《光的衍射》答案

第7章 光的衍射

一、选择题

1(D)，2(B)，3(D)，4(B)，5(D)，6(B)，7(D)，8(B)，9(D)，10(B) 二、填空题

(1)． 1.2mm ，3.6mm (2)． 2， 4 (3)． N 2，

N

(4)． 0，±1，±3，.........

(5)． 5 (6)． 更窄更亮 (7)． 0.025

(8)． 照射光波长，圆孔的直径 (9)． 2.24×10-4 (10)． 13.9 三、计算题

1. 在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长λ1和λ2，垂直入射于单缝上．假如

λ1的第一级衍射极小与λ2的第二级衍射极小相重合，试问 (1) 这两种波长之间有何关系？

(2) 在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？

解：(1) 由单缝衍射暗纹公式得

111sin λθ=a 222sin λθ=a 由题意可知 21θθ= , 21sin sin θθ= 代入上式可得 212λλ=

(2) 211112sin λλθk k a == (k 1 = 1, 2, ……) a k /2sin 211λθ=

222sin λθk a = (k 2 = 1, 2, ……) a k /sin 222λθ=

若k 2 = 2k 1，则θ1 = θ2，即λ1的任一k 1级极小都有λ2的2k 1级极小与之重合．

2. 波长为600 nm (1 nm=10-9 m)的单色光垂直入射到宽度为a =0.10 mm 的单缝上，观察夫琅

禾费衍射图样，透镜焦距f =1.0 m ，屏在透镜的焦平面处．求： (1) 中央衍射明条纹的宽度∆ x 0； (2) 第二级暗纹离透镜焦点的距离x 2

解：(1) 对于第一级暗纹，

有a sin ϕ 1≈λ

因ϕ 1很小，故 tg ϕ 1≈sin ϕ 1 = λ / a

故中央明纹宽度 ∆x 0 = 2f tg ϕ 1=2f λ / a = 1.2 cm

(2) 对于第二级暗纹， 有 a sin ϕ 2≈2λ

x 2 = f tg ϕ 2≈f sin ϕ 2 =2f λ / a = 1.2 cm

3. 如图所示，设波长为λ的平面波沿与单缝平面法线成θ

向入射，单缝AB 的宽度为a 小值(即各暗条纹)的衍射角ϕ．

解：1、2两光线的光程差，在如图情况下为 ϕθδsin sin a a BD CA -=-=

由单缝衍射极小值条件 a (sin θ －sin ϕ ) = ± k λ k = 1,2,……

得 ϕ = sin —1( ± k λ / a+sin θ ) k = 1,2,……(k ≠ 0)

4. (1) 在单缝夫琅禾费衍射实验中，垂直入射的光有两种波长，λ1=400 nm ，λ2=760 nm

(1 nm=10-9 m)．已知单缝宽度a =1.0×10-2 cm ，透镜焦距f =50 cm ．求两种光第一级衍射明纹中心之间的距离．

(2) 若用光栅常数d =1.0×10-3 cm 的光栅替换单缝，其他条件和上一问相同，求两种光第一级主极大之间的距离．

解：(1) 由单缝衍射明纹公式可知

()111231221

sin λλϕ=+=k a (取k ＝1 ) ()2222

3

1221sin λλϕ=+=k a

f x /t

g 11=ϕ , f x /tg 22=ϕ 由于 11tg sin ϕϕ≈ , 22tg sin ϕϕ≈

所以 a f x /2311λ=，a f x /2

3

22λ=

则两个第一级明纹之间距为 a f x x x /2

3

12λ∆=

-=∆=0.27 cm (2) 由光栅衍射主极大的公式 1111sin λλϕ==k d 2221sin λλϕ==k d

且有

f x /t

g sin =≈ϕϕ

所以 d f x x x /12λ∆=-=∆=1.8 cm

5.一衍射光栅，每厘米200条透光缝，每条透光缝宽为a=2×10-3 cm ，在光栅后放一焦距f=1

m 的凸透镜，现以λ=600 nm (1 nm =10-9

m)的单色平行光垂直照射光栅，求： (1) 透光缝a 的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？

(2) 在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？

解：(1) a sin ϕ = k λ tg ϕ = x / f

当 x << f 时，ϕϕϕ≈≈sin tg , a x / f = k λ , 取k = 1有

x = f l / a = 0.03 m ∴中央明纹宽度为 ∆x = 2x = 0.06 m (2) ( a + b ) sin ϕλk '=

='k ( a ＋b ) x / (f λ)= 2.5 取k '= 2，共有k '= 0，±1，±2 等5个主极大.

6. 用一束具有两种波长的平行光垂直入射在光栅上，λ1=600 nm ，λ2=400 nm (1nm=10﹣

9m)，发现距中央明纹5 cm 处λ1光的第k 级主极大和λ2光的第(k +1)级主极大相重合，放置在光栅与屏之间的透镜的焦距f =50 cm ，试问： (1) 上述k =？ (2) 光栅常数d =？

解：(1) 由题意,λ1的k 级与λ2的(k +1)级谱线相重合所以

d sin ϕ1=k λ1，d sin ϕ1= (k+1) λ2 , 或 k λ1 = (k +1) λ2 22

12=-=

λλλk

(2) 因x / f 很小， tg ϕ1≈sin ϕ1≈x / f 2分

∴ d = k λ1 f / x=1.2 ×10-3 cm

7. 氦放电管发出的光垂直照射到某光栅上，测得波长λ1=0.668 μm 的谱线的衍射角为ϕ=20°。如果在同样ϕ角处出现波长λ2=0.447 μm 的更高级次的谱线，那么光栅常数最小是多少？

解：由光栅公式得

sin ϕ= k 1 λ 1 / (a +b ) = k 2 λ 2 / (a +b ) k 1 λ 1 = k 2 λ 2

k 2 / k 1 = λ 1/ λ 2=0.668 / 0.447

将k 2 / k 1约化为整数比

k 2 / k 1=3 / 2=6 / 4=12 / 8 ......

取最小的k 1和k 2 ， k 1=2，k 2 =3，

则对应的光栅常数 (a + b ) = k 1 λ 1 / sin ϕ =3.92 μm

8. 氢放电管发出的光垂直照射在某光栅上，在衍射角ϕ =41°的方向上看到λ1=656.2 nm 和λ2=410.1 nm(1nm=10-9μ)的谱线相重合，求光栅常数最小是多少？

解：(a +b ) sin ϕ = k λ 在ϕ =41°处， k 1λ1= k 2λ2 k 2 / k 1 =λ1 / λ2 =656.2 / 410.1=8 / 5=16 / 10=24 / 15= ........ 取k 1=5，k 2=8，即让λ1的第5级与λ2的第8级相重合

∴ a ＋b = k 1λ1/sin ϕ =5×10-4 cm

四 研讨题

1. 假设可见光波段不是在nm 700~nm 400，而是在毫米波段，而人眼睛瞳孔仍保持在mm 3左右，设想人们看到的外部世界是什么景象？