大学微积分第二节 函数的极限
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大学数学(高数微积分)函数极限(课堂讲解)
(3) lim arctan x .
x
2
（3）x 时,函数极限的定义：
当x 时， 函数f (x)无限接近某个常数A， 称A为函数f (x)在x 时的极限.
定义3. 设y f (x)是区间(,b] [a, )上的函数，
A是一常数. 若对于任意给定的 0, 存在一个正数X， 使得当| x | X时，恒有： | f (x) A | 成立，
" X "定义:
lim f (x) A 0,
x
X 0, 当x X时，恒有 | f (x) A| .
lim
x
f
(几x) 何A解的几 释何: 意义：
y
y f (x)
A
A
A
OX
x
当x X时, 函数 y f (x)图形完全落在以
定义1. 设y f (x)是区间[a, )上的函数，A是一个常数.
若对于任意给定的 0, 存在一个正数X，使得当x X时，
恒有：
| f (x) - A |
成立，则称常数A为函数y f (x)当x 时的极限.
记作 lim f (x) A, 或 f (x) A (x ) x
x几l im何f (解x) 释A:的几何意义： y y f (x) A A
A
X
Ox
当x X时, 函数 y f (x)图形完全落在以
直线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
(1) lim sin x 0. x x
(2) lim ex 0. x
1.5 函数的极限
xn f (n) : n , xn f (n) A?
函数极限的一般概念：定义在区间上的函数f (x),当自变量x 在区间上“连续地”变化时，函数f (x)是否无限接近某一常数?
人大版 微积分 第二章 极限的运算法则
2 x→2
= (lim x ) 2 − 3 lim x + lim 5
x→2 x→2 x→2
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
lim x − lim 1 x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3
证 ∵ lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
∴ f ( x ) = A + α,
g ( x ) = B + β. 其中α → 0, β → 0.
由无穷小运算法则,得 由无穷小运算法则 得
微积分
[ f ( x ) ± g ( x )] − ( A ± B ) = α ± β → 0. ∴ (1)成立. [ f ( x ) ⋅ g ( x )] − ( A ⋅ B ) = ( A + α )( B + β ) − AB = ( Aβ + Bα ) + αβ → 0.
微积分
微积分
dx = rx dt
莫兴德
广西大学 数信学院
Email:moxingde@
微积分
链接目录
第二章 极限与连续
中值定理, 第四章 中值定理,导数的应用
第一章 函数 第三章 导数与微分 第五章 不定积分
无穷级数(不要求) 第七章 无穷级数(不要求)
第六章 定积分 第八章 多元函数 复习
解
∞ x → ∞时, 分子 , 分母的极限都是无穷大 . ( 型 ) ∞
5 3 x = 2. 1 7 x3
先用x 先用 3去除分子分母 , 分出无穷小 , 再求极限 .
= (lim x ) 2 − 3 lim x + lim 5
x→2 x→2 x→2
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
lim x − lim 1 x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3
证 ∵ lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
∴ f ( x ) = A + α,
g ( x ) = B + β. 其中α → 0, β → 0.
由无穷小运算法则,得 由无穷小运算法则 得
微积分
[ f ( x ) ± g ( x )] − ( A ± B ) = α ± β → 0. ∴ (1)成立. [ f ( x ) ⋅ g ( x )] − ( A ⋅ B ) = ( A + α )( B + β ) − AB = ( Aβ + Bα ) + αβ → 0.
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第二章 极限与连续
中值定理, 第四章 中值定理,导数的应用
第一章 函数 第三章 导数与微分 第五章 不定积分
无穷级数(不要求) 第七章 无穷级数(不要求)
第六章 定积分 第八章 多元函数 复习
解
∞ x → ∞时, 分子 , 分母的极限都是无穷大 . ( 型 ) ∞
5 3 x = 2. 1 7 x3
先用x 先用 3去除分子分母 , 分出无穷小 , 再求极限 .
微积分-函数的极限
x
" X"定义 lim f ( x) A x
0,X 0,使当 x X时,恒有 f ( x) A .
微积分
2、另两种情形:
10. x 情形 : lim f ( x) A x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
问题:函数 y f ( x) 在x x0 的过程中,对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
0 x x0 表示x x0的过程.
x0
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
微积分
微积分
dx rx dt
微积分
第二章 极限与连续
• 数列的极限 • 函数的极限 • 变量的极限 • 无穷大量与无穷小量 • 极限的运算法则 • 两个重要的极限 • 函数的连续性
微积分
2.2 函数极限
微积分
1. 自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
证 函数在点x=1处没有定义.
f (x)
A
x2 1 x1 2
x1
任给 0,
要使 f ( x) A , 只要取 ,
当0
x
x0
时,
就有 x2 1 2 x1
,
lim x2 1 2. x1 x 1
微积分
例5
证明 :当x0
微积分
1、定义：
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数X ,使得对于适合不等式 x X 的一切 x,所对应的函数值 f ( x) 都满足不等式 f ( x) A , 那末常数A就叫函数 f ( x) 当 x 时的极限,记作 lim f ( x) A 或 f ( x) A(当x )
" X"定义 lim f ( x) A x
0,X 0,使当 x X时,恒有 f ( x) A .
微积分
2、另两种情形:
10. x 情形 : lim f ( x) A x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
问题:函数 y f ( x) 在x x0 的过程中,对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
0 x x0 表示x x0的过程.
x0
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
微积分
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第二章 极限与连续
• 数列的极限 • 函数的极限 • 变量的极限 • 无穷大量与无穷小量 • 极限的运算法则 • 两个重要的极限 • 函数的连续性
微积分
2.2 函数极限
微积分
1. 自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
证 函数在点x=1处没有定义.
f (x)
A
x2 1 x1 2
x1
任给 0,
要使 f ( x) A , 只要取 ,
当0
x
x0
时,
就有 x2 1 2 x1
,
lim x2 1 2. x1 x 1
微积分
例5
证明 :当x0
微积分
1、定义：
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数X ,使得对于适合不等式 x X 的一切 x,所对应的函数值 f ( x) 都满足不等式 f ( x) A , 那末常数A就叫函数 f ( x) 当 x 时的极限,记作 lim f ( x) A 或 f ( x) A(当x )
微积分第二讲笔记
六、考试题型
1、分段函数分段点处连续的判断 思路：求出分段点处左、右极限。再与此点函数值比较
例：设
f
(x)
=
⎧ ax + b ⎩⎨(a + b)x2
+
x
x≥0 ， a + b ≠ 0 则处处连续的充分必要条件是 b=
Байду номын сангаасx<0
解：f(x)已满足右连续
f−
(0)
=
lim (a
x→0−
+
b)x2
+
x
=
0
f− (0) = f (0) = b ⇒ b = 0
例： 方程kx－e－x＝0，在(0，1)上有一实根
1)k＞1 2)k＜1
e
3
解：方法一：f(x)=kx-e-x
f (0) ⋅ f (1) = (−1) ⋅ (k − 1) < 0 e
⇒ k>1 e
f (x) = kx − e−x 单调增加
方法二：图像法 kx-e-x＝0
kx＝e-x
选择：A
=
lim
x→0−
ex −1 2x
=
1 2
f+
(0)
=
lim (x
x→0+
+
1) 2
=
1 2
f (0) = 1 2
即，f(x)在除了 x=1 处均连续
f− (1)
=
lim ( x
x→1−
+
1) 2
=
3 2
f+ (1)
=
lim
x→1+
x −1 2
=
微积分第二章极限与连续
无限趋近于常数A, 则称常数A为当 的极限. 记作: lim f ( x ) A, 或 x 注意
x 时，函数 f ( x)
f ( x) A (x ).
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A,
x x x
从函数极限与左、右极 限的定义，能够得出以 下结论：
x x0
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x x0 x x0
calculus
例4：
x2 2x 3 设f ( x) x 2x 2
x 1
x 1 1 x 2 x2
1
·
0
· 1
x
n 数列{2n}、数列 n sin 即1, 0, 3, 0,5, 0, 7， 2 当n无限增大时，不能接近某个常数。
calculus
为此,引出数列极限的描述定义.
定义1：设有数列x1 , x2 , x3 , , xn , 如果 当n无限增大时，xn无限接近于一个常数A， 则称常数A为n趋于无穷时数列{xn }的极限， 也称数列{xn }收敛于A， 记作： lim xn A
y
解： lim f ( x ) lim （ x 1 ） 1
x 0 x 0 x 0
lim f ( x) lim （ x 1 ） 1
x 0
1
o
1
x
calculus
作业
先看书 再做练习
P22：T3； P52：T9(2);T11(1),(2).
calculus
calculus
若对于一切 xn，存在常数M （或 M 2），使得xn M 1 1 （或xn M 2）成立，则称M 1为数列{xn }的下界, M 2为数列 {xn }的上界.
高数微积分(人大版)2-2.3
若 >0, M >0, 当x>M 时, 有|f (x)A |<.
若 >0, 自然数N, 使得
则记 lim f ( x ) A
x
当n>N 时, 都有|xna|<,
则记 lim xn a.
n
注1. 将这个定义和数列极限定义相比较,
就是将xn=f (n)换成了f (x). 将“ 自然数N”
第二节 函数的极限
前面讨论了数列xn=f (n)的极限, 它是函 数极限中的特殊情形, 特殊性在于: n只取自 然数, 且n趋于无穷大. 现在讨论y=f (x)的极限, 自变量x大致有 两种变化形式. (1) x, (2) xx0 (有限数).
并且, x不是离散变化的, 而是连续变化的.
1、 x时, f (x)的极限.
意味 x x0 ;
4）由定义知：lim c c ( x0为任意实数)；
x x0
lim f ( x )? 如果函数 f( x) 在 x0 有定义， 是否必存在极限 x x
0
是否必有 lim f ( x ) f ( x0 )?
x x0
x x0
lim x x0
对任意给定的 0，都能定出 x0的某去心邻域， 在此邻域内 函数y f ( x)的图形 位于以直线 y A 和 y A 为边的带形区域内 . 例 证明 lim ( 2 x 1) 2.
例：设
f (x) =
1, x,
当x<0时, 讨论 lim f ( x). 当x≥0时, x 0
解： f (x)是一个分段函数，x=0是这个分段函数 的分段点. 对一个分段函数来说，其分段点 处的极限要分左、右极限讨论.
人大版_微积分_第二章_极限与连续
微积分
微积分
dx rx dt
莫兴德
广西大学 数信学院
Email:moxingde@
微积分
链接目录
第二章 极限与连续
第一章 函数
第三章 导数与微分
第五章 不定积分 第七章 无穷级数(不要求) 第九章 微分方程
第四章 中值定理,导数的应用
第六章 定积分 第八章 多元函数 复习
微积分
指出下列证明lim n n 1 中的错误．
n
n
思考题
1 证明 要使 n 1 , 只要使 ln n ln(1 ) n 1 ln(1 ) ln(1 ) 从而由 n ln n ln 2 得 0, 取 N ln 2 1 ln(1 )
当 n N 时，必有 0 n n 1 成立
lim n n 1
n
微积分
思考题解答
1 n 1 ~ ln n ln(1 ) （等价） n 1 ln(1 ) ln(1 ) 证明中所采用的 n ln n ln 2
n
ln 2 ln n 实际上就是不等式 ln(1 ) n n ln n 即证明中没有采用“适当放大” 的值 n
当n N 2时恒有 x n b ; 取N maxN 1 , N 2 ,
则当n N时有 a b ( x n b) ( x n a )
x n b x n a 2.
上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
微积分
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3
x1
x 2 x4
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第一章 函数
第三章 导数与微分
第五章 不定积分 第七章 无穷级数(不要求) 第九章 微分方程
第四章 中值定理,导数的应用
第六章 定积分 第八章 多元函数 复习
微积分
指出下列证明lim n n 1 中的错误．
n
n
思考题
1 证明 要使 n 1 , 只要使 ln n ln(1 ) n 1 ln(1 ) ln(1 ) 从而由 n ln n ln 2 得 0, 取 N ln 2 1 ln(1 )
当 n N 时，必有 0 n n 1 成立
lim n n 1
n
微积分
思考题解答
1 n 1 ~ ln n ln(1 ) （等价） n 1 ln(1 ) ln(1 ) 证明中所采用的 n ln n ln 2
n
ln 2 ln n 实际上就是不等式 ln(1 ) n n ln n 即证明中没有采用“适当放大” 的值 n
当n N 2时恒有 x n b ; 取N maxN 1 , N 2 ,
则当n N时有 a b ( x n b) ( x n a )
x n b x n a 2.
上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
微积分
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3
x1
x 2 x4
知识点5函数极限的概念与性质
知识点5函数极限的概念与性质函数极限是微积分中的重要概念，它描述了当自变量趋近于其中一特定值时，函数所对应的因变量的变化趋势。
本文将介绍函数极限的概念、性质以及一些常用的计算方法。
一、函数极限的概念函数极限是指当自变量趋近于其中一特定值时，函数所对应的因变量的变化情况。
常用的表示方法为：lim┬(x→a)〖f(x)〗=L其中，lim表示函数极限的意思，x→a表示自变量x趋近于特定值a，f(x)表示函数的因变量，L表示极限的值。
这个极限值L可以是一个实数，也可以是正无穷或负无穷。
二、函数极限的性质1.函数极限与函数值的关系如果函数f(x)的极限存在且等于L，那么函数f(x)在极限点a处的函数值也等于L，即：lim┬(x→a)〖f(x)〗=f(a)2.函数极限的唯一性如果函数f(x)在其中一点a的其中一邻域内有定义，并且存在极限lim┬(x→a)〖f(x)〗，那么这个极限值是唯一的。
3.函数极限的四则运算法则(1)两个函数的和的极限等于两个函数极限的和：lim┬(x→a)〖[f(x)+g(x)]〗=lim┬(x→a)〖f(x)〗+lim┬(x→a)〖g(x)〗(2)两个函数的差的极限等于两个函数极限的差：lim┬(x→a)〖[f(x)-g(x)]〗=lim┬(x→a)〖f(x)〗-lim┬(x→a)〖g(x)〗(3)两个函数的积的极限等于两个函数极限的积：lim┬(x→a)〖[f(x)g(x)]〗=lim┬(x→a)〖f(x)〗×lim┬(x→a)〖g(x)〗(4)两个函数的商的极限等于两个函数极限的商，前提是分母函数的极限不等于0：lim┬(x→a)〖[f(x)/g(x)]〗=lim┬(x→a)〖f(x)〗/lim┬(x→a)〖g(x)〗，其中lim┬(x→a)〖g(x)〗≠04.函数极限的乘方与开方法则(1)对于正整数n，函数的n次方的极限等于这个函数的极限的n次方：lim┬(x→a)〖[f(x)]^n 〗=[lim┬(x→a)〖f(x)〗]^n(2)对于正整数n，函数的开方的极限等于这个函数的极限的开方：lim┬(x→a)〖√[f(x)] 〗=√[lim┬(x→a)〖f(x)〗]三、函数极限的计算方法1.直接代入法当函数在其中一点a的邻域内有定义，并且该点是函数的连续点，可以通过直接代入a的值计算函数的极限。
清华大学微积分课件——函数极限
x
y
y−1
= (1 + 1 ) y = (1 + 1 ) y−1 ⋅ (1 + 1 )
y−1
y−1
y−1
2011-9-5
26
当x → −∞ 时, y → +∞ , 从而 y − 1 → +∞ , 于是有
lim (1+ 1 )x = lim (1+ 1 )y−1 ⋅ lim (1+ 1 )
x→−∞
x
y−1→+∞
2011-9-5
5
2011-9-5
6
1
[注意2] lim f ( x ) = A 的几何意义是什麽？ x→ x0 y
(
A+ε
A
o
)
A−ε
y = f (x)
O
(
x0 − δ
x0
)
x0 + δ
x
或∀ε > 0, ∃δ > 0, 使 f ( N ( x0 , δ )) ⊂ U ( A, ε )
2011-9-5
f ( x′n′)
所以 , 极限 lim sin 1 不存在
x→ 0
x
2011-9-5
证毕
19
三、函数极限的存在性 1.夹逼定理:
∀ x ∈ N ( x 0 ), 有 f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h( x )
且
lim f ( x ) = lim h( x ) = A
x→ x0
x→ x0
则 lim g ( x ) = A x→ x0
± 趋向于无穷
x → +∞ ⇔ ∃N > 0, x > N
x → −∞ ⇔ ∃N > 0, x < − N
微积分23函数极限的性质及运算法则
（类似可定义其他过程下的有界性）
性质2.5（局部有界li性 mf(） x)若 A,则f(x)在
xX
极限过 x 程X所允许的某一界邻 . 域内有
性质2.6（局部保号 lim 性 f(x） )A若 ,limg(x)
xX
xX
B, AB,则f(x)与g(x)在 极 限x过 X 程 所 允 许
解 x 时, 分母 , 分子 . “ 抓大头”
分子分母同除以 x 2 , 则
原式
lim431x 9x12
x
521x
1 x2
4 5
练习l： im 5 x3求 3x220 x x1
lim(x2)7 x2 x (2x 1)9
1 29
lim(x 2)2 x
故只 x 需 0 且 x 讨 0 的论 情 y 形 D 。
C
作单位圆，如右.图
设 AO xC (0x)
2
x
O A Bx
A s C x i,n B tD a x , n
O的 B C 扇 面 O的 形 积 B C 面 O的 B 积 ， D 面
1sin x1x1taxn
lim f(x)x l iX m f(x)A(这里B要 0).求 x Xg(x) lim g(x) B
x X
说明: 性质可推广到有限个函数的情形 .
应用极限四则 时运 ，算 要法 注则 意:使用条
(1)参加求极限的函数应为有限个; (2)每个函数的极限都必须存在;
(3)考虑商的极限时，还需要求分母的极限不为零。
, 当nm
此结论成立注意： (1)必须为 型!!!
(2)结论也可适m,用 n不于是正整数的情
复合函数求极限：