排列组合的解题方法一对一讲义(重庆书之香)
排列组合讲义
排列组合方法篇一、两个原理及区别二、排列数公式三、组合数公式四、排列数与组合数的关系五、二项式定理公式：六、排列组合应用排列组合解法特殊元素优先排； 合理分类与分步； 先选后排解混合； 正难则反用转化； 相邻问题来捆绑； 间隔插空处理法; 定序需要用除法； 分排问题直接法； 集团问题先整体； 有的问题选模型。
○1排列数公式 m n A=)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. ○2排列恒等式 （1）11m m n n A nA--=;（2）11m m m n n nAA mA-+=+.○3会推以下恒等式 （1）1(1)mm nnA n m A -=-+; （2）1m mnn n A A n m-=-; （3）11nn n nn n nA A A ++=-; （4）1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.○1组合数公式 mn C =m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). ○2组合数的两个性质 （1）m n C =m n n C - ; （2）m n C +1-m n C =m n C 1+. 注：规定10=n C . 1.分类计数原理(加法原理) 12n N m m m =+++ 2.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯m mn n A m C =⋅！. (1)0111()......n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++ *()n N ∈ (2)1k n k k k n T C a b -+= （3）∑=nr rnC=n2(4)13502412n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=.解决排列组合一般思路: 1.审题要清2.分步还是分类3.排列还是组合4.牢记右侧方法常见题型归类及决策：一.特殊元素和特殊位置优先策略1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 位置分析法和元素分析法2、有7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略1. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.乙甲丁丙2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。
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果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42 2. 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法
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六.环排问题线排策略 例 6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人
A
4 4
并从此位置把圆形展成直线其余
1
置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两 端的花盆里，问有多少不同的种法？
二.相邻元素捆绑策略 例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合
A
5 5
A
4 6
种
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两 端
排列组合讲义（含答案）
排列组合讲义（含答案）排列组合、⼆项式定理、参数⽅程、极坐标.⼀、排列组合：主⼲⽅法：特殊优先，分开插空，相邻捆绑，正难则反，先选后排，分类穷举，定序扣数，分组分堆.1.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待⼯作，每个场馆⾄少分配⼀名志愿者的⽅案种数为（）A. 540B. 300C. 180D. 1502. 某⼯程队有6项⼯程需要单独完成，其中⼯程⼄必须在⼯程甲完成后才能进⾏，⼯程丙必须在⼯程⼄完成后才能进⾏，有⼯程丁必须在⼯程丙完成后⽴即进⾏。
那么安排这6项⼯程的不同排法种数是。
（⽤数字作答）3. 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项⽬,且在同⼀个城市投资的项⽬不超过2个,则该外商不同的投资⽅案有 ( )A.16种B.36种C.42种D.60种4. 3张卡⽚的两⾯分别写有1和2，3和4，5和6，将这三张卡⽚任意拼盘，可以组成多少个不同的三位数？_________.5.现从男.⼥共8名候选学⽣中选出2名男⽣,2名⼥⽣分别参加全校资源、⽣态、环保三个夏令营,且每个夏令营⾄少⼀⼈参加，已知共有1080种不同的参加⽅案.则候选的8位学⽣的构成情况是( )A.2名男⽣、6名⼥⽣B.6名男⽣、2名⼥⽣C.4名男⽣、4名⼥⽣D.5名男⽣、3名⼥⽣6.5名乒乓球队员中,有2名⽼队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体⽐赛,则⼊选的3名队员中⾄少有⼀名⽼队员,且1、2号中⾄少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)7. 有4张分别标有数字1，2，3，4的红⾊卡⽚和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝⾊卡⽚，从这8张卡⽚中取出4张卡⽚排成⼀⾏．如果取出的4张卡⽚所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（⽤数字作答）．8.某⼈有4种颜⾊的灯泡（每种颜⾊的灯泡⾜够多），要在如题图所⽰的6个点A 、B 、C 、A 1、B 1、C 1上各装⼀个灯泡，要求同⼀条线段两端的灯泡不同⾊，则每种颜⾊的灯泡都⾄少⽤⼀个的安装⽅法共有种（⽤数字作答）.例8图A BC 1A1B练习：如图，⽤四种不同颜⾊给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂⾊，要求每个点涂⼀种颜⾊，且图中每条线段的两个端点涂不同颜⾊，则不同的涂⾊⽅法有（A ）288种（B ）264种（C ）240种（D ）168种答案：例1.D ；例2.20；例3.D ；例4.48；例5.D ；例6.48.例7.432.例8.216⼆、⼆项式定理：1.若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（）A ．3B ．6C ．9D ．122. 在()()1n x n N *+∈的⼆项展开式中，若只有5x 的系数最⼤，则n =A ．8B . 9 C. 10 D .113.已知n 展开式中，各项系数的和与其各项⼆项式系数的和之⽐为64，则n 等于（）Ａ．4Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．7 4.设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则01211a a a a ++++ 的值为（）Ａ．2- Ｂ．1-Ｃ．1 Ｄ．2 5. 如果2323n x x ??- ??的展开式中含有⾮零常数项，则正整数n 的最⼩值为（）Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．106. （1+2x 2）(x －1x )8的展开式中常数项为。
((完整版))排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结),推荐文档
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的n 1m 2m 方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：n n m 12nN m m m =+++ 种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，n 1m 2m …，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：n n m 12nN m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合讲解 ppt课件
结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,
可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为
一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元
解 43人中任抽5人的方法有C 45种3 ,正副班长,团支部书
记都不在内的抽法有 种C 45,0所以正副班长,团支部书记至
少有1人在内的抽法有
种. C453 C450
结论6 排除法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的
反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中排
除.
2021/2/5
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• 练习： 有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种 数．
（1）分为两组，一组7人，一组5人； （2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人； （3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人； （4）分为甲、乙两组，每组6人； （5）分为两组，每组6人； （6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人； （7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人； （8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人； （9）分为甲、乙、丙三组，每组4人； （10）分为三组，每组4人．
的复杂性.
解数学不之加前任考何”限,与制“条数件学,整安个排排在法语有文之种A前99 ,“考语”文的安排排法在是
相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有
1 2
种A 99 .
结论5 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与
否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出
全体,就可以得到所求.
排列组合整理讲义
排列组合问题一、知识点：分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法二、解题思路：解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：特殊优先法对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个.（答案：30个）解答：当末尾是0、2、4时，这个三位数是偶数。
——————当末尾是0时，一共有4×3=12种方法。
当末尾是2或4时，一共有2×3×3=18种方法。
所以一共有12+18=30种方法。
科学分类法对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生例如：从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_______种.（答案：350）解答：C(6,2)×C(5,3)+C(6,3)×C(5,2)=350种插空法解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______.(答案:3600)解答：分步计算：第一步：先排其它5人，一共有A(5,5)=120种方法，第二步：5个人一共有6个空隙，从这6个空隙中任选2个进行排列，一共有A(6,2)=30种方法。
第49讲-排列与组合(讲义版)
第49讲排列与组合一、考情分析1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.二、知识梳理1.排列与组合的概念2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.3.排列数、组合数的公式及性质[微点提醒]1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.2.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.三、经典例题考点一排列问题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，女生必须站在一起；(4)全体排成一排，男生互不相邻；(5)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；(6)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.解(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种).(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种).(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种).(4)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种).(5)法一(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种).法二(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种).(6)法一(特殊元素优先法)甲在最右边时，其他的可全排，有A66种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A15种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有A15种，其余人全排列，只有A55种不同排法，共有A66＋A15A15A55＝3 720.法二(间接法)7名学生全排列，只有A77种方法，其中甲在最左边时，有A66种方法，乙在最右边时，有A66种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A55种方法，故共有A77－2A66＋A55＝3 720(种).规律方法排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.考点二组合问题【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984(种).∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2 100(种).∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种).∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.(5)选取3种的总数为C335，选取3种假货有C315种，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090(种).∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.规律方法组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.考点三 分组、分配问题【例3】 (1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.(2)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( )A.80种B.90种C.120种D.150种(3)A ，B ，C ，D ，E ，F 六人围坐在一张圆桌上开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B ，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有( )A.24种B.30种C.48种D.60种解析 (1)先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90种分派方法. (2)分两类：一类，第一步将5名老师按2，2，1分成3组，其分法有C 25C 23C 11A 22种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有C 25C 23C 11A 22·A 33＝90种分派方法； 另一类，第一步将5名老师按3，1，1分成3组，其分法有C 35C 12C 11A 22种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有C 35C 12C 11A 22A 33＝60种分派方法. 所以不同的分派方法的种数为90＋60＝150(种).(3)B ，C 二人必须坐相邻的两把椅子，有4种情况，B ，C 可以交换位置，有A 22＝2种情况；其余三人坐剩余的三把椅子，有A 33＝6种情况，故共有4×2×6＝48种情况.答案 (1)90 (2)D (3)C规律方法 1.对于整体均分问题，往往是先分组再排列，在解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n (n 为均分的组数)，避免重复计数.2.对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！.3.对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类讨论.在每一类的计数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列问题还是组合问题.[方法技巧]1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.2.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.四、课时作业1．（2020·永安市第一中学高三开学考试）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种2．（2019·湖北武汉·高三其他（文））用0，l，2，3，4可以组成数字不重复的两位数的个数为（）A．15B．16C．17D．183．（2020·重庆市万州第二高级中学高二开学考试）将5封信投入3个邮筒，不同的投法有（）A．35种B．53种C．3种D．15种4．（2020·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校高三二模（理））为了落实“精准扶贫”工作，县政府分派5名干部到3个贫困村开展工作，每个贫困村至少安排一名干部，则分配方案的种数有（）A．540 B．240 C．150 D．1205．（2020·江苏宿迁·高二期中）把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（）A．12种B．18种C．24种D．36种6．（2020·武威第六中学高二期末（理））某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（）A．6种B．12种C．18种D．24种7．（2020·岑溪市第一中学高二月考）我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周牌算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等5部专著是产生于魏晋南北朝时期的重要数学文献，某中学拟从这5部专著中分成两组（一组2部，一组3部）作为“数学文化”课外阅读教材，则所选专著中《九章算术》《海岛算经》恰好在同一组的概率为（）A．15B．25C．35D．1108．（2020·湖北云梦·高二月考）从某学习小组的4名男生和4名女生中任意选取3名学生进行体能检测，其中至少要选到男生与女生各一名，则不同的选取种数为（）．A．96 B．48 C．72 D．369．（2020·湖北武汉·高二期中）从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A．6 B．12 C．18 D．2410．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高二月考）现有7件互不相同的产品，其中有4件正品，3件次品，每次从中任取一件测试，直到3件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有（）种. A．1080B．72C．432D．86411．（2020·四川成都·月考（理））美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲､乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（）种A．96 B．120 C．180 D．21612．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高三月考（理））甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，每人只能选择一个景点且甲、乙不能同去一个景点，则不同的选择方案的种数是（）A．54B．36C．27D．2413．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（理））将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有一个小球，且每个盒子里的小球个数都不相同，则不同的放法有A．15种B．18种C．19种D．21种14．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高三月考（理））若把单词“error"的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（）A．17 B．18 C．19 D．2015．（2020·江苏徐州·高三月考）某大学4名大学生利用假期到3个山村参加基层扶贫工作，每名大学生只去1个山村，每个山村至少有1人去，则不同的分配方案共有（）A．6种B．24种C．36种D．72种16．（2020·北京高二期末）从4个人中任选3个人分别去完成3项不同的工作，则不同的安排方法有（）A．12种B．24种C．36种D．64种17．（2020·北海市教育教学研究室高二期末（理））若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种18．（2020·江苏省溧阳中学高三开学考试）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种19．（2020·甘肃省会宁县第二中学高二期中（理））把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在下图图案中的1，2，3，4，5，6，7所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法为（）A．2680种B．4320种C．4920种D．5140种20．（2020·全国高二单元测试）有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）A．150B．180C．200D．28021．（2020·天津滨海新·高三其他）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种.22．（2020·浙江高三其他）已知,A B两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，A不排两端，3个大人有且只有两个相邻，则不同的排法种数有．23．（2020·河北高三月考）2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年，某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出8名农技人员（5男3女），并分成两组，分配到2个贫困村进行扶贫工作，若每组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同的分配方案共有______种（用数字填写答案）．24．（2020·山西高三月考（理））某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念.已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有______种.25．（2019·河南中牟·高二期中（理））有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生．现从3男3女共6名学生中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是__________．（用具体数字作答）26．（2019·浙江省杭州第二中学高三一模）10次投篮中，投中5次，其中恰有一个2连中和一个3连中的情形有_________种(用数字作答).27．（2020·越秀·广东实验中学高三月考）大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的8个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有____种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．28．（2020·上海市七宝中学高三月考）我校5位同学报考了北京大学“强基计划”第I专业组，并顺利通过各项考核，已知5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类､物理学类､力学类这三个专业中的某一个专业，则这三个专业都有我校学生的概率是__________(结果用最简分数表示).29．（2020·四川省新津中学高三开学考试（理））学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．30．（2020·重庆市第七中学校高二月考）从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是________.。
排列组合复习课解排列组合问题的常用技巧课件
交通安排
在城市中选择最佳的交通 路径，涉及排列组合中的 排列问题。
彩票中奖
计算彩票中奖的概率，涉 及排列组合中的组合问题。
排列组合在计算机科学中的应用
算法设计
计算机程序设计中，算法 的复杂度分析涉及排列组 合中的计算。
数据结构
在数据结构中，对数据的 排列和组合涉及排列组合 中的相关知识。
加密算法
密码的生成和破解，涉及 排列组合中的排列和组合 问题。
2023
REPORTING
排列组合复习课：解 排列组合问题的常用 技巧
• 排列组合基本概念 • 排列组合问题的常用解题技巧 • 排列组合问题中的计数原理 • 排列组合问题中的实际应用 • 排列组合问题的模拟试题与解析
2023
PART 01
排列组合基本概念
REPORTING
排列的定义与计算公式
排列的定义
反面思考法
总结词
在解决排列组合问题时，有时候从正面思考比较困难，可以采用反面思考法来解决问题。
详细描述
反面思考法是一种常用的解题技巧，它主要用于解决从正面思考比较困难的问题。具体来说，反面思考法是通过 考虑问题的反面情况来解决问题。这种方法特别适用于涉及对立事件或不可能事件的问题，它可以简化计算过程 并提高准确性。
分步乘法计数原理
要点一
总结词
分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基本方法之一， 其核心思想是将问题按照不同的步骤分为若干个小的步骤， 然后分别计算每个步骤的数量，最后将各个步骤的数量相 乘得到总数量。
要点二
详细描述
分步乘法计数原理的步骤是首先确定问题的不同步骤，然 后对每一步进行计数，最后将各个步骤的计数结果相乘。 这个原理在排列组合问题中广泛应用，例如在解决排列问 题、组合问题以及概率问题时非常有效。
重庆中职 排列组合解题技巧和策略(最新版)
一．运用两个基本原理例1．n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？例2．同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。
二．特殊元素（位置）的“优先安排法”：特殊优先，一般在后例1．用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。
A．24个 B.30个 C.40个 D.60个例2．1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法（）种．例3．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有（）种.例4．8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？三．相邻问题用捆绑法：例5 四对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种？例6．有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种．例7．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？例8．8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？例9． 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？四．不相邻问题用“插空法”：例10．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。
这样的八位数共有( )个．例11．4男4女站成一行，男女相间的站法有多少种？例12．排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？例13．5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？例14．马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？五．顺序固定用“除法”：例16．6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？例17．4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。
排列组合新讲义
1.排列组合新讲义一、排列组合定义1、什么是C公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列（即不排序）。
例如：编号1～3的盒子，我们找出2个来使用，这里就是运用组合而不是排列，因为题目只是要求找出2个盒子的组合。
即C（3，2）＝32、什么是P或A公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列(即排序)。
例如：1～3，我们取出2个数字出来组成2位数，可以是先取C（3，2）后排P22，就构成了C（3，2）×P（2，2）＝A（3，2）3、A和C的关系事实上通过我们上面2个对定义的分析，我们可以看出的是，A比C多了一个排序步骤，即组合是排列的一部分且是第一步骤。
4、计算方式以及技巧要求组合：C（M，N）＝M！÷（N！×（M－N）！）条件：N<=M排列：A（M，N）＝M！÷（M－N）！条件：N<=M为了在做排列组合的过程中能够对速度有必要的要求，我需要大家能够熟练的掌握1～7的阶乘，当然在运算的过程中，我们要学会从逆向思维角度考虑问题，例如C（M，N）当中N取值过大，那么我们可以看M－N的值是否也很大。
如果不大。
我们可以求C（M，[M－N]），因为C（M，N）＝C（M，[M－N]）二、排列组合常见的恒等公式1、C（n，0）＋C（n，1）＋C（n，2）＋……＋C（n，n）＝2^n2、C（m，n）＋C（m，n＋1）＝C（m＋1，n＋1）针对这2组公式我来举例运用(1)有10块糖，假设每天至少吃1块，问有多少种不同的吃法？解答：C（9，0）＋C（9，1）＋……＋C（9，9）＝2^9=512(2)，公司将14副字画平均分给甲乙筛选出参加展览的字画，按照要求，甲比乙多选1副，且已知甲按照要求任意挑选的方法与乙任意挑选的方法之和为70，求，甲挑选了多少副参加展览？C（8，n）＝70 n＝4 即得到甲选出了4副。
三、排列组合的基本理论精要部分（分类和分步）(1)、加法原理（实质上就是一种分类原则）：一个物件，它是由若干个小块组成的，我们要知道这个物件有多重，实际上可以分来算，比如，我们知道每一个小块的重量，然后计算总和就等于这个物件的重量了，这就是我们要谈的分类原则。
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采得百花成蜜时 排列组合解题方法 为谁辛苦为谁甜
I
排列组合的解题方法
基本解题技巧
直接法
例1、用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条
件的四位数各有多少个？
（1）数字1不排在个位和千位
（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
同步练习一
由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
“至少”问题间接法
例2、从4 台甲型和5 台乙型电视机中任取出3 台，其中至少要甲型和乙型电视
机各一台，则不同取法共有（ ）
A．140 种 B．80 种 C．70 种 D．35 种
相离问题插空法
例3、七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数（ ）
A．1440 B．3600 C．4820 D．4800
同步练习三
在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，
有多少中插入方法？
定序问题缩倍法
例4、A、B、C、D、E 五个人并排站成一排，如果B 必须站A 的右边(A、B 可
不相邻)，那么不同的排法种数有 。
同步练习四
A、B、C、D、E 五个人并排站成一排，如果B 必须站A 的右边，C必须站在A
的右边，那么不同的排法有 。
采得百花成蜜时 排列组合解题方法 为谁辛苦为谁甜
II
相邻问题并组法
例5、A、B、C、D、E 五人并排站成一排，如果A、B 必须相邻且B在A 的右
边，那么不同的排法种数有（ ）
A．60 种 B．48 种 C．36 种 D．24 种
标号排位问题分步法
例6、将数字1，2，3，4 填入标号为1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，
则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）
A．6 种 B．9 种 C．11 种 D．23 种
有序分配问题逐分法
例7、有甲、乙、丙三项任务，甲需2 人承担，乙丙各需1 人承担，从10 人中选
出4 人承担这三项任务，不同的选法总数有( )
A．1260 种 B．2025 种 C．2520 种 D．5040 种
多元问题分类法
例8、由数字0，1，2，3，4，5 组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小
于十位数字的共有（ ）
A．210 个 B．300 个 C．464 个 D．600 个
同步练习八
从1，2，3，…100 这100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7 整除，这
两个数的取法(不计顺序)共有多少种？
交叉问题集合法
例9、从6 名运动员中选出4 个参加4×100m 接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不
跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？
定位问题优先法
例10、1 名老师和4 名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同
采得百花成蜜时 排列组合解题方法 为谁辛苦为谁甜
III
的排法有________种．
多排问题单排法
例11、6 个不同的元素排成前后两排，每排3 个元素，那么不同的排法种数是
（ ）
A．36 B．120 C．720 D．1440．
同步练习十一
8 个不同的元素排成前后两排，每排4 个元素，其中某2 个元素要排在前排，
某1 个元素要排在后排，有多少种排法？
分堆问题
例12、将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？
⑴分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本；
⑵分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本；
⑶分给甲、乙、丙3人，每人2本；
⑷分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本；
⑸分成3堆，每堆2 本；
⑹分给分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本；
⑺分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本.
选排问题先取后排法
例13、四个不同的球放入编号为1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放
法共有________种。
同步练习十三
将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，
则不同的分配方案有（ ）
（A）30种 （B）90种 （C）180种 （D）270种
采得百花成蜜时 排列组合解题方法 为谁辛苦为谁甜
IV
排列与组合易错点
没有理解两个基本原理出错
排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分
类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.
例1、从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装
与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.
同步练习一
在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺
冠情况共有（ ）种.
（A）34A （B）34 （C）43 （D）34C
判断不出是排列还是组合出错
在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，
有顺序的是排列，无顺序的是组合.
例2、 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有
多少种不同的排列方法？
重复计算出错
在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避
免重复计数，产生错误。
例3、5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种
数为（ ）
（A）480 种 （B）240种 （C）120种 （D）96种
同步练习三
某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少
值2天，其不同的排法共有（ ）种.
（A）5040 （B）1260 （C）210 （D）630
遗漏计算出错
采得百花成蜜时 排列组合解题方法 为谁辛苦为谁甜
V
在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。
例4 、用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（ ）
（A）36个 （B）48个 （C）66个 （D）72个
忽视题设条件出错
在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，
不然就可能多解或者漏解.
例5 、如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，
要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色
可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）
未考虑特殊情况出错
在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错.
例6 、现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，
100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ）
(A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种
题意的理解偏差出错
例7 、现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有
（ ）种.
（A）5536AA （B）336688AAA （C）3335AA （D）4688AA
解题策略的选择不当出错
有些排列组合问题用直接法或分类讨论比较困难，要采取适当的解决策略，
如间接法、插入法、捆绑法、概率法等，有助于问题的解决.
例8、 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中
工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）.
（A）16种 （B）18种 （C）37种 （D）48种
1
3
2
5
4