2017届人教A版 排列组合 精品演练(1)
2017届人教A版 垂直关系 精品演练
[A 组·基础达标练]1．[2016·青岛一中调研]设a ，b ，c 表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题中不正确的是( )A. ⎭⎪⎬⎪⎫c ⊥αα∥β⇒c ⊥β B.⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥b b ⊂βc 是a 在β内的射影⇒b ⊥c C.⎭⎪⎬⎪⎫b ∥c b ⊂αc ⊄α⇒c ∥α D. ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αb ⊥a ⇒b ⊥α 答案 D解析 对于选项D ，可能还有b ∥α，或者b 与α相交，所以D 不正确．2．[2015·郑州模拟]如图，O 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与B 1O 垂直的是( )A ．A 1DB ．AA 1C ．A 1D 1 D ．A 1C 1答案 D解析由题图中可知，A1C1⊥平面BB1D1D，又OB1⊂平面DD1B1B，∴A1C1⊥B1O，故选D.3．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案 D解析∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.故选D.4．把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B－AD－C，则BD与平面ABC所成角的正切值为()A. 2B.2 2C．1 D.3 3答案 B解析如图所示，在平面ADC中，过D作DE⊥AC，交AC于点E，连接BE，因为二面角B－AD－C为直二面角，∴BD⊥CD，BD⊥AD，所以BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，又DE∩BD＝D，因此AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ABC，所以平面BDE⊥平面ABC，故∠DBE就是BD与平面ABC所成的角，在Rt△DBE中，易求tan∠DBE＝22，故选B.5．[2015·广州模拟]已知在空间四边形ABCD中，AD⊥BC，AD ⊥BD，且△BCD是锐角三角形，则必有()A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABCC．平面ADC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面BDC答案 C解析∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B.∴AD⊥平面BDC，又AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面BDC，故选C.6．[2015·临沂模拟]如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为( )A.12 B ．1C.32 D ．2答案 A解析 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可以得A 1B 1＝2，矩形ABB 1A 1中，tan ∠FDB 1＝B 1F B 1D ，tan ∠A 1AB 1＝A 1B 1AA 1＝22，又∠FDB 1＝∠A 1AB 1，所以B 1F B 1D ＝22，故B 1F ＝22×22＝12.故选A. 7．[2016·大连模拟]已知a 、b 、l 表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a ，β∩γ＝b ，且a ∥b ，则α∥γ；②若a 、b 相交，且都在α、β外，a ∥α，a ∥β，b ∥α，b ∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a ，b ⊂β，a ⊥b ，则b ⊥α；④若a ⊂α，b ⊂α，l ⊥a ，l ⊥b ，l ⊄α，则l ⊥α.其中正确命题的序号是________．答案 ②③解析若平面α、β、γ两两相交于三条直线，则有交线平行，故①不正确．因为a、b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b ∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．由面面垂直的性质定理知③正确．当a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，不能得出l⊥α，④错误．8．[2016·潍坊质检]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD ⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案DM⊥PC(或BM⊥PC)解析连接AC，BD交于O，∵底面各边相等，∴BD⊥AC；又P A⊥底面ABCD，∴P A⊥BD，又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.9．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，一个对角面的面积是一个侧面面积的62倍，则侧面与底面所成锐二面角等于______．答案 π3解析 如图所示，根据122ah 12ah ′＝62，得h h ′＝32，即为侧面与底面所成锐二面角的正弦值，故侧面与底面所成锐二面角为π3.10.如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E 和F 分别是CD ，PC 的中点．求证：(1)P A ⊥底面ABCD ；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)∵平面P AD∩平面ABCD＝AD，平面P AD⊥平面ABCD，且P A⊥AD，∴P A⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形，∴BE∥AD.又∵BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD.(3)∵AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形．∴BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知P A⊥底面ABCD，则P A⊥CD，∴CD⊥平面P AD，从而CD⊥PD.又E，F分别为CD，CP的中点，∴EF∥PD，故CD⊥EF.由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF.又∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥底面PCD.[B组·能力提升练]1．如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A．P A＝PB>PC B．P A＝PB<PCC．P A＝PB＝PC D．P A≠PB≠PC答案 C解析以M为球心，MA为半径的球，过A，B，C，P四点，故弦长P A＝PB＝PC，故选C.2．如图所示，平面α内有△ABC，AB＝5，BC＝8，AC＝7，梯形BCDE的上底DE＝2，过EB的中点B1的平面β∥α，若β分别交EA、DC于A1、C1，△A1B1C1的面积为________．答案253 8解析∵α∥β，A、B、E共面，∴A1B1∥AB，又∵BCDE为梯形，∴B1C1∥BC，∴B1C1＝2＋82＝5.∵A1B1∥AB，∴A1B1＝12AB＝52，cos∠A1B1C1＝cos∠ABC＝52＋82－722×5×8＝12，∴sin∠A1B1C＝32，∴S△A1B1C1＝12A1B1·B1C1·sin∠A1B1C1＝12×52×5×32＝2538.3.如图，P A⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF ⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是________．答案①②④解析①AE⊂平面P AC，BC⊥AC，BC⊥P A⇒BC⊥平面P AC，AC⊂平面P AC⇒AE⊥BC，故①正确；②AE⊥PC，AE⊥BC⇒AE⊥平面PBC⇒AE⊥PB，AF⊥PB⇒PB⊥平面AEF⇒EF⊥PB，故②④正确；③若AF⊥BC，又AF⊥PB，则AF⊥平面PBC，则AF∥AE，与已知矛盾，故③错误．4．[2015·四川高考]一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.解(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：因为ABCD-EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是BCHE为平行四边形．所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH.因为ABCD-EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.5．[2015·湖北高考]《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.(1)证明：PB ⊥平面DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC BC 的值．解 (1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC .由底面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ，而PD ∩CD ＝D ，所以BC ⊥平面PCD .而DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE .又因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC .而PC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC .而PB ⊂平面PBC ，所以PB ⊥DE .又PB ⊥EF ，DE ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB .(2)如图，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线．由(1)知，PB ⊥平面DEF ，所以PB ⊥DG .又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥DG .而PD ∩PB ＝P ，所以DG ⊥平面PBD .∴DG ⊥DF ，DG ⊥DB .故∠BDF 是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角， 设PD ＝DC ＝1，BC ＝λ(λ>0)，有BD ＝1＋λ2，在Rt △PDB 中，由DF ⊥PB ，得∠DPF ＝∠FDB ＝π3，则tan π3＝tan ∠DPF ＝BD PD ＝1＋λ2＝3，又λ>0，解得λ＝ 2.所以DC BC ＝1λ＝22.故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC ＝22.。
2017届人教A版 导数及其应用 精品演练
[A 组·基础达标练]1．[2015·赣州高三期末]已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( )A ．0B ．－1 C.12 D ．2答案 C解析 依题意得，f ′(x )＝2x (x －t )＋(x 2－4)＝3x 2－2tx －4，∴f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，即t ＝12.2．[2015·洛阳二练]曲线f (x )＝x 2＋ax ＋1在点(1，f (1))处切线的倾斜角为3π4，则实数a ＝( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7答案 C解析 f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a(x ＋1)2，又∵f ′(1)＝tan 3π4＝－1，∴a ＝7.3．[2016·云南师大附中月考]曲线y ＝a x 在x ＝0处的切线方程是x ln 2＋y －1＝0，则a ＝( )A.12 B ．2 C ．ln 2 D ．ln 12答案 A解析 由题知，y ′＝a x ln a ，y ′| x ＝0＝ln a ，切线斜率为－ln 2＝ln a ，∴a ＝12，故选A.4．[2016·辽宁五校联考]已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )A ．4B ．5 C.254 D.132答案 C解析 ∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，∴f ′(－1)＝8，切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0，令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54，∴所求面积S ＝12×54×10＝254.5．[2015·郑州二检]如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4答案 B解析 由图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又g (x )＝xf (x )，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎪⎫－13＝0.6．[2015·平顶山模拟]点P 是曲线x 2－y －ln x ＝0上的任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1B.32C.52D. 2答案 D解析 将x 2－y －ln x ＝0变形为y ＝x 2－ln x (x >0)，则y ′＝2x －1x .令y ′＝1，则x ＝1或x ＝－12(舍)，可知函数y ＝x 2－ln x 的斜率为1的切线的切点横坐标为x ＝1，纵坐标为y ＝1.故切线方程为x －y ＝0.则点P 到直线y ＝x －2的最小距离即切线x －y ＝0与y ＝x －2的两平行线间的距离，d ＝|0＋2|2＝ 2.7．[2016·昆明一中调研]若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案 C解析 依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin0＝2×0＋b ，故b ＝0，又有m ＝f (0)＝g (0)，则m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1，选C.8．[2016·大同质检]已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 C ．[－1，＋∞) D ．(－∞，－1]答案 A解析 由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y ′＝2ax ＋3－1x ＝1有正根，即2ax 2＋2x －1＝0有正根．当a ≥0时，显然满足题意；当a <0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a <0.综上，a ≥－12.9．[2015·太原一模]函数f (x )＝x e x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程是________．答案 y ＝2e x －e解析 ∵f (x )＝x e x ，∴f (1)＝e ，f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e ，∴f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即y ＝2e x －e.10．设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则a f ′(a )＋b f ′(b )＋c f ′(c )＝________. 答案 0解析 ∵f (x )＝x 3－(a ＋b ＋c )x 2＋(ab ＋bc ＋ca )x －abc ， ∴f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ca ， f ′(a )＝(a －b )(a －c )， f ′(b )＝(b －a )(b －c )， f ′(c )＝(c －a )(c －b )． ∴a f ′(a )＋b f ′(b )＋c f ′(c )＝a (a －b )(a －c )＋b (b －a )(b －c )＋c(c －a )(c －b ) ＝a (b －c )－b (a －c )＋c (a －b )(a －b )(a －c )(b －c )＝0.11．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1， ∴当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53， ∴斜率最小的切线过⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53， 斜率k ＝－1，∴切线方程为x ＋y －113＝0.即3x ＋3y －11＝0 (2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.12．设L 为曲线C ：y ＝ln xx 在点(1,0)处的切线． (1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方．解 (1)设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2.所以f ′(1)＝1.所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(∀x >0，x ≠1)．g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln xx 2. 当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0， 所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减； 当x >1时，x 2－1>0，ln x >0， 所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增． 所以，g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．[B 组·能力提升练]1．[2015·洛阳期末]已知直线m ：x ＋2y －3＝0，函数y ＝3x ＋cos x 的图象与直线l 相切于P 点，若l ⊥m ，则P 点的坐标可能是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－3π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，π2 D.⎝⎛⎭⎪⎫－3π2，－π2答案 B解析 因为直线m 的斜率为－12，l ⊥m ，所以直线l 的斜率为2.因为函数y ＝3x ＋cos x 的图象与直线l 相切于点P ，设P (a ，b )，则b ＝3a ＋cos a 且y ′| x ＝a ＝3－sin a ＝2，所以sin a ＝1，解得a ＝π2＋2k π(k∈Z )，所以b ＝3π2＋6k π(k ∈Z )，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π，3π2＋6k π(k ∈Z )，当k ＝0时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，故选B.2．[2016·新乡质检]过点A (2,1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条答案 A解析 由题意得，f ′(x )＝3x 2－3，设切点为(x 0，x 30－3x 0)，那么切线的斜率为k ＝3x 20－3，利用点斜式方程可知切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，将点A (2,1)代入可得关于x 0的一元三次方程2x 30－6x 20＋7＝0.令y ＝2x 30－6x 20＋7，则y ′＝6x 20－12x 0.由y ′＝0得x 0＝0或x 0＝2.当x 0＝0时，y ＝7>0；x 0＝2时，y ＝－1<0.所以方程2x 30－6x 20＋7＝0有3个解．故过点A (2,1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有3条，故选A.3．[2015·石家庄一模]对于曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线l 1，总存在过曲线g (x )＝ax ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为________．答案 [－1,2]解析 函数f (x )＝－e x －x 的导数为f ′(x )＝－e x －1，设曲线f (x )＝－e x －x 上的切点为(x 1，f (x 1))，则l 1的斜率k 1＝－e x 1－1.函数g (x )＝ax ＋2cos x 的导数为g ′(x )＝a －2sin x ，设曲线g (x )＝ax ＋2cos x 上的切点为(x 2，g (x 2))，则l 2的斜率k 2＝a －2sin x 2.由题设可知k 1·k 2＝－1，从而有(－e x 1－1)(a －2sin x 2)＝－1，∴a －2sin x 2＝1e x 1＋1，对∀x 1，∃x 2使得等式成立，则有y 1＝1e x 1＋1的值域是y 2＝a －2sin x 2值域的子集，即(0,1)⊆[a －2，a ＋2]，⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤0a ＋2≥1，∴－1≤a ≤2.4．[2016·唐山一中月考]已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，∵f′(－1)＝0，∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y ＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)．∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
2017届(理)人教版A版 合情推理与演绎推理 检测卷
A 组 考点能力演练1．(2016·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．答案：C2．在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，公比q >1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( )A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7B ．b 4＋b 8<b 5＋b 7C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8D ．b 5·b 8<b 4·b 7解析：∵(b 4＋b 8)－(b 5＋b 7)＝(b 4＋b 4q 4)－(b 4q ＋b 4q 3)＝b 4(1＋q 4－q －q 3)＝b 4(q －1)(q 3－1)>0，∴b 4＋b 8>b 5＋b 7，故选A.答案：A3．(2015·西安八校联考)观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第( )A ．22项B ．23项C ．24项D ．25项解析：两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项．故选C.答案：C4．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)解析：依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个“整数对”，注意到10×(10＋1)2<60<11×(11＋1)2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)，选B.答案：B5．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( ) A.5＋12 B.5－12C.5－1D.5＋1解析：根据“黄金椭圆”的性质是FB →⊥AB →，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质，设“黄金双曲线”方程为x 2a 2－y 2b2＝1， 则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)．在“黄金双曲线”中，∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝0.又FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．∴b 2＝ac .而b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2＝ac .在等号两边同除以a 2得e ＝5＋12，故选A. 答案：A6．(2016·厦门模拟)已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论：___________________________________________.解析：由等比数列的性质可知b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20，∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30. 答案：10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30 7．(2016·陕西一检)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N *,1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.解析：∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，∴归纳可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2.答案：n 28．已知x >0，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥44x 3·x 3·x 3·27x 3＝4，….在x >0的条件下，请根据上述不等式归纳出一个一般性的不等式________．解析：根据题意，分析所给不等式的变形过程可得，先对左式变形，再利用基本不等式化简，消去根号，得到右式，则x ＋n n x n ＝x n ＋x n ＋…＋x n ＋n n x n ≥(n ＋1)·n ＋1x n ·x n ·…·x n ·n nx n ＝n ＋1(n ∈N *)．答案：x ＋n nxn ≥n ＋1(n ∈N *) 9．给出下面的数表序列：表1 表2 表31 1 3 1 3 5 …4 4 812其中表n (n ＝1,2,3，…)有n 行，第1行的n 个数是1,3,5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)．解：表4为1 3 5 74 8 1212 2032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．10．如图所示，点P 为斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意三角形DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF cos ∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．解：(1)证明：因为PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，所以BB 1⊥平面PMN ，所以BB 1⊥MN .又CC 1∥BB 1，所以CC 1⊥MN .(2)在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1·SACC 1A 1cos α，其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角．证明如下：因为CC 1⊥平面PMN ，所以上述的二面角的平面角为∠MNP .在△PMN 中，因为PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP ，所以PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP ， 因为SBCC 1B 1＝PN ·CC 1，SACC 1A 1＝MN ·CC 1，SABB 1A 1＝PM ·BB 1＝PM ·CC 1， 所以S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1·SACC 1A 1cos α.B 组 高考题型专练1．(2013·高考陕西卷)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律，第n 个等式可为________．解析：观察规律可知，第n 个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2. 答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)22．(2014·高考陕西卷)已知f (x )＝x 1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2 014(x )的表达式为________．解析：由f 1(x )＝x 1＋x ⇒f 2(x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x ＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x 1＋2x ；又可得f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x1＋2x 1＋x 1＋2x＝x 1＋3x ，故可猜想f 2 014(x )＝x 1＋2 014x. 答案：f 2 014(x )＝x 1＋2 014x3．(2015·高考山东卷)观察下列各式：C 01＝40；C 03＋C 13＝41；C 05＋C 15＋C 25＝42；C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43；…照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________. 解析：第一个等式，n ＝1，而右边式子为40＝41－1； 第二个等式，n ＝2，而右边式子为41＝42－1； 第三个等式，n ＝3，而右边式子为42＝43－1； 第四个等式，n ＝4，而右边式子为43＝44－1； …归纳可知，第n 个等式的右边为4n －1. 答案：4n －1 4．(2012·高考福建卷)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝34. (2)归纳三角恒等式为sin 2 α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2 α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.。
2017届人教A版 基本不等式 精品演练
[A 组·基础达标练]1．[2016·孝感调研]“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a >b >0⇒a 2＋b 2>2ab 充分性成立，ab <a 2＋b22⇒a ≠b ，a ，b∈R ，故不必要，故选A.2．[2016·广州综合测试一]已知x >－1，则函数y ＝x ＋1x ＋1的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 C解析 由于x >－1，则x ＋1>0，所以y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1≥2(x ＋1)·1x ＋1－1＝1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，由于x >－1，即当x ＝0时，上式取等号，故选C.3．[2015·黄浦二模]已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2abB .a b ＋ba ≥2C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D ．a 2＋b 2>2ab 答案 C解析 当a ，b 都为负数时，A 不成立，当a ，b 一正一负时，B 不成立；当a ＝b 时，D 不成立，因此只有C 正确．4．[2015·绵阳一诊]若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．1B ．6C ．9D ．16 答案 B解析 解法一：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ⇒(a －1)·(b －1)＝1，所以1a －1＋9b －1≥21a －1·9b －1＝2×3＝6.(当且仅当a ＝43，b ＝4时取“＝”)解法二：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，所以1a －1＋9b －1＝b －1＋9a －9ab －a －b ＋1＝b ＋9a －10＝(b ＋9a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b －10＝b a ＋9ab ＋1＋9－10≥2b a ·9a b ＝6(当且仅当a ＝43，b ＝4时取“＝”)．解法三：因为1a ＋1b ＝1，所以a －1＝1b －1，所以1a －1＋9b －1＝(b －1)＋9b －1≥29＝2×3＝6(当且仅当b ＝4时取“＝”)．5．若x >4，则函数y ＝x ＋1x －4( )A ．有最大值－6B ．有最小值6C ．有最大值2D ．没有最小值答案 B解析 ∵x >4，∴y ＝x ＋1x －4＝(x －4)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4＋4≥2(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4＋4＝6，当且仅当x －4＝1x －4，此时x ＝5，故选B.6．若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285 C ．5 D ．6 答案 C解析 由x ＋3y ＝5xy ，得3x ＋1y ＝5(x >0，y >0)，则3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1y＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12y x ＋3x y≥15⎝⎛⎭⎪⎫13＋212y x ·3x y ＝15(13＋12)＝5. 当且仅当12y x ＝3xy ， 即x ＝2y 时，等号成立，此时由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y x ＋3y ＝5xy ，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝12.故选C.7．[2016·洛阳月考]设正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋a8b 的最小值为________．答案 1解析 依题意得1a ＋a 8b ＝a ＋b 2a ＋a 8b ＝12＋b 2a ＋a 8b ≥12＋2b 2a ×a 8b＝1，当且仅当⎩⎨⎧b 2a ＝a8ba ＋b ＝2即a ＝2b ＝43时取等号，因此1a ＋a8b 的最小值是1.8．[2015·南昌模拟]已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．答案 6解析 9＝x ＋3y ＋xy ＝x ＋3y ＋13·(x ·3y )≤x ＋3y ＋13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22， 所以(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 所以x ＋3y ≥6或x ＋3y ≤－18(舍去)． 当且仅当x ＝3y ＝3时取“＝”．9．已知直线ax －2by ＝2(a >0，b >0)过圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0的圆心，ab 的最大值为________．答案 14解析 圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4， 所以圆心为(2，－1)， 因为直线过圆心，所以2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1.所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14， 当且仅当a ＝b ＝12时取等号， 所以ab 的最大值为14.10．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．答案 5 8解析 每台机器运转x 年的年平均利润为yx ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．[B 组·能力提升练]1．[2015·青岛一模]在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a ，b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a ∈R ，a *0＝a ；(2)对任意a ，b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0)． 则函数f (x )＝(e x )*1e x 的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8 答案 B解析 依题意可得f (x )＝(e x )*1e x ＝e x ·1e x ＋e x ＋1e x ＝e x＋1e x ＋1≥2e x ·1e x ＋1＝3，当且仅当x ＝0时“＝”成立，所以函数f (x )＝(e x)*1e x 的最小值为3，选B.2．[2015·唐山二模]若实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝8，则a ＋b ＋c 的最大值为( )A ．9B ．2 3C ．3 2D ．2 6 答案 D解析 (a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝8＋2ab ＋2ac ＋2bc .∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴8＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤2(a 2＋b 2＋c 2)＋8＝24，当且仅当a ＝b ＝c ＝263时取等号，∴a ＋b ＋c ≤2 6.3．已知a >b >0，ab ＝1，则a 2＋b 2a －b 的最小值为________．答案 2 2解析 ∵a >b >0，∴a －b >0，∴a 2＋b 2a －b ＝(a －b )2＋2ab a －b ＝a －b ＋2a －b≥2(a －b )·2a －b＝2 2.当且仅当a －b ＝2a －b，即a ＝b ＋2时等号成立．4．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，g (x )在(0,22]上单调递减，在(22，＋∞)上单调递增，且g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173. ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83. 故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.5．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．解 (1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为y 1元， 则y 1＝[9x (x ＋1)＋900]x ＋1800×6 ＝900x ＋9x ＋10809≥2900x ·9x ＋10809＝10989， 当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时取等号．即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．(2)∵不少于210吨，每天用面粉6吨， ∴至少每隔35天购买一次面粉．设该厂利用此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元则y 2＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1800×0.9 ＝900x ＋9x ＋9729(x ≥35)．令f (x )＝x ＋100x (x ≥35)，x 2>x 1≥35， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋100x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋100x 2 ＝(x 2－x 1)(100－x 1x 2)x 1x 2. ∵x 2>x 1≥35，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0,100－x 1x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)，即f (x )＝x ＋100x ，当x ≥35时为单调递增函数， ∴当x ＝35时，f (x )有最小值， 此时(y 2)min ＝704887<10989.∴该厂应接受此优惠条件．。
2017届人教A版 简单几何体、三视图和直观图 精品演练
[A组·基础达标练]1．[2016·潍坊模拟]一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱答案 D解析球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等．三棱锥的三条侧棱相等且两两垂直时，其三视图的形状都相同，大小均相等．不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故选D.2．下列命题中正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点答案 D解析棱柱的结构特征有三个方面：有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形所在面中，每相邻两个面的公共边都互相平行．由此可知选项A、B均不正确；各面都是三角形的几何体并不一定是棱锥，如正八面体，故选项C不正确．棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面截去一部分得到的，故可知棱台各侧棱的延长线交于一点，故选D.3．[2015·海口模拟]如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()答案 D解析由俯视图可排除A、C，由正视图和侧视图可知B错，故选D.4．[2016·云南师大附中月考]已知一几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何体(图形)可能是()①矩形；②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；③每个面都是直角三角形的四面体A．①②③B．②③C．①③ D．①②答案 A解析由三视图知该几何体为正四棱柱如图所示．当选择的四个点为B1、B、C、C1时，几何体为矩形，①正确；当选择B、A、B1、C时，几何体满足②中要求；当选择A、B、D、D1时，几何体满足③中要求．故选A.5．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于()A．1 B. 2C.2－12 D.2＋12答案 C解析由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为2，正视图面积范围应为[1，2]，不可能等于2－12.故选C.6．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：①四边形BFD1E有可能为梯形；②四边形BFD1E有可能为菱形；③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；⑤四边形BFD1E面积的最小值为6 2.其中正确的是()A．①②③④B．②③④⑤C．①③④⑤D．①②④⑤答案 B解析四边形BFD1E为平行四边形，①显然不成立，当E、F 分别为AA1、CC1的中点时，②④成立，四边形BFD1E在底面的投影恒为正方形ABCD.当E、F分别为AA1、CC1的中点时，四边形BFD1E的面积最小，最小值为62.故选B.7．如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E 为平面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影可能是________(填出所有可能的序号)．答案①②③解析空间四边形D′OEF在正方体的平面DCC′D′上的投影是①；在平面BCC′B′上的投影是②；在平面ABCD上的投影是③，而不可能出现的投影为④的情况．8.在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在直角坐标系xOy中，四边形ABCO为________，面积为________ cm2.答案矩形8解析由斜二测画法的特点可知该平面图形是一个长为4 cm、宽为2 cm的矩形，所以面积为8 cm2.9．[2015·丰台模拟]如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是________．答案 3解析由三视图可知，该几何体的直观图如图所示．AB ，AC ，AD 两两垂直，且均为2，所以四个面中面积最大的为△BCD ，且△BCD 是边长为2的正三角形，所以S △BCD ＝12×2×2×32＝ 3.10．[2015·朝阳模拟]已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为________．答案 34解析 由正视图与俯视图可知，该几何体侧视图的面积为12×32×3＝34.[B 组·能力提升练]1．[2016·长春质检]某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )A ．2＋1＋52πB ．2＋1＋252πC ．2＋(1＋5)πD ．2＋2＋52π答案 A解析 由几何体的三视图可知，该几何体是经过旋转轴作截面，截取的半个圆锥，底面半径是1，高是2，所以母线长为5，所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角形的面积的和，即12π＋12π·5＋12×2×2＝1＋52π＋2，故选A.2．[2015·课标全国卷Ⅱ]一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15答案 D解析如图，不妨设正方体的棱长为1，则截去部分为三棱锥A －A 1B 1D 1，其体积为16，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为56，故所求比值为15.故选D.3．[2015·北京高考]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5答案 C解析由三视图可知，该几何体底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA ⊥平面ABC )，由三视图中的数据可计算得S △ABC ＝12×2×2＝2，S △SAC ＝12×5×1＝52，S △SAB ＝12×5×1＝52，S △SBC ＝12×2×5＝5，所以S 表面积＝2＋2 5.4．[2015·湖南高考]某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)()A.89πB.169πC.4(2－1)3πD.12(2－1)3π答案 A解析 解法一：由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此长方体底面对角线长为2x ，高为h ，则由三角形相似可得，x 1＝2－h 2，所以h ＝2－2x ，x ∈(0,1)，长方体体积为V 长方体＝(2x )2h ＝2x 2(2－2x )≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋2－2x 33＝1627，当且仅当x ＝2－2x ，即x ＝23时取等号，V 圆锥＝13π×12×2＝2π3，故材料利用率为16272π3＝89π，选A.解法二：由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此长方体底面对角线长为2x ，高为h ，则由三角形相似可得，x 1＝2－h 2，所以h ＝2－2x ，x ∈(0,1)，长方体体积为V 长方体＝(2x )2h ＝2x 2(2－2x )＝－4x 3＋4x 2，令V ′长方体＝－12x 2＋8x ＝0，得x ＝23，故当x ＝23时，(V 长方体)max ＝1627，V 圆锥＝13π×12×2＝2π3，故材料利用率为16272π3＝89π，选A.5．[2015·大连模拟]某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是________．答案 27解析由三视图可知该四面体为V －ABC ，如图所示．其中AE ⊥BE ，VC ⊥平面ABE .EC ＝CB ＝2，AE ＝23，VC ＝2，所以AC 2＝AE 2＋EC 2＝(23)2＋22＝16，所以VA2＝AC2＋VC2＝16＋22＝20，VA＝20＝2 5.AB2＝AE2＋EB2＝(23)2＋42＝28，所以AB＝28＝27>25，所以该四面体的六条棱的长度中，最大的为27.。
人教A版高二数学选修 排列组合应用(1)-1教案
教案知人者智，自知者明。
《老子》关注本店铺，下次再找不迷路师院附中李忠海知识概要二、核心内容复习回顾知识点（1）分类加法计数原理（2）分步乘法计数原理（3）排列、组合的概念（4）排列数和组合数公式例6把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_____种.分析：设5件不同产品分别为：A,B,C,D,E 因为要求AB相邻，AC不相邻，所以将AB看成一个元素，第一步先将AB整体和D,E看成三个元素全排列，第二步再将C插空321 32336A A A∴⋅⋅=例7甲、乙、丙、丁等7人排成一排，要求甲在中间，乙、丙相邻，且丁不在两端，则不同的选法共有____种．（用数字作答）分析：这道题目可以看成有2个特殊元素乙丙整体和丁，解法1：从乙丙整体优先入手考虑分为2类，第一类乙丙整体在内部，1213 222348C A C A⋅⋅⋅=第二类乙丙整体在两侧，1213223372C A C A⋅⋅⋅=1213 2223+C A C A∴⋅⋅⋅12132233120C A C A⋅⋅⋅=解法2：从丁优先入手考虑分为2类，第一类丁在C或E位置，1123 232372C C A A⋅⋅⋅=第二类丁在B或F位置，1123222348C C A A⋅⋅⋅=甲【素材积累】1、黄鹂方才唱罢，摘村庄的上空，摘树林子里，摘人家的土场上，一群花喜鹊便穿戴着黑白相间的朴素裙裾而闪亮登场，然后，便一天喜气的叽叽喳喳，叽叽喳喳叫起来。
2、摘湖的周围有些像薄荷的小草，浓郁时，竟发出泥土的气息！仔细看几朵小花衬着绿绿的小草显得格外美丽。
夏天，大大的荷叶保护着那一朵朵娇粉的荷花。
摘整个湖泊中格外显眼。
如果你用手希望对您有帮助，谢谢来捧一捧这里的水，那可真是凉爽它会让你瞬间感到非常凉爽、清新。
【素材积累】海明威和他的“硬汉形象”美国作家海明威是一个极具进取精神的硬汉子。
他曾尝试吃过蚯蚓、蜥蜴，在墨西哥斗牛场亮过相，闯荡过非洲的原始森林，两次世界大战都上了战场。
2017届人教A版 条件概率、独立重复试验 考点演练
题组层级快练(六十五)1．某厂大量生产某种小零件，经抽样检验知道其次品率是1%，现把这种零件每6件装成一盒，那么每盒中恰好含一件次品的概率是( ) A ．(99100)6B ．0.01 C.C 61100(1－1100)5 D ．C 62(1100)2(1－1100)4 答案 C解析 P ＝C 61·1%·(1－1100)5.2．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( ) A.C 53C 41C 54B.⎝⎛⎭⎫593×49 C.35×14 D ．C 41×⎝⎛⎭⎫593×49答案 B解析 由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为⎝⎛⎭⎫593×49.3．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为( ) A.23 B.512 C.59 D.79答案 C解析 记“第i(i ＝1，2)支晶体管是好的”为事件A i (其中i ＝1，2)，依题意知，要求的概率为P(A 2|A 1)．由于P(A 1)＝35，P(A 1A 2)＝6×510×9＝13，所以P(A 2|A 1)＝P （A 2A 1）P （A 1）＝1335＝59.4．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，在取到的球都是红球的前提下，则至少有1个球的号码是偶数的概率是( ) A.15B.452211答案 B解析 记“取到的两个球都是红球”为事件A ，“取到的两个球至少有1个球的号码是偶数”为事件B ，则依题意知，要求的概率为P(B|A)．由于P(A)＝C 62C 122＝522，P(AB)＝C 62－C 32C 122＝211，所以P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝211522＝45. 5．(2016·沧州七校联考)某道路的A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒．某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是( )A.35192B.25192C.55192D.65192 答案 A解析 三处都不停车的概率是P(ABC)＝2560×3560×4560＝35192.6．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A.49B.29C.23D.13答案 A解析 设A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(A)＝23，B 表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(B)＝23.则P(AB)＝P(A)P(B)＝23×23＝49.7．已知随机变量ξ～B(6，13)，则P(ξ＝2)等于( )A.316B.1243243243答案 D解析 已知ξ～B(6，13)，P (ξ＝k)＝C n k p k q n －k .当ξ＝2，n ＝6，p ＝13时，P (ξ＝2)＝C 62(13)2(1－13)6－2＝C 62(13)2(23)4＝80243.8．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率( ) A.1127 B.1124 C.1627 D.924答案 A解析 记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球． P(B)＝42＋4＝23，P(B －)＝1－P(B)＝13.P(A|B)＝3＋18＋1＝49，P(A|B －)＝38＋1＝13，从而P(A)＝P(AB)＋P(A B －)＝P(A|B)P(B)＋P(A|B －)P(B －)＝49×23＋13×13＝1127，选A.9．设随机变量X ～B(2，p)，Y ～B(4，p)，若P(X ≥1)＝59，则P(Y ≥2)的值为( )A.3281B.1127C.6581D.1681答案 B解析 P(X ≥1)＝P(X ＝1)＋P(X ＝2)＝C 21p(1－p)＋C 22p 2＝59，解得p ＝13.(0≤p ≤1，故p ＝53舍去)．故P(Y ≥2)＝1－P(Y ＝0)－P(Y ＝1)＝1－C 40×(23)4－C 41×13×(23)3＝1127.10．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球.如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( ) A ．C 75⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫235B ．C 72⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫135C ．C 74⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫135D ．C 73⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫135答案 B解析 S 7＝3说明摸取2个红球，5个白球，故S 7＝3的概率为C 72⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫135.11．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(ξ＝4)＝________． 答案10243解析 考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B(5，13)． 即有P(ξ＝k)＝C 5k (13)k ×(23)5－k ，k ＝0，1，2，3，4，5.∴P (ξ＝4)＝C 54(13)4×(23)1＝10243.12．在4次独立重复试验中事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为________． 答案 13解析 A 至少发生一次的概率为6581，事件A 都不发生的概率为1－6581＝1681＝(23)4，所以A 在一次试验中出现的概率为1－23＝13.13．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________． 答案 0.128解析 依题意得，事件“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”即意味着“该选手在回答前面4个问题的过程中，要么第一个问题答对且第二个问题答错，第三、四个问题都答对了；要么第一、二个问题都答错；第三、四个问题都答对了”，因此所求事件的概率等于[0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)2]×0.82＝0.128.14．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响． (1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次，且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则终止其射击，问乙恰好射击5次后被终止射击的概率是多少？答案 (1)6581 (2)18 (3)251 024解析 (1)记“甲连续射击4次，至少有一次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击4次，相当于做4次独立重复试验，故P(A 1)＝1－P(A －)＝1－(23)4＝6581.(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B 2，则P(A 2)＝C 42(23)2(1－23)2＝827，P(B 2)＝C 43(34)3(1－34)＝2764，∵A 2、B 2是相互独立事件，∴所求概率为P(A 2B 2)＝P(A 2)P(B 2)＝18.(3)记“乙恰好射击5次后被终止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击未击中”为事件D i (i ＝1，2，3，4，5)，则A 3＝D 5D 4D －3(D 2D 1)，且P(D i )＝14，由各事件相互独立，故P(A 3)＝P(D 5)P(D 4)P(D －321＝14×14×34×(1－14×14)＝451 024.15．(2015·北京理)A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：无)记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16；B 组：12，13，15，16，17，14，a.假设所有病人的康复时间相互独立．从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a ＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率． 答案 (1)37 (2)1049解析 设事件A i 为“甲是A 组的第i 个人”， 事件B i 为“乙是B 组的第i 个人”，i ＝1，2，…，7. 由题意可知P(A i )＝P(B i )＝17，i ＝1，2， (7)(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是 P(A 5∪A 6∪A 7)＝P(A 5)＋P(A 6)＋P(A 7)＝37.(2)设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，C ＝A 4B 1∪A 5B 1∪A 6B 1∪A 7B 1∪A 5B 2∪A 6B 2∪A 7B 2∪A 7B 3∪A 6B 6∪A 7B 6.因此P(C)＝P(A 4B 1)＋P(A 5B 1)＋P(A 6B 1)＋P(A 7B 1)＋P(A 5B 2)＋P(A 6B 2)＋P(A 7B 2)＋P(A 7B 3)＋P(A 6B 6)＋P(A 7B 6)＝10P(A 4B 1)＝10P(A 4)P(B 1)＝1049.1．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( ) A ．[0.4，1) B ．(0，0.6] C ．(0，0.4] D ．[0.6，1)答案 A解析 C 41p(1－p)3≤C 42p 2(1－p)2，4(1－p)≤6p ，p ≥0.4，又0<p<1，∴0.4≤p<1. 2．如果ξ～B ⎝⎛⎭⎫15，14，那么使P(ξ＝k)取最大值的k 值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．3或4答案 D解析 采取特殊值法． ∵P (ξ＝3)＝C 153⎝⎛⎭⎫143⎝⎛⎭⎫3412，P (ξ＝4)＝C 154⎝⎛⎭⎫144⎝⎛⎭⎫3411，P (ξ＝5)＝C 155⎝⎛⎭⎫145⎝⎛⎭⎫3410，从而易知P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)>P(ξ＝5)．故选D.3.如图所示，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次是0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576答案 B解析 A 1，A 2不能同时工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864. 4．设随机变量X ～B(6，12)，则P(X ＝3)＝________．答案516解析 ∵X ～B(6，12)，∴P(X ＝3)＝C 63(12)3(1－12)3＝516.5.如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________．答案 14解析 AB 表示事件“豆子落在△OEH 内”，P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝△OEH 的面积正方形EFGH 的面积＝14.6．某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟试验，准备用A ，B ，C 三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如下：据．(1)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；(2)考虑到各地的旱情和水土流失情况不同，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只需小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量 ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)． 答案 (1)124 (2)1912解析 (1)由人工降雨模拟的统计数据，用A ，B ，C 三种人工降雨方式对甲、乙、丙三地实施人工降雨得到大雨、中雨、小雨的概率如下表所示．设P(E)＝P(A 2)P(B 2)P(C 2)＝12×12×16＝124.(2)设甲、乙、丙三地达到理想状态的概率分别为P 1，P 2，P 3，则P 1＝P(A 2)＝12，P 2＝P(B 1)＝14，P 3＝P(C 2)＋P(C 3)＝56. ξ的可能取值为0，1，2，3.P (ξ＝0)＝(1－P 1)(1－P 2)(1－P 3)＝12×34×16＝116；P (ξ＝1)＝P 1(1－P 2)(1－P 3)＋(1－P 1)P 2(1－P 3)＋(1－P 1)(1－P 2)P 3＝12×34×16＋12×14×16＋12×34×56＝1948； P (ξ＝2)＝(1－P 1)P 2P 3＋P 1(1－P 2)P 3＋P 1P 2(1－P 3)＝12×14×56＋12×34×56＋12×14×16＝716；P (ξ＝3)＝P 1P 2P 3＝12×14×56＝548.所以随机变量ξ的分布列为所以数学期望E(ξ)＝116×0＋1948×1＋716×2＋548×3＝1912.7．(2015·新课标全国Ⅱ理)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C 的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．答案 (1)略 (2)0.48解析 (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散． (2)记C A1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”； C A2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； C B1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； C B2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”；则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，C ＝C B1C A1∪C B2C A2. P(C)＝P(C B1C A1∪C B2C A2) ＝P(C B1C A1)＋P(C B2C A2) ＝P(C B1)P(C A1)＋P(C B2)P(C A2)．由所给数据得C A1，C A2，C B1，C B2发生的频率分别为1620，420，1020，820，及P(C A1)＝1620，P(C A2)＝420，P(C B1)＝1020，P(C B2)＝820，P(C)＝1020×1620＋820×420＝0.48.。
2017届人教A版 函数与方程 精品演练
[A 组·基础达标练]1．[2015·陕西二模]若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续的，则下列说法正确的是( )A ．若f (a )f (b )>0，则不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0B ．若f (a )f (b )>0，则有可能存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0C ．若f (a )f (b )<0，则有可能不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0D ．若f (a )f (b )<0，则有且只有一个实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0 答案 B解析 由函数零点存在性定理可知，选B.2．已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 B解析 函数f (x )的导数为f ′(x )＝1x ，所以g (x )＝f (x )－f ′(x )＝ln x －1x .因为g (1)＝ln 1－1＝－1<0，g (2)＝ln 2－12>0，所以函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间为(1,2)．故选B.3．[2016·陕西一检]设函数f (x )＝log πx ，函数g (x )＝35sin2x ，则f (x )与g (x )的图象的交点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0 答案 A解析 作出f (x )，g (x )的图象，如图所示，可知有1个交点，故选A.4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且x 0<x 1，则f (x 1)的值( )A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不大于零答案 A解析 由于函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x－log 3x 在定义域内是减函数，于是，若f (x 0)＝0，当x 0<x 1时，一定有f (x 1)<0，故选A.5．[2015·莱芜一模]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12 D ．0答案 D解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12.又因为x >1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0.6．[2015·郑州一检]设函数f (x )＝e x ＋2x －4，g (x )＝ln x ＋2x 2－5，若实数a ，b 分别是f (x )，g (x )的零点，则( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0答案 A解析 依题意，f (0)＝－3<0，f (1)＝e －2>0，且函数f (x )是增函数，因此函数f (x )的零点在区间(0,1)内，即0<a <1.g (1)＝－3<0，g (2)＝ln 2＋3>0，函数g (x )的零点在区间(1,2)内，即1<b <2，于是有f (b )>f (1)>0.又函数g (x )在(0,1)内是增函数，因此有g (a )<g (1)<0，g (a )<0<f (b )，选A.7．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的解有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．多于4个答案 C解析 函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，则函数f (x )是以2为周期的周期函数，在同一坐标系中画出函数y ＝f (x )与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示：由图可知函数y ＝f (x )与函数y ＝log 3|x |的图象共有4个交点，即方程f (x )＝log 3|x |的解有4个，故选C.8．[2015·青岛一模]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 答案 C解析 由g (x )＝f (x )－m ＝0得f (x )＝m ，作出函数y ＝f (x )的图象．当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14≥－14，所以要使函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，则－14<m <0，即m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，故选C.9．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 解析 当a ＝0时，函数f (x )＝1在(－1,1)上没有零点，所以a ≠0.根据零点存在性定理可得f (－1)f (1)<0，即(－3a ＋1)(1－a )<0，所以(a－1)(3a －1)<0，解得13<a <1，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.10．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x .若在区间[－2,2]上方程ax ＋a －f (x )＝0恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．答案 [0,1)解析 由f (x ＋2)＝f (x )得函数的周期是2. 由ax ＋a －f (x )＝0得f (x )＝ax ＋a ，设y ＝f (x )，y ＝ax ＋a ，作出函数y ＝f (x )，y ＝ax ＋a 的图象．如图，要使方程ax ＋a －f (x )＝0恰有三个不相等的实数根， 则直线y ＝ax ＋a ＝a (x ＋1)的斜率满足0≤a <k AB ， 由题意可知，A (－1,0)，B (1,2)，所以k AB ＝22＝1， 所以0≤a <1，即a ∈[0,1)． 11．已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6. (1)证明：函数f (x )有且只有一个零点；(2)求该零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过14. 解 (1)证明：由题意知，f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )是增函数．∵f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0， ∴f (2)·f (3)<0.∴f (x )在(2,3)上至少有一个零点． 又∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的， ∴f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点． (2)由(1)知f (2)<0，f (3)>0， ∴f (x )的零点x 0∈(2,3)．取x 1＝52，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝ln 52－1＝ln 52－ln e<0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52·f (3)<0，∴x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3. 取x 2＝114，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫114＝ln 114－12＝ln 114－ln e>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫114·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<0. ∴x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪114－52＝14≤14，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114即为符合条件的区间． 12．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋t －1，g (x )＝x ＋e2x (x >0，其中e表示自然对数的底数)．(1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定t 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解 (1)解法一：g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e.故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有零点． 解法二：解方程g (x )＝m ， 得x 2－mx ＋e 2＝0. 此方程有大于零的根，故⎩⎨⎧m 2>0，Δ＝m 2－4e 2≥0.等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m ≥2e 或m ≤－2e ，故m ≥2e.即m 的取值范围为[2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )、f (x )的图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋t －1 ＝－(x －e)2＋t －1＋e 2.∴其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为t －1＋e 2. 故当t －1＋e 2>2e ，即t >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点， 即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴t 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．[B 组·能力提升练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1(0≤x <1)f (x －1)(x ≥1)，g (x )＝k (x ＋1)，若方程f (x )－g (x )＝0有四个不同实数根，则k 的取值范围为( )A.14≤k <13 B.15≤k <14 C.16≤k <15 D.17≤k <16答案 C解析 当x ≥1时，f (x )＝f (x －1)，得f (x ＋1)＝f (x )，所以当x ≥1时，f (x )的周期为1，因为g (x )＝k (x ＋1)，所以g (x )的图象过定点(－1,0)，因为f (x )－g (x )＝0有四个不同的实数根，所以y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有四个交点，画出y ＝f (x )的图象，如图所示，可知，(5,1)与(－1,0)所在直线的斜率为16，(4,1)与(－1,0)所在直线的斜率为15，要使图象有四个交点，则k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，15.2．[2016·云南名校联考]已知函数f (x )满足f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ，若在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3内，曲线g (x )＝f (x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12e C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 33，1e D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 33，12e 答案 C解析 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1时，1x ∈[1,3]，f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－ln x ，∴f (x )＝⎩⎨⎧ln x ，x ∈[1，3]－ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1，作出其图象，如图所示．设x ∈[1,3]时，直线y ＝ax 与y ＝ln x 的图象相切，其切点为(x 0，y 0)，则1x 0＝a ，∴x 0＝1a ，∴y 0＝1，∴1＝ln 1a ，∴a ＝1e .又点(3，ln 3)与原点连线的斜率为ln 33，可知曲线g (x )＝f (x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 33，1e ，故选C.3．[2016·河南质检]给定方程：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋sin x －1＝0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(－∞，0)内有且只有一个实数解；④若x 0是该方程的实数解，则x 0>－1.正确命题是________．答案 ②③④解析 依题意，在同一坐标系中画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1与y ＝－sin x (该函数的值域是[－1,1])的大致图象，结合图象可知，它们的交点中，横坐标为负的交点有且只有一个，因此方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋sin x －1＝0在(－∞，0)内有且只有一个实数解，故③正确，①不正确；由图象易知②④均正确．4．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x －4ln x 的零点个数．解 (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. ∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x >0)， ∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2. 令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，g (e 5)＝e 5－3e 5－20－2>25－1－22＝9>0，∴g (x )只有一个零点x 0∈(1，e 5)．因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点． 故g (x )在(0，＋∞)上只有1个零点．。
2017届人教A版 计数原理 精品演练
[A组·基础达标练]1．已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法种数为()A．6 B．13C．12 D．10答案 C解析由分步计数原理可知，走法总数为4×3＝12，故选C.2．[2016·西安模拟]将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人．要求甲必须在高一年级，乙和丙均不在高三年级，则不同的安排种数为()A．18 B．15C．12 D．9答案 D解析若甲、乙在高一年级，则丙一定在高二年级，此时不同的安排种数为3种；若甲、丙在高一年级，则乙一定在高二年级，此时不同的安排种数为3种；若甲在高一年级，乙、丙在高二年级，此时不同的安排种数为3种，所以共有9种不同的安排种数．3．如图所示，在A、B间有四个焊接点1、2、3、4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A、B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有()A．9种B．11种C．13种D．15种答案 C解析按照焊接点脱落的个数进行分类．若脱落1个，则有(1)，(4)共2种；若脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)共6种；若脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)共4种；若脱落4个，有(1,2,3,4)共1种．综上共有2＋6＋4＋1＝13(种)焊接点脱落的情况．4．[2016·贵阳模拟]已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各选一个数作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内多少个不同点()A．18个B．10个C．16个D．14个答案 B解析第三、四象限内点的纵坐标为负值，分2种情况讨论．①取M中的点作横坐标，取N中的点作纵坐标，有3×2＝6(种)情况；②取N中的点作横坐标，取M中的点作纵坐标，有4×1＝4(种)情况．综上共有6＋4＝10(种)情况．5．[2016·泰安模拟]从－2，－1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为()A．6 B．20C．100 D．120答案 A解析分三步：第一步：c＝0只有1种选法；第二步：确定a，a只能从－2，－1中选一个，有2种不同的选法；第三步：确定b，b只能从1,2,3中选一个，有3种不同的选法．根据分步乘法计数原理得1×2×3＝6(种)不同的选法．6．[2015·宁德模拟]一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如735,414等)，那么，这样的三位数共有()A．240个B．249个C．285个D．330个解析因为十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字，所以当十位数字是0时有9×9种结果，当十位数字是1时有8×8种结果，当十位数字是2时有7×7种结果，当十位数字是3时有6×6种结果，当十位数字是4时有5×5种结果，当十位数字是5时有4×4种结果，当十位数字是6时有3×3种结果，当十位数字是7时有2×2种结果，当十位数字是8时有1种结果，共有81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1＝285种结果．7．设a、b∈{1,2,3}，则方程ax＋by＝0所能表示的不同的直线的条数是________．答案7解析要得到直线ax＋by＝0，需要确定a和b的值，当a，b 不同时，可确定3×2＝6条不同的直线，当a，b相同时，可确定1条直线，故方程ax＋by＝0所能表示的不同直线的条数为7条．8．[2016·南宁模拟]将3个不同的小球放入编号分别为1,2,3,4的盒子内，则4号盒子中至少有一个球的放法有________种．答案37解析根据题意，将3个不同的小球放入编号分别为1,2,3,4的盒子内，有4×4×4＝64(种)放法，而4号盒子中没有球，即3个小球放在1,2,3的盒子里，有3×3×3＝27(种)放法，所以4号盒子中至少有一个球的放法有64－27＝37(种)．9．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天，且每天至多安排一人，并要求甲排在另外两位的前面，不同的安排方法共有________种．解析按甲的安排进行分类讨论①甲排周一，则乙、丙排后4天中2天，有4×3＝12(种)；②甲排周二，则乙、丙排后3天中2天，有3×2＝6(种)；③甲排周三，则乙、丙排后2天，有2×1＝2(种)．故共有12＋6＋2＝20(种)．10．[2016·石家庄模拟]为举办校园文化节，某班推荐2名男生、3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的种数为________．(用数字作答) 答案24解析若参加乐器培训的是女生，则各有1名男生及1名女生分别参加舞蹈和演唱培训，共有3×2×2＝12(种)方案；若参加乐器培训的是男生，则各有1名男生、1名女生及2名女生分别参加舞蹈和演唱培训，共有2×3×2＝12(种)方案，所以共有24种推荐方案．[B组·能力提升练]1．[2016·湖州模拟]如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有()A．24种B．72种C．84种D．120种答案 C解析如图设四个直角三角形顺次为A，B，C，D，按A→B→C→D顺序涂色，下面分两种情况：(1)A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色)：有4×3×2×2＝48(种)．(2)A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色)：有4×3×1×3＝36(种)．共有84种．2．将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为()A．4 B．6C．9 D．12答案 B解析如图所示，根据题意，1,2,9三个数字的位置是确定的，余下的数中，5只能在a，c位置，8只能在b，d位置，依(a，b，c，d)顺序，具体有(5,8,6,7)，(5,6,7,8)，(5,7,6,8)，(6,7,5,8)，(6,8,5,7)，(7,8,5,6)，合计6种．3．[2016·天水调研]电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信．甲信箱中有10封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众．若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有________种不同的结果．答案5600解析由题意知本题是一个分两类计数问题：①幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有10×9×20＝1800(种)．②幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×10＝3800(种)．因此共有不同结果1800＋3800＝5600(种)．4．一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡自己使用，共有多少种不同的取法？(2)某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡，供自己今后选择使用，问一共有多少种不同的取法？解(1)任取一张手机卡，可以从10张不同的中国移动卡中任取一张，或从12张不同的中国联通卡中任取一张，每一类办法都能完成这件事，故应用分类加法计数原理，有10＋12＝22种取法．(2)从移动、联通卡中各取一张，则要分两步完成：从移动卡中任取一张，再从联通卡中任取一张，故应用分步乘法计数原理，有10×12＝120种取法．5．设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？解(1)利用分类加法计数原理：5＋2＋7＝14(种)不同的选法．(2)国画有5种不同选法，油画有2种不同的选法，水彩画有7种不同的选法，利用分步乘法计数原理得到5×2×7＝70(种)不同的选法．(3)选法分三类，分别为选国画与油画、油画与水彩画、国画与水彩画，由分类加法计数原理和分步乘法计数原理知共有5×2＋2×7＋5×7＝59(种)不同的选法．。
人教A版选修2-3排列组合问题的常见模型.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作排列组合问题的常见模型一、相异元素不许重复的排列组合问题这类问题有两个条件限制，一是给出的元素是不同的，即不允许有相同的元素；二是取出的元素也是不同的，即不允许重复使用元素。
这类问题有如下一些常见的模型。
模型１：从n 个不同的元素中每次取出m 个不同元素作排列或组合，规定某k 个元素都包含在内，则：组合数：1m k n k N C --= 排列数：2m m k m n k N A C --=例１．全组有12个同学，其中有３个女同学，现要选出５个，如果３个女同学都必须当选，试问在下列情形中，各有多种不同的选法？（１）组成一个文娱小组；（２）分别担任不同的工作．解：（１）由于要选出的５人中，３个女同学都必须当选，因此还需要选２人．这可从９个男同学中选出，故不同的选法有：53112336(N C --==种)（２）在上述组合的基础上，因为还需要考虑选出５人的顺序关系，故不同的选法有：553522512359120364320(N A C A C --===⨯=种)模型２．从n 个不同的元素中每次取出m 个不同元素作排列或组合，规定某k 个元素都不包含在内，则： 组合数：1m n k N C -= 排列数：2m m m m n k n k N A C A --==例２．某青年突击队有15名成员，其中有５名女队员，现在选出７人，如果５名女队员都不当选，试问下列情形中，各有多少种不同的选法？(1)组成一个抢修小组；（２）分别但任不同的抢修工作．解：（１）由于５名女队员都不当选，因此只能从10名男同学选出，故不同的选法有：77311551010120N C C C -====（种）（２）由于还需考虑选出的７个人的顺序问题，故不同的选法有：7721551010987654604800N A A -===⨯⨯⨯⨯⨯⨯=（种）模型３．从n 个不同的元素中每次取出m 个不同元素作排列或组合，规定每一个排列或组合，都只包含某k 个元素中的某s 个元素。
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[A组·基础达标练]1．[2016·四川“联测促改”(一)]编号为1,2,3,4,5,6的六个同学排成一排，3,4号两位同学相邻，不同的排法有()A．60种B．120种C．240种D．480种答案 C解析把3,4号看成一个整体，再与其他的号排列，A22A55＝240.2．[2015·东北三省二模]已知函数f(x)＝ln (x2＋1)的值域为{0,1,2}，则满足这样条件的函数的个数为()A．8 B．9C．26 D．27答案 B解析由题意可知当ln (x2＋1)＝0时，x＝0；当ln (x2＋1)＝1时，x＝±e－1；当ln (x2＋1)＝2时，x＝±e2－1，所以定义域取值即在这5个元素中选取．①当定义域有3个元素时，满足条件的个数为C11C12C12＝4；②当定义域中有4个元素时，满足条件的个数为C11C34＝4；③当定义域中有5个元素时，满足条件的个数为1.所以共有4＋4＋1＝9个这样的函数．3．10名同学合影，站成了前排3人，后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为()A．C27A55B．C27A22C．C27A25D．C27A35答案 C解析从后排抽2人的方法种数是C27，前排的排列方式种数为A25，由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是C27A25.4．[2014·辽宁高考]6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120C．72 D．24答案 D解析空位不相邻时，有A23×2＝12种坐法，有两个空位相邻时，有A33×A22＝12种坐法，所以共有12＋12＝24种坐法．5．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()A．300 B．216C．180 D．162答案 C解析分两类：第1类，不取0，即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C23·C22·A44＝72个不同的四位数；第2类，取0，此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C12·C23·(A44－A33)＝108个不同的四位数．根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72＋108＝180个．故选C.6．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，每部分涂一种颜色，有公共边界的两块不能用同一种颜色，如果颜色可以反复使用，则不同的着色方法共有()A．24种B．30种C．36种D．48种答案 D解析按使用颜色种数可分为两类．①使用4种颜色有A44＝24种不同的着色方法，②使用3种颜色有A34＝24种不同着色方法．由分类加法计数原理知共有24＋24＝48种不同的着色方法．故选D.7．[2014·北京高考]把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．答案36解析将A、B捆绑在一起，有A22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A44种摆法，共有A22A44＝48(种)摆法，而A、B、C3件在一起，且A、B相邻，A、C相邻有CAB、BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A33＝12(种)摆法，故满足条件的不同摆法有48－12＝36(种)．8．[2014·广东高考]从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．答案1 6解析从10个数字中任取7个数，有C710种方法，其中以6为中位数的情况是6在中间，后面必须是7,8,9，前面可以在0到5这6个数中任取3个，从而所求概率是C36C710＝16.9．某铁路货运站对6列货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有________种．答案216解析先进行分组，从其余4列火车中任取2列与甲一组，不同的分法为C24＝6(种)．由分步计数原理得不同的发车顺序为C24·A33·A33＝216(种)．10．计算：(1)2A57－A66 6！＋5！；(2)(C98100＋C97100)÷A3101；(3)C22＋C23＋C24＋…＋C210.解 (1)原式＝7！－6！6！＋5！＝(7×6－6)×5！(6＋1)×5！＝367.(2)原式＝C 98101÷A 3101＝C 3101÷A 3101＝1A 33＝16. (3)原式＝(C 33＋C 23)＋C 24＋…＋C 210＝(C 34＋C 24)＋C 25＋…＋C 210＝(C 35＋C 25)＋C 26＋…＋C 210＝…＝C 311＝165.[B 组·能力提升练]1．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种答案 A解析 解法一：先分组后分配，不同的安排方案共有C 24C 22A 22A 22A 22＝12(种)．故选A.解法二：由位置选元素，先安排甲地，其余去乙地，不同的安排方案共有C 12C 24·C 11C 22＝12(种)．选A. 2．计划在4个不同的体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有( )A ．60种B ．42种C ．36种D ．24种答案 A解析 按照选取的体育馆数进行分类．①选取三个不同的体育馆，则需从4个体育馆中选取3个进行全排，不同的方案为A 34＝24个；②选取两个不同的体育馆，则需先从4个体育馆中选取1个，选择三个项目中的两个；然后从剩余3个体育馆中选取一个举办剩下的1个项目即可，故不同的安排方案为C 14C 23C 13C 11＝36个．综上，不同的方案共有24＋36＝60个．故选A.3．[2016·重庆模拟]将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法共有________种．答案20解析解法一：将7个相同的球放入4个不同的盒子，即把7个球分成4组，因为要求每个盒子都有球，所以每个盒子至少放1个球，不妨将7个球摆成一排，中间形成6个空，只需在这6个空中插入3个隔板将它们隔开，即分成4组，不同的插入方法共有C36＝20种，所以每个盒子都有球的放法共有20种．解法二：按盒中球的个数分类(1)按4、1、1、1放有C14＝4(种)．(2)按3、2、1、1放有4×3＝12(种)．(3)按2、2、2、1放有C14＝4(种)．所以每个盒子都有球的放法有4＋12＋4＝20(种)．4．用0、1、2、3、4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？(1)比21034大的偶数；(2)左起第二、四位是奇数的偶数．解(1)可分五类，当末位数字是0，而首位数字是2时，有6个；当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有A12A33＝12(个)；当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有A12A33＝12(个)；当末位数字是4，而首位数字是2时，有3个；当末位数字是4，而首位数字是3时，有A33＝6(个)；故共有39个．(2)解法一：可分为两类：末位数是0，有A22·A22＝4(个)；末位数是2或4，有A22·A12＝4(个)；故共有A22·A22＋A22·A12＝8(个)．解法二：左起第二、四位从奇数1、3中取，有A22个，首位从2、4中取，有A 12个；余下的排在剩下的两位，有A 22个，故共有A 22A 12A 22＝8(个)．5．7人排成一排，按下列要求各有多少种排法？ (1)其中甲不站排头，乙不站排尾． (2)其中甲、乙、丙三人必须相邻． (3)其中甲、乙、丙三人两两不相邻． (4)其中甲、乙中间有且只有1人． (5)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列．解 (1)解法一(直接法)：如果甲站排尾，其余6人有A 66种排法，如果甲站中间5个位置中的一个，而乙不站排尾，则有A 15A 15A 55种排法，故共有排法A 66＋A 15A 15A 55＝3720种．解法二(间接法)：7个人排成一排有A 77种排法，其中甲在排头有A 66种排法，乙在排尾有A 66种排法，甲在排头且乙在排尾共有A 55种排法，故共有排法A 77－A 66－A 66＋A 55＝3720种．(2)(相邻问题捆绑法)将甲、乙、丙捆在一起作为一个元素与其他4个元素作全排列有A 55种，然后甲、乙、丙内部再作全排列有A 33种，故有不同的排法A 55A 33＝720种．(3)(相间问题插空法)先排甲、乙、丙外的4人有A 44种排法，这四人之间及两端留出五个空位，然后把甲、乙、丙插入到五个空位中有A 35种排法，故共有A 44A 35＝1440种排法．(4)(定位问题优先法)甲、乙两人有A 22种排法，现从剩下的五人中选一个插入甲、乙中间，有A 15种排法，然后再将这三人看作一个元素，和其他四个元素作全排列，有A 55种排法，故共有A 22A 15A 55＝1200种排法．(5)(定序问题缩倍法)七个人的全排列为A 77，其中若只看甲、乙、丙不同顺序的排法有A 33种排法，但只有一种顺序符合要求，故符合要求的不同排法有A 77A 33＝840种．。