高等数学第六章 多元函数微积分.
多元函数微积分(课件)
D {(r,h) | r＞0,h＞0} 。
二元以及二元以上的函数统称为多元函数。
5
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
2．二元函数的定义域 二元函数的定义域比较复杂，可以是坐标系中全部的区域，也可以是由曲线所围成的 部分区域。围成区域的曲线称为区域的边界。不包括边界的区域称为开区域，连同边 界在内的区域称为闭区域；开区域内的点称为内点，而边界上的点称为边界点。 如果一个区域 D 内任意两点之间的距离都不超过某一正常数 M ，则 D 称为有界区域， 否则称为无界区域。
、
【例 3】 求二元函数 z ln(x y) 的定义域 D 。 解 由对数函数性质可知 x 、 y 必须满足 x y＞0 。直线 x y 0 是它的边界，定义域 为不包括边界在内的开区域。
D {(x, y) | x y＞0}
二、多元函数的极限
定义 5.2 设二元函数 z f (x, y) ，如果当点 P(x, y) 以任意方式趋向于点 P0 (x0 , y0 ) 时，f (x, y) 总趋向于一个确定的常数 A ，则称 A 是二元函数 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限，记为
4
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
一、多元函数的概念 1．二元函数的定义
定义 5.1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于每个点 (x, y) D ，变量 z 按照一定的法 则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y 的二元函数，记为 z f (x, y) 。其中 x、y 称 为自变量， z 称为因变量，自变量 x、y 的取值范围 D 称为函数的定义域。 【例 1】设圆锥体的底面半径为 r ，高为 h ，则体积V 1 πr2h 。这是一个以 r 、h 为自变量，
高等数学A第6章多元函数微分学1-10(多元函数概念)讲解
二元函数的的等值线/等高线
曲面z=f(x, y)与平面z=c的交线在xoy平面上的投影 称为二元函数zf(x, y)的等值线。
下图
回忆一元函数极限的概念
设 y f (x) x I, x0 为 I 的聚点.
若 0, 0, 当点 x Uˆ (x0, ) 时, f (x) U(a, ), 即 | f (x) a | , 则称
注意.
(1) 多元函数也有单值函数和多值函数，如
x2 y2 z2 a2
在讨论过程中通常将其拆成几个单值函数后 再分别加以讨论.
(2) 多元函数也有分段函数，如
xy
f
(
x,
y)
x2
y2
x2 y2 0
0
x2 y2 0
(3) 点函数u=f(P)能表示所有的函数.
Rn中点集的分类
(3) 开区域及闭区域
若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
若点集 E E , 则称 E 为闭集；
若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,
则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
n
( x, y) xi yi i 1
例: x (1, 0, 1, 2), y (2, 1,3,1) 则(x, y) 2 0 (3) 2 1
Rn里的内积运算有如下性质 : (1)对称性 : ( x, y) ( y, x) (2)双线性性 : ( x y, z) (x, z) ( y, z)
Rn中每一个元素(x1, x2, , xn )可以看成是空间里 的一个点, 也可以认为是空间里的一个向量(以原点为 起始点,以(x1, x2, , xn )为终点的一个向量)
第六章 多元函数微积分
30
用坐标表示的向量的运算
→
设向量 a = ax , ay , az , b = bx , by , bz 则 a± b = ax ± bx , ay ± by , az ± bz
→ →Biblioteka {}→{
}
{
}
λ a = {λax , λay , λaz }
→
31
示
→ →
例
→ → → →
设向量a = {3,−5,6}, b = {2,−1,4} ，计算 a+ 2 b, 3 a− 4 b
例
14
简单的二次曲面
如果空间曲面Σ上的任一点的坐标（ x、y、z ）都满足方程
F(x、y、z) = 0 ，而满足 F(x、y、z) = 0 的（ x、y、z ）值均在
曲面Σ上，则称 F(x、y、z) = 0 为曲面Σ的方程．
若方程是二次的，所表示的曲面为二次曲面 二次曲面
15
简单的二次曲面
球面
空间中与一定点的距离为定长的点的轨迹称为球面， 定点称为球心，定长称为半径．
三角形法则
27
向量的几何运算
减法运算
由于a − b = a + (−b) ，将向 a 和 b 的起点移到同一点Ｏ，则以 b 的终点 为起点，以 a 的终点为终点的向量是a − b
三角形法则
28
向量的几何运算
数乘向量
设a 是一个非零向量，λ 是一个非零实数，则a 与λ 的乘积仍是向量， 称为数乘向量，记作λa
B( x2 , y2 , z2 ) ，
AB = {x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1}
| AB |= (x2 − x1)2 + ( y2 − y1 )2 + (z2 − z1)2
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点多元函数微积分是微积分学中的一个重要分支，主要研究有多个自变量的函数的导数、偏导数、微分、积分等问题。
它是单变量函数微积分的拓展与推广，涉及涉及多元函数的极限、连续性、可微性、可导性、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等内容。
本文将从多元函数的定义与性质、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等几个方面介绍多元函数微积分的知识点。
1.多元函数的定义与性质多元函数是指有多个自变量的函数，一般形式为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是自变量，f是因变量。
多元函数的定义域是自变量可能取值的集合。
在多元函数中，可以分别将每个自变量视为其他自变量的常数，对应单变量函数的概念。
多元函数的性质包括定义域、值域、可视化、极值等。
2.偏导数与全微分偏导数是多元函数在其中一变量上的导数，其他变量视为常数。
偏导数的计算与单变量函数的导数计算类似，可以通过极限或者求偏导数的定义计算。
全微分是多元函数在特定点的一个线性逼近，可以用于计算函数值的近似值。
全微分的表示为df = (∂f/∂x1)dx1 + (∂f/∂x2)dx2 + ... + (∂f/∂xn)dxn，其中∂f/∂xi表示对变量xi的偏导数。
3.多元复合函数的求导多元复合函数是指多个函数通过复合而成的函数，其中一个函数的导数是另一个函数的自变量。
类似于链式法则，多元复合函数的求导需要使用偏导数和全导数的概念。
对于函数z = f(g(x, y)),链式法则可以表示为dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy = (∂f/∂g)(dg/dx)dx +(∂f/∂g)(dg/dy)dy。
4.隐函数的求导5.多重积分多重积分是多元函数的积分形式，与单变量函数的定积分类似。
多重积分有二重积分、三重积分等，分别对应二元函数、三元函数等的积分。
多重积分可以用于计算函数在区域内的面积、体积等。
高等数学多元函数微积分
高等数学多元函数微积分多元函数微积分是高等数学中的一个重要分支。
它研究在多变量空间中的单变元函数的微分和积分问题。
这对学习曲面、平面的渐变、凹凸和分界、曲面的体积、局部极值等问题具有重要意义。
一、基本概念1. 超曲面：一般讲，超曲面就是在n维空间中的一类曲面，它们由至少n+1个函数组成。
它是由n维变量组成的，因而可以容纳n维量空间中所有的事物，从而形成一个多维结构。
2. 多元函数微分：多元函数微分就是对在多元空间内变量中的一个函数进行微分的一类函数，它可以应用于求解曲面的斜率，曲面的凹凸和分界，比如计算椭圆曲线、抛物曲线等的曲率和斜率等问题。
3. 多元函数积分：多元函数积分是指在多元空间中的一个函数的积分运算，它可以用于计算曲面的体积，曲面的拉伸与缩小等问题，它也可以用于计算曲面的累积，例如计算三维抛物面、回旋曲线等曲率积分的体积等。
二、求解方法1. 黎曼微积分法：黎曼微积分法是指在进行多元函数微积分时，识别出包含所求函数的一组导函数，然后根据黎曼公式将这些导函数求和，不断缩小未知函数的范围，最终确定出未知函数的表达式的一类方法。
2. 光滑函数的变换法：光滑函数的变换法指的是在进行多变量函数积分时，先将所给函数进行光滑变换，然后根据变换法则和对称性，极限性和旋转对称性等等属性，运用变换法，不断将多变量函数转化为单变量函数，最后将单变量函数进行积分。
三、应用1. 力学中的应用：多元函数微积分在力学中有着重要的作用，通过多元函数微积分，可以研究分析物体的运动轨迹，甚至可以预测未来的物体的状态。
2. 热物理学的应用：多元函数微积分可以用来研究热物理学中各种复杂多变量的函数，如热力学量在温度和压力变化时的变化情况，揭示物质性质在热状态时的性质变化，以及热流、热量变化的关系等。
3. 数学建模的应用：多元函数微积分也可以用来进行数学建模，如多元微积分可以用来描述一个普通一般问题的结构特性，如一个多边形的周长、三角形的体积、四棱锥的表面积等。
自考高等数学(一)第六章 多元函数微积分
第六章多元函数微积分6.1 空间解析几何基础知识一、空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系。
即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。
空间直角坐标系共有八个卦限空间的点有序数组（x,y,z）特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A，B，C；0（0，0，0）空间两点间距离公式：特殊地：若两点分别为M（x,y,z），0（0，0，0）。
二、空间中常见图形的方程1、球面已知球心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有，称为球面方程。
特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是。
2、平面到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。
例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。
【答疑编号11060101】解：设M（x,y,z）是所求平面上任一点，根据题意有|MA|=|MB|，化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。
x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。
3、柱面定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
柱面举例4、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。
（1）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：（2）x2+y2=2pz的图形是一个旋转抛物面。
6.2 多元函数的基本概念一、准备知识1、邻域设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于δ的点P（x,y）的全体，称为点p0的δ邻域，记为U（P0, δ）,。
2、区域平面上的点集称为开集，如果对任意一点，都有的一个邻域。
设D是开集。
如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。
连通的开集称为区域或开区域。
开区域连同它的边界一起称为闭区域。
3、n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组的全体为n维空间，而每个n元数组称为n维空间中的一个点，数x i称为该点的第i个坐标说明：n维空间的记号为R n；n维空间中两点间距离公式：设两点为特殊地当n=1，2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。
多元函数的微积分
多元函数的微积分多元函数的微积分是数学中的一个重要分支，涉及到对具有多个变量的函数进行求导和积分的操作。
它在应用数学、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用价值。
本文将从多元函数的定义和性质入手，介绍多元函数微积分的基本概念和方法，并通过一些具体的例子来说明其应用。
一、多元函数的定义和性质多元函数是指具有多个自变量的函数，一般形式为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是实数。
多元函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的取值范围。
多元函数可以表示实际问题中的各种关系，如物体的位置随时间的变化、温度随空间位置的变化等。
多元函数的导数和偏导数是多元函数微积分的基本概念。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其导数是一个向量，表示函数在每个自变量方向上的变化率。
偏导数是多元函数在某个自变量上的导数，其他自变量保持不变。
导数和偏导数的计算方法与一元函数类似，可以通过极限的概念来定义。
二、多元函数的微分和积分多元函数的微分是指函数在某一点附近的线性逼近，可以近似地表示函数在该点的变化。
多元函数的微分可以通过导数和偏导数来计算，具体的计算方法与一元函数类似。
微分在数学和物理中有广泛的应用，如近似计算、优化问题等。
多元函数的积分是对函数在某个区域上的求和操作，可以用来计算函数在该区域上的平均值、总和等。
多元函数的积分可以通过重积分来计算，即将区域分成小块，然后对每个小块进行积分，最后将结果相加。
重积分的计算方法与一元函数的积分类似，可以通过定积分的定义来推导。
三、多元函数微积分的应用多元函数微积分在实际问题中具有广泛的应用价值。
例如，在物理学中，可以利用多元函数微积分来描述物体的运动和力学性质；在经济学中，可以利用多元函数微积分来描述供需关系和最优化问题；在工程学中，可以利用多元函数微积分来解决工程设计和优化问题等。
例如，考虑一个二维平面上的函数f(x, y)，表示某个物体的高度。
第六章-多元函数微积分多元函数的极值及其求法-PPT课件
p1632,p214时，利润可到达最大，而此时的产量为
q1 9,q2 6
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事实上，Lp1p2 8
Lp1p1 4
Lp2p2 20
，
.又因 ( L p 1 p 2 ) 2 L p 1 p 1 L p 2 p 2 8 2 ( 4 ) ( 2 0 ) 0 .
(x,y,z)0下的极值.
设L ( x , y , z ,1 ,2 ) f ( x , y , z ) 1 ( x , y , z ) 2 ( x , y , z )
F x f x 1x 2x 0
F y fy 1y2y 0
解方程组 F z fz 1z 2z 0
F1 0 F1 0
1 1 1 1 xyza
下的极值.
x 0 , y 0 ,z 0 ,a 0
解 作拉格朗日函数
L(x, y,z,) xyz1x1y1za1.
由
L
x
yz
x2
0
xyz
. x
L
y
xz
y2
0
xyz
. y
L z
xy
z2
0
xyz
. z
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那么有3xyz1x1y1za. xyx3a
Ay 2(xy82)0
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 2
高为 2 时, 水箱所用材料最省.
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设 为商品q 1A的需求量, 为商q品2 B的需求量, 其
需求函数分别为 q 1 1 2 p 6 1 4 p 2 ,q 2 2 4 p 0 1 1 p 2 ,0 总本钱函数为 C3q12q，2 其中 p1, p2为商品A和B的价格, 试问价格 p1, p2 取何值时可使利润最大?
高中数学知识点多元函数微积分
高中数学知识点多元函数微积分高中数学知识点：多元函数微积分数学是一门充满魅力的学科，是一种日常生活中必不可少的学问。
而在高中数学中，多元函数微积分是一个十分重要的知识点，也是理所当然的。
在本文中，我们将探讨多元函数微积分的相关知识。
一、函数的概念在数学中，函数是指每个自变量对应一个唯一的因变量的规则。
其中，自变量表示不同的变量，而因变量表示任何由自变量产生的结果。
在函数中，自变量和因变量的关系可以用一个方程或者一张图表来表示。
二、多元函数在二元函数中，函数的自变量和因变量是二维的，通常用 (x,y) 表示。
同样的，在多元函数中，函数的自变量和因变量可以是任意维度的向量，而多元函数在图像上可以画出一个三维图像。
三、多元函数的微积分在学习多元函数微积分时，我们需要掌握很多基本概念。
其实，微积分就是计算函数导数和积分的算法。
在多元函数中，导数可以理解为瞬时速度或瞬时变化率。
而在三维空间中，导数也可以表示为切向量的方向。
对于多元函数 f(x,y)，我们可以把它的微分表示成df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy。
其中，∂f/∂x 和∂f/∂y 是偏导数，分别对应自变量 x 和y。
微分也可以用来表示函数的局部线性逼近。
因此，我们可以通过微分来计算多元函数的斜率和切角。
四、多元函数的求极限在计算多元函数极限时，我们需要用到极限的三个特性：唯一性、保序性和有界性。
此外，我们还需要掌握一些极限的常用公式和技巧。
例如，当两个无穷小的乘积趋近于零时，我们可以使用 L'Hopital 法则来解决。
五、多元函数的最大值和最小值在多元函数中，我们常常需要求解最大值和最小值，这些值对于优化和排课等问题都非常重要。
通常我们可以使用一些基本的极值定理来解决这些问题。
例如，当函数的偏导数等于零时，函数的值最大或最小。
此外，我们还可以使用拉格朗日乘数法求解非约束性最大值和最小值。
六、多元函数应用多元函数在模拟现实问题时有着广泛的应用。
多元函数微积分的基本概念与运算
多元函数微积分的基本概念与运算多元函数微积分，亦称为多元微积分，是微积分学的一个分支，它涉及到多个变量的函数的微积分。
多元函数微积分在物理、工程、金融等领域中具有重要应用价值。
本篇文章将介绍多元函数微积分的基本概念与运算。
一、多元函数的概念在多元函数微积分中，我们首先需要了解的是多元函数的概念。
在数学上，多元函数可以定义为具有多个自变量的函数。
例如，二元函数f(x,y)可以表示为：f(x,y) = x^2 + y^2其中x和y为自变量，f(x,y)是因变量。
在这个函数中，我们可以通过给定x和y的值来计算出f(x,y)的值。
二、偏导数在多元函数微积分中，我们可以通过偏微分来计算多元函数的变化情况。
偏导数可以理解为多元函数在某一自变量上的变化率。
例如，对于二元函数f(x,y) = x^2 + y^2 ，我们可以计算出它在x处的偏导数：∂f/∂x = 2x这个结果的意义是，在x这个自变量上，当y不变时，f(x,y)在x处的变化率是2x。
同样地，我们可以计算出f在y处的偏导数：∂f/∂y = 2y三、梯度梯度是多元函数微积分中的另一个重要概念，它是一个向量，由多个偏导数组成。
例如，对于二元函数f(x,y) = x^2 + y^2 ，我们可以计算出它的梯度：∇f = <2x, 2y>这个梯度的意义是，在（x,y）处，f(x,y)在x方向上的变化率是2x，在y方向上的变化率是2y。
梯度的模表示函数变化率的大小，方向表示函数变化率的方向。
四、方向导数方向导数是多元函数在某一方向上的变化率。
我们通常使用单位向量来描述方向。
例如，对于二元函数f(x,y) = x^2 + y^2 ，在点（1,1）处，我们可以计算出它在（1,1）处沿着向量<1,1>的方向导数：Df(1,1)<1,1> = ∇f(1,1)·<1,1> = 2(1)+2(1) = 4这个结果的意义是，在（1,1）处，f(x,y)沿着向量<1,1>的方向变化率是4。
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⎪⎩
⎪⎨⎧==++2
11
222z z y x
讲解注意:
例7, (342222面上的投影.求它在面所围成和设一个立体由上半球面xOy y x z y x z +=--=锥
讲解注意:
例8.
0, 1, 1( 1, 0, 2(, 1, 1, 1(321程的平面方
及求经过点--M M M
讲解注意:
讲解注意:
例3设t uv z sin +=而t e u =t v cos =求全导数
dt dz . , , ,
讲解注意:
例4. . sin , , , (2y u
x u y x z z y x f u ∂∂∂∂===和
求
设2
22z y x e ++
讲解注意:
例5ห้องสมุดไป่ตู้ 02
3, , (2222
=+∂∂-∂∂+=y y z xy x z x xy x
, 0
=x dx
dy dx dy y的导数
讲解注意:
例2验证方程0122=-+y x在点1, 0(的某邻域内能唯一确定一个导数在0=x的值.
0=x时1=y的隐函数(x f y =有连续导数、,当求这函数的一阶和二阶
讲解注意:
例3.
, ( (333y
z
x z y x f z a a xyz z ∂∂∂∂==-和
★偏导数的经济意义★高阶偏导数
★例5 ★例6 ★例7 ★例8 ★混合偏导数相等的条件★例9 ★内容小结★课堂练习
★习题6-3 ★返回
2、讲解注意:
3、重点难点:
4、例题选讲:
例1求223y xy x z ++=在点2, 1(处的偏导数.
讲解注意:
例2设y x z = 1, 0(≠>x x求证
z y
z
讲解注意:
例11讨论⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++=0, 00, , (22222
2y x y x y x xy y x f在(0,0的连续性.
讲解注意:
例12. lim
1
0y
x y
e x y x ++→→求
讲解注意:
第三节偏导数
1、内容分布图示
★偏导数的定义
★例1 ★例2 ★例3 ★例4
★有关偏导数的几点说明★偏导数的几何意义
22x z ∂∂x y z ∂∂∂2y x z ∂∂∂222y z
∂∂及3
3x z ∂∂.设, , , ,
讲解注意:
例6验证函数22ln , (y x y x u +=满足拉普拉斯方程
.
02
222=
∂∂+∂∂y x
讲解注意:
例7.
, 012222
22222++=
=∂∂+∂∂+∂∂=z y x r z u y u x u u其中满足方程证明函数
=dx π=dy全微分. , , , , (时的
讲解注意:
例7试证函数⎪⎩⎪⎨
⎧=≠+=
0, 0( , (,
0
0, 0( , (, sin ,
(22y x y x y x xy y x f在0, 0(续且偏导数存在0, 0(不连续f在0, 0(可微.
但偏导数在而, ,连
讲解注意:
例8计算2.02 1.04(的近似值.
讲解注意:
例8设by e u ax cos =求二阶偏导数. ,
讲解注意:
例9.
0, 0( 0, 0(, 0, 0( , (, 0 0, 0( , (, , (2
222yx xy f f y x y x y x y x xy
y x f及试求设⎪⎩⎪⎨⎧
=≠+-=
讲解注意:
第四节全微分及其应用
1、内容分布图示
例8设, (xyz z y x f w ++=f有二阶连续偏导数x w ∂∂和z
x w ∂∂∂2.求, ,
讲解注意:
9例. ;
, , (2
2222
2
∂∂+∂∂∂∂+∂∂=y u x u y
u x
u y x f u为极坐标系中的形式:
把下列表达式转换的所有二阶偏导数连续设
1(
2( ( (
讲解注意:
例10.
例9.
, . 23才能使用料最省当长的有盖长方体水箱某厂要用铁板做成一个体积为m、宽、高各取怎样的尺寸时问
讲解注意:
例10.
0, 0, 0, 0(1/1/1/1/>>>>=++=a z y x a z y x xyz u下的极值在附加条件
求函数
1(
讲解注意:
例11. 2a而体积为最大的长方体的体积求表面积为
例7.
2lim
4
2430
y x x xy y x +
+→→求
讲解注意:
例8证明不存在.
2
630
0lim
y x y
x y x +→→
讲解注意:
例9.
1(lim 10
0y
x y x xy +→→+
证明极限不存在
讲解注意:
例10讨论⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+= 0, 0( , (, 0 0, 0( , (, , (233y x y x y x y x f在处的连续0, 0(性.
★全微分形式的不变性★例10 ★例11 ★例12 ★例13
★内容小结★课堂练习
★习题6-5 ★返回
2、讲解注意:
3、重点难点:
4、例题选讲:
例1设v e z u sin =而xy u =y x v +=求
x z ∂∂和
y z
∂∂. , , ,
讲解注意:
例2. 3(2422的偏导数求y x y x z ++=
2、讲解注意:
3、重点难点:
4、例题选讲:
例1处有极小值.在函数0, 0(4322y x z +=
讲解注意:
例2处有极大值.在函数0, 0(22y x z +-=
讲解注意:
例3处无极值.在函数0, 0(xy z =
讲解注意:
例4. 933 , (2233-++-=x y x y x y x f的极值求函数
-=
-+
讲解注意:
例3求证0. 1
sin
(lim 2
2220
0=++→→y x y x y x
讲解注意:
例4求极限.
sin(lim
2220
0y
x y x y x +→→
讲解注意:
例5.
(lim 220
0xy
y x y x +→→求
讲解注意:
例6. lim 22y
x y
x y x ++∞
→∞→求
讲解注意:
x x z x 2ln 1=∂∂+∂∂. ,讲解注意:
例3设2
2arcsin y x x z +=x z ∂∂y z ∂∂.
求, ,
讲解注意:
例4. , , sin(2z
u y u x u e y x u z ∂∂∂∂∂∂-+=的偏导数
求三元函数
讲解注意:
例513323+--=xy xy y x z求
★偏增量与全增量★全微分的定义★可微的必要条件★可微的充分条件
★例1 ★例2 ★例3 ★例4 ★例5 ★例6 ★例7 ★多元函数连续、可导、可微的关系
★全微分在近似计算中的应用★例8 ★绝对误差与相对误差★例9
★内容小结★课堂练习
★习题6-4 ★返回
2、讲解注意:
3、重点难点:
4、例题选讲:
例1.
22的全微分计算函数y y x z +=
讲解注意:
例5求二元函数4( , (2y x y x y x f z --==在直线6=+y x x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.
,
讲解注意:
例6. 16:33 , (22322上的在区域求函数≤+-+=y x D x y x y x f最小值
讲解注意:
例7求122+++=
y x y
x z的最大值和最小值.
讲解注意:
例9? . 0.00420.1100. 422
g T l s T cm l T l T
l
g g ±=±==π的绝对误差和相对误差各为多少的误差而引起与由于测定、
分别为与振动周期得单摆摆长的公式是利用单摆摆动测定重力加速度现测
问
讲解注意:
第五节多元复合函数的求导法则
1、内容分布图示
★链式法则★例1 ★例2 ★例3 ★例4 ★例5 ★例6 ★例7 ★例8 ★例9
讲解注意:
例7.
, 0, , , 0
, , ( , (, sin , , (2dx du
z
f z e x y x z z x y z y x f u y求且
具有一阶连续的偏导数其中确定由方程设≠∂∂====ϕϕϕ,
讲解注意:
例8设, (xyz z y x f z ++=求x z ∂∂y x ∂∂z y ∂∂. , , ,
它到求点, ,
讲解注意:
例3建立球心在点, , (0000z y x M半径为R的球面方程.
,
讲解注意:
例4方程组表示怎样的曲线⎩⎨⎧=+=+6321