【大学数学】ch11无穷级数

高等数学教案 §11 无穷级数 重庆三峡学院高等数学课程建设组 第十一章 无穷级数

教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10．掌握,sin,cosxexx，ln(1)x和(1)a的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；

5、,sin,cosxexx，ln(1)x和(1)a的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数； 高等数学教案 §11 无穷级数 重庆三峡学院高等数学课程建设组 5、泰勒级数； 6、傅里叶级数的狄利克雷定理。

§11 1 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 常数项级数 给定一个数列 u1 u2 u3    un    则由这数列构成的表达式 u1  u2  u3     un    

叫做常数项)无穷级数 简称常数项)级数 记为1nnu 即

3211nnnuuuuu

其中第n项u n 叫做级数的一般项 级数的部分和 作级数1nnu的前n项和

nniinuuuuus 3211

称为级数1nnu的部分和

级数敛散性定义 如果级数1nnu的部分和数列}{ns有极限s 即ssnnlim 则称无穷级数1nnu收敛 这时极限s叫做这级数的和 并写成 高等数学教案 §11 无穷级数 重庆三峡学院高等数学课程建设组 3211nnnuuuuus

如果}{ns没有极限 则称无穷级数1nnu发散 余项 当级数1nnu收敛时 其部分和s n是级数1nnu的和s的近似值 它们之间的差值 rnssnun1un2    叫做级数1nnu的余项 例1 讨论等比级数(几何级数) 20nnnaqaqaqaaq 的敛散性 其中a0 q叫做级数的公比 例1 讨论等比级数nnaq0(a0)的敛散性 解 如果q1 则部分和 qaqqaqaqaaqaqaqasnnnn111 12

当|q|1时 因为qasnn1lim 所以此时级数nnaq0收敛 其和为qa1 当|q|>1时 因为nnslim 所以此时级数nnaq0发散 如果|q|1 则当q1时 sn na 因此级数nnaq0发散 高等数学教案 §11 无穷级数

重庆三峡学院高等数学课程建设组 当q1时 级数nnaq0成为 aaaa    时|q|1时 因为sn 随着n为奇数或偶数而等于a或零

所以sn的极限不存在 从而这时级数nnaq0也发散

综上所述 如果|q|1 则级数nnaq0收敛 其和为qa1 如果|q|1 则级数nnaq0发散 仅当|q|1时 几何级数nnaq0a0)收敛 其和为qa1 例2 证明级数 123  n   是发散的 证 此级数的部分和为

2)1( 321nnnsn

显然 nnslim 因此所给级数是发散的 例3 判别无穷级数 )1(1 431321211nn 的收敛性 解 由于

111)1(1nnnnun

因此 )1(1 431321211nnsn

111)111( )3121()211(nnn 高等数学教案 §11 无穷级数 重庆三峡学院高等数学课程建设组 从而

1)111(limlimnsnnn

所以这级数收敛 它的和是1

例3 判别无穷级数1)1(1nnn的收敛性 解 因为 )1(1 431321211nnsn

111)111( )3121()211(nnn 从而 1)111(limlimnsnnn

所以这级数收敛 它的和是1 提示 111)1(1nnnnun

二、收敛级数的基本性质 性质1 如果级数1nnu收敛于和s 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数1nnku也收敛 且其和为ks 性质1 如果级数1nnu收敛于和s 则级数1nnku也收敛 且其和为ks

性质1 如果sunn1 则kskunn1 这是因为 设1nnu与1nnku的部分和分别为sn与n 则 ) (limlim21nnnnkukukuksskuuuknnnnlim) (lim21 高等数学教案 §11 无穷级数 重庆三峡学院高等数学课程建设组 这表明级数1nnku收敛 且和为ks

性质2 如果级数1nnu、1nnv分别收敛于和s、 则级数)(1nnnvu也收敛 且其和为s 性质2 如果sunn1、1nnv 则svunnn)(1 这是因为 如果1nnu、1nnv、)(1nnnvu的部分和分别为sn、n、n 则 )]( )()[(limlim2211nnnnnvuvuvu

)] () [(lim2121nnnvvvuuu

ssnnn)(lim



性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性 比如 级数 )1(1 431321211nn是收敛的

级数 )1(1 43132121110000nn也是收敛的 级数 )1(1 541431nn也是收敛的

性质4 如果级数1nnu收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛 且其和不变 应注意的问题 如果加括号后所成的级数收敛 则不能断定去括号后原来的级数也收敛 例如 级数 11)+11) +  收敛于零 但级数1111  却是发散的 推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 级数收敛的必要条件 高等数学教案 §11 无穷级数 重庆三峡学院高等数学课程建设组 性质5 如果1nnu收敛 则它的一般项un 趋于零 即0lim0nnu

性质5 如果1nnu收敛 则0lim0nnu 证 设级数1nnu的部分和为sn 且ssnnlim 则 0limlim)(limlim110ssssssunnnnnnnnn



应注意的问题 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件 例4 证明调和级数

1 3121111nnn是发散的

例4 证明调和级数11nn是发散的 证 假若级数11nn收敛且其和为s sn是它的部分和 显然有ssnnlim及ssnn2lim 于是0)(lim2nnnss 但另一方面 2121 212121 21112nnnnnnssnn

故0)(lim2nnnss 矛盾 这矛盾说明级数11nn必定发散