆-=∂∂-φφφ （ 2-6 ） iii. 中心差分（central difference ，CDS ）(1)-(2) 得1阶微分的2 次精度中心差分法：)(2211x O xx j j j ∆+∆-=∂∂-+φφφ（ 2-7 ） iv. 上风法、迎风法（upwind difference, UDS ） 与速度有关的微分()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->--≈∂∂++--;0if,;0if ,1111u x x u u x x u x u ii i i i i i i φφρφφρφρ （ 2-8 ）2. 二阶导数的近似i. 中心差分（central difference ，CDS ）利用（j ±1/2）∆x 的T ayor 展开，可得过且1阶微分的2次精度的向前向后差分形式：11112121---+++--=∂∂--=∂∂i i i i i ii ii i x x x x x x φφφφφφ （ 2-9 ） 将上二式相减，得2阶微分的差分方程式中心差分：(∆x 相当))(2221122x O xx i i i i ∆+∆+-=∂∂-+φφφφ （ 2-10 ） 其它还有各种形式。

但最常用的是中心差分。

对于扩散项常采用()()11211111112121212121-+---+++-+-+---Γ---Γ≈-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂Γ-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂Γ≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂Γ∂∂i i i i i i i i i ii i i i i i i x x x x x x x x x x x x φφφφφφ （ 2-11 ）2.3 数值误差1. 截断误差（truncation error ）例如：热传递方程022=∂∂-∂∂tTt T α （ 2-12 ） 时间向前差分，空间中心差分得()()021121=+-∆-∆--++n j n j nj nj n j T T Tx tT T α（ 2-13 ）离散方程同精确方程的误差(i.e. 微分算子L(T)和L ’(T n j ) ) ，称为截断误差。

将1+n j u 进行时间方向的T ayor 展开和n j u 1±进行空间方向的T ayor 展开即， () (2122)21+∂∂∆+∂∂∆+=+njnj nj n j t u t t u t u u （ 2-14 ）()()() (241)61214443332221njnjnj nj nj n j x u x xux x u x x u xu u ∂∂∆+∂∂∆±∂∂∆+∂∂∆±=± （ 2-15 ）因此，此方程的截断误差为()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∂∂∆+∂∂∆-+∆+--∆-=∂∂-∂∂-++ (12224)42222211122n j n j nj n j n j njn j njnj x ux x u x x u u u tu u x ux u ααα （ 2-16 ）截断误差的第一项为O(∆t, ∆x 2)，为时间一次精度，空间二次精度。

2. 舍入误差计算机的精度引起的误差称为舍入误差（ r ound-off error 圆误差）。

通常CFD 忽略舍入误差。

这是因为，几乎所有的CFD 程序的精度都在3阶以下，舍入精度都比它们下的缘故。

舍入精度同计算精度有关。

要注意的是，超级计算机的利用。

目前由于存储容量的限制，许多使用的是单精度（32bit ）的机器。

但是使用超级计算机，往往采用特别小的格子，这时需要注意计算机的精度问题。

通常，定常解的收敛以截断误差为3阶为标准。

但必须注意单精度同双精度（64bit ）的误差相差很大。

特别是，在使用广泛应用的一般坐标系上的守恒表达形式的条件下，要达到实质性的收敛解，需采用双精度，可使误差充分减少，但此时如采用单精度，可能误差都达不到3阶。

因此，要特别注意收敛的判断，尽可能使用64bit 的计算。

3. 离散误差截断误差＋数值的边界条件?指在无舍入误差的条件下，差分方程的解（即差分方程的严密解）和微分方程的精确解之差。

i.耗散误差（dissipative error ）由数值扩散引起的离散误差部分 ii.分散误差（dispersive error ）由相位误差引起的离散误差。

iii.延迟相位误差波的位置在真波后发生 iv.前进相位误差波的位置在真波前发生v.正确解 耗散误差 分散误差xxxx2.4 显式、隐式和半隐式求解格式对于时间推进问题，有显式、半隐式和隐式三种基本格式。

()00>=+c cu u x t （ 2-17 ）t u u t u nin i i∆-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+1 （ 2-18 ） 空间CDS1. 显式格式x u u x u ni n i ∆-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-+11 （ 2-19 ）∑=+nbnnbnb n i u a u 1 （ 2-20 ） 2. 隐式格式x u u x u n i n i ∆-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-++1111 （ 2-21 ）∑=+nbn i i n nb nb u a u a 1 （ 2-22 ） 3. 半隐式主要用于非线性问题x u u x u n i n i ∆-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-+111 （ 2-23 ） ∑∑=++nbnbni n n nb n u a uanb nb11 （ 2-24 ）2.5 稳定性条件1. 相容性指差分方程接近微分方程的程度。

时间方向和空间方向的分割（∆t, ∆x ）变小，截断误差逐渐消失，即差分方程接近原来的微分方程，则称为该差分形式与偏微分方程的相容（consistent ）。

大部分差分方法满足此条件。

如上式中只要满足0→∆∆x t 的条件，则consistent. 2. 稳定性对于发展性问题，基本可以满足数值的稳定性这一条件。

稳定性是指，计算的一步步进行，不管什么原因引起的误差都不会使其成长。

3. 收敛性指差分解接近真实解的程度。

格子变小变细后，其近似解接近于元微分方程解。

离散化误差趋近零。

即只要使用足够的点，不管要求多小的误差都能达到。

注意：不是指收敛于定常流的解问题。

4. Lax 的等同定理（Lax ’s Equivalence Theorem ）收敛的格式一定是稳定而且相容的格式。

这对线性的标量的时间发展问题成立。

即：稳定性＋相容性为收敛性的必要条件。

即要得到正确的解，必须是用稳定且相容的方法。

5. V on Neumann 稳定性条件适用于初值问题。

基本思想可从小扰动法的角度去考虑。

假定某一时刻引入了一个误差矢量，即扰动，如果这一扰动的强度（或振幅）随时间不断增大，则这一格式是不稳定的。

反之，扰动的振幅如果是衰减的，或保持不变，格式是稳定的。

令振幅比定义为()()t t t ψψμ/∆+= （ 2-25 ）初值稳定性条件： ⎣⎦1≤μ 其中：中性稳定 1=μCFL 条件：Cournat 条件：显式格式的稳定性条件1≤∆∆xtc 2.6 线性标量方程式的物理意义流体力学的基本现象： 对流和扩散1. 输运方程式或波动方程式例1：以对流为代表的典型方程式：输运方程式或波动方程式：为双曲线问题(hyperbolic problem)，必须有初期条件。

),0(0∞<<∞->=∂∂+∂∂x t xu c t u （ 2-26 ） c 为正整数。

使用下列初始条件，成为时间发展问题：)0(),0(21<=≥=x u u x u u （ 2-27 ）它的一种差分格式为：011=∆-+∆--+xu u ctu u nj n j n jn j （ 2-28 ）即：()nj n j n j n j u u x t c u u 11-+-⎪⎭⎫⎝⎛∆∆-= （ 2-29 ） 当t x c ∆∆=时，n j n j u u 11-+=。

即在时间步长n 时，1-=j x x 处发生的现象，将在时间步长为n+1时，在j x x =处发生。

实际上，式（11）的解为：)(),(ct x u t x u -= （ 2-30 ）其解在称之为特性线的ct x =上。

只有在t x c ∆∆=时其差分解才与解析解相同。