正项级数的比值审敛法与根值审敛法的比较
正项级数的常用审敛法和推广比值审敛法的比较
正项级数的常用审敛法和推广比值审敛法的比较摘要数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。
这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。
在通常的微积分学教程中，审敛正项级数的敛散性有许多有效的方法，比如达朗贝尔审敛法，拉贝审敛法等，本文就达朗贝尔审敛法和拉贝审敛法与几个新审敛法进行一些适当的比较总结，另对其应用做一些举例验证。
关键词数学分析正项级数推广比值审敛法一.预备知识1.正项级数的定义如果级数的各项都是非负实数，即则称此级数为正项级数2..收敛定理正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。
若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到例级数是正项级数。
它的部分和数列的通项，所以正项级数收敛。
在正项级数敛散性的各种审敛法中，达郎贝尔比值审敛法是最简单而又最常用的审敛法。
二.常规审敛法：1.达朗贝尔审敛法…………，若，当L<1，级数收敛，当L>1，级数发散，L=1，不能审敛。
例 1 考虑级数则；所以级数收敛2.拉贝审敛法…………，若，则当L<1，级数收敛，L>1，级数发散，L=1，不能审敛。
例 2 判断级数的敛散性解设则，（达朗贝尔审敛法不可用）所以级数三.常规审敛法的比较由以上两种正向级数的审敛法我们不难看出，相对于达朗贝尔审敛法，拉贝审敛法要更加精细，简洁，这两种审敛法中，达朗贝尔审敛法更为基础，拉贝审敛法的应用相比较之下更为广泛。
但是以上两种审敛法只适用于那种收敛较快或发散较快的正项级数。
但实际上，这个审敛法之可能对那些与几何级数的收敛速度或发散速度相当的正项级数有效，而对正项级数来说，如果时，则比值审敛法就无法对级数的敛散性作出审敛。
例如，我们不难证明，当为n的有历史时，总有，也就是说此时比值判定法必定失效。
级数收敛的判别法与应用
级数收敛的判别法与应用级数是数学中重要的概念之一，它由一系列的项组成，可以用来描述许多实际问题。
在求解级数时，我们需要判断级数的收敛性，即确定级数的和是否有限。
为了判断级数的收敛性，我们可以应用一些判别法。
本文将介绍几种常见的级数收敛的判别法，并讨论它们在实际问题中的应用。
一、正项级数的收敛性判别法对于一个级数，如果它的每一项都是非负数，并且随着项数的增加递减或保持不变，那么该级数称为正项级数。
对于正项级数，我们可以利用以下几种方法来判断其收敛性：1.比较判别法比较判别法是判定正项级数收敛性的常用方法之一。
其基本思想是将待判级数与已知级数进行比较。
如果待判级数的每一项都小于等于已知级数的对应项，并且已知级数收敛，则待判级数也收敛。
如果待判级数的每一项都大于等于已知级数的对应项，并且已知级数发散，则待判级数也发散。
2.比值判别法比值判别法是另一种常用的判别法。
对于正项级数，我们可以计算相邻两项的比值，并观察其极限值。
如果极限值小于1，则级数收敛；如果极限值大于1，则级数发散；如果极限值等于1，则该方法无法判断。
3.根值判别法根值判别法也是一种常见的方法。
对于正项级数，我们可以计算相邻两项的根号值，并观察其极限值。
如果极限值小于1，则级数收敛；如果极限值大于1，则级数发散；如果极限值等于1，则该方法无法判断。
二、交错级数的收敛性判别法交错级数是由一系列交替正负的项组成的级数，可以表示为S=a1-a2+a3-a4+...。
判断交错级数收敛性时，可以应用以下方法：1.莱布尼茨判别法莱布尼茨判别法是判定交错级数收敛性的常用方法。
对于交错级数S=a1-a2+a3-a4+...，如果交错级数的绝对值序列|an|严格递减趋于零，并且该序列的极限为零，那么交错级数收敛。
三、应用案例级数收敛的判别法在物理、工程、经济学等领域中具有广泛的应用。
以下是一些相关应用案例的简要介绍：1.经济学中的应用在经济学中，级数的收敛性判别法可以用来分析经济指标的变化趋势。
第35讲：《同号（正项）级数敛散性判定法》内容小结、课件与典型例题与练习
第35讲：《同号（正项）级数敛散性判定法》内容小结、课件与典型例题与练习适用于正项(同号)常数项级数的判别法以下常值级数(数项级数)敛散性的判别法适用于正项级数，也适用于全部项都小于的级数，只要提出一个负号即转换为正项级数，而级数的项乘以负，级数的敛散性不发生变化.另外，由于不对级数的敛散性与和产生影响，因此，一般正项级数仅仅考虑大于的项.1、比较判别法用比较判别法判定级数的敛散性需要有比较收敛或发散的级数，因此，对于常见级数，尤其是之前列出的几何级数、调和级数、p-级数以及和为e的阶乘级数的敛散性要记牢.比较判别法有不等式形式和极限形式，具体结论参见下面列出的课件.【注1】一般依据通项结构寻找比较级数，比如通项中包含有次方项，考虑几何级数比较；包好有的幂级数结构或者n的有理式结构考虑级数（一般值的选取为分母的最高次幂减去分子的最高次幂），有阶乘项可以考虑的阶乘级数比较。
【注2】对于已知了级数收敛、发散或数列收敛、发散条件的抽象级数敛散性的判定与证明一般使用的方法过为比较法的不等式形式，或者拆项的部分和数列判定方法。
2、比值、根值判别法比值、根值判别法只与级数本身的通项有关！当通项中包含有阶乘项一般考虑比值判别法，包含有次方项考虑根值判别法，具体结论参见下面列出的课件.【注1】当两种方法求出的极限都存在时，则极限值相等；当比值判别法极限不存在时，可以考虑根值判别法. 并且有比值法极限存在，则根值法极限一定存在并且相等；但根值法极限存在，比值法极限不一定存在！【注2】特别注意：极限值等于时，敛散性不确定！3、积分判别法积分判别法包括两个方面的处理方式，一种是将级数项转换为积分区间端点为正整数，长度为的积分描述形式，一般再借助比较法，或者部分和数列方法来讨论；一种是将级数通项的替换为，转换为积分区间为上单调递减的非负函数的反常积分来判定其敛散性.一般判定思路如下图所示：参考课件【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“无穷级数内容总结、课件、典型例题与练习”查看该章节内容列表！相关推荐●高等数学、线性代数、概率统计、数学分析、高等代数等课程完整推送内容参见公众号底部菜单下的各选项，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题等！●历届考研真题及详细参考解答浏览菜单中选项●全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部下选项。
正项级数知识
sn
1
1 2p
1 3p
n1pn1p
n
n1
dx xp
y
y
1 xp
(
p
1)
1
12
dx xp
n
n1
dx xp
1
1n
dx xp
o 1234
1
1
1
1
(1 p 1
n p1 ) 1
p 1
即sn有界,则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
x
收敛 发散
例2证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明
+
ln 2
dt tq
故q 1时发散，q 1时收敛。
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
不满足 发 散
比值审敛法 nlimuunn1
根值审敛法
lim n
n
un
1
1
收敛
发散
比较审敛法
1
不定
部分和极限
用它法判别
积分判别法
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1时失效.
证明 当为有限数时,对 0,
N ,当n N时,有 un1 ,
un
即 un1 (n N )
un
当 1时,取 1 ,使r 1,
uN 2 ruN 1, uN 3 ruN 2 r 2uN 1, ,
uN m
n1
n1!，（2）n11n0!n
，（3）
n1
(2n
1 1)
2n
数项级数及审敛法
级数收敛 ;
级数发散 .
从而
例5. 讨论级数
的敛散性 .
解:
根据定理4可知:
级数收敛 ;
级数发散 ;
对任意给定的正数
*定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项
则
证明提示:
即
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
级数, 且
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
(2) 当 且 收敛时,
(3) 当 且 发散时,
也收敛 ;
也发散 .
注:
1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较.
的敛散性.
～
例3. 判别级数
的敛散性 .
解:
根据比较审敛法的极限形式知
例4. 判别级数
备用题
1. 判别级数的敛散性:
解: (1)
发散 ,
故原级数发散 .
不是 p–级数
(2)
发散 ,
故原级数发散 .
2.
则级数
(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;
(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.
分析:
∴ (B) 错 ;
又
C
胞体的直径相差很大，4-150μm， 细胞体是神经元营养、代谢的中心。
则级数
收敛 , 且其和
其余项满足
证:
是单调递增有界数列,
又
故级数收敛于S, 且
故
收敛
收敛
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
正项级数及其审敛法(IV)
如果对于任意一项，其相邻两项 的比值都小于1，则级数收敛； 反之，如果存在某一项，其相邻 两项的比值大于1，则级数发散。
柯西审敛法适用于判断具有连续 项的正项级数的收敛性，但对于 具有跳跃项的正项级数，需要采 用其他审敛法。
狄利克雷审敛法
狄利克雷审敛法是一种基于极限思想的判断正项级数收敛性的方法。
例如
$1+1/2+1/3+1/4+cdots$， $2+4+6+8+cdots$ 等。
正项级数的性质
性质1
正项级数的每一项都是非负的，因此其和总是大于或等于其任意 一部分的和。
性质2
如果一个正项级数收敛，则其部分和的极限存在且有限。
性质3
如果一个正项级数发散，则其部分和的极限不存在或趋于无穷。
正项级数的应用
正项级数及其审敛法 (iv)
CONTENTS 目录
• 正项级数 • 正项级数的审敛法 • 无穷级数与正项级数 • 幂级数与正项级数 • 正项级数的收敛性与发散性
CHAPTER 01
正项级数
正项级数的定义
正项级数
由正数组成的无限序列，可以表示为 $sum_{n=1}^{infty} a_n$，其中 $a_n > 0$。
如热传导、波动等。
在工程学中，幂级数被用于信号处理、图像处理等领域，如傅
03
里叶变换和小波变换等。
CHAPTER 05
正项级数的收敛性与发散性
正项级数的收敛性
定义
正项级数是指每一项都是非负的级数。如果一个正项级数 的部分和有界，则该级数收敛。
01
举例
几何级数、调和级数等都是正项级数的 例子。
02
无穷级数-正项级数及其审敛法
)
收敛 .
5. 讨论 ∑ n x n 1 ( x > 0 ) 的敛散性 .
n =1
∞
解
un + 1 ( n + 1) x n = x Q lim = lim n x n 1 n → ∞ un n→ ∞
解 (1) Q ln( n + 1) < n , ∴
∞
1 p 级数 :∑ p n n =1
∞
1 1 > ln( n + 1) n
1 ∑ 发散 , 故原级数发散 . n =1 n 1 1 (2) Q lim n 1 = lim n = 1 n→ ∞ n n→ ∞ n n n
1 ∑ 发散 , 故原级数发散 . n =1 n
n→ ∞ 1
1 sin n ～
1 n
n→ ∞ ∞
n
ln(1 +
1 1 ) ～ n2 n2
1 由比较法知，∑ ln [ 1 + 2 ]收敛 . n n =1
∞
n2
3. 判定级数的敛散性: ∞ ∞ 1 1 (1) ∑ ; ( 2) ∑ n . n =1 ln( n + 1) n =1 n n 不是 p–级数
1
3
n =1 n 2
收敛 ,
∴
n =1
∑
∞
1 n( n + 1) 2
收敛 .
2 例4 判定级数的敛散性 : ∑ ln( 1 + 3 ) . n n=1 2 分析 寻找 u n = ln( 1 + 3 ) 的同阶无穷小. n
∞
解
当 x → 0 时 ln( 1 + x ) ~ x , 于是
n→ ∞
lim
(0 ≤ ρ ≤ +∞ ), 则
高数 第十一章 无穷级数12.2
n
lim
n
n
2
n1(1cos ) lim n2
n n
n 1 n
1 2
(
n
)2
1 2
2
,
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
lim
n
nun
l
0(或
lim
n
nun
)
,
则级数un n1
发散
(2)如果 p1,
而
lim
n
n
pun
l
(0 l
)
,
则级数un n1
收敛.
例 11
判定级数 n1
n 1(1 c
os
n
)
的收敛性.
3
3
解:
因为
lim
n
n
2
un
lim
n
n
2
n1(1cos ) lim n2
n n
n1 1 ( )2
n 2n
3
铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
❖定理5(根值审敛法, 柯西判别法)
设 un n1
为正项级数,
如果 lim n n
un
,
则当 1 时级数
收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可
能发散.
a
例9 用根值审敛法判定级数 均为正数 的收敛性.
n 1
(
b an
)
n
其中ana(n),
an,
1 n
发散,
n
所以级数 sin 1 也发散.
n n铁1 岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室