第二节函数的极限04374
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第二讲 函数的极限-简化公布版(例题重要)
⎛ 1− x ⎞x （2） lim ⎜ ⎟ x →0 1 + x ⎝ ⎠
1
2
⎛ 2⎞ 解（1） lim ⎜ 1 − ⎟ n →∞ ⎝ x⎠
x +10
⎡ ⎛ 2 ⎞⎤ = lim ⎢1 + ⎜ − ⎟ ⎥ x →∞ ⎣ ⎝ x ⎠⎦
1 x
⎛ x ⎞⎛ 2( x +10) ⎞ ⎜ − ⎟⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠⎝ − x ⎠
f ( x) > g ( x) ．注：当 g ( x) ≡ 0，B = 0 情形也称为极限的保号性） ．
定理 3 （局部有界性）设 lim f ( x) = A ，则当 x 变化一定以后， f ( x) 是有界的。 定理 4 设 lim f ( x) = A ， lim g ( x) = B ，则 （1） lim [ f ( x) ± g ( x) ] = A ± B （3） lim 二、无穷量 （2） lim [ f ( x) ⋅ g ( x) ] = A ⋅ B （4） lim [ f ( x)]
3 5
法则 1
⎛0 ⎞ ⎜ 型 ⎟ 设（1） lim f ( x) = 0 ， lim g ( x) = 0 ⎝0 ⎠
（2） x 变化过程中， f ′( x) ， g ′( x) 皆存在 （3） lim
f ′( x) =A g ′( x)
（或 ∞ ） 则
lim
f ( x) =A g ( x)
（或 ∞ ）
x2n x 2 x3 + o( x 2 n ) ; ln(1 + x) = x − + − (2n)! 2 3
+ (−1) n +1
xn + o( x n ) ; n
arctan x = x −
函数极限的基本性质PPT课件
又
lim
n
xn
x0
且
xn
x0 ,
对上述 0, N 0,使当n N时, 恒有
0 xn x0 .
从而有 f (xn ) A ,
故
lim
x
f
(xn )
A.
第14页/共23页
假设 lim f ( x) A不成立，
x x0
则必 0
0,
对n
N*,
存在满足0
|
x
x0
|
1 n
的点xn，使得| f ( xn ) A | 0 0.
第6页/共23页
证明： 0,
1 0,当0 | x x0 | 1时, A g( x) A ; 2 0,当0 | x x0 | 2时, A h( x) A ;
取 min(1,2 ), 当0 | x x0 | 时 A g( x) f ( x) h( x) A ;
都有 f ( x1 ) f ( x2 ) .
证明： lim f (x) A, 0, 0, x x0 当0 x x0 时,| f ( x) A | 2 .
特别：取0 | xi x0 | , i 1,2 则
f ( x1 )
f (x2 )
f ( x1 ) A
f
(
x2
2( x)2
x2 ,
2
22
lim x 2 0, lim(1 cos x) 0,
x0 2
x0
limcos x 1, 又lim1 1, lim sin x 1.
x0
x0
x0 x
第8页/共23页
二、极限的四则运算性质
定理4.1（函数极限四则运算性质）
设 lim f ( x) A,lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B;
《高数13函数的极限》PPT课件
若当xx0时 f(x)无限接近于某常数A 则常数A叫
做函数f(x)当xx0时的左极限 记为
•精确定义
lim
x x0
f (x) A 或f(x0)A
.
lim
x x0
f
(x)
Ae
0
d
0
当x0dxx0
有|f(x)A|<e
注: xx0 有时也记为 x x0 ,
xx0+ 有时也记为x+x0.
x0
x0
x0 x
当x0dxx0
有|f(x)A|<e
类似地可定义右极限:
lim
x x0
f (x)
A或f ( x0 )
A.
•结论
lim f (x) A lim f (x) A 且 lim f (x) A
x x0
x x0
x x0
14
下页
lim f (x) A lim f (x) A 且 lim f (x) A
1
sin
lim n
1 n 1,
n
同理
lim
n
n sin
1 1, n
lim
n
n2 n
1
sin
n n2
1
1
27
注: 1. 可利用函数的极限,求数列的极限;
2. 由 子 列 极 限 不 存 在 或 不相 等 函数极限不存在.
例10 证明 limsin 1 不存在.
x0
x
分析:
limsin 1 a
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
播放
17
问题:函数 y f ( x) 在x 的过程中, 对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
高等数学(第二版)上册课件：函数的极限
定理1.5（唯一性） 若极限 lim f x 存在，则其
极限是唯一的.
如 lim2x 1 3 x1
定义1.8 在 x x（0 或 x ）的过程中，若M 0,
使 x U x0 （或 x X ）时， f x M，则称 f x
是 x x（0 或 x ）时的有界变量.
定理1.6 若极限 lim f x 存在，则 f x是该极限过程
趋近于某个确定的常数A，则称当 x x
时函数 f x 的极限为A.
记作 lim f x A ( lim f x A)
x
x
考查 f x 2x 的图像，问lim 2x , lim 2x ,lim 2x 是否存在？ x x x
当 x 时，f x arctan x 是否有极限？为什么？
时都有不等式 f x A 成立，则称常数A为函数 f x
当 x x0 时的极限，记为
lim
xx0
f
x
A 或者
f
x
Ax
x0
lim f x A 的几何意义：
xx0
对于任意的正数 ，存在正数 ，当点 x, f x 的横坐标
x 落入 x0 的去心领域 x0 , x0 x0, x0 之内时，纵
函数值无限接近一个常数的情形与数列极限类似. 所不同的是，自变量的变化可以是连续的.
有时，当 x 和 x 时，函数 f x
无限趋近的常数不同.
例如反正切函数 f x arctan.x
lim arctan x
x
2
,
lim arctan x
x
ห้องสมุดไป่ตู้
2
故有下列定义
定义1.5 如果当x x 时，函数 f x
2.4函数极限的性质及两个重要极限.ppt
而 lim f ( xn ) 不存在，则 lim f ( x ) 不存在。
n
x x
②若存在某两个数列xn 与 xn ，xn x ， lim xn x ，
n
与 xn x ， lim xn x ，但 lim f ( xn ) lim f ( xn ) ，则
且对 x ( x0 , ) ，有 g( x ) u0 ．
x x0 u u0
则
x x0
lim f ( g ( x )) 令u g( x )
u u0
lim f ( u) A ．
Note: 可推广到有限个函数复合的情况．
例 11 求
x
lim
6
cos x
2
x0
；
sin ( mx ) (3) lim ( m 0) ； x 0 x
arc sin x (4) lim ； x 0 x
1 (6) lim x sin 2 ． x x
(5)
1 lim x sin ； x x
例 5
x x x lim cos cos 2 cos n n 2 2 2
A B ．
Thm 1 （夹逼定理）
若在 ( x0 , ) 内，有
(1) g( x ) f ( x ) h( x ) ； (2) lim g( x ) lim h( x ) A ．
x x0 x x0
则必有
x x0
lim f ( x ) A ．
Thm 2（海涅定理，Heine 定理）
n
x x
注
②若存在某两个数列xn 与 xn ，xn x ， lim xn x ，
n
x x
②若存在某两个数列xn 与 xn ，xn x ， lim xn x ，
n
与 xn x ， lim xn x ，但 lim f ( xn ) lim f ( xn ) ，则
且对 x ( x0 , ) ，有 g( x ) u0 ．
x x0 u u0
则
x x0
lim f ( g ( x )) 令u g( x )
u u0
lim f ( u) A ．
Note: 可推广到有限个函数复合的情况．
例 11 求
x
lim
6
cos x
2
x0
；
sin ( mx ) (3) lim ( m 0) ； x 0 x
arc sin x (4) lim ； x 0 x
1 (6) lim x sin 2 ． x x
(5)
1 lim x sin ； x x
例 5
x x x lim cos cos 2 cos n n 2 2 2
A B ．
Thm 1 （夹逼定理）
若在 ( x0 , ) 内，有
(1) g( x ) f ( x ) h( x ) ； (2) lim g( x ) lim h( x ) A ．
x x0 x x0
则必有
x x0
lim f ( x ) A ．
Thm 2（海涅定理，Heine 定理）
n
x x
注
②若存在某两个数列xn 与 xn ，xn x ， lim xn x ，
大学数学函数的极限-PPT
注
1）0 x x0 表示 x x0 , x x0 时 f ( x) 有无极限 与
f ( x0 ) 有无定义没有关系.
2） 任意给定后，才能找到 ， 依赖于 ，且 ( ) 越小， 越小.
3） 不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.
函数极限的几何解释
y
O x
如果函数f(x)当x→x0时极限为A,以任意给定一正数ε,作两条 平 行 于 x 轴 的 直 线 y=A+ε 和 y=A-ε, 存 在 点 x0 的 δ 邻 域 (x0-δ, x0+δ),当x在邻域(x0-δ, x0+δ)内,但x≠x0时,曲线y=f(x)上的点 (x,f(x))都落在两条平行线之间。
观察函数 y=1/x 的图像
y y=1/x
o
x
再考察函数 y = ln x
y y=lnx
o
x
无穷小和无穷大的关系
在同一极限过程中，无穷小与无穷大之间是通过取倒数互相转化。 即在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则
1 f ( x) 为无穷小；反之，如果f (x)为无穷小，且 f ( x) 0 则 1 为无穷大
x
x
x
若lim f ( x)或lim f ( x)不存在,则 lim f ( x)不存在.
x
x
x
若 lim f ( x) lim f ( x) , 则lim f ( x) 不存在.
x
x
x
几何意义
如果函数f(x)当x→∞时极限为A，以 任意给定一正数ε,作两条平行于x轴 的 直 线 y=A-ε 和 y=A+ε, 则 总 存 在 一 个正数X，使得当x<－X或x>X时， 函 数 y=f(x) 的 图 形 位 于 这 两 条 直 线 之间.
高等数学(上) 第3版教学课件1-2 函数的极限
n
问题: 当无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,
如何确定?
通过上面演示实验的观察:
( 1)n1
当 n 无限增大时, xn 1
无限接近于 1.
n
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
定义：如果当无限增大（记 → ∞）时，数列 无限接近
（或恒等于）一个确定的常数，则称为数列 的极限，
→0
lim =
→0
0
→0
lim = 0
→0
定义3 设函数 = 在点0 的左、右近旁有定义（在点0 处，
可以没有定义），如果当从0 的左右两边无限接近于0 时， 无限
一个常数A,则称A为函数 当 → 0 时的极限。记为：
正十二边形的面积 A2
R
1
An
正 6 2 n 边形的面积
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
数学思想小贴士：
割圆术：有限与无限的辩证思维
二、数列的极限
( 1)n1
观察数列 {1
} 当 n 时的变化趋势.
n
播放
二、数列的极限
( 1)n1
观察数列 {1
=
4
3
2
1
−4 −3 −2 −1
1
2
3
4
5
y=
1
−2
3 − −
−
2
2
-1
0
2
3
2
2 5
2
3 7
2
4
2.当 → 时，函数 的极限
常见的函数极限：
问题: 当无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,
如何确定?
通过上面演示实验的观察:
( 1)n1
当 n 无限增大时, xn 1
无限接近于 1.
n
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
定义：如果当无限增大（记 → ∞）时，数列 无限接近
（或恒等于）一个确定的常数，则称为数列 的极限，
→0
lim =
→0
0
→0
lim = 0
→0
定义3 设函数 = 在点0 的左、右近旁有定义（在点0 处，
可以没有定义），如果当从0 的左右两边无限接近于0 时， 无限
一个常数A,则称A为函数 当 → 0 时的极限。记为：
正十二边形的面积 A2
R
1
An
正 6 2 n 边形的面积
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
数学思想小贴士：
割圆术：有限与无限的辩证思维
二、数列的极限
( 1)n1
观察数列 {1
} 当 n 时的变化趋势.
n
播放
二、数列的极限
( 1)n1
观察数列 {1
=
4
3
2
1
−4 −3 −2 −1
1
2
3
4
5
y=
1
−2
3 − −
−
2
2
-1
0
2
3
2
2 5
2
3 7
2
4
2.当 → 时，函数 的极限
常见的函数极限：
高等数学-函数的极限PPT课件
则A是 f (x)当 x 的极限. 记为： lim f ( x) A. x
或者记为：当 x 时，f ( x) A.
从定义中得到： x X 包含了 x X 和x X .
所以： x 包含了 x 和 x . 于是有
定理：lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
x
x
x
则有：lim(2 1 ) 2, limarctan x 不存在.
x
x
x
.
7
注意: 证明极限存在时,关键是任意给定 0, 寻找X.
求X的方法： 由 f (x) A 解出x
几何解释:
Aε f (x) Aε
AA
X
A X
或者记为：当 x 时，f ( x) A.
则有：lim (2 1 ) 2, limarctan x π
x
x
x
2
对于 y 2 1 ，lim (2 1 ) 2,lim (2 1 ) 2,那么 lim(2 1 ) ？
x x
x
x
或者从x0的两边同时接近于x0.
.
12
函数极限的几何意义
lim f ( x) A 0, 0, 使得当
xБайду номын сангаас x0
0 x x0 时， 恒有 f ( x) A 成立.
0
当 x U ( x0 ) 时，
函数f(x)的图形完全
y
y f (x)
落在以直线y=A为中
定义：如果 0, X 0, 使当 x X 时，恒有 f (x) A ，
高中微积分第二讲(函数的极限)
高中 微积分第二讲（函数的极限）定义：设函数在点的某一区邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当x 满足不等式时，对应的函数值都满足不等式：那么常数A 就叫做函数当时的极限，记作：左图解释：对于x 的数值，x 属于c 的邻域（或者去心邻域）内，函数值区域一个定值L 。
我们就叫L x =→)(f lim cx函数极限的性质定理1（函数极限的唯一性）如果)(f lim 0x x x →存在，那么这极限唯一。
定理2（函数极限的局部有界性）如果)(f lim 0x x x →=A ，那么存在常数M>0和δ>0，使得当0<|x-x 0|<δ时，有|f(x)|≤M 。
定理3（函数极限的局部保号性）如果)(f lim 0x x x →=A ，且A>0（或A<0），那么存在常数δ>0,使得0<|x-x 0|<δ时，有f(x)>0(或f(x)<0).定理4（函数极限与数列极限的关系）如果极限)(f lim 0x x x →存在，{x n }为函数f （x ）的定义域内任一收敛域x 0的数列，且满足：x n ≠x 0（n ∈N +），那么相应的函数值数列{f(x n )}比收敛，且）（x f lim )(f lim 0x x n n →∞→=x函数极限的求法： 一、利用函数连续性：（即直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0）练习：求下列极限的值：1、）（1-x 3lim 3x →2、）（3x 2lim 4x +→3、6x 23x lim 5x -+→二、恒等变形 当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决： ①因式分解，通过约分使分母不会为零例如：2-x 4-lim x 22x →三、采用洛必达法则求极限洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。
函数的极限PPT教学课件
在点x0处的右极限，记作
lim
xx0
f
(x)
a。
4．常数函数f(x)=c在点x=x0处的极限有
lim
xx0
f (x)
c
.
注意： （1）xlimx0 f (x) 中x无限趋近于x0，但不包含x=x0即x≠x0， 所以函数f(x)的极限是a仅与函数f(x)在点x0附近的函数 值的变化有关，而与函数f(x)在点x0的值无关（x0可以 不属于f(x)的定义域）
外树皮
内树皮 （靠里是韧皮部）
木质部
筛管细胞
科学家还发现，筛管是由直径 略大的长筒形细胞构成。不过， 这些细胞都是活细胞，它们上 下连接处的横壁并未消失。横 壁上有许多小孔，像个筛子， 称为筛板。物质可以通过小孔 从一个细胞进入另一个细胞
筛板
试比较导管与筛管的结构特点：
存在部位
细胞特点
导 木质部 管
外树皮
内树皮 （靠里是韧皮部）
一、双子叶植物茎的结构
4、研究形成层
双子叶植物茎的形成层处在
部和 木质 部之间，它是由几层很
薄 韧的皮细胞组成，这里的细胞能
分裂增生，属于
组织。
形成层细胞的细胞壁很薄，在
此处容易把木质部和韧皮部剥
离开来。 分生
外树皮
内树皮 （靠里是韧皮部）
木质部
思考：
既然形成层的细胞很容易
科学家发现，导管 由一些直径较大的 长筒形细胞连接而 成。不过这些长筒 形细胞已经死亡， 它们上、下连接处 的横壁消失，故导 管上下贯通。
横壁
横壁消失 上下贯通
木纤维属于
机组械织，作用是
增加。茎的强度
导管 运输水和无机盐，属于输导组织。
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二、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
播放
问题:函数 y f ( x) 在x 的过程中, 对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
通过上面演示实验的观察: 当 x 无限增大时, f ( x) sin x 无限接近于 0.
x 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
x X 表示x 的过程.
1、定义：
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数X ,使得对于适合不等式 x X 的一切 x,所对应的函数值 f ( x) 都满足不等式 f ( x) A , 那末常数A就叫函数 f ( x) 当 x 时的极限,记作 lim f ( x) A 或 f ( x) A(当x )
" "定义 0, 0,使当0 x x0 时,
恒有 f (x) A .
注意：1.函数极限与f ( x)在点x0是否有定义无关;
2.与任意给定的正数有关.
2、几何解释:
当x在x0的去心邻 域时,函数y f ( x) 图形完全落在以直
y
A
A
A
y f (x)
线y A为中心线,
宽为2的带形区域内. o
1、定义：
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多
么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式
0 x x0 的一切x ,对应的函数值 f ( x) 都 满足不等式 f ( x) A ,那末常数A 就叫函数
f ( x)当x x0 时的极限,记作
lim f ( x) A 或
x x0
f ( x) A(当x x0 )
0, X 0,使当x X时, 恒有 f ( x) A .
定理 : lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
x
x
x
3、几何解释:
y sin x x
A
X
X
当x X或x X时, 函数 y f ( x)图形完全落在以 直线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
lim x x0
x
x0 .
3.单侧极限:
例如,
设
f (x)
1 x,
x
2
1,
证明lim f ( x) 1. x0
x0 x0
y y 1 x
1
o
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近x0 ,记作x x0 0;
x从右侧无限趋近x0 , 记作x x0 0;
y x2 1
x
左极限 0, 0,使当x0 x x0时, 恒有 f (x) A .
lim x2 1 2. x1 x 1
例5
证明 :当x0
0时, lim x x0
x
x0 .
证 f (x) A
x x0
x x0 x x0 ,
x x0
x0
任给 0, 要使 f ( x) A ,
只要 x x0 x0 且不取负值.取 min{ x0 , x0},
当0 x x0 时, 就有 x x0 ,
当0 x x0 时,
f ( x) A x x0 成立,
lim x x0
x
x0 .
例4 证明 lim x2 1 2. x1 x 1
证 函数在点x=1处没有定义.
f (x)
A
x2 x
1 1
2
x1
任给 0,
要使 f ( x) A , 只要取 ,
当0
x x0
时,
就有 x2 1 2 , x1
面讲述自变量的变化过程为其他情形时函数
f (x) 的极限，主要研究两种情况：
•
（1）自变量 x
说趋于有限值
任意的接近于有限值
x0 （记做 x x0
x0 或者
）时，对
应的函数值f (x) 的变化情形；
• （2）自变量 x 的绝对值 x 无限增大即趋于
无穷大（记做 x ）时，对应的函数值
• f (x) 的变化情形。
的图形的水平渐近线.
三、自变量趋向有限值时函数的极限
问题:函数 y f ( x) 在x x0 的过程中,对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
0 x x0 表示x x0的过程.
x0
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近
于某个确定的常数，那么这个确定的数就叫做在这
一变化过程中函数的极限。这个极限是与自变量的
变化过程密切相关的，由于自变量的变化过程不同，
函数的极限就表现为不同的形式。
数列极限可以看作函数 f (n) 当 n 时
的极限，这里自变量的变化过程是： n 。下
x0 x0 x0
x
显然,找到一个后, 越小越好.
例2 证明 lim C C, (C为常数). x x0
证 任给 0, 任取 0, 当0 x x0 时,
f ( x) A C C 0 成立, lim C C. x x0
例3
证明
lim
x x0
x
x0 .
证 f ( x) A x x0 , 任给 0, 取 ,
第二节 函数的极限
一、函数极限的定义
•
因为数列 xn 可以看作为自变量n的函数：
•
xn f (n), n N故数列的极限为a ,就是：
当自变量n取正整数而无限增大时，对应的函数值 f (n)
无限接近于确定的常数a 。把数列极限概念中的函
数为 f (n) 而自变量的变化过程为 n 等特殊
性撇开，就可以引出函数极限的一般概念；在自变
x
" X"定义 lim f ( x) A x
0,X 0,使当 x X时,恒有 f ( x) A .
2、另两种情形:
10. x 情形 : lim f ( x) A x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
20. x 情形 : lim f ( x) A x
例1 证明 lim sin x 0. x x
y sin x x
证
sin x 0 sin x
Байду номын сангаас
x
x
1 x
1 , X
0, 取 X 1 ,
则当 x X时恒有
sin x 0 , x
故 lim sin x 0. x x
定义 : 如果lim f ( x) c,则直线 y c是函数y f ( x) x