实验三傅里叶变换及其性质

信息工程学院实验报告 课程名称：信号与系统 实验项目名称：实验3 傅里叶变换及其性质实验时间：2013-11-29 班级： 姓名： 学号：

一、实验目的: 1、学会运用MATLAB求连续时间信号的傅里叶（Fourier）变换； 2、学会运用MATLAB求连续时间信号的频谱图； 3、学会运用MATLAB分析连续时间信号的傅里叶变换的性质。

二、实验环境: 1、硬件：在windows 7 操作环境下； 2、软件：Matlab 版本

三、实验原理：

傅里叶变换的实现 信号()ft的傅里叶变换定义为： ()[()]()jtFFftftedt， 傅里叶反变换定义为：11()[()]()2jtftFFfed。 信号的傅里叶变换主要包括MATLAB符号运算和MATLAB数值分析两种方法，下面分别加以探讨。同时，学习连续时间信号的频谱图。 MATLAB符号运算求解法 MATLAB符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函数fourier( )和ifourier( )。Fourier变换的语句格式分为三种。 （1）F=fourier(f)：它是符号函数f的Fourier变换，默认返回是关于的函数。 （2）F=fourier(f,v)：它返回函数F是关于符号对象v的函数，而不是默认的，即()()jvtFvftedt。 （3）F=fourier(f,u,v)：是对关于u的函数f进行变换，返回函数F是关于v的函数，即()()jvuFvftedu。 傅里叶反变换的语句格式也分为三种。 （1）f=ifourier(F)：它是符号函数F的Fourier反变换，独立变量默认为，默认返回是关于x的函数。 （2）f=ifourier(F,u)：它返回函数f是u的函数，而不是默认的x。 （3）f=ifourier(F,u,v)：是对关于v的函数F进行反变换，返回关于u的函数f。 值得注意的是，函数fourier( )和ifourier( )都是接受由sym函数所定义的符号变量或者符号表达式。

成 绩： 指导教师（签名）： 连续时间信号的频谱图 信号()ft的傅里叶变换()F表达了信号在处的频谱密度分布情况，这就是信号的傅里叶变换的物理含义。()F一般是复函数，可以表示成()()()jFFe。()~F与()~曲线分别称为非周期信号的幅度频谱与相位频谱，它们都是频率的连续函数，在形状上与相应的周期信号频谱包络线相同。非周期信号的频谱有两个特点，密度谱和连续谱。要注意到，采用fourier()和ifourier() 得到的返回函数，仍然是符号表达式。若需对返回函数作图，则需应用ezplot()绘图命令。 MATLAB数值计算求解法 fourier( )和ifourier( )函数的一个局限性是，如果返回函数中有诸如单位冲激函数()t等项，则用ezplot()函数无法作图。对某些信号求变换时，其返回函数可能包含一些不能直接用符号表达的式子，因此不能对返回函数作图。此外，在很多实际情况中，尽管信号()ft是连续的，但经过抽样所获得的信号则是多组离

散的数值量()fn，因此无法表示成符号表达式，此时不能应用fourier()函数对f(n)进行处理，而只能用数值计算方法来近似求解。

从傅里叶变换定义出发有0()()lim()jtjnFftedtfne，

当足够小时，上式的近似情况可以满足实际需要。对于时限信号()ft，或者在所研究的时间范围内让()ft衰减到足够小，从而近似地看成时限信号，则对于上式可以考虑有限n的取值。假设是因果信号，则

有 10()(),01MnjnFfnenM



傅里叶变换后在域用MATLAB进行求解，对上式的角频率进行离散化。假设离散化后得到N个样值，即 2,0kkkNN－1，

因此有 10()(),01MnkjnFkfnekN。采用行向量，用矩阵表示为 1*1**[()][()][]kjnTTTNMMNFkfne。其要点是要正确生成()ft的M个样本向量[()]fn与向量

[]jnke

。当足够小时，上式的内积运算（即相乘求和运算）结果即为所求的连续时间信号傅里叶变换

的数值解。 傅里叶变换的性质 傅里叶变换的性质包含了丰富的物理意义，并且揭示了信号的时域和频域的关系。熟悉这些性质成为信号分析研究工作中最重要的内容之一。 尺度变换特性 傅里叶变换的尺度变换特性为：若()()ftF，则有1()()fatFaa，其中，a为非零实常数。 频移特性 傅里叶变换的频移特性为：若()()ftF，则有00()()jtfteF。频移技术在通信系统中得到广泛应用，诸如调幅变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频移的实现原理是将信号()ft乘以载波信号0cost或0sint，从而完成频谱的搬移，即

000000

1()cos[()()]2()sin[()()]2fttFFjfttFF

 四、实验内容及结果分析: 试用MATLAB命令求下列信号的傅里叶变换，并绘出其幅度谱和相位谱。

（1）1sin2(1)()(1)tftt （2）22sin()()tftt 第一题的实验程序代码： clc;clear; Ft= sym('sin(2*pi*(t-1))/(pi*(t-1))'); Fw = fourier(ft); subplot(211) ezplot(abs(Fw));grid on title('幅度谱'); phase = atan(imag(Fw)/real(Fw)); subplot(212) ezplot(phase);grid on title('相位谱'); 第二题的实验程序代码： clc;clear; ft = sym('(sin(pi*t)/(pi*t))^2'); Fw = fourier(ft); subplot(211) ezplot(abs(Fw));grid on title('幅度谱'); phase = atan(imag(Fw)/real(Fw)); subplot(212) ezplot(phase);grid on title('相位谱'); 第一题实验结果如图1所示，第二题实验结果如图2所示。 图1 图2 试用MATLAB命令求下列信号的傅里叶反变换，并绘出其时域信号图。

（1）1104()35Fjj （2）224()Fe 第一题的实验程序代码： clc;clear; t=sym('t'); Fw = sym('10/(3+i*w)-4/(5+i*w)'); ft = ifourier(Fw); ezplot(ft),grid on

第二题的实验程序代码：

clc;clear; t=sym('t'); Fw = sym('exp(-4*(w^2))'); ft = ifourier(Fw); ezplot(ft),grid on

第一题实验结果如图3所示，第二题实验结果如图4所示。

图3 图4 试用MATLAB数值计算方法求门信号的傅里叶变换，并画出其频谱图。 门信号即1,/2()0,/2tgtt，其中1。 实验程序代码： clc;clear; ft1 = sym('Heaviside(t+1/2)-Heaviside(t-1/2)'); subplot(121); ezplot(ft1,[ ]),grid on Fw1 = simplify(fourier(ft1)); subplot(122); ezplot(abs(Fw1),[-10*pi 10*pi]), grid on axis([-10*pi 10*pi ]);

实验结果如图5所示：

图5 已知两个门信号的卷积为三角波信号，试用MATLAB命令验证傅里叶变换的时域卷积定理。 两个门信号卷积成为三角波信号的实验程序代码： clc; clear; dt = ; t = -1:dt:; f1 = uCT(t+1/2)- uCT(t-1/2); f2 = uCT(t+1/2)- uCT(t-1/2); f = conv(f1,f2)*dt; n =length(f); tt = (0:n-1)*dt-2; subplot(211), plot(t,f1),grid on; axis([-1, 1, ,]); title('f1(t)'); xlabel('t'); subplot(212), plot(tt,f),grid on; axis([-2, 2, ,]); title('f(t)=f1(t)*f2(t)'); xlabel('t');

两个门信号卷积成为三角波信号的实验结果如图6所示： 图6 三角波信号傅里叶变换的实验程序代码： clc;clear; dt = ; t = -4:dt:4; ft = (t+1).*uCT(t+1)-2*t.*uCT(t)+(t-1).*uCT(t-1); N = 2000; k = -N:N; W = 2*pi*k/((2*N+1)*dt); F = dt * ft*exp(-j*t'*W); plot(W,F), grid on axis([-10*pi 10*pi ]); xlabel('W'), ylabel('F(W)') title('f1(t)*f2(t)的频谱图'); ft1和ft2分别傅里叶变换然后再相乘的代码： clc;clear; ft1 = sym('Heaviside(t+1/2)-Heaviside(t-1/2)'); Fw1 = fourier(ft1); ft2 = sym('Heaviside(t+1/2)-Heaviside(t-1/2)'); Fw2 = fourier(ft2); Fw=Fw1.*Fw2; ezplot(Fw,[-10*pi 10*pi]);grid on axis([-10*pi 10*pi ]);

三角波信号傅里叶变换的实验结果如图7所示，ft1和ft2分别傅里叶变换然后再相乘的实验

结果如图8所示。 图7 图8 图7和图8几乎是一样的，所以傅里叶变换的

时域卷积定理是正确的。