2013合工大(超越考研) 数二题目+答案
2013考研模考测试卷答案(数学二)
2013考研模考测试卷数学二答案答题注意事项1. 考试要求考试时间：180分钟满分：150分.2. 基本信息学员姓名:____________ 分数: ___________一、选择题(1～8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 设)(x f 在0=x 的某邻域内连续,且当0→x 时,)(x f 与m x 为同阶无穷小.又设0→x 时，dt t f x F nx ∫=)()(与k x 为同阶无穷小,其中m 与n 为正整数.则k = ( )(A) .n m + (B) .2m n + (C) .n mn + (D) .1−+n mn 【答案】(C).【解析】由0→x 时)(x f 与m x 为同阶无穷小,知存在常数0≠A ,当0→x 时mAx x f ~)(,从而nmnAx x f ~)(.于是.0lim )(lim )(lim 01100≠=⋅→−−→→k nnm x k n n x k x xx x k An kx nx x f x x F 洛 故.n nm k +=所以选(C).(2) 设()()f x g x 在0x 处可导,且00()()0f x g x ==,0000()()0,(),()f x g x f x g x ′′′′′′=>存在,则 ( )(A)0x 不是()()f x g x 的驻点. (B)0x 是()()f x g x 的驻点,但不是它的极值点. (C)0x 是()()f x g x 的驻点,且是它的极大值点. (D)0x 是()()f x g x 的驻点,且是它的极小值点. 【答案】(D).【解析】设()()()x f x g x ϕ=,则()()()()()x f x g x f x g x ϕ′′′=+,()()()2()()()()x f x g x f x g x f x g x ϕ′′′′′′′′=++,所以0()0x ϕ′=,0x 是()x ϕ的驻点.又由000()2()()0x f x g x ϕ′′′=>,知()x ϕ在0x 点取得极小值.故答案为(D). (3) 函数222sin y x x π=−的不可导点个数为 ( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.【答案】(A).【解析】函数可能的不可导点为x π=±,因为222()sin ()lim 0,x x xy x ππππ−−→−′==− 222()sin ()lim 0,x x xy x ππππ++→−−′==−所以y 在π处可导.又 222()sin ()lim 0,x x xy x ππππ−−→−−−′−==+222()sin ()lim 0,x x xy x ππππ++→−−′−==+所以y 在π−处可导.故y 处处可导.故正确答案为(A). (4) 在下列微分方程中,以xx x x C C y 22221e 21e )(−−++=（其中21,C C 为任意常数）为通解的是 ( ) (A) 244e xy y y −″−′+=. (B) 244e .xy y y −″+′+=(C) 244e x y y y −″+′−=. (D) 244exy y y −″−′−=.【答案】(B).【解析】设所求微分方程为)(x f qy py y =+′+″,其对应齐次微分方程的特征方程的根为221−==r r ,因而特征方程为0)2(2=+r ,即0442=++r r ,故对应的齐次微分方程为044=+′+″y y y ．非齐次微分方程对应的特解为xx 22e 21−,代入微分方程)(44x f y y y =+′+″的左边,得 x x x x x x x x x x x x y y y 2222222222***e e 2)e 4e 4(e 2e 4e 44"−−−−−−−=+−++−=+′+,即得x x f 2e )(−=,所以所求微分方程为x y y y 2e 44−=+′+″．所以选(B).(5) 设),(y x f 有连续的偏导数,且))(,(xdy ydx y x f +−−为函数),(y x u 的全微分,则 ( )(A) 21(,)(,)xf x y yf x y ′′−−=−−. (B) 21(,)(,).xf x y yf x y ′′−−−=−−(C) 21(,)(,).yf x y xf x y ′′−−=−− (D) 21(,)(,)yf x y xf x y ′′−−−=−−. 【答案】(C).【解析】由于dy y x xf dx y x yf du ),(),(−−+−−=,即),,(),,(y x xf y u y x yf x u −−=∂∂−−=∂∂所以222(,)(,)(1)(,)(,),uf x y yf x y f x y yf x y x y∂′′=−−+−−−=−−−−−∂∂ 211(,)(,)(1)(,)(,).uf x y xf x y f x y xf x y y x ∂′′=−−+−−−=−−−−−∂∂由于x y u y x u ∂∂∂∂∂∂22,连续,所以xy u y x u ∂∂∂=∂∂∂22,于是得21(,)(,).yf x y xf x y ′′−−=−−故应选(C). (6) 设222{(,)|,0}D x y x y R R =+≤>,常数0λ≠.则二重积分cos sin ()r r De e rdrd λθλθθ−−∫∫的值 ( ) (A) 为零.(B) 为正. (C) 为负.(D) 当0λ>时为正,当0λ<时为负.【答案】(A).【解析】由极坐标化为直角坐标，及轮换对称性,知()()x y y x DDI e e d e e d λλλλσσ−−=−=−∫∫∫∫, 所以 2()()2()x x y y x xDDDI e e d e e d e e d λλλλλλσσσ−−−=−+−=−∫∫∫∫∫∫. 又因为被积函数是x 的奇函数,区域D 关于y 轴对称,所以()0xx Dee d λλσ−−=∫∫.从而知0I =,故答案为(A).(7) 下列叙述正确的是 ( )(A) 若两个向量组的秩相等，则此两个向量组等价.(B) 若齐次线性方程组0Ax =与0Bx =同解，则矩阵A 与B 的行向量组等价. (C) 若向量组12,,,s ααα"可由向量组12,,,t βββ"线性表示，则必有s t <.(D)若向量组12,,,s ααα"与向量组2,,s αα"均线性相关，则1α必不可由2,,s αα"线性表示. 【答案】(B) .【解析】本题可用排除法，对于(A)选项，例如110α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，101β⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，1α与1β秩相等，但1α与1β并不等价，可排除A 选项；又如111α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠， 212α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，321α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，可由110β⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，201β⎛⎞=⎜⎟⎝⎠线性表示，但32>，可排除(C)选项；又如111α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠， 201α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，310α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，422α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，则1234,,,αααα与234,,ααα均线性相关，且1α可由234,,ααα线性表示，可排除(D)选项，只有(B)选项为正确答案．事实上，易证方程组0Ax =与0A x B ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠同解，则()A r A r B ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，因此B 的行向量组可由A 的行向量组线性表示，同理可证A 的行向量组可由B 的行向量组线性表示，因此A 与B 的行向量组等价．故选(B)(8) 已知210200120,021001010A B ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠，则A 与B ( ) (A) 等价、相似、合同. (B) 不等价、不相似、不合同.(C) 等价、相似、不合同. (D) 等价、不相似、合同. 【答案】(D).【解析】由于()3,()3r A r B ==，所以A 与B 等价.A 与B 均为实对称矩阵，若特征值相同，则A 与B 相似，否则A 与B 不相似.由于()()()()()()()()2102112011311212002102122(1(1101E A E B −−−−−=−−=+=+−−−−+−−−−=−−=−=−−+−−−−λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ所以A 的特征值为1,3,1A =−λ，B的特征值为2,1B =λ，因此A 与B 不相似.由于A 与B 的正负惯性指数是相同的，正惯性指数为2，负惯性指数为1，所以A 与B 合同. 所以选择 (D).二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 设四次曲线432y ax bx cx dx f =++++经过点(0,0),并且点(3,2)是它的一个拐点. 过该曲线上点(0,0)与点(3,2)的切线交于点(2,4).则该四次曲线的方程为y = .【答案】4324284227273x x x x −++. 【解析】曲线432y ax bx cx dx f =++++经过点(0,0),所以0.f = (1)又因为经过点(3,2),所以 3812793 2.|x ya b c d f ==++++= (2)又因为点(3,2)是拐点,所以 233(1262)1081820.||x x y ax bx c a b c ==′′=++=++=(3)又因为经过点(0,0)的切线斜率为422=,所以 320(432)2;||x x y ax bx cx d d ==′=+++== (4)经过点(3,2)的切线斜率为42223−=−−,所以 3233(432)108276 2.||x x y ax bx cx d a b c d ==′=+++=+++=−(5)联立(1)-(5),解得0f =,2d =,43c =,2827b =−,427a =.即求得4324284227273y x x x x =−++. (10) 曲线x x x x y −++=sin 22的斜渐近线方程为 .【答案】.12−−=x y【解析】因为lim limx x y xx x →−∞→−∞=xx x x x x x −++−=−∞→2sin 21lim,2−=lim (2)lim )x x y x x →−∞→−∞+=+limx =limx =,1−=所以斜渐近线方程为：.12−−=x y (11)2225x dx x x −=++∫ .【答案】2131ln(25)arctan 222x x x C +++−+.【解析】222221313ln(25)25252(1)2x dx dx x x dx x x x x x +=−=++−++++++∫∫∫原式2131ln(25)arctan 222x x x C +=++−+. (12) 曲线322y x x x =−++与x 轴所围成的图形的面积A = . 【答案】3712. 【解析】令3220y x x x =−++=,得1,0,2x =−. 当10x −<<时,0y <；当02x <<时,0y >,于是021037(0)12A y dx ydx −=−+=∫∫. (13) 设函数()f u 具有连续导数,且函数(,)z z x y =由方程22()y z xf z y +=−确定,则z zx z x y∂∂+=∂∂ . 【答案】y .【解析】对两边求全微分,得2222()()(22).dy dz f z y dx xf z y zdz ydy ′+=−+−−为书写方便,设22u z y =−,并解出dz 得 ()12().12()12()f u xyf u dz dx dy xzf u xzf u ′+=−′′−− 于是()12()z f u x xzf u ∂=′∂− ,12().12()z xyf u y xzf u ′∂+=−′∂− 从而 .z zxz y x y∂∂+=∂∂(14) 设A 是54×矩阵，B 是四阶矩阵，满足2AB A =，*B 是B 的伴随矩阵．若A 的列向量线性无关，则()*r B= ．【答案】4.【解析】由2AB A =可得(2)A B E O −=，故()(2)4r A r B E +−≤． 由于A 的列向量线性无关，所以()4r A =． 由此可得(2)0r B E −=，即2B E O −=，2E B =． 故()4r B =．由矩阵秩和伴随矩阵秩之间的关系，可得()*4r B=．三、解答题(本题共9小题,满分94分. 请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分10分)已知1,0,(),01,1arctan ,1,1x x f x ax b x x x −<⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪>−⎪⎩在它的定义域上连续,求常数a 和b .【解析】000112lim ()lim lim 2x x x axa f x x x−−−→→→−−===−, …… 3分0lim ()x f x b +→=,1lim ()x f x a b −→=+, …… 5分111lim ()lim arctan 12x x f x x π++→→==−,…… 6分(0)f b =,(1)f a b =+.…… 8分所以()f x 在0x =处连续⇔2a b −=；()f x 在1x =处连续2a b π⇔=+. 解之,a π=,2b π=−.…… 10分(16) (本题满分10分)设()f x 是[],a a −上的连续偶函数(0)a >，且()0f x >，()()d aaF x x t f t t −=−∫，求()F x 在[],a a −上的最小值. 【解析】()()()()()d d x aax F x x t f t t t x f t t −=−+−∫∫ ()()()()()()d d d x x aax x x t f t t x t f t t t x f t t −−−=−+−+−∫∫∫ ()()()()()()d d d d xxxaax x x x t f t t x f t t tf t t t x f t t −−−−=−+−+−∫∫∫∫令t u =−，则()()()()()()d ()d d x x xaa a x t f t t x u f u u x u f u u −−−=+−−=−+∫∫∫ ()()()()()()0d 2d d x xxaaF x x t f t t x f t t t x f t t ∴=−++−−∫∫∫()()02d 2d xxax f t t tf t t =−∫∫…… 4分()()()()()02d 222d x xF x f t t xf x xf x f t t ′=+−=∫∫ …… 6分令()0F x ′=得0x =()()0f x >因又()()()()20200F x f x F f ′′′′==>， …… 8分 故()F x 在0x =处取得极小值. 由于()F x 在()a a −，内可导，且只有一个驻点，所以()F x 在0x =处的极小值即函数的最小值. 此最小值为()() 002d aF tf t t =∫． …… 10分(17) (本题满分10分)求微分方程2xy y x ′′′+=满足初始条件(1)1y =,1(1)2y ′=的特解. 【解析】令p y ′=,则有dp y dx ′′=,原方程化为2dpx p x dx+=再化为21,dp p dx x +=…… …… 3分 解得,2221112211.3dx dx x xC x p e dx C e x dx C x x −⎡⎤∫∫⎡⎤=⋅+⋅=+⋅=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦∫∫ …… 6分 于是12.3C dy x dx x=+ 再分离变量积分得通解,212.6C x y C x=−+ …… 8分 由(1)1y =,1(1),2y ′=得2121211166|x C x C C C x =⎛⎞=−+=−+⎜⎟⎝⎠,且112111.233|x C x C x =⎛⎞=+=+⎜⎟⎝⎠ 解得116C =,21C =.所以满足初始条件(1)1y =,1(1)2y ′=的特解为21*166x y x =−+. …… 10分(18) (本题满分10分)已知(42)(42),(0,0)0dz x dx y dy z =−−+=，求(z z x y =，）在区域2218D x y +≤：上的最大值与最小值.【解析】 由(42)(42),(0,0)0dz x dx y dy z =−−+=,知242,4()zx z x x y xϕ∂=−=−+∂, 又2()(42),()4zy y y y y C yϕϕ∂′==−+=−−+∂，所以2244z x x y y C =−−−+ 又由(0,0)0,0z C ==，所以2244z x x y y =−−− ……4分420420x yz x z y =−=⎧⎨=−−=⎩得驻点(2,2)−. ……6分 设22(,,)4418(18)F x y x y x y λλ=−−++−，由22()420420180x y F x x F y F x y λλλ=+=⎧⎪=−+=⎨⎪=+−=⎩ 得驻点(3,3),(3,3)−−. ……8分 而(2,2)8,(3,3)6,(3,3)42f f f −=−=−=−，则(,)z z x y =在区域22:18D x y +≤上的最大值为8，最小值为-42. ……10分 (19) (本题满分10分)设()22,,u f x y xyz =,函数(),z g x y =由方程()xyzxy ee z t dt z ϕ+−=∫确定,其中f 可微,ϕ连续,且1ϕ≠.求u u xy x y∂∂−∂∂. 【解析】 因132,u z xf y z x f x x ∂∂⎛⎞′′=++⎜⎟∂∂⎝⎠ 232,u z yf x z y f y y ⎛⎞∂∂′′=++⎜⎟∂∂⎝⎠…… 4分在方程()xyzxy ee z t dt z ϕ+−=∫中,令,xy v e z t =+−则,dv dt =−且当t z =时,;xy v e =当xy t e =时,,v z =则上述方程化为().xyze v dv z ϕ=∫……5分 两边对x 求偏导,得()(),xy xyz z z e e y x x ϕϕ∂∂⋅−⋅=∂∂ ()(),1xy xye e y z x z ϕϕ⋅∂=∂− …… 6分同理可得()().1xy xye e xz y z ϕϕ⋅∂=∂− …… 8分将z x ∂∂,z y ∂∂代入u x ∂∂,u y ∂∂的表达式,得()22122.u u x y x f y f x y∂∂′′−=−∂∂ …… 10分 (20) (本题满分11分)设平面区域{}(,)0,0D x y x y ππ=≤≤≤≤,计算积分cos()DI x y d σ=+∫∫.【解析】积分区域关于x y π+=对称,被积函数cos()x y +对于u x y =+满足cos()cos()u u ππ+=−, 所以,1cos()2cos()DD I x y d x y d σσ=+=+∫∫∫∫,其中{}1(,)|,0,0D x y x y x y π=+≤≥≥.…… 3分又因为区域1D 被直线2x y π+=分为12σσ和,1(,)|,0,02x y x y x y πσ⎧⎫=+≤≥≥⎨⎬⎩⎭,2(,)|,0,02x y x y x y πσπ⎧⎫=≤+≤≥≥⎨⎬⎩⎭, 在1σ内cos()0x y +>；在2σ内cos()0x y +<.故122[cos()cos()]I x y d x y d σσσσ=+−+∫∫∫∫…… 6分 1122[2cos()cos()]x y d x y d σσσσσ+=+−+∫∫∫∫…… 8分202[2(1sin )sin ]2.x dx xdx πππ=−+=∫∫…… 11分(21) (本题满分11分)(I) 设k为正整数,42()xkxt e F x dt e −=+∫∫,证明()F x 存在唯一的零点,记为k x ；(II) 证明21limnkn k x→∞=∑存在,且其极限值小于2.【解析】(I)(0)0,F =<∫ (1)分41021()0,t k F dt ke −=+>∫∫ …… 2分故至少存在一个零点记为k x ,10k x k<<.…… 3分又4()0,x kx F x eke −′=> …… 4分故至多存在一个零点.所以正好存在唯一零点k x ,且10k x k<<.…… 5分(II)222112211111,(1)nnn nkk k k k x k k k k ====<=+<+−∑∑∑∑ …… 7分所以2211111((1)1nnk k k k k k ==+=+−−−∑∑111 2.n =+−< …… 9分又因为21n k k x =⎧⎫⎨⎬⎩⎭∑随n 而单调增加,由单调有界定理知,21lim nk n k x →∞=∑存在,其极限值小于2. …… 10分(22) (本题满分11分)线性方程组(a)12341234123420233035240x x x x x x x x x x x x ++−=⎧⎪++−=⎨⎪++−=⎩，(b)124123020x x mx x nx x ++=⎧⎨++=⎩(I)求线性方程组(a)的通解；(II),m n 取何值时，方程组(a)与(b)有非零公共解； (III),m n 取何值时，方程组(a)与(b)同解. 【解析】(I)对(a)的系数矩阵做初等行变换：121112112313011135240000−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠令341,0x x ==，解得121,1x x ==−，()11,1,1,0,Tξ=− 令340,1x x ==，解得123,1x x ==−，()23,1,0,1T ξ=−， 基础解系为：()11,1,1,0,Tξ=−()23,1,0,1Tξ=−.则(a)的通解为112212,,x k k k k ξξ=+为任意常数. …… 3分(Ⅱ)对(a)和(b)的联合方程组的系数矩阵做初等行变换：1211121123130111352401111100111120021112111211011101110000003300200020033000m m n n n n m m nn −−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟→−−−−⎜⎟⎜⎟−−+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟→→−−⎜⎟⎜⎟++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠所以当3n =或2m =−时，联合方程组有非零解，该非零解既满足方程组(a)，又满足方程组(b)，所以该非零解就是方程组(a)与方程组(b)的公共解. …… 7分(Ⅲ)若方程组(a)与(b)同解，则将方程组(a)的基础解系代入(b)中，应该满足(b)中的方程，即110310,2,312030m m n n n −=−+=⎧⎧⇒=−=⎨⎨−+=−=⎩⎩. 因为两方程组系数矩阵秩相等，当2,3m n =−=时，所以方程组(a)与(b)同解. …… 11分 (23) (本题满分11分)设A 为3阶方阵，123,,λλλ是A 的三个不同特征值，对应的特征向量分别为123,,ααα，令123.βααα=++(I)证明2,,A Aβββ线性无关；(II)若3232,AA A βββ=−求A 的特征值，并计算行列式.A E +【解析】(I)令21230k k A k A βββ++=，由22,,1,2,3,i i i i i i A Ai ===αλααλα知()()()2221123211223331122330,k k k ++++++++=αααλαλαλαλαλαλα…… 2分即 ()()()2221213111223221233330,k k k k k k k k k ++++++++=λλαλλαλλα由题设123,,ααα分别是三个不同特征值123,,λλλ的对应特征向量，则必线性无关，即有2121312122322123330,0,0,k k k k k k k k k ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩λλλλλλ…… 4分因其行列式211222233110,1≠λλλλλλ所以1230,k k k ===故2,,A A βββ线性无关. …… 5分 (II) 由()()()()223222,,,,,,32000,,103,012A A A A A A A A A A A A ==−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠βββββββββββββ令()2,,P A A βββ=，则P 可逆，且1000103,012P AP B −⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟−⎝⎠即~.A B ……8分因()()()200132331,012E B −=−−=+−=+−−+λλλλλλλλλλ得B 的三个特征值为1230,3, 1.λλλ==−=由~A B 知，A 的三个特征值也为1230,3, 1.λλλ==−=……10分再由()11,PA E P P AP EB E −−+=+=+知100113 4.011A EB E +=+==−−…… 11分。
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（C）与 x 同阶但不等价无穷小
（A）2
f
(x)
f x是由方程 cosxy ln y x
sin x, x [0, )
2,
（B）1 （C）-1
，
x [ ,2 ]
３．设
４．设函数
F ( x)
（B）比 x 低阶的无穷小
（D）与 x 等价无穷小
1
确定，则
x
f (t)dt 则（
x
x
e
（B） a 2
５．设函数 z y f xy，其中 f 可微，则 x z z （ ）
x
e
，且反常积分
（A） 2 yf '(xy) （B） 2 yf '(xy) （C） 2 f (xy) （D） 2 f (xy)
y x y
6．设 Dk 是圆域 D (x, y) | x2 y 2 1的第 k 象限的部分，记 I k ( y x)dxdy ，则（ ）
1 a 1
（A） a 0,b 2
（C） a 2,b 0
0 0 0
（B） a 0 ， b 为任意常数
（D） a 2 ， b 为任意常数
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
9． lim 2 ln(1 x) x
Aij aij 0(i, j 1,2,3) ，则 A =
三、解答题
15．（本题满分 10 分）
当 x 0 时，1 cos x cos 2x cos 3x 与 ax n 是等价无穷小，求常数 a, n ．
2013-15年考研数学一、二、三答案
2013年考研数学一真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．已知c xxx k x =-→arctan lim0，则下列正确的是 （A ）21,2-==c k （B ）21,2==c k（C ）31,3-==c k （D ）31,3==c k【分析】这是0型未定式，使用洛必达则即可．或者熟记常见无穷小的马克劳林公式则可快速解答．【详解1】c kx x kx x x x x x k x k x kx ==+=--→-→→12012200lim 1lim arctan lim ，所以k ，c k 121==-，即31,3==c k ．【详解2】 因为)(31arctan 33x o x x x +-=，显然331arctan x x x =-，当然有31,3==c k ．应该选（Ｄ） 2．曲面0)cos(2=+++x yz xy x 在点)1,1,0(-的切平面方程为（A ）2-=+-z y x （B ）0=++z y x （C ）32-=+-z y x （D ）0=--z y x【分析】此题考查的是空间曲面在点),,(000z y x M 处的法向量及切平面的方程．其中法向量为()),,(000|,,z y x z y x F F F =．【详解】设x yz xy x z y x F +++=)cos(),,(2，则在点点)1,1,0(-处())1,1,1(|,,000,,(-==z y x z y x F F F ，从而切平面方程为0)1()1()0(=++---z y x ，即2-=+-z y x ．应该选（Ａ）３．设21)(-=x x f ，),2,1(d sin )(210 ==⎰n x x n x f b n π，令∑∞==1sin )(n n x n b x S π，则=⎪⎭⎫⎝⎛-49S（Ａ）43 （Ｂ）41 （Ｃ）41- （Ｄ）43【分析】此题考查的是傅立叶级数的收敛性． 【详解】由条件可知，∑∞=1sin n n x n b π为21)(-=x x f 的正弦级数，所以应先把函数进行奇延拓，由收敛定理可知∑∞==1sin )(n nx n b x S π也是周期为２的奇函数，故41414141)49(-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-f S S S ，应选（Ｃ）．４．设1:221=+y x L ，2:222=+y x L ，22:223=+y x L ，22:224=+y x L 为四条逆时针方向的平面曲线，记)4,3,2,1(32633=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰i dy x x dx y y I i L i ，则{}=4321,,,max I I I I （Ａ）1I （Ｂ）2I （Ｃ）3I （Ｄ）4I 【分析】此题考查的是梅林公式和二重积分的计算． 【详解】由格林公式，⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=i i i D i D L i dxdy y x D S dxdy y x dy x x dx y y I 2)(21326222233． .8343)(43)2(403202222222222R dr r d dxdy y x dxdy y x R R y x R y x πθπ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+ 所以πππ85831=-=I ，248322πππ=⋅-=I ； 在椭圆D ：12222≤+by a x 上，二重积分最好使用广义极坐标计算：πθθθθθθθπππ4)2(cos 4)2(sin 2cos 4sin 21cos )2(222022220222210222222201222222b a ab d ba ab b a ab abrdrr b r a d dxdy y x b y ax +=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+故ππ82523-=I ，πππ222224=-=I ． 显然π224=I 最大．故应选（Ｄ）． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设函数)(x f y =由方程)1(y x e x y -=-确定，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛∞→11lim n f n n ．【详解】当0=x 时，1)0(==f y ，利用隐函数求导法则知1)0('=f ．1)0('1)0(1lim 11lim ==-⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→∞→f nf n f n f n n n ． 10．已知x x x x x xe y xe e y xe e y 2322231,,-=-=-=是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则该方程的通解为 ．【详解】显然x e y y 331=-和x e y y =-32是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由解的结构定理，该方程的通解为x x x xe e C e C y 2231-+=，其中21,C C 为任意常数．11．设⎩⎨⎧+==t t t y t x cos sin sin t 为参数，则==422|πt dx y d ．【详解】t dx dy tdt t dy tdt dx ===,cos ,cos ，t t dxy d sec cos 122==， 所以2|422==πt dx yd ．12．=+⎰∞+x d x x12)1(ln ． 【详解】2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )1(ln 111112=+=+++-=+-=+∞+∞+∞+∞+∞+⎰⎰⎰x x dx x x x x x xd x d x x 三、解答题15．（本题满分10分） 计算⎰10)(dx xx f ，其中⎰+=x dt t t x f 1)1ln()(． 【分析】被积函数中含有变上限积分，所以应该用分部积分法．【详解】π282ln 414|)1ln(4)1ln(4)1ln(2|)(2)(2)(1010110101010-+-=+++-=+-=+-==⎰⎰⎰⎰⎰dx xxx x x d x dx x x x x f x x d x f dx xx f16．（本题满分10分）设数列{}n a 满足条件：)2(0)1(,1,3110≥=--==-n a n n a a a n n ，)(x S 是幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数． （1）证明：0)()(=-''x S x S ； （2）求)(x S 的表达式．【详解】（1）证明：由幂级数和函数的分析性质可知，;)(100∑∑∞=∞=+==n n n n nn x a a x a x S∑∑∑∑∑∞=+∞=+∞=-∞=∞=++=+==+==1110111100)1()1()'()'()('n n n n nn n n n n nn n nn x a n a x a n xna x a a x a x S ；∑∑∑∞=+∞=-+∞=+++=+=++=''02111111)2)(1()1()')1(()('n n n n n n n nn x a n n xa n n x a n a x S ，由条件可得n n a a n n =+++2)2)(1(， 所以)()2)(1()('02x S x a x a n n x S n nn n nn ==++=''∑∑∞=∞=+， 也就有0)()(=-''x S x S ．（2）解：由于,)(100∑∑∞=∞=+==n n n n nn x a a xa x S 所以3)0(0==a S∑∞=+++=111)1()('n n n x a n a x S ，所以1)0('1==a S ，解微分方程1)0(',3)0(,0)()(===-''S S x S x S ， 可得x x e e x S 2)(+=-． 17．（本题满分10分）求函数yx e x y y x f +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3),(3的极值．18．（本题满分10分）设奇函数)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明： （1）存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ；（2）存在)1,1(-∈η，使得1)()(='+''ηηf f ． 【详解】证明：（1）由于)(x f 为奇函数，则0)0(=f ，由于)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在)1,0(∈ξ，使得101)0()1()('=--=f f f ξ．（2）由于)(x f 为奇函数，则)('x f 为偶函数，由（1）可知存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ，且()1'=-ξf ， 令)1)('()(-=x f e x x ϕ，由条件显然可知)(x ϕ在[]1,1-上可导，且0)()(==-ξϕξϕ， 由罗尔定理可知，存在)1,1(),(-⊂-∈ξξη，使得(),0'=ηϕ即1)()(='+''ηηf f ． 19．（本题满分10分）设直线L 过,)0,0,1(A )1,1,0(B 两点，过L 绕Z 轴旋转一周得到曲面∑，曲面∑与平面2,0==z z 所围成的立体为Ω．（1）求曲面∑的方程；（2）求立体Ω的质心坐标． 【详解】（1）直线L 的对称式方程为1111zy x ==--， 设),,(z y x M 为曲面∑上的任意一点，并且其对应于直线L 上的点为),,(0000z y x M ， 由于过L 绕Z 轴旋转一周得到曲面∑，所以有如下式子成立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--+=+=11110002202200z y x y x y x z z ，整理可得，122222+-=+z z y x ，这就是曲面∑的方程． （2）设Ω的质心坐标为()z y x ,,，由对称性，显然0,0==y x ，57310314)122()22(2220231222012220222222==+-+-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-≤++-≤+ΩΩππππdz z z dz z z z dxdy zdzdxdy dzdvzdv z z z y x z z y x ， 所以Ω的质心坐标为()⎪⎭⎫ ⎝⎛=57,0,0,,z y x ．2013年考研数学二真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．设2)(),(sin 1cos παα<=-x x x x ，当0→x 时，()x α （ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小（C ）与x 同阶但不等价无穷小 （D ）与x 等价无穷小 【详解】显然当0→x 时)(~21~)(sin ,21~)(sin 1cos 2x x x x x x x ααα--=-，故应该选（C ）． 2．已知()x f y =是由方程()1ln cos =+-x y xy 确定，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛∞→12lim n f n n （ ）（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 【分析】本题考查的隐函数的求导法则信函数在一点导数的定义．【详解】将0=x 代入方程得1)0(==f y ，在方程两边求导，得01')')(sin(=+-+-yy xy y xy ，代入1,0==y x ，知1)0(')0('==f y ．2)0('22)0()2(lim 212lim ==-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→∞→f nf n f n f n n n ，故应该选（A ）． ３．设⎩⎨⎧∈∈=]2,[,2),0[,sin )(πππx x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(则（ ）（Ａ）π=x 为)(x F 的跳跃间断点． （Ｂ）π=x 为)(x F 的可去间断点． （Ｃ）)(x F 在π=x 连续但不可导． （Ｄ）)(x F 在π=x 可导． 【详解】只要注意π=x 是函数)(x f 的跳跃间断点，则应该是⎰=x dt t f x F 0)()(连续点，但不可导．应选（Ｃ）．４．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-=+-e x xx e x x x f ,ln 11,)1(1)(11αα，且反常积分()dx x f ⎰∞+收敛，则（ ）（A ）2-<α （B ）2>a （C ）02<<-a （D ）20<<α 【详解】⎰⎰⎰∞++-∞++-=e e dx xx x dx dx x f 1111ln 1)1()(αα， 其中⎰⎰---=-10111)1(e e t dt x dxαα当且仅当11<-α时才收敛；而第二个反常积分x x dx xx x eαξαααln lim 11|ln 1ln 111+∞→∞+-∞++-=-=⎰，当且仅当0>a 才收敛． 从而仅当20<<α时，反常积分()dx x f ⎰∞+才收敛，故应选（Ｄ）．５．设函数()xy f x y z =，其中f 可微，则=∂∂+∂∂yz x z y x （ ） （A ）)('2xy yf （B ）)('2xy yf -（C ）)(2xy f x （D ）)(2xy f x- 【详解】)('2)(')(1)(')(22xy yf xy yf xy f xxy f x y xy f x y y x y z x z y x =++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂+∂∂．应该选（A ）． 6．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（ ）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知()ππππππθθθθθθθθ22122110222)1(|cos sin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k kk kk D k d dr r d dxdy x y I k ---+-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰所以ππ32,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9． =⎪⎭⎫⎝⎛+-→xx x x 10)1ln(2lim ． 【详解】21)(21(lim)1ln(lim 101022202)1ln(1lim )1ln(2lim e eex x x x x x x o x x x xx x xx xx x x ===⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--+-→→→→．10．设函数dt e x f x t ⎰--=11)(，则)(x f y =的反函数)(1y f x -=在0=y 处的导数==0|y dydx． 【详解】由反函数的求导法则可知11011|1|--==-==e dxdy dy dx x y ．11．设封闭曲线L 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-=663cos πθπθr t 为参数，则L 所围成的平面图形的面积为 ．【详解】12cos 313cos 2121202662662πθθθπππππ====⎰⎰⎰--dt t d d r A所以．答案为12π．12．曲线上⎪⎩⎪⎨⎧+==21ln arctan ty tx 对应于1=t 处的法线方程为 ．【详解】当1=t 时，2ln 21,4==y x π，1|111|'1221=++===t t t t ty ，所以法线方程为 )4(12ln 21π--=-x y ，也就是042ln 21=--+πx y ．13．已知x x x x x xe y xe e y xe e y 2322231,,-=-=-=是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足1)0(',0)0(==y y 方程的解为 ．【详解】显然x e y y 331=-和x e y y =-32是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由解的结构定理，该方程的通解为x x x xe e C e C y 2231-+=，其中21,C C 为任意常数．把初始条件代入可得1,121-==C C ，所以答案为x x x xe e e y 23--= 三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，求常数n a ,．【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式． 【详解】当0→x 时，)(211cos 22x o x x +-=，)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=，)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-，由于x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，所以2,7==n a ．16．（本题满分10分） 设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x 轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值． 【详解】由微元法可知πππ35320253a dx x dx y V a ax ===⎰⎰；πππ37340762)(2a dx x dx x xf V a ay ===⎰⎰；由条件y x V V =10，知77=a ．17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰Ddxdy x 2． 【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx xx D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18．（本题满分10分）设奇函数)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明： （1）存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ；（2）存在)1,1(-∈η，使得1)()(='+''ηηf f ． 【详解】证明：（1）由于)(x f 为奇函数，则0)0(=f ，由于)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在)1,0(∈ξ，使得101)0()1()('=--=f f f ξ．（2）由于)(x f 为奇函数，则)('x f 为偶函数，由（1）可知存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ，且()1'=-ξf ， 令)1)('()(-=x f e x x ϕ，由条件显然可知)(x ϕ在[]1,1-上可导，且0)()(==-ξϕξϕ， 由罗尔定理可知，存在)1,1(),(-⊂-∈ξξη，使得(),0'=ηϕ即1)()(='+''ηηf f ． 19．（本题满分10分）求曲线)0,0(133≥≥=+-y x y xy x 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离． 【分析】考查的二元函数的条件极值的拉格朗日乘子法． 【详解】构造函数)1(),(3322-+-++=y xy x y x y x L λ令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=-+=∂∂=-+=∂∂10)3(20)3(23322y xy x x y y y Ly x x x L λλ，得唯一驻点1,1==y x ，即)1,1(1M ． 考虑边界上的点，)0,1(),1,0(32M M ；距离函数22),(y x y x f +=在三点的取值分别为1)0,1(,1)1,0(,2)1,1(===f f f ，所以最长距离为2，最短距离为1．20．（本题满分11） 设函数xx x f 1ln )(+=⑴求)(x f 的最小值；⑵设数列{}n x 满足11ln 1<++n n x x ，证明极限n n x ∞→lim 存在，并求此极限．【详解】 （1）22111)('xx x x x f -=-=， 令0)('=x f ，得唯驻点1=x ，当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，函数单调递减；当),1(∞∈x 时，0)('>x f ，函数单调递增． 所以函数在1=x 处取得最小值1)1(=f ． （2）证明：由于11ln 1<++n n x x ，但11ln ≥+nn x x ，所以n n x x 111<+，故数列{}n x 单调递增． 又由于11ln ln 1<+≤+n n n x x x ，得到e x n <<0，数列{}n x 有界．由单调有界收敛定理可知极限n n x ∞→lim 存在．令a x n n =∞→lim ，则11ln 1ln lim 1≤+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→a a x x n n n ，由（1）的结论可知1lim ==∞→a x n n ．21．（本题满分11） 设曲线L 的方程为)1(ln 21412e x x x y ≤≤-=． （1）求L 的弧长．（2）设D 是由曲线L ，直线e x x ==,1及x 轴所围成的平面图形，求D 的形心的横坐标． 【详解】（1）曲线的弧微分为dx xx dx x x dx y dx )1(211411'12+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=， 所以弧长为41)1(2121+=+==⎰⎰e dx x x ds s e ．（2）设形心坐标为()y x ,，则)7(4)32(31271632324324ln 214101ln 21410122---=---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--e e e e e e dy dx dy xdx dxdy xdxdyx x x x x eD D．2013年考研数学三真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）（A ）)()(32x o x o x =⋅ （B ）)()()(32x o x o x o = （C ）)()()(222x o x o x o =+ （D ）)()()(22x o x o x o =+【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0→x 时)()(),()(2332x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+而不是)(2x o 故应该选（D ）． 2．函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】当0ln →x x 时，x x ex xx xln ~11ln -=-，1ln ln limln )1(1lim)(lim 0==+-=→→→x x x x x x x x x f x xx x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点．21ln 2ln limln )1(1lim)(lim 011==+-=→→→xx xx xx x x x f x xx x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点． ∞=+-=+-=-→-→-→xx x x xx x x x f x x x x ln )1(ln limln )1(1lim)(lim 111，所以所以1-=x 不是函数)(x f 的可去间断点．故应该选（C ）．３．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（ ）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知()ππππππθθθθθθθθ22122110222)1(|cos sin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k kk kk D k d dr r d dxdy x y I k ---+-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰所以ππ32,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）． ４．设{}n a 为正项数列，则下列选择项正确的是（ ） （A ）若1+>n n a a ，则∑∞=--11)1(n n n a 收敛；（B ）若∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则1+>n n a a ；（C ）若∑∞=1n na收敛．则存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在；（D ）若存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在，则∑∞=1n na收敛．【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（A ）（B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A ），但少一条件0lim =∞→n n a ，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B ）也不正确，反例自己去构造．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设曲线)(x f y =和x x y -=2在点()0,1处有切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ． 【详解】由条件可知()1)1(',01==f f ．所以2)1('22222)1(221lim 2lim -=-=-+⋅+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→f nn n f n f n n nf n n 10．设函数()y x z z ,=是由方程()xy y z x=+确定，则=∂∂)2,1(|xz． 【详解】设()xy y z z y x F x-+=)(,,，则()1)(),,(,)ln()(,,-+=-++=x z x x y z x z y x F y y z y z z y x F ，当2,1==y x 时，0=z ，所以2ln 22|)2,1(-=∂∂xz． 11．=+⎰∞+x d x x12)1(ln ．【详解】2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )1(ln 111112=+=+++-=+-=+∞+∞+∞+∞+∞+⎰⎰⎰x x dx x x x x x xd x d x x 12．微分方程041=+'-''y y y 的通解为 ． 【详解】方程的特征方程为041=+-λλr，两个特征根分别为2121==λλ，所以方程通解为221)(xe x C C y +=，其中21,C C 为任意常数．三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，求常数n a ,．【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式． 【详解】当0→x 时，)(211cos 22x o x x +-=，)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=，)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-，由于x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，所以2,7==n a ．16．（本题满分10分） 设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x 轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值． 【详解】由微元法可知πππ35032253a dx x dx y V a a x ===⎰⎰；πππ370340762)(2a dx x dx x xf V a a y ===⎰⎰；由条件y x V V =10，知77=a ． 17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰D dxdy x 2．【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx x x D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18．（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为,100060QP -=（P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该的边际利润．（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义． （3）使得利润最大的定价P ． 【详解】（1）设利润为y ，则6000100040)206000(2--=+-=Q Q Q PQ y ， 边际利润为.50040'Q y -= （2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20．（3）令0'=y ，得.40100002000060,20000=-==P Q19．（本题满分10分）设函数()x f 在),0[+∞上可导，()00=f ，且2)(lim =+∞→x f x ，证明（1）存在0>a ，使得();1=a f（2）对（1）中的a ，存在),0(a ∈ξ，使得af 1)('=ξ． 【详解】证明（1）由于2)(lim =+∞→x f x ，所以存在0>X ，当X x >时，有25)(23<<x f ， 又由于()x f 在),0[+∞上连续，且()00=f ，由介值定理，存在0>a ，使得();1=a f （2）函数()x f 在],0[a 上可导，由拉格朗日中值定理， 存在),0(a ∈ξ，使得aa f a f f 1)0()()('=-=ξ．2014年考研数学一真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin += （D ）xx y 12sin+= 2．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点21x x ,及常数10≤≤λ，恒有())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，则曲线是凸的． 显然此题中x x x ===λ,,1021，则=+-)()()(211x f x f λλ)()())((x g x f x f =+-110，而())()(x f x x f =+-211λλ，故当0≤'')(x f 时，曲线是凸的，即())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，也就是)()(x g x f ≥，应该选（C ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≤'')(x f 时，曲线是凸的，从而010==≥)()()(F F x F ，即0≥-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≥，应该选（C ）３．设)(x f 是连续函数，则=⎰⎰---y y dy y x f dy 11102),(（Ａ）⎰⎰⎰⎰---+210011010x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),(（Ｂ）⎰⎰⎰⎰----+010111012x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),((Ｃ）⎰⎰⎰⎰+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020dr r r f d dr r r f d（Ｄ）⎰⎰⎰⎰+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020rdr r r f d rdr r r f d【分析】此题考查二重积分交换次序的问题，关键在于画出积分区域的草图． 【详解】积分区域如图所示如果换成直角坐标则应该是⎰⎰⎰⎰---+xx dy y x f dx dy y x f dx 10101012),(),(，（A ），（B ） 两个选择项都不正确；如果换成极坐标则为⎰⎰⎰⎰+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020rdr r r f d rdr r r f d ．应该选（D ）４．若函数{}⎰⎰-∈---=--ππππdx x b x a x dx x b x a x Rb a 2211)sin cos (min)sin cos (,，则=+x b x a s in c o s 11（Ａ）x sin 2 （Ｂ）x cos 2 （Ｃ）x sin π2 （Ｄ）x cos π2 【详解】注意3232πππ=⎰-dx x ，222πππππ==⎰⎰--dx x dx x sin cos ，0==⎰⎰--dx x x dx x x ππππsin cos cos ， πππ2=⎰-dx x x sin ，所以b b a dx x b x a x πππππ42322232-++=--⎰-)()sin cos ( 所以就相当于求函数b b a 422-+的极小值点，显然可知当20==b a ,时取得最小值，所以应该选（A ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．曲面)sin ()sin (x y y x z -+-=1122在点),,(101处的切平面方程为 ．【详解】曲面)sin ()sin (x y y x z -+-=1122在点),,(101处的法向量为()),,(|,,),,(1121101--=-y x z z ，所以切平面方程为0110112=--+--+-))(())(()(z y x ，即012=---z y x ．10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ． 【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=⎰2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，即x x x f 22-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ．11．微分方程0=-+)ln (ln 'y x y xy 满足31e y =)(的解为 ．【详解】方程的标准形式为x y x y dx dy ln =，这是一个齐次型方程，设xyu =，得到通解为1+=Cx xe y ，将初始条件31e y =)(代入可得特解为12+=x xey ．12．设L 是柱面122=+y x 和平面0=+z y 的交线，从z 轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分⎰=+Lydz zdx ．【详解】由斯托克斯公式⎰⎰⎰∑∂∂∂∂∂∂=++RQ P z y x dxdy dzdx dydz Rdz Qdy Pdx L 可知π===+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑xyD Ldxdy dxdy dzdx dydz ydz zdx ．其中⎩⎨⎧≤+=+∑1022y x z y :取上侧，{}122≤+=y x y x D xy |),(． 三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t x x dtt e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）设函数)(x f y =由方程06223=+++y x xy y 确定，求)(x f 的极值． 【详解】解：在方程两边同时对x 求导一次，得到0223222=++++)(')(xy y y x xy y ， （１）即222232xxy y xyy dx dy ++--=, 令0=dx dy 及06223=+++y x xy y ，得到函数唯一驻点21-==y x ,． 在（１）式两边同时对x 求导一次，得到（022*******=+++++++y y x xy y y x xy y yy ")(')''(把0121=-==)(',,y y x 代入，得到0941>=)("y ，所以函数)(x f y =在1=x 处取得极小值2-=y ． 17．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足xx e y e z yz x z 222224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u x cos =，则)cos ()(y e f u f z x ==，y e u f y e u f xze uf xzx x y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222; y e u f y e u f yz y e u f y z x x xcos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； xx x e y e f e u f yz x z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂ 由条件xx e y e z yz x z 222224)cos (+=∂∂+∂∂，可知 u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程． 对应齐次方程的通解为：u ue C eC u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*．故非齐次方程通解为u e C e C u f u u 412221-+=-)(． 将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 18．（本题满分10分）设曲面)(:122≤+=∑z y x z 的上侧，计算曲面积分：dxdy z dzdx y dydz x )()()(11133-+-+-⎰⎰∑【详解】设⎩⎨⎧≤+=∑11221y x z :取下侧，记由1∑∑,所围立体为Ω，则高斯公式可得 123322222221120(1)(1)(1)(3(1)3(1)1)(33766)(337)(37)4rx dydz y dzdx z dxdy x y dxdydzx y x y dxdydz x y dxdydzd rdr r dz πθπ∑+∑ΩΩΩ-+-+-=--+-+=-++--=-++=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰在⎩⎨⎧≤+=∑11221y x z :取下侧上，0111111133=-=-+-+-⎰⎰⎰⎰∑∑dxdy dxdy z dzdx y dydz x )()()()(， 所以dxdy z dzdx y dydz x )()()(11133-+-+-⎰⎰∑=π4111133-=-+-+-⎰⎰∑+∑dxdy z dzdx y dydz x )()()( 19．（本题满分10分） 设数列{}{}n n b a ,满足2020ππ<<<<n n b a ,，n n n b a a cos cos =-且级数∑∞=1n nb收敛．（1） 证明0=∞→n n a lim ；证明级数∑∞=1n nnb a 收敛． 【详解】（1）证明：由n n n b a a cos cos =-，及2020ππ<<<<n n b a ,可得20π<-=<n n n b a a cos cos ，所以20π<<<n n b a ，由于级数∑∞=1n nb收敛，所以级数∑∞=1n na也收敛，由收敛的必要条件可得0=∞→n n a lim ．（2）证明：由于2020ππ<<<<n n b a ,，所以2222nn n n n n n n a b a b b a b a -≤-+≤+sin ,sin2sinsin cos cos 22n n n n n n nn nn a b b aa ab b b b +--==222222222n n n nn n n n n n n a b b a b a b b b b b +--≤=<=由于级数∑∞=1n n b 收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数∑∞=1n nnb a 收敛． 2014年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210 2．下列曲线有渐近线的是（ ）（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin += （D ）xx y 12sin+= 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ） （Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→22xx ξlim（ ）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21（Ｄ）316．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂yx u及02222=∂∂+∂∂y ux u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上； （B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部； （C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．⎰∞-=++12521dx x x ．10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．11．设),(y x z z =是由方程4722=+++z y x e yz 确定的函数，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz ．12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ． 13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ． 三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．16．（本题满分10分）已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 17．（本题满分10分） 设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy y x y x x )sin(22π 18．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足xx e y e z yz x z 222224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （2） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分）设函数[]101,,)(∈+=x xxx f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=， )),(()(,x f f x f n n 1-=设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞→lim ．21．（本题满分11分） 已知函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积．2014年考研数学三真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．设0≠=∞→a a n n lim ，则当n 充分大时，下列正确的有（ ）（A ）2a a n >（B ）2a a n <（C ）n a a n 1-> (D)na a n 1+< 【详解】因为0≠=∞→a a n n lim ，所以0>∀ε，N ∃，当N n >时，有ε<-a a n ，即εε+<<-a a a n ，εε+≤<-a a a n ，取2a =ε，则知2a a n >，所以选择（A ）2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）xx y 1sin += （D ）xx y 12sin += 【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以． 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim且01==-∞→∞→xx y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =应该选（C ）3．设32dx cx bx a x P +++=)(，则当0→x 时，若x x P tan )(-是比3x 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（ ）（A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）61=d 【详解】只要熟练记忆当0→x 时)(tan 3331x o x x x ++=，显然31010====d c b a ,,,，应该选（D ） 4．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点21x x ,及常数10≤≤λ，恒有())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，则曲线是凸的． 显然此题中x x x ===λ,,1021，则=+-)()()(211x f x f λλ)()())((x g x f x f =+-110，而())()(x f x x f =+-211λλ，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，即())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≤+-，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设某商品的需求函数为p Q 240-=（p 为商品的价格），则该商品的边际收益为 ． 【详解】2240p p pQ p R -==)(，边际收益p p R 440-=)('．10．设D 是由曲线01=+xy 与直线0=+y x 及2=y 所围成的有界区域，则D 的面积为 ． 【详解】22112101ln +=+=⎰⎰⎰⎰--yydx dy dx dy S 11．设412=⎰ax dx xe ，则=a ． 【详解】411241244120202+-=-==⎰)(|)(a e x e dx xe a ax ax ．所以.21=a12．二次积分=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰dx e xe dy y y x 11022． 【详解】)()(12111010101010100110101102222222222-==+-=--=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dy ye dy e edy y e dy x ex d dx e dy dy x e dx dx e x e dy y y y dxx xy x x y y x y y x三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t x x dtt e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy y x y x x )sin(22π 【详解】由对称性可得432112121212022222222-==+=+++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D D D Ddr r r d dxd y x dxdy y x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππsin )sin()sin()()sin()sin(17．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足xx e y e z yz x z 222224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u xcos =，则)cos ()(y e f u f z x==，y e u f y e u f xz e u f xzxx y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222; y e u f y e u f yz y e u f y z xx x cos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； x x x e y e f e u f yzx z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂由条件x x e y e z yzx z 222224)cos (+=∂∂+∂∂，可知u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*． 故非齐次方程通解为u e C eC u f u u412221-+=-)(．将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 18．（本题满分10分） 求幂级数∑∞=++031n nxn n ))((的收敛域、和函数．【详解】 由于11=+∞→nn n a a lim，所以得到收敛半径1=R ．当1±=x 时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为()11,-． 令和函数)(x S =∑∞=++031n nxn n ))((，则3211121112131111234)('"'")())(()()(x xx x x x x x x n x n n x n n x S n n n n n nn nn n--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++=++=∑∑∑∑∑∞=+∞=+∞=∞=∞=19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （3） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；。
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案解析
2013考研数学二真题ঞㄨḜ解析ZZZ ZHQGXHGX FRP一、选择题1.设cos x -1=x sin ()x α，其中｜()x α｜<2π，则当x →0时，()x α是（）而()0lim 0x F x πππ−−→′==−∫∫，()()()0lim 2xx f t dt f t dtF x ππππ++→−′==−∫∫，()()(),F F F x ππ−+′′≠∴∵在x π=处不可导。
故()F x 在x π=处连续但不可导。
4.设函数f (x )=1,1,(1)11,.ln(1)x e x x e x xαα⎧<<⎪−−⎪⎨⎪≥⎪+⎩若反常积分∫∞+1f (x )d x 收敛，则（）解：[]21320,0,()0,(()0),D I I I y x d y x σ===+−>+−>∫∫∵[]44()0,(()0),D I y x d y x σ=+−<+−<∫∫∵所以选（B ）。
7.设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则(A)矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价(B)矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价(C)矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价(D)矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价答案：（B ）解：1212(,,,)(,,,),(1)n n i i A A i n βββγγγβγ==≤≤⋯⋯，即C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示。
⎪⎪⎩⎭10.设函数(),xf x −=∫则y =f (x )的反函数)(1y f x −=在0=y 处的导数______|0==y dydx解：=0y 即=-1x，=0y dy dx dx dy。
故32xxx y e exe =−+−。
14.设A=()ij a 是3阶非零矩阵，｜A ｜为A 的行列式，Aij 为ij a 的代数余子式，若0(,1,2,3)ij ij a A i j +==,则｜A ｜=______________答案：-1解：2*3*=-,=(-1)=-=0=-1T ij ij A a A A A A A A A =−⇒⇒或。
历年考研数学二真题与答案(09~13年)
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为()A 1()B 2 ()C 3()D 无穷多个【答案】C【解析】由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义.故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个,即0,1±.(2) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则()A 11,6a b ==- ()B 11,6a b == ()C 11,6a b =-=- ()D 11,6a b =-=【答案】A 【解析】 22000()sin sin limlim lim ()ln(1)()x x x f x x ax x axg x x bx x bx →→→--==-⋅- 22002301cos sin lim lim 36sin lim 1,66x x x a ax a ax bx bxa ax ab b axa→→→---==-=-⋅洛洛36a b ∴=-,故排除,B C .另外,201cos lim 3x a axbx→--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故 1.a =排除D . 所以本题选A .(3) 设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0()A 不是(),f x y 的连续点 ()B 不是(),f x y 的极值点()C 是(),f x y 的极大值点 ()D 是(),f x y 的极小值点【答案】D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂. 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂,又在()0,0处,0,0z zx y∂∂==∂∂,210AC B -=>, 故()0,0为函数(,)z f x y =的一个极小值点.(4) 设函数(),f x y 连续,则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰ ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰()D ()221,ydy f x y dx ⎰⎰【答案】C 【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤,{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-,将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤-, 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰,故答案为C .(5) 若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=,则函数()f x 在区间()1,2内()A 有极值点,无零点 ()B 无极值点,有零点()C 有极值点,有零点()D 无极值点,无零点【答案】B【解析】由题意可知,()f x 是一个凸函数,即()0f x ''<,且在点(1,1)处的曲率322||(1())y y ρ''=='+,而(1)1f '=-,由此可得,(1)2f ''=-. 在[1,2] 上,()(1)10f x f ''≤=-<,即()f x 单调减少,没有极值点. 对于(2)(1)()1(1,2)f f f ξξ'-=<- , ∈ ,(拉格朗日中值定理)(2)0f ∴ <而(1)10f =>,由零点定理知,在[1,2] 上,()f x 有零点.故应选B .（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。
2010～2013年考研数学二真题及答案
2010～2013年考研数学二真题及答案2010考研数学二真题及答案一、填空题(本题共 6 小题，请将答案写在题中横线上．)(1)三阶常系数线性齐次微分方程的通解为 y= ．(2)曲线的渐近线方程为．(3)函数 y=ln(1-2x)在 x=0 处的 n 阶导数．(4)当 0≤θ≤π时，对数螺线 r=eθ的弧长为．(5)已知一个长方形的长 l 以 2cm/s 的速率增加，宽w 以 3cm/s 的速率增加，则当 l=12cm，w=5cm 时，它的对角线增加的速率为．(6)设 A，B 为 3 阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，则|A+B-1|= ．二、选择题(本题共 8 小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后括号内．)(7)函数的无穷间断点数为(A) 0． (B) 1． (C) 2． (D) 3．(8)设y1，y2 是一阶线性非齐次微分方程的两个特解．若常数λ，μ使该方程的解是对应的齐次方程的解，则(9)曲线y=x2 与曲线y=aln x(a≠O)相切，则 a= (A)4e． (B) 3e． (C) 2e． (D) e．(10)设m，n 是正整数，则反常积分的收敛性(A) 仅与 m 值有关． (B) 仅与 n 值有关．(C) 与 m，n 值都有关． (D) 与 m，n 值都无关．(11)设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且(A) x (B) z． (C) -x． (D)-z． (12)(C) (D)三、解答题(本题共 9 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) 求函数的单调区间与极值．(16) (Ⅰ) 比较的大小，说明理由； (Ⅱ) 记，求极限(17) 设函数 y =f(x)由参数方程所确定，其中φ(t)具有二阶导数，且φ(1)=(18) 一个高为 j 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a ，短轴为 2b 的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为时(如图 2)，计算油的质量．(长度单位为m ，质量单位为 kg ，油的密度为常数 ρkg/m 3)(14) 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且A 2+A=0，若 A 的秩为 3，则 A 与相似于(19)设函数u=(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式，确定a，b 的值，使等式在变换(20)计算二重积分(21)设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且。
2013考研数学二真题答案
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小 【答案】（C ）【解析】因为200sin ()cos 11limlim 2x x x x x x α→→-==-，所以0limsin ()0x x α→=， 因此当0x →时，()0x α→，所以sin ()()x x αα，所以00sin ()()1lim lim 2x x x x x x αα→→==-，所以()x α是与x 同阶但不等价的无穷小。
（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- 【答案】（A ）【解析】由于(0)1f =，所以2()(0)2lim ()1lim 22(0)2n n f f n n f f n n →∞→∞⎡⎤-⎢⎥⎡⎤'-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 对此隐函数两边求导得()sin()10y y xy xy y ''-++-=，所以(0)1f '=，故2lim ()12n n f n →∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦。
（3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导 【答案】（C ） 【解析】0sin 1cos ,0()()sin 22(1),2x xxtdt x x F x f t dt tdt dt x x ππππππ⎧=-≤<⎪==⎨⎪+=-+≤≤⎩⎰⎰⎰⎰，由于lim ()lim ()2x x F x F x ππ→-→+==，所以()F x 在x π=处连续；()()1cos limlim 0x x F x F x x x πππππ→-→+---==--，()()2()lim lim 2x x F x F x x x ππππππ→+→+--==--，所以()F x 在x π=处不可导。
2013年数二-真题+答案
1 E A a
1
2
a
1 a (2 (b 2) 2b 2a 2 )
b
a
1
从而可知 2b 2a 2b ，即 a 0 ， b 为任意常数，故选择（B） ．
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
（A） a 0, b 2 （C） a 2, b 0 （B） a 0 ， b 为任意常数 （D） a 2 ， b 为任意常数
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
ln(1 x) x 9． lim 2 x 0 x
该选（A） ． 6． 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
4
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2
I k ( y x)dxdy
Dk
k
( k 1) k
2 d (sin cos ) r dr 2 0
10 ． 设 函 数 f ( x)
1
．
1
x 1
1 e t dt ， 则 y f ( x) 的 反 函 数 x f
( y) 在 y 0．
11．设封闭曲线 L 的极坐标方程为 r cos 3 图形的面积为 12．曲线上 ．
n
16． （本题满分 10 分） 设 D 是由曲线 y
3
x， 直线 x a ( a 0) 及 x 轴所转成的平面图形， V x ,V y 分别是 D 绕 x
轴和 y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若 10V x V y ，求 a 的值． 17． （本题满分 10 分）
合工大-超越-数学二-18年
（4） 积分I
4
tan
x
ln(1
etan x )dx
（
）
4
（A） 0
（B）1
（C）
4
（D）1 4
（5） 设F(x)
1 ex2
dv
x2 ln v
f
(u )du, 其中f
(x)为连续函数，则 lim x0
F(x) 等于 （ x3
）
（A） 2 f (0)
（Ⅱ）求极限 lim
1 n
xn (1 x)n dx.
n 0
（16）（本题满分 10 分）设有二阶微分方程 y (4x e2 y )( y)3 0.
（Ⅰ）视 x为y 的函数，变换此方程；
（Ⅱ）求此方程的通解.
（17）（本题满分 10 分）抛物线 y 3 x2与直线y 2x交于A, B两点，M是抛物线 AB 上的动点，
2018 年全国硕士研究生入学统一考试超越考研数学（二）模拟一
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）设 lim ax3 bx2 cx d 4, lim ax3 bx2 cx d 2,当 1,2时，
1
dx
x (ex e y3 e y3 )dy
1 0
.
（10）设函数 f (x) (x [x]) sin 2x, 其中[x] 为取整函数，则 f (100) ( 2017 )
.
2
（11） 设y
f
( x)由
t
2
x t2 y sin
2013年合肥工业大学802经济学原理考研真题(回忆版,不完整)【圣才出品】
2013年合肥工业大学802经济学原理考研真题（回忆版，不完整）
一、名词解释（30分）
1．规模报酬
2．资本分割的黄金比率
3．三级价格歧视
4．需求的价格弹性
5．忘记了
6．忘记了
二、简答题（50分）
1．简述替代效应和收入效应。
2．简述LM曲线的三个区域。
3．比较CPI和GDP平减指数的区别，及CPI的缺陷。
4．什么是经济周期，经济周期分哪几个阶段及各个阶段的特征？5．简述生产函数的新古典性质。
三、辨析题（20分）
1．政府补助发实物与发货币的价值相等，是否效应也相等？
2．完全竞争模型在现实中不存在，那么研究完全竞争模型就没有意义。
四、计算（30分）
1．考点：替代效应与收入效应。
2．考点：计算比较边际产量。
3．考点：IS-LM模型的相关计算。
五、论述（20分）
1．论述市场失灵的原因及对策。
2．关于宏观经济政策的比较论述，主要是关于IS-LM模型的论述。