第二章计算理论与计算模型
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数学模型-传递函数
1 1 ， j ，Ti zj pi ( pi )
( z j )
m
(3) 二项式表示法：
如 p1 . p2为一对共轭复数，则有
1 1 2 ( s p1 )( s p2 ) s 2 n s n 2
1 1 2 2 或 (T1 s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
当初始条件为零时有：
3
第二章 数学模型
传 递 函 数(续)
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm 则G ( s ) R( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
s j 为复数， G (s ) 是复变量s 的函数， 故称为复放大系数。
i 1
m
(s z )
当s
z j时，G(s) = 0. z j 为传函的零点。
10
当 s pi 时，G(s) = , pi 为传函的极点。
第二章 数学模型
而 K g b0 ——传递系数。(根轨迹中叫根轨迹增益)
a0
(2）时间常数表示法：
bm d m s m d m 1 s m 1 d 1 s 1 G( s ) a n c n s n c n 1 s n 1 c 1 s 1
其传递函数为
6. 齿轮系
m
Z1
Z2
c
第二章 数学模型
§2-2 传 递 函 数
用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰,简单实用,但 如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之改变。 要了解参数变化对系统动态响应的影响，就必须多次 计算，方程阶次愈高，计算工作量越大，故引入另一 种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具， 也是经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的 基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始条件 为零的系统在输入信号作用下的动态过程。
第2章 气液两相流的模型
' dv gAdzsin G 2 ' g ' Adp f Ddz dp vg vl dx x 2 v A dp
v 2
两边同除 Adz 得
' dv dp v 2 4 g sin G 2 ' dx dp g ' f 2 vg vl x dz 2 D v A dz dp dz
1
2-11
G G G ' 所以 Gdv Gd dv d vl' x vg vl' v A A A
2
2
2-13
多相管流理论与计算
由于假定两相流动已达到热力学平衡状态
v' f ( p)
' dv ' ' dv d vl' x vg vl' vg vl' dx x dp 1 x l dp dp dp
多相管流理论与计算
两边同除以
VdZ
dI w dp dv v g sin 0 dZ dZ dZ
dI w dp dv [ v g sin ] dZ dZ dZ
总压力降
动能损失
重位损失
摩擦损失
多相管流理论与计算
dp ( )重位 g sin dZ
dIw dp ( )摩擦 dZ dZ
dp dv ( ) 加速度 v dZ dZ
dp dp dp dp ( )重位 ( )摩擦 ( )加速度 dZ dZ dZ dZ
dp dp v2 由 ( ) 摩擦＝ 并取 为正值 dZ dz d 2
v 2
两边同除 Adz 得
' dv dp v 2 4 g sin G 2 ' dx dp g ' f 2 vg vl x dz 2 D v A dz dp dz
1
2-11
G G G ' 所以 Gdv Gd dv d vl' x vg vl' v A A A
2
2
2-13
多相管流理论与计算
由于假定两相流动已达到热力学平衡状态
v' f ( p)
' dv ' ' dv d vl' x vg vl' vg vl' dx x dp 1 x l dp dp dp
多相管流理论与计算
两边同除以
VdZ
dI w dp dv v g sin 0 dZ dZ dZ
dI w dp dv [ v g sin ] dZ dZ dZ
总压力降
动能损失
重位损失
摩擦损失
多相管流理论与计算
dp ( )重位 g sin dZ
dIw dp ( )摩擦 dZ dZ
dp dv ( ) 加速度 v dZ dZ
dp dp dp dp ( )重位 ( )摩擦 ( )加速度 dZ dZ dZ dZ
dp dp v2 由 ( ) 摩擦＝ 并取 为正值 dZ dz d 2
2计算理论与计算模型
2计算理论与计算模型计算理论和计算模型是计算机科学中非常重要的概念，它们对计算机科学的发展和应用产生了深远的影响。
计算理论是研究计算问题的基础理论，包括了算法、复杂性理论、计算复杂度理论等内容；而计算模型是描述计算机的抽象模型，包括了有限自动机、图灵机、lambda演算等多种模型。
在这篇文章中，我们将探讨计算理论和计算模型之间的关系，以及它们在计算机科学领域中的应用。
首先，让我们来看看计算理论和计算模型之间的关系。
计算理论是研究计算问题的数学理论，主要包括了算法的设计和分析、计算复杂性的研究等内容。
算法是一种解决问题的步骤序列，其设计和分析是计算理论的核心内容之一、通过研究算法，我们可以了解到如何高效地解决各种不同的计算问题，从而提高计算机科学的效率和实用性。
另一方面，计算模型是描述计算机的抽象模型，用来帮助我们理解计算机是如何进行计算的。
常见的计算模型包括了有限自动机、图灵机、lambda演算等。
有限自动机是一种具有有限个状态和转移规则的抽象计算模型，用来描述自动控制系统的行为。
而图灵机是英国数学家图灵提出的一种理论计算模型，它可以模拟任何计算问题的解决过程。
lambda演算则是由数学家艾伦·图灵和斯蒂芬·科尔尼（Stephen Cole Kleene）提出的一种基于λ演算符号的计算模型，用来描述函数式编程语言的计算过程。
计算理论和计算模型之间有着密切的关系。
计算理论提供了研究计算问题的基础理论，而计算模型则帮助我们理解计算机是如何进行计算的。
通过研究计算理论和计算模型，我们可以更好地理解计算机科学中的各种重要概念和理论，为计算机科学的发展和应用奠定了坚实的基础。
在计算机科学领域中，计算理论和计算模型有着广泛的应用。
在算法设计和分析方面，计算理论提供了许多重要的方法和技术，如分治法、动态规划、贪心算法等，用来解决各种不同的计算问题。
在计算复杂性理论方面，计算理论帮助我们理解计算问题的困难程度，并提出了许多重要的结论，如P=NP问题、NP完全问题等。
计算理论第一章绪论
验证等研究计算。
1.1 计算与计算模型
上世纪初，德国大数学家希尔伯特(Hilbert)提出： 是否存在着一个通用过程，这个过程能用来判
定任意数学命题是否成立，即，输入一个数学命题， 在有限时间内，得到一个证明，如果这个命题成立； 或是一个反例，如果这个命题不成立。
图灵证明了对于平面几何来说，存在这样的过程。 但是，对于一般的数学命题，不存在这样的过程。
图灵机和可计算函数
英国 数学家
1936年，图灵24岁时发表一篇 论文《论数字计算在判决难题 中的应用》，提出著名的“图 灵机”的设想。这一思想奠定 了现代计算机的基础。
美国计算机协会在图灵去世12 年后以他的名字命名了计算机 领域的最高奖“图灵奖”。
艾伦·图灵（1912－1954）
1.1 计算与计算模型
判定。
1.3图灵机
NP完全问题：
NP类中某些问题的复杂性与整个类的复杂 性相关联，这些问题称为NP完全问题。
可计算性与计算复杂性
可计算性computability 是否可解
复杂性 complexity 解的难易程度
1.4 语言与文法
乔姆斯基最初从产生语言的角度研究语言， L*。
问题：考察一个字符串是否是某个语言的句 子。
计算的图灵机定义：
1936年由Turing给出，定义计算为： 输入—执行过程（有限步内结束）—输出
1946年，冯·诺依曼与宾夕法尼亚大学的工程师 采用电子器件物理实现了图灵的计算模型，建成 了世界的第一台计算机。
现在称计算机的体系结构为冯·诺依曼体系结构。
1.1 计算与计算模型
图灵给出了过程的科学定义，区分了可计算 的问题和不可计算的问题。
1.6 计算逻辑与描述逻辑
1.1 计算与计算模型
上世纪初，德国大数学家希尔伯特(Hilbert)提出： 是否存在着一个通用过程，这个过程能用来判
定任意数学命题是否成立，即，输入一个数学命题， 在有限时间内，得到一个证明，如果这个命题成立； 或是一个反例，如果这个命题不成立。
图灵证明了对于平面几何来说，存在这样的过程。 但是，对于一般的数学命题，不存在这样的过程。
图灵机和可计算函数
英国 数学家
1936年，图灵24岁时发表一篇 论文《论数字计算在判决难题 中的应用》，提出著名的“图 灵机”的设想。这一思想奠定 了现代计算机的基础。
美国计算机协会在图灵去世12 年后以他的名字命名了计算机 领域的最高奖“图灵奖”。
艾伦·图灵（1912－1954）
1.1 计算与计算模型
判定。
1.3图灵机
NP完全问题：
NP类中某些问题的复杂性与整个类的复杂 性相关联，这些问题称为NP完全问题。
可计算性与计算复杂性
可计算性computability 是否可解
复杂性 complexity 解的难易程度
1.4 语言与文法
乔姆斯基最初从产生语言的角度研究语言， L*。
问题：考察一个字符串是否是某个语言的句 子。
计算的图灵机定义：
1936年由Turing给出，定义计算为： 输入—执行过程（有限步内结束）—输出
1946年，冯·诺依曼与宾夕法尼亚大学的工程师 采用电子器件物理实现了图灵的计算模型，建成 了世界的第一台计算机。
现在称计算机的体系结构为冯·诺依曼体系结构。
1.1 计算与计算模型
图灵给出了过程的科学定义，区分了可计算 的问题和不可计算的问题。
1.6 计算逻辑与描述逻辑
第二章 管井出水量计算 优质课件
Q 1.364K H 2 h02 1.364K (H h0 )(H h0 ) 1.364K (2H s0 )s0
∴
lg R
lg R
lg R
r0
r0
r0
以上就是裘布依(Dupuit)公式的三种形式。
3. Thiem(蒂姆)公式
Q 1.364K (2H s1 s2 )(s1 s2 ) lg r2 r1
4.影响半径问题
该问题历来是水文地质工作者所讨论和关心的问题。 R于1870年由德国工程师Thiem首先提出。多年来，各国科 学家提出了很多经验公式，现在看来均有局限性。 计算影响半径应分两种情况： ①在无限含水层中,可根据非稳定流理论,推导出公式为：
Tt
R0 1.5
②含水层有补给源时，可用引用影响半径代替。
2.推导过程
地下水流向为指向水井中心的放射状直线，等水位线 为以水井为中心的同心圆柱面，且：Qr1=Qr2=…=Q
根据达西（Darcy）定律，有：Q 2rhK dh
dr
分离变量并移项： 2hdh Q 1 dr
K r
积分得：
h2 Q ln r c
K
代入定解条件：
h H (r R)
移项得：
Q 2 Ts0
R ln
r0
写成常用对数形式：Q 2.732 KMs 0
R lg
r0
3. Thiem(蒂姆)公式
如果在抽水井附近有观测孔，可推导出如下 公式：
Q 2.732 KM (s1 s2 ) lg r2 r1
(两个观测孔)
Q 2.732 KM (s0 s1 ) lg r1 r0
① 地下水运动为稳定流，符合达西定律，即：Q＝KFI； ② 含水层均质、等厚，各向同性； ③ 含水层的隔水底板水平，天然水力坡度为零； ④ 边界条件为环形补给边界(半径为R)； ⑤ 抽水井流量稳定不变。
关系模型和关系运算理论
实体完整性规则 参照完整性规则 用户定义的完整性规则
13
2.1.3
关系模型的完整性规则(1)
实 体 完 整 性 规 则 （ entity integrity rule） 主键的属性上不能有空值。 思考：为什么主键不能为空？
14
2.1.3
关系模型的完整性规则 (2)
参照完整性规则（reference integrity rule） 定义2.3 参照完整性规则的形式定义如下： 如果属性集 K 是关系模式 R1 的主键， K 也是关系模式 R2 的外键，那么在 R2的关系中， K的取值只允许两种可能，或者为空值，或者 等于R1关系中某个主键值。 这条规则的实质是“不允许引用不存在的 实体”。 关系模式R1的关系称为“参照关系” 关系模式R2的关系称为“依赖关系”。
30
2.2 关系代数
2.2.1
2.2.2 2.2.3 2.2.4
关系代数的五个基本操作 关系代数的四个组合操作 关系代数运算的应用实例 关系代数的七个扩充操作
返 回
31
关系代数的五个基本操作
并 Union 差 Difference 笛卡尔积 Cartesian Product 投影 Projection 选择 Selection
形式定义如下： R×S≡{t|t＝<tr，ts>∧tr∈R∧ts∈S} 此处tr、ts中r，s为上标。
35
问
若R有m个元组，S有n个元组， 则R×S有 m×n 个元组。
36
2.2.1 关系代数的五个基本操作 (3)
投影（Projection）（对关系进行垂直分割）
形式定义如下：
π i1，…，im（R）≡ {t|t＝〈ti1，…，tim〉∧〈t1，…，tk〉∈R} 操作符π 的下标处也可以用列标号或属性名表示。 例如，关系R（A，B，C），
2计算理论与计算模型
2计算理论与计算模型计算理论与计算模型是计算机科学中的重要理论基础，它研究计算的基本原理、能力和限制等问题。
在计算机科学的发展过程中，计算理论和计算模型起到了桥梁和纽带的作用，不仅推动了计算机科学的发展，也对计算机科学中的其他分支学科产生了深远的影响。
计算理论主要研究计算的数学和逻辑基础，它关注计算过程、算法和问题，以及计算的可行性和有效性等内容。
计算理论的主要内容包括图灵机模型、可计算性理论、形式语言与自动机理论、复杂性理论等。
计算模型指的是对计算过程的抽象和形式化描述。
计算模型旨在研究不同计算机系统之间的共性和异同，帮助人们更好地理解计算过程的本质。
常见的计算模型有图灵机、有限自动机、带状态机等。
图灵机模型是计算理论和计算模型的核心之一，它由英国数学家图灵于1936年提出。
图灵机模型使用一个带有无限长纸带的虚拟机器，通过读写和移动机器头来模拟计算过程。
图灵机模型具有简单、通用和可计算的特点，被广泛用于计算理论和计算机科学的研究。
可计算性理论是计算理论中的一个重要分支，它研究了哪些问题可以通过算法和计算过程进行求解，以及哪些问题是无法通过算法求解的。
可计算性理论的核心是判定问题的可计算性，即确定一些问题是否存在一个算法可以解决它。
可计算性理论的代表性工作是图灵的停机问题，即判断一些图灵机是否能在有限步骤内终止。
图灵证明了停机问题是不可判定的，也就是说无法通过一个算法来解决停机问题。
形式语言与自动机理论是计算机科学中的另一个重要分支，它研究了形式语言的定义、生成和识别等问题，以及自动机的建模和分析方法。
形式语言是用于描述计算机科学中的计算过程和问题的一种工具，而自动机则是用于模拟和分析这些计算过程和问题的一种抽象模型。
形式语言与自动机理论不仅在编程语言的设计和解析中有重要应用，还在计算过程的理论分析中起到了重要的作用。
复杂性理论是计算理论和计算模型中的一个重要研究方向，它研究问题的复杂性与计算资源之间的关系，以及不同计算模型和算法的效率和可行性。
计算理论与算法
将问题分解为若干个子 问题，通过求解子问题 的最优解来得到原问题 的最优解的思想，适用 于具有重叠子问题和最 优子结构性质的问题。
03
复杂度理论
时间复杂度与空间复杂度
1 2
时间复杂度
评估算法执行时间随输入规模增长的速度，常用 大O表示法（如O(n), O(n^2), O(log n)等）来 描述。
广度优先搜索（BFS）
从某个顶点出发，逐层访问图中所有顶点，直到达到指定顶点或无 法再访问为止。
图的遍历应用
用于解决图的连通性问题、寻找图中的路径、生成拓扑排序等问题。
最小生成树与最短路径算法
01
最小生成树（MST）
对于连通的无向图，一个包含图中所有顶点的连通子图，且所有边的权
值之和最小。常用算法有Prim算法和Kruskal算法。
时间复杂度
动态规划和分治策略的时间复杂度通常取决于问题的规模 和子问题的数量。在某些情况下，动态规划可能比分治策 略更高效，因为它避免了重复计算子问题。
06
计算几何与算法
计算几何基本概念与性质
点、线、面的表示与性质
计算几何中的基本元素包括点、线、面等，它们在计算机中的表 示方式及其性质是研究计算几何的基础。
01
几何搜索
02
最近点对问题
03
应用场景
几何搜索是指在几何数据集中查找满 足特定条件的几何对象，如查找最近 的点、线、面等。常见的几何搜索算 法有KD树、四叉树、R树等。
最近点对问题是指在给定的点集中找 到距离最近的两个点。该问题可以通 过分治算法在O(nlogn)的时间复杂度 内解决。
几何搜索和最近点对问题在计算机图 形学、计算机视觉、机器人学等领域 有着广泛的应用，如三维模型检索、 图像特征匹配、机器人避障等。
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➢ 可计算理论的中心课题：将算法这一直观 概念精确化，建立计算的数学模型，研究 哪些是可计算的，哪些是不可计算的，以 此揭示计算的实质。
➢ 由于计算与算法联系在一起，因此，可计 算性理论又称算法理论。
10
计算理论 计算模型
2.2 计算理论
1.可计算理论的发展
可计算理论起源于对数学基础问题的研究。从20世纪30年 代开始，为了讨论所有问题是否都有求解的算法，数学家和逻 辑学家从不同角度提出了几种不同的算法概念精确化定义。
为什么学习算法：①算法是计算机的灵魂；②算法是数学机 械化的一部分，能够帮助我们解决复杂的计算问题；③算法作为 一种思想，能锻炼我们的思维，使思维变得更清晰、更有逻辑。
6
计算理论 计算模型
2.2 计算理论
Hale Waihona Puke 计算理论：关于计算和计算机械的数学理论， 它研究计算的过程与功效。
计算理论主要包括算法、算法学、计算复杂 性理论、可计算性理论、自动机理论和形式语言 理论等等。
5
计算理论 计算模型
2.1 计算的几种视角
算法：为解决一个特定的问题所采取确定的有限步骤。 计算机用于解决数值计算，如科学计算中的数值积分、解线 性方程等计算方法，就是数值计算的算法。 计算机用于解决非数值计算，如用于管理、文字处理、图像 图形等的排序、分类和查找，就是非数值计算的算法。
算法的组成：操作、数据。 这些操作包括加、减、乘、除和判断等，并按顺序、分支、 循环等控制结构所规定的次序执行。 数据是指操作对象和操作结果，包括布尔值、字符、整数和 实数等；以及向量、记录、集合、树和图以及声音等。
➢ 图灵给出的可计算性定义：能够在图灵机上 执行的过程（通常又称算法的过程）。
➢ 图灵之所以能取得成功，是他采用了算法思 维来研究计算的过程，从而揭示可计算性的 概念。
➢ 算法思维与目前在计算机上运行的程序之间 有着密切的关系，从而使他的理论受到重视 并被广泛使用。
13
计算理论 计算模型
2.2 计算理论
问题求解：虽然某一问题可能找到不同的算法或 方法，但是否可以计算取决于算法的存在性和计算的 复杂性，也就是说，取决于是否存在可求解的算法。
8
计算理论 计算模型
2.2 计算理论
计算思维的三大任务：问题求解、系统设计、 人类行为的理解。
计算理论 计算模型
2.2 计算理论
2.2.2 可计算性理论
➢ 可计算性理论：研究计算的一般性质的数 学理论。
科学计算的过程：
实际问题
数学模型
计算方法
计算结果
程序设计
如对气象资料的汇总、加工并生成天气图像， 其计算量大且时限性强，要求计算机能够进行高速 运算，以便对天气做出短期或中期的预报。
3
计算理论 计算模型
2.1 计算的几种视角
2.1.2 逻辑与计算
逻辑学有三大源泉：①以亚里士多德的词项逻辑和斯多 亚学派的命题逻辑为代表的古希腊逻辑。
3、可计算性理论的主要内容
图灵机：用于精确描述算法的特征。可以用图灵 机来计算其值的函数是可计算函数，找不到图灵 机来计算其值的函数是不可计算函数。
λ演算：它是一种定义函数的形式演算系统。该 系统引进λ记号以明确区分函数和函数值，并把 函数值的计算归结为按照一定规则进行一系列演 算和转换。
14
计算理论 计算模型
7
计算理论 计算模型
2.2 计算理论
2.2.1 计算与问题求解
计算是依据一定的法则对有关符号串的变换过程。 抽象地说，计算的本质就是递归。
直观描述：计算是从已知符号开始，一步一步地 改变符号串，经过有限步骤，最终得到一个满足预定 条件的符号串的过程。这样一种有限的符号串变换过 程与递归过程是等价的。
2.1 计算的几种视角
2.1.3 算法与计算
从不同角度看，算法的定义有多种： 从哲学角度看：算法是解决一个问题的抽象行为序列。 从抽象层次看：算法是一个将输入转化为输出的计算步骤序列 从技术层面看：算法是接收输入并产生输出的计算过程。
简而言之，算法就是计算的办法或法则。
算法无处不在，每个人每天都在 使用不同的算法来活出自己的人生。 比如你去食堂买饭会选择一个较短的 队列，而有人则可能选择一个推进速 度更快的队列。
➢ 可计算性的定义应算是一个哲学定义。
➢ 如果存在一个机械的过程，对给定的一个 输入，能在有限步内给出答案，那么这个 问题是可计算性的。
➢ 定义：凡可用某种程序设计语言描述的问 题都是可计算性问题。
➢ 特性：确定性、有限性、机械性、可执行 性、终止性。
12
计算理论 计算模型
2.2 计算理论
2.可计算性的定义和特性
②以先秦名辩学为代表的古中国逻辑。 ③以正理论和因明学为代表的古印度逻辑。
逻辑是研究推理的学科，人们可以把推理看成是对符号 的操作，即符号演算。
利用数学方法来研究推理的规律称为数理逻辑。为什么 要研究数理逻辑呢？我们知道要使用计算机，就要有程序。
程序＝算法＋数据结构，而算法＝逻辑＋控制
4
计算理论 计算模型
计算理论 计算模型
2.1 计算的几种视角
2.1.1 计数与计算 手指、石头、结绳计数，算筹计算
2
计算理论 计算模型
2.1 计算的几种视角
许多计算领域的求解问题，如计算物理学、计算力 学、计算化学和计算经济学等都可以归结为数值计算问 题，而数值计算方法是一门与计算机应用紧密结合的、 实用性很强的数学课程。
1935
邱奇提出 λ转换演算
1936
哥德尔等定 义递归函数
1936 1943
图灵和波斯特 各自提出抽象
计算机模型
1951
Mapkob定义 正规算法
陆续证明，上述这些不同计算模型(算法精确化定义模 式)的计算能力都是一样的，即它们是等价的。
11
计算理论 计算模型
2.2 计算理论
2.可计算性的定义和特性
2.2 计算理论
丘奇-图灵论题：丘奇说，λ可定义函数类与直观 可计算函数类相同。图灵说，图灵机可计算函数 类与直观可计算函数类相同。因此可以说，图灵 机可计算函数类与λ可定义函数类相同。
原始递归函数：规定少量直观可计算的函数为原 始递归函数，原始递归函数的合成仍然是原始递 归函数，可以由已知原始递归函数简单递归计算 出函数值的函数仍然是原始递归函数。
计算理论 计算模型
2.2 计算理论
4.可计算理论的意义
➢ 可计算性理论的基本思想、概念和方法被 广泛应用于计算科学的各个领域。
➢ 由于计算与算法联系在一起，因此，可计 算性理论又称算法理论。
10
计算理论 计算模型
2.2 计算理论
1.可计算理论的发展
可计算理论起源于对数学基础问题的研究。从20世纪30年 代开始，为了讨论所有问题是否都有求解的算法，数学家和逻 辑学家从不同角度提出了几种不同的算法概念精确化定义。
为什么学习算法：①算法是计算机的灵魂；②算法是数学机 械化的一部分，能够帮助我们解决复杂的计算问题；③算法作为 一种思想，能锻炼我们的思维，使思维变得更清晰、更有逻辑。
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计算理论 计算模型
2.2 计算理论
Hale Waihona Puke 计算理论：关于计算和计算机械的数学理论， 它研究计算的过程与功效。
计算理论主要包括算法、算法学、计算复杂 性理论、可计算性理论、自动机理论和形式语言 理论等等。
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计算理论 计算模型
2.1 计算的几种视角
算法：为解决一个特定的问题所采取确定的有限步骤。 计算机用于解决数值计算，如科学计算中的数值积分、解线 性方程等计算方法，就是数值计算的算法。 计算机用于解决非数值计算，如用于管理、文字处理、图像 图形等的排序、分类和查找，就是非数值计算的算法。
算法的组成：操作、数据。 这些操作包括加、减、乘、除和判断等，并按顺序、分支、 循环等控制结构所规定的次序执行。 数据是指操作对象和操作结果，包括布尔值、字符、整数和 实数等；以及向量、记录、集合、树和图以及声音等。
➢ 图灵给出的可计算性定义：能够在图灵机上 执行的过程（通常又称算法的过程）。
➢ 图灵之所以能取得成功，是他采用了算法思 维来研究计算的过程，从而揭示可计算性的 概念。
➢ 算法思维与目前在计算机上运行的程序之间 有着密切的关系，从而使他的理论受到重视 并被广泛使用。
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计算理论 计算模型
2.2 计算理论
问题求解：虽然某一问题可能找到不同的算法或 方法，但是否可以计算取决于算法的存在性和计算的 复杂性，也就是说，取决于是否存在可求解的算法。
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计算理论 计算模型
2.2 计算理论
计算思维的三大任务：问题求解、系统设计、 人类行为的理解。
计算理论 计算模型
2.2 计算理论
2.2.2 可计算性理论
➢ 可计算性理论：研究计算的一般性质的数 学理论。
科学计算的过程：
实际问题
数学模型
计算方法
计算结果
程序设计
如对气象资料的汇总、加工并生成天气图像， 其计算量大且时限性强，要求计算机能够进行高速 运算，以便对天气做出短期或中期的预报。
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计算理论 计算模型
2.1 计算的几种视角
2.1.2 逻辑与计算
逻辑学有三大源泉：①以亚里士多德的词项逻辑和斯多 亚学派的命题逻辑为代表的古希腊逻辑。
3、可计算性理论的主要内容
图灵机：用于精确描述算法的特征。可以用图灵 机来计算其值的函数是可计算函数，找不到图灵 机来计算其值的函数是不可计算函数。
λ演算：它是一种定义函数的形式演算系统。该 系统引进λ记号以明确区分函数和函数值，并把 函数值的计算归结为按照一定规则进行一系列演 算和转换。
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计算理论 计算模型
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计算理论 计算模型
2.2 计算理论
2.2.1 计算与问题求解
计算是依据一定的法则对有关符号串的变换过程。 抽象地说，计算的本质就是递归。
直观描述：计算是从已知符号开始，一步一步地 改变符号串，经过有限步骤，最终得到一个满足预定 条件的符号串的过程。这样一种有限的符号串变换过 程与递归过程是等价的。
2.1 计算的几种视角
2.1.3 算法与计算
从不同角度看，算法的定义有多种： 从哲学角度看：算法是解决一个问题的抽象行为序列。 从抽象层次看：算法是一个将输入转化为输出的计算步骤序列 从技术层面看：算法是接收输入并产生输出的计算过程。
简而言之，算法就是计算的办法或法则。
算法无处不在，每个人每天都在 使用不同的算法来活出自己的人生。 比如你去食堂买饭会选择一个较短的 队列，而有人则可能选择一个推进速 度更快的队列。
➢ 可计算性的定义应算是一个哲学定义。
➢ 如果存在一个机械的过程，对给定的一个 输入，能在有限步内给出答案，那么这个 问题是可计算性的。
➢ 定义：凡可用某种程序设计语言描述的问 题都是可计算性问题。
➢ 特性：确定性、有限性、机械性、可执行 性、终止性。
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计算理论 计算模型
2.2 计算理论
2.可计算性的定义和特性
②以先秦名辩学为代表的古中国逻辑。 ③以正理论和因明学为代表的古印度逻辑。
逻辑是研究推理的学科，人们可以把推理看成是对符号 的操作，即符号演算。
利用数学方法来研究推理的规律称为数理逻辑。为什么 要研究数理逻辑呢？我们知道要使用计算机，就要有程序。
程序＝算法＋数据结构，而算法＝逻辑＋控制
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计算理论 计算模型
计算理论 计算模型
2.1 计算的几种视角
2.1.1 计数与计算 手指、石头、结绳计数，算筹计算
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计算理论 计算模型
2.1 计算的几种视角
许多计算领域的求解问题，如计算物理学、计算力 学、计算化学和计算经济学等都可以归结为数值计算问 题，而数值计算方法是一门与计算机应用紧密结合的、 实用性很强的数学课程。
1935
邱奇提出 λ转换演算
1936
哥德尔等定 义递归函数
1936 1943
图灵和波斯特 各自提出抽象
计算机模型
1951
Mapkob定义 正规算法
陆续证明，上述这些不同计算模型(算法精确化定义模 式)的计算能力都是一样的，即它们是等价的。
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计算理论 计算模型
2.2 计算理论
2.可计算性的定义和特性
2.2 计算理论
丘奇-图灵论题：丘奇说，λ可定义函数类与直观 可计算函数类相同。图灵说，图灵机可计算函数 类与直观可计算函数类相同。因此可以说，图灵 机可计算函数类与λ可定义函数类相同。
原始递归函数：规定少量直观可计算的函数为原 始递归函数，原始递归函数的合成仍然是原始递 归函数，可以由已知原始递归函数简单递归计算 出函数值的函数仍然是原始递归函数。
计算理论 计算模型
2.2 计算理论
4.可计算理论的意义
➢ 可计算性理论的基本思想、概念和方法被 广泛应用于计算科学的各个领域。