离散数学 杨圣洪等著 第一章习题三解答
离散数学(第1章习题课)讲解
2019/6/13
计算机学院
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基本蕴含（关系）式
I1：PP∨Q ， QP∨Q ～PP→Q ， QP→Q 扩充法则(析取引入律)
I2：P∧Q P ， P∧QQ ～（P→Q）P ，～（P→Q）～Q 化简法则(合取消去律)
I3：P∧（P→Q） Q 假言推论（分离规则） I4：～Q∧（P→Q） ～P
2019/6/13
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三、典型例题
1、证明 ((P∨Q) ∧～(P∧Q)) ～(PQ) ((P∨Q)∧～(P∧Q)) ((P∨Q)∧(～P∨～Q)) ((P∨Q)～P)∨ ((P∨Q)∧～Q)) ((P∧～P)∨(Q∧～P))∨((P∧～Q)∨(Q∧～Q)) (Q∧～P)∨(P∧～Q) (Q∧～P)∨(P∧～Q) ～(～Q∨P)∨～(～P∨Q) ～((Q→P)∧～(P→Q)) ～(PQ)
P∨Q∨R
～P∧～Q∧R
P∨～Q∨R
～P∧Q∧R P∧～Q∧～R P∧～Q∧R
～P∨～Q∨R P∧Q∧R
主析取范式=（～P∧～Q∧R）∨（～P∧Q∧R）∨
（P∧～Q∧～R）∨（P∧～Q∧R）∨（P∧Q∧R）
主合取范式=（ P∨Q∨R ）∧（ P∨～Q∨R ）∧（～P∨～Q∨R）
2019/6/13
计算机学院
陈瑜
Email：chenyu.inbox@
2019年6月13日星期四
第一章小结
一、基本概念
命题----具有确切真值的陈述句称为命题,该命题可以取一个“值”，
称为真值。
命题的解释----用一个具体的命题代入命题标识符P的过程,称为对
P的解释或赋值(指派)
原子命题、复合命题
逻辑联结词（～、∨、∧、、→、、与非↑、或非↓、条件否
离散数学第3版习题答案
离散数学第3版习题答案离散数学是一门重要的数学学科，它研究的是离散对象和离散结构的数学理论。
离散数学的应用广泛，涉及到计算机科学、信息技术、通信工程等领域。
在学习离散数学的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对知识的理解和掌握。
本文将为大家提供《离散数学第3版》习题的答案，希望能对学习者有所帮助。
第一章：命题逻辑1.1 习题答案：1. (a) 真值表如下：p | q | p ∧ qT | T | TT | F | FF | T | FF | F | F(b) 命题“p ∧ q”的真值表如下：p | q | p ∧ qT | T | TT | F | FF | T | FF | F | F(c) 命题“p ∨ q”的真值表如下：p | q | p ∨ qT | T | TT | F | TF | T | TF | F | F(d) 命题“p → q”的真值表如下：p | q | p → qT | T | TT | F | FF | T | TF | F | T1.2 习题答案：1. (a) 命题“¬(p ∧ q)”等价于“¬p ∨ ¬q”。
(b) 命题“¬(p ∨ q)”等价于“¬p ∧ ¬q”。
(c) 命题“¬(p → q)”等价于“p ∧ ¬q”。
(d) 命题“¬(p ↔ q)”等价于“(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)”。
1.3 习题答案：1. (a) 命题“p → q”的否定是“p ∧ ¬q”。
(b) 命题“p ∧ q”的否定是“¬p ∨ ¬q”。
(c) 命题“p ↔ q”的否定是“(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)”。
(d) 命题“p ∨ q”的否定是“¬p ∧ ¬q”。
1.4 习题答案：1. (a) 命题“p → q”与命题“¬p ∨ q”等价。
离散数学第1章
P Q为真当且仅当P、Q同时为假。
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极小全功能集
定义1.15 称联结词集G为全功能集， 如果由G中联结词构成的公式能等价表 示任意命题公式。
定义1.16 称联结词集G为极小全功能集， 如果G满足条件：①由G中联结词构成的 公式能等价表示任意公式；②G中的任 一联结词不能用其余联结词等价表示。
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等值式有下列性质：
① 自反性，即对任意公式A，有A A。
② 对称性，即对任意公式A和B，若A
B，则B A。
③ 传递性，即对任意公式A、B和C，若
A B、B C，则A C。
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基本等值式——命题定律
双否定: (1)AA
幂等律：(2)A∨AA
(3)A∧AA
2
1.1 命题符号化及联结词
命题 真值：T（1）
命题标识符
F（0）
3
命题联结词
复合命题、原子命题 命题联结词 否定l 合取∧ 析取∨ 蕴涵→ 等价
4
否定
定义1.1 设P表示一个命题，复合命 题 “非P” 称为P的否定式，记作 lP。 l为否定联结词。
lP为真当且仅当P为假。
5
记为H1∧H2∧…∧HnP。
定理 公式P是H1, H2,…, Hn的逻辑结论， 当且仅当H1∧H2∧…∧Hn→P是永真式。
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推理规则
Ｐ规则(也称前提引入规则)：在推导过
程中，前提可视需要引入使用。
Ｔ规则(也称结论引入规则)：在推导过
程中，前面已导出的有效结论都可作为
离散数学课后习题答案
1-1，1-2（1） 解：a) 是命题，真值为T。
b) 不是命题。
c) 是命题，真值要根据具体情况确定。
d) 不是命题。
e) 是命题，真值为T。
f) 是命题，真值为T。
g) 是命题，真值为F。
h) 不是命题。
i) 不是命题。
（2） 解：原子命题：我爱北京天安门。
A（3） 解：a) (┓P ∧R)→Qb) Q→Rc) ┓Pd) P→┓Q（4） 解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a) 设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb) 设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc) 设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd) 设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe) 设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
PQf) 设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a) P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb) P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc) R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd) A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be) M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf) L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg) P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh) P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a) 不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b) 是合式公式c) 不是合式公式（括弧不配对）d) 不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e) 是合式公式。
（2）解：a） A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B)) 是合式公式。
离散数学(第五版)清华大学出版社第1章习题解答
离散数学（第五版）清华大学出版社第1章习题解答1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。
分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。
本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。
其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。
又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。
（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。
这里的“且”为“合取”联结词。
在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。
但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。
例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。
1．2 （1）p: 2是无理数，p为真命题。
（2）p:5能被2整除，p为假命题。
（6）p→ｑ。
其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。
由于p与q都是真命题，因而p→ｑ为假命题。
（7）p→ｑ，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。
由于p为假命题，q为真命题，因而p→ｑ为假命题。
（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。
（9）p：太阳系外的星球上的生物。
它的真值情况而定，是确定的。
1（10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。
离散数学第一章习题
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2. 6
解： (～p→q)∧ (r∨ p) ≡(p∨ q)∧ (r∨ p)(合取范式) ≡(p∨ q∨ (r∧ ～r))∧ (p∨ (q∧ ～q))∨ r) ≡(p∨ q∨ r)∧ (p∨ q∨ ～r) ∧ (p∨ q∨ r)∧ (p∨ ～q∨ r) ≡(p∨ q∨ r)∧ (p∨ q∨ ～r)∧ (p∨ ～q∨ r) (主合取范式)
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p qr
T TT T TF T FT T FF F TT F TF F FT F FF
(～p→q)∧(r∨p)
T T T T T F F F
主析取范式为(p∧q∧r)∨(p∧q∧～r)∨(p∧～q∧r)∨(p∧～q∧～r)∨ (～p∧q∧r)；主合取范式为(p∨q∨r)∧(p∨q∨～r)∧(p∨～q∨r).
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3. p∨ (～p→(q∨ (～q→r)))
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解：p∨ (～p→(q∨ (～q→r))) ≡p∨ (p∨ (q∨ (q∨ r)))≡p∨ q∨ r(主合取范式) ～(p∨ (～p→(q∨ (～q→r)))) ≡(p∨ ～q∨ r)∧ (p∨ ～q∨ ～r) ∧ (p∨ q∨ ～r)∧ (～p∨ q∨ r) ∧ (～p∨ q∨ ～r)∧ (～p∨ ～q∨ r) ∧ (～p∨ ～q∨ ～r)(原公式否定的主合取范式)
1）命题符号化。命题符号化的一般处理过程是先分析自然 语言描述的语义，然后用正确的命题联结词加以表示。应特 别注意用于表示“合取”含义的一些联结词：如“不但 (仅)…而且…”、“既…又…以”；用于表示条件联结词的 “若…则…”，“p→q”表示 q 是 p 的必要条件，p 是 q 的 充分条件。
离散数学第一学期习题及答案
前提：p q, r q,r s 结论： p
参考答案:
1.
（1）p∨(q∧r) 0∨(0∧1) 0
（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) （0↔1）∧(1∨1) 0∧1 0
（3）（ p∧ q∧r）↔(p∧q∧﹁r) （1∧1∧1） ↔ (0∧0∧0) 0
6. 判断下列各式的类型:
(1)
(2)
yF(x,y).
7. 给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。
(1) (F(x)
(2) x(F(x) G(x) H(x)) 8.给定解释Ｉ如下:
(a)个体域 D={3,4};
(b) f (x) 为 f (3) 4, f (4) 3
(c) F (x, y)为F (3,3) F (4,4) 0, F (3,4) F (4,3) 1.
后件为存在实数 x 对任意实数 y 都有 x+y=5，后件假，]
此时为假命题
再取解释 I 个体域为自然数 N，
F(x,y)：:x+y=5
所以,前件为任意自然数 x 存在自然数 y 使 x+y=5，前件假。此时为假命题。 此公式为非永真式的可满足式。
7.解:(1)个体域:本班同学
F(x)：x 会吃饭, G(x)：x 会睡觉.成真解释
所以公式类型为永真式
(3) P
q
r
00
0
p∨q 0
p∧r
（p∨q）→(p∧r)
0
1
00
1
0
0
1
01
0
1
0
0
01
1
1
0
0
1
00
离散数学第一章作业答案
第一章作业答案3. 将下列命题符号化：(2) 我去新华书店，仅当我有时间。
(4) 除非天不下雨，我将去新华书店。
(6)“2或4是素数，这是不对的”是不对的。
(8) 只要努力学习，成绩就会好的。
(10) 小张是山东人或河北人。
解(2) 符号化为Q→R，其中，R：我有时间，Q：我去新华书店。
除非的含义：①只有。
表示唯一的条件，常与“才，否则，不然”搭配：若要人不知，除非己莫为。
②除了。
表示不计算在内：除非临时有事，我一定去。
(4) 符号化为P→Q，其中，P：天下雨，Q：我去新华书店。
(6) 符号化为⌝(⌝(P∨Q))，“2或4是素数，这是不对的”是不对的，其中，P：2是素数，Q：4是素数。
(8) 符号化为P→Q，其中，P：努力学习，Q：成绩就会好的。
(10) 符号化为(⌝P∧Q)∨(P∧⌝Q)，其中，P：小张是山东人，Q：小张是河北人。
4. 构造下列命题公式的真值表，并据此说明哪些是其成真赋值，哪些是其成假赋值？(1) ⌝(P∨⌝Q)。
(2) P∧(Q∨R)。
(3) ⌝(P∨Q)↔(⌝P∧⌝Q)。
(4) ⌝P→(Q→P)。
解(1)由真值表可知，公式⌝(P∨⌝Q)的成真赋值为：FT，成假赋值为FF、TF、TT。
(2)由真值表可知，公式P∧(Q∨R)的成真赋值为：TFT、TTF、TTT，成假赋值为FFF 、FFT 、FTF 、FTT 、TFF 。
(3)由真值表可知，公式⌝(P ∨Q)↔(⌝P ∧⌝Q)的成真赋值为：FF 、FT 、TF 、TT ，没有成假赋值。
(4)由真值表可知，公式⌝P →(Q →P)的成真赋值为：FF 、TF 、TT ，成假赋值为：FT 。
5. 分别用真值表法和公式法判断下列命题公式的类型：(2) (P∧Q)→(P∨Q)。
(4) (P∧Q→R)→(P∧⌝R∧Q)。
(6) (⌝P↔Q)↔⌝(P↔Q)。
解(2) 真值表法：由真值表可知，公式(P∧Q)→(P∨Q)为重言式。
公式法：因为(P∧Q)→(P∨Q) ⇔⌝(P∧Q)∨(P∨Q) ⇔⌝P∨⌝Q∨P∨Q ⇔ T，所以，公式(P∧Q)→(P∨Q)为重言式。
离散数学习题答案
P Q R QR PQR
00 0
0
1
00 1
1
1
01 0
1
1
01 1
1
1
（2）
10 0
0
0
10 1
1
1
11 0
1
1
11 1
1
1
P Q R Q R P (Q R)
0 00
1
1
0 01
1
1
0 10
0
0
0 11
1
1
1 00
1
1
1 01
1
1
1 10
0
1
1 11
1
1
（3）
P Q P P Q Q P Q (P Q) (P Q)
1.6 答案：
1（1） P P （2） (P Q) (P Q) （3） (P P) (Q Q) 2．（1） F （2） (P Q) （3） (P Q R)
1.7 答案：
1．（1） (P Q) F （2） (P Q) (P (Q R))
（3） (P T ) R （4） ((P Q) R) P
2（1） (P Q) R （2） P Q P Q 3．（1）析取范式 P Q ；合取范式 P (P Q)
（2）析取范式 (P Q R) (R P) (R Q) ； 合取范式 (P R) (Q R) (P Q R)
（3）析取范式 P∨(Q∧┐R) ；合取范式(P∨Q)∧(┐R∨P ) （4）析取范式（P┐Q）（Q┐P）；合取范式(P∨Q)∧(┐P∨┐Q)
(5) C
T(3,4) I
(10) C C （矛盾） T(5,9)
8．证明 P Q ， Q R ， P S ， S R (P Q) 。
离散数学习题答案1-2-6-7-8-9章-2009-12-17
习题1：1. 解 （1）{2，3，5，7，11，13，17，19}（2）{x|x=20*k,k 是自然数}（3）{2，-1}2. 解 （1）{2，4}（2）{1，2，3，4，5}（3）{1，3}（4）{1，3，5}3. 解 （1）{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}（2）φ（3）全体自然数（4）{0，2，4，6，8，10，12，14，16，18，20}（5）1，3，5，7，9，11，13，15，17，19}4. 解 （1）正确（2）正确（3）错误（4）正确5. 解 （1）A={1}，B={{1}}，C={{1}}（2）A={1}，B={{1}}，C={{{1}}}6. 解 （1）正确。
由子集的定义。
（2） 不一定。
如：A={1}，B={{1}}，C={{1}}。
（3）不一定。
如：A={1}，B={1，2}，C={{1，2}}（4）不一定。
如：A={1}，B={1，2}，C={{1，2}}。
7. 解 A={1，2}，B={1}，C={2}，有B A ≠，但是C B C A =成立。
A={1，2}，B={1}，C={1}，有B A ≠，但是C B C A =成立。
8. 解 （1）φ（2）{φ}（3）{{φ}}（4）{φ，{φ}}9. 解 （1）{1,2,3,4,5,6,7,8,9}（2）{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}（3）{0,3,6,7,8,9}10. 解 33311. 解 2512. 解（1）454（2）124（3）22013. 解 （1）{φ}（2）{φ，{a}}（3）{φ，{φ}，{a}，{φ,a}}（4）{φ，{φ}，{{φ}}，{{φ},φ}}（5）{φ，{{φ}}，{φ}，{a}，{{φ},φ}，{{φ},a}，{φ,a}，{{φ},φ,a}}14. 证明：假设B ≠C ，则至少存在一元素x ∈B 且x ∉C 。
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1、利用定义1.6.1，并利用等值演算或真值表，证明如下各推理式，要注明每步的理由。 1、(A→B)∧ ¬B⇒¬A (1) ¬B为真 前提条件 (2) A→B为真 前提条件 (3) ¬B→¬A为真 因为¬B→¬A⇔A→B为真 (4) ¬A为真 (¬B→¬A)∧ ¬B⇒¬A假言推理
2、 (A∨B)∧ ¬B⇒A (1) ¬B为真 前提条件 (2) (A∨B)为真 前提条件 (3) ¬B→A为真 因为¬B→A⇔ A∨B为真 (4)A为真 (¬B→A)∧ ¬B⇒A假言推理
3、 (A↔B)∧(B↔C)⇒ (A↔C) (1) (A↔B)为真 前提条件 (2)(A→B)∧(B→A)为真 因(A↔B) ⇔(A→B)∧(B→A) (3) (A→B)为真 由(2)及合取的定义 (4) (B→A)为真 由(2)及合取的定义 (5) (B↔C)为真 前提条件 (6)(B→C)∧(C→B)为真 因(B↔C) ⇔(B→C)∧(C→B) (7) (B→C)为真 由(6)及合取的定义 (8) (C→B)为真 由(6)及合取的定义 (9) (C→A)为真 由(8)(4)及传递律 (10) (A→C)为真 由(3)(7)及传递律 (11) (A↔C)为真 由(9)(10)及双条件的定义
(4) (A→B)∧( ¬A→B)⇒B ((A→B)∧( ¬A→B))→B ⇔¬((¬A∨B) ∧( ¬¬A∨B )) ∨B ⇔¬((¬A∨B) ∧(A∨B )) ∨B ⇔((A∧¬B) ∨ (¬A∧¬B )) ∨B ⇔((A ∨ ¬A ) ∧¬B)) ∨B ⇔(1 ∧¬B)) ∨B ⇔¬B∨B ⇔1 故为永真式 (A→B)∧( ¬A→B)⇒B
2、采用定义1.6.2方法证明如下推理式，并注明每步理由，可采用CP规则、反证法。 1、¬p∨q，¬q∨r，r→s，p⇒s (1) p (2) ¬p∨q (3) q (1)(2) ∨的定义，或(1)(2)分离原则 (4) ¬q∨r (5) r (4)(5) ∨的定义，或(4)(5)分离原则 (6) r→s (7) s (5)(6)分离原则
2、 p→(q→r)，q→(r→s) ⇒ (p∧q) →s (1) (p∧q) 附加条件 (2) p (1)与∧的定义附加条件 (3) q (2)与∧的定义附加条件 (4) p→(q→r) (5) q→r (2)与(4)分离原则 (6) r (3)与(5)分离原则 (7) q→(r→s) (8) r→s (3)与(7)分离原则 (9) s (6)与(8)分离原则
3、p→(q→r)，p，q⇒ r∨s (1) p为真 前提条件 (2) p→(q→r)为真 前提条件 (3) (q→r)为真 (1)(2)假言推理 (4)q为真 前提条件 (5)r为真 (4)(3)假言推理 (6)r∨s为真 (5)与析取的定义
4、p→q，¬(p∧r) ，r⇒¬p (1) ¬(p∧r)为真 前提条件 (2) ¬p∨¬r为真 (1)与德摩律 (3)r→¬p为真 与(2)等值 (4) r为真 前提条件 (5) ¬p为真 (4)(3)假言推理
反证法 (1) ¬¬p为真 反证法即假设结论为真 (2)p为真 否定的否定为真 (3)¬(p∧r)为真 前提条件 (4)¬p∨¬r为真 (3)与德摩律 (5) p→¬r为真 与(4)等值 (6) ¬r为真 (2)(5)假言推理 (7)r为真 前提条件 显然(6)(7)矛盾，故假设错了，即“¬¬p为真”错了，所以¬p为真
5、p→q⇒ p→(p∧q) (1)p为真 附加前提 (2) p→q为真 前提条件 (3)q为真 (1)(2)假言推理 (4) (p∧q)为真 (1)(3)及合取的性质
6、q→p，q↔s，s↔t，t↔r,r⇒p∧q (1) t↔r为真 前提条件 (2) (t→r) ∧(r→t)为真 与(1)等值 (3) (r→t)为真 (2)及合取的定义 (4)r为真 前提条件 (5)t为真 (3)(4)假言推理 (6) s↔t为真 前提条件 (7) (s→t) ∧(t→s)为真 与(6)等值 (8) (t→s)为真 (7)及合取的定义 (9)s为真 (5)(8)与假言推理 (10) q↔s为真 前提条件 (11) (q→s) ∧(s→q)为真 与(10)等值 (12) (s→q)为真 (11)与合取的定义 (13)q为真 (9)(12)与假言推理 (14) q→p为真 前提条件 (15)p为真 (13)(14)假言推理 (16)p∧q为真 (13)(15)及合取的定义
7、p→r， q→s ，p∧q ⇒r∧s (1) p∧q为真 前提条件 (2)p为真 (1)与合取的性质 (3)q为真 (1)与合取的性制 (4) p→r为真 前提条件 (5)r为真 (2)(4)假言推理 (6) q→s为真 前提条件 (7)s为真 (3)(6)及假言推理 (8) r∧s为真 (5)(7)及合取的性质
8、¬p∨r，¬q∨s，p∧q⇒t→ r∧s (1)t为真 附件前提 (2) p∧q为真 前提条件 (3)p为真 (2)与合取的定义 (4)q为真 (2)与合取的定义 (5) ¬p∨r为真 前提条件 (6)p→r为真 与(5)等值 (7)r为真 (6)(3)与假言推理 (8) ¬q∨s为真 前提条件 (9) q→s为真 与(8)等值 (10)s为真 (9)(4)与假言推理 (11) r∧s为真 (7)(10)与合取的性质 9、p→ (q→r)，s→p，q⇒ s→r (1)s为真 附加前提 (2) s→p为真 前提条件 (3)p为真 (1)(2)假言推理 (4) p→ (q→r)为真 前提条件 (5) (q→r)为真 (3)(4)假言推理 (6)q为真 前提条件 (7)r为真 (5)(6)假言推理
10、(p∨q) → (r∧s)，(s∨t) →u⇒p→u (1)p为真 附加前提 (2)p∨q为真 (1)及析取的性质 (3) (p∨q) → (r∧s)为真 前提条件 (4) (r∧s)为真 (2)(3)与假言推理 (5)s为真 (4)与合取的定义 (6) (s∨t)为真 (5)与析取的定义 (7) (s∨t) →u为真 前提条件 (8)u为真 (6)(7)假言推理
11、p→¬q，¬r∨q，r∧¬s ⇒¬p 反证法 (1) ¬¬p为真 结论的否定 (2)p为真 (1)的否定之否定 (3) p→¬q为真 前提条件 (4) ¬q为真 (2)(3)假言推理 (5) ¬r∨q为真 前提条件 (6) ¬q→¬r为真 与(5)等值 (7) ¬r为真 (4)(6)假言推理 (8) r∧¬s为真 前提条件 (9) r为真 (8)及合取的定义 故(7)(9)矛盾，从而假设“¬¬p为真”是错的，只能“¬¬p为假”，所以¬p为真
12、p∨q，p→r，q→s⇒ r∨s 结论为r∨s⇔¬r→s，所以上式等价于证明 p∨q，p→r，q→s⇒¬r→s (1) ¬r为真 附加条件 (2) p→r为真 前提条件 (3) ¬r→¬p为真 与(2)等值 (4) ¬p为真 (1)(3)假言推理 (5) p∨q为真 前提条件 (6) ¬p→q为真 与(5)等值 (7)q为真 (4)(6)与假言推理 (8) q→s为真 前提条件 (9)s为真 (7)(8)与假言推理 3、将下面各段话用命题逻辑公式表示，并构造其自然逻辑的证明过程。 (1)只要A曾到过受害者的房间，并且11点以前没有离开，A就是谋杀嫌犯。A曾到过受害者房间。如果A在11点前离开，看门人会看见他。看门人没看见他。所以A是谋杀嫌犯。 解：P1表示“A曾到过受害者的房间” P2表示“A人11点以前离开” P3表示“A是谋杀嫌犯” P4表示“看门人看见A” 则以上语句表示：(P1∧¬P2)→P3，P1，P2→P4，¬P4⇒P3 (1) ¬P4为真 前提条件 (2) P2→P4为真 前提条件 (3) ¬P4→¬P2为真 与(2)等值 (4) ¬P2为真 (1)(3)进行假言推理 (5)P1为真 前提条件 (6) (P1∧¬P2)为真 (4)(5)与合取的定义 (7) (P1∧¬P2)→P3为真 前提条件 (8)P3为真 (6)(7)进行假言推理
(2)如果今天是星期六，我们就要橘州公园看烟火晚会或者步行街去逛街。如果步行街人太多，我们就不去步行街。今天是星期六，步行街由于搞活动人太多了。所以我们去橘州公园看烟火晚会。 解：P1：今天星期六 P2：我们到橘州公园看烟火晚会 P3：我们到步行街去逛街 P4：步行街人太多 则以上语句可表示为：P1→( P2∨P3)，P4→¬P3，P1，P4⇒P2 (1) P1为真 前提条件 (2) P1→( P2∨P3)为真 前提条件 (3) ( P2∨P3)为真 (1)(2)进行假言推理 (4)P4为真 前提条件 (5) P4→¬P3为真 前提条件 (6) ¬P3为真 (4)(5)进行假言推理 (7) ¬P3→ P2为真 与(3)等值 (8) P2为真 (6)(7)进行假言推理
(3)如果肖寒是理科生，那么他的逻辑思维能力应该不差。如果肖寒不是文科生，一定是理科生。肖寒的逻辑思维能力很差，所以肖寒一定是文科生。 解：P1：肖寒是理科生 P2：肖寒逻辑思维能力差 P3：肖寒是文科生 则以上推理过程可写成：P1→¬P2，¬P3→P1，P2⇒P3 (1)P2为真 前提条件