多元函数微分学2(含答案)
考研数学二(多元函数微分学)-试卷6
考研数学二（多元函数微分学）-试卷6(总分：68.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：（分数：2.00）A.等于0B.不存在√C.D.0解析：解析：当取y=kx k有关，故极限不存在．（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：将x视为常数，属基本计算．（分数：2.00）A.等于0B.不存在√C.D.存在且不等于0解析：解析：取5.设u=f(r)，而f(r)具有二阶连续导数，则=( )（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：属基本计算，考研计算中常考这个表达式．6.考虑二元函数f(x，y)的下面4条性质：①f(x，y)在点(x 0，y 0 )处连续②f(x，y)在点(x 0，y 0 )处的两个偏导数连续③f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微④f(x，y)在点(x 0，y 0 )处的两个偏导数存在若P 推出性质Q ，则有 ( )（分数：2.00） A.②→③→① √ B.③→②→① C.③→④→① D.③→①→④解析：解析：本题考查图1．4—17.设函数u=u(x ，y)满足 及(x ，2x)=x ，u 1 "(x ，2x)=x 2，u 有二阶连续偏导数，则u 11"(x ，2x)=( )（分数：2.00） A. B. √ C. D.解析：解析：等式u(x ，2x)=x 两边对x 求导得u 1 "+2u 2 "=1，两边再对x 求导得 u 11 "+2u 12 "+2u 21 "+4u22"=0， ① 等式u 1 "(x ，2x)=x 2两边对x 求导得 u 11 "+2u 12 "=2x ， ② 将②式及u 12 "=u 21 "，u 11 "=u 21"代入①式中得u 11 "(x ，．8.利用变量替换u=x ，y=，可将方程化成新方程（分数：2.00） A. √ B. C. D.解析：解析：由复合函数微分法于是9.若函数u=．其中f ，y)u ，则函数G(x ，y)= ( )（分数：2.00） A.x+y B.x —y √ C.x 2一y 2D.(x+y) 2解析：解析：则u=xyf(t)，于是—y)u ，即G(x ，y)=x 一y ．10.已知du(x ，y)=[axy 3+cos(x+2y)]dx+[3x 2y 2+bcos(x+2y)]dy ，则 ( )（分数：2.00） A.a=2，b=一2 B.a=3，b=2 C.a=2，b=2 √ D.a=一2，b=2解析：解析：由du(x，y)=[axy 3 +cos(x+2y)-]dx+[3x 2 y 2 +bcos(x+2y)]dy可知，以上两式分别对y，x求偏导得3axy 2一2sin(x+2y)=6xy 2一bsin(x+2y)．故得a=2，b=2．11.设u(x，y)在平面有界闭区域D u(x，y)的 ( )（分数：2.00）A.最大值点和最小值点必定都在D的内部B.最大值点和最小值点必定都在D的边界上√C.最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上D.最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上解析：解析：令 B 2一AC＞0，函数u(x，y)不存在无条件极值，所以，D的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在D的内部出现．但是u(x，y)连续，所以，在平面有界闭区域D上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在D的边界上．12.设函数z=(1+e y )cos x—ye y，则函数z=f(x，y) ( )（分数：2.00）A.无极值点B.有有限个极值点C.有无穷多个极大值点√D.有无穷多个极小值点解析：解析：本题是二元具体函数求极值问题，由于涉及的三角函数是周期函数，故极值点的个数有可能无穷，给判别带来一定的难度．事实证明，考生对这类问题把握不好，请复习备考的同学们注意加强对本题的理解和记忆．得驻点为(kπ,coskπ-1),k=0,±1，±2，…，又z xx "=一(1+e y )cos x，z xy "=一e y sin x，z yy "=e y (cos x一2一y)． (1)当k=0，±2，±4，…时，驻点为(kπ，0)，从而 A=z2一AC=一2＜0，而A=一2＜0，xx "(kπ，0)=一2，B=z xy "(kπ，0)=0，C=z yy "(kπ，0)=一1，于是B即驻点(kπ，0)均为极大值点，因而函数有无穷多个极大值； (2)当k=±1，±3，…时，驻点为(kπ，一2)，此时 A=z xx "(kπ，一2)=1+e -2，B=z xy "(kπ一2)=0，C=z yy "(kπ，一2)=一e -2，于是B 2一AC=(1+e -2 ).e -2＞0，即驻点(kπ，一2)为非极值点．综上所述，故选(C)．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)13.设f可微，则由方程f(cx一az，cy—bz)=0确定的函数z=z(z，y)满足az x "+bz y "= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：c）解析：解析：方程两边求全微分，得f 1 ".(cdx—adx)+f 2 ".(fdy—bdz)=0，即14.设函数z=z(x，y)由方程sin x+2y-z=e z所确定，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：方程两端对x15.函数f(x，y，z)=一2x 2在x 2一y 2一2z 2 =2条件下的极大值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一4）解析：解析：由拉格朗日乘数法可得．16.函数 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）17.设z=e sinxy，则dz= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：e sinxy cos xy(ydx+xdy)）解析：解析：z x "=e sinxy cos xy.y，z y "=e sinxy cos xy.x，则dz=e sinxy cos xy(ydx+xdy)．三、解答题(总题数：17，分数：34.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x0，y0)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q，则有A．②→③→①．B．③→②→①．C．③→④→①．D．③→①→④．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学2．设有三元方程xy－zlny＋exz＝1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z＝z(x，y)．B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y＝y(x，z)和z＝z(x，y)．C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数z＝x(y，x)和z＝z(x，y)．D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x＝x(y，z)和y＝y(x，2)．正确答案：D 涉及知识点：多元函数微分学3．已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且，则A．点(0，0)不是f(x，y)的极值点．B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D．根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学4．设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则下列结论正确的是A．f(x0，y)在y＝y0处的导数等于零．B．f(x0，y)在y＝y0处的导数大于零．C．f(x0，y)在y＝y0处的导数小于零．D．f(x0，y)在y＝y0处的导数不存在．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学填空题5．设z＝ex－f(x－2y)，且当y＝0时，z＝x2，则＝________。
考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷34(题后含答案及解析)
考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷34(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．二元函数，在(0，0)点处( )A．连续，且f’x(0，0)，f’y(0，0)存在B．连续，但f’x(0，0)，f’y(0，0)不存在C．不连续，但f’x(0，0)，f’y(0，0)存在D．不连续，且f’x(0，0)，f’y(0，0)不存在正确答案：A解析：本题考查判断分段函数在分段点处的连续性和偏导数的存在性，用定义判断．连续性：故f(x，y)在点(0，0)处连续．偏导数：同理故f(x，y)在(0，0)处偏导数存在，故应选A．知识模块：多元函数微分学2．设函数f(x，y)=｜x-y｜g(x，y)，其中g(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且g(0，0)=0，则在点(0，0)处( )A．f’x(0，0)与f’y(0，0)都不存在B．f’x(0，0)与f’y(0，0)都存在，但都不为0C．f’x(0，0)=0，f’y(0，0)=0，但f(x，y)不可微D．f(x，y)可微，且df(x，y)｜(0，0)=0正确答案：D解析：由于｜Δx｜/Δx为有界变量，，故即f’x(0，0)=0．同理f’y(0，0)=0，排除A，B．可知f(x，y)在(0，0)点可微，故应选D．知识模块：多元函数微分学3．已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且，则( )A．点(0，0)不是函数f(x，y)的极值点B．点(0，0)是函数f(x，y)的极大值点C．点(0，0)是函数f(x，y)的极小值点D．根据条件无法判别点(0，0)是否为函数f(x，y)的极值点正确答案：A解析：由又因为f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，由极限与无穷小的关系知f(x，y)=xy+(x2+y2)2+α(x2+y2)，其中当xy≠0时，显然f(x，y)=xy+0(xy)．当xy＞0时，f(x，y)-f(0，0)=xy+0(xy)＞0．当xy＜0时，f(x，y)-f(0，0)=xy+0(xy)＜0．故由极值的定义知点(0，0)不是函数f(x，y)的极值点，应选A．涉及知识点：多元函数微分学填空题4．设函数f，g均可微，z=f(xy，lnx+g(xy))，则=______________．正确答案：f’2解析：由复合函数的求导法则，则知识模块：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
高等数学第九章多元函数微分学试题及答案
第九章 多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。
二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。
例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ， 此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。
则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。
称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。
值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
考研数学二(多元函数微分学)-试卷2
考研数学二（多元函数微分学）-试卷2(总分：68.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.二元函数f(x，m，n为正整数，函数在(0，0)处不连续，但偏导数存在，则m，n需满足( ) （分数：2.00）A.m≥2，n＜2B.m≥2，n≥2√C.m＜2，n≥2D.m＜2，，n＜2解析：解析：当(x，y)沿y=kx(k≠0)趋向点(0，0)时，当m≥2，n≥2时，k取不同值，上式结果不唯一，所以函数在(0，0)处极限不存在，故函数不连续．又因为同理可得f y"(0，0)=0，故偏导数存在．当n＜2时，有n=1，因而，函数f(x，y)在(0,0)处连续．同理，当m＜2时，函数f(x，y)在(0，0)处连续．综上，应选(B)．3.函数x=f(x，(0，0)点 ( )（分数：2.00）A.连续，但偏导数不存在B.偏导数存在，但不可微√C.可微D.偏导数存在且连续解析：解析：从讨论函数是否有偏导数和是否可微入手．由于所以f x"(0，0)=0，同理f y"(0，0)=0．令α=△z—f x"(0，0)△x一f y"(0，0)△y= 当(△x，△y)沿y=x趋于(0，0)点时，即α不是ρ的高阶无穷小，因此f(x，y)在(0，0)点不可微，故选(B)．4.函数z=x 3 +y 3一3x 2一3y 2的极小值点是 ( )（分数：2.00）A.(0，0)B.(2，2) √C.(0，2)D.(2，0)解析：解析：，可得到4个驻点(0，0)(2，2)(0，2) 和(2，0)．(0，2)点和(2，0)点，均有AC—B 2＜0，因而这两个点不是极值点．在(0，0)点，AC一B 2 =36＞0，且A=一6＜0，所以(0，0)点是极大值点．在(2，2)点，AC一B 2 =36＞0，且A=12＞0，所以(2，2)点是极小值点，故选(B)．5.函数z=f(x，y)在点(x 0，y 0 )处连续是它在该点偏导数存在的 ( )（分数：2.00）A.必要而非充分条件B.充分而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件√解析：解析：在多元函数中，一点连续与一点可偏导无必然联系．6.函数f(x，（分数：2.00）A.等于1B.等于2C.等于0 √D.不存在解析：解析：当xy≠0(x，y)→(0，0)时，由夹逼准则，可得极限值为0．7.(0，0)是函数z的 ( )（分数：2.00）A.极小值点且是最小值点B.极大值点且是最大值点√C.极小值点但非最小值点D.极大值点但非最大值点解析：解析：由极值点的判别条件可知．8.设f(x，y)= 则f x "(2，（分数：2.00）A. √B.C.D.9.z x "(x 0，y 0 )=0和z y "(x 0，y 0 )=0是函数z=z(x，y)在点(x 0，y 0 )处取得极值的( )（分数：2.00）A.必要条件但非充分条件B.充分条件但非必要条件C.充要条件D.既非必要也非充分条件√解析：解析：若z=z(x，(0，0)为其极小值点，但z x "(0，0)，z y "(0，0)均不存在．10.函数f(x， ( )（分数：2.00）A.y轴上的所有点B.x=0，y≥0的点集C.空集√D.x=0，y≤0的点集解析：解析：f(x，y)当x≠0时，为二元连续函数，而当(0，y 0 )为f(x，y)的连续点，故此函数的不连续点为空集．11.函数f(x，(0，0)点 ( )（分数：2.00）A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在C.不连续，偏导数存在√D.不连续，偏导数不存在解析：解析：取y=kx，可得f(x，y)在(0，0)处不连续．由偏导数定义，可得f(x，y)在(0，0)处的偏导数存在．二、填空题(总题数：6，分数：12.00)12.函数f(x，y)=ln(x 2 +y 2一1)的连续区域是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：x 2 +y 2＞1）解析：解析：一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：本题属于基本计算，考研中多次考过这种表达式．14.若函数z=2x 2 +2y 2 +3xy+ax+by+c在点(一2，3)处取得极小值一3．则常数a、b、c之积abc= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：30）解析：解析：由极值的必要条件知在点(一2，3)处，z x "=0，z y "=0，从而可分别求出a、b、c之值．15.设u=x 4 +y 4一4x 2 y 2 ,则（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：12x 2一8y 2）（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一sin θ）解析：解析：由x=rcosθ，y=rsinθ，得17.设f(x， f x "(0，1)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）三、解答题(总题数：17，分数：34.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(多元函数微分学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．极限( )A．等于0B．不存在C．等于D．存在，但不等于也不等于0正确答案：B解析：当取y=kx时，与k有关，故极限不存在．知识模块：多元函数微分学2．设u=arcsin ( )A．B．C．D．正确答案：A解析：将x视为常数，属基本计算．知识模块：多元函数微分学3．极限( )A．等于0B．不存在C．等于D．存在且不等于0及正确答案：B解析：取y=x，则=0；取y=x2，则，故原极限不存在．知识模块：多元函数微分学4．设u=f(r)，而r=，f(r)具有二阶连续导数，则=( )A．B．D．正确答案：B解析：属基本计算，考研计算中常考这个表达式．知识模块：多元函数微分学5．考虑二元函数f(x，y)的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有( )A．B．C．D．正确答案：A解析：本题考查图1．4-1中因果关系的认知：知识模块：多元函数微分学6．设函数u=u(x，y)满足及u(x，2x)=x，uˊ1(x，2x)=x2，u有二阶连续偏导数，则uˊˊ11(x，2x)= ( )A．B．C．D．正确答案：B解析：等式u(x，2x)=x两边对x求导得uˊ1+2uˊ2=1，两边再对x求导得uˊˊ11+2uˊˊ12+2uˊˊ21+4uˊˊ22=0，①等式uˊ1(x，2x)=x2两边对x求导得uˊˊ11+2uˊˊ12=2x，②将②式及uˊˊ12=uˊˊ21，uˊˊ11=u ˊˊ22代入①式中得uˊˊ11(x，2x)=x．知识模块：多元函数微分学7．利用变量代换u=x，v=，可将方程化成新方程( )A．B．D．正确答案：A解析：由复合函数微分法，于是知识模块：多元函数微分学8．若函数u=，其中f是可微函数，且=G(x，y)u，则函数G(x，y)= ( ) A．x+yB．x－yC．x2－y2D．(x+y)2正确答案：B解析：设t=，则u=xyf(t)，知识模块：多元函数微分学9．已知du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy，则( ) A．a=2，b=－2B．a=3，b=2C．a=2，b=2D．a=－2，b=2正确答案：C解析：由du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy可知，=axy3+cos(x+2y)，=3x2y2+bcos(x+2y)，以上两式分别对y，x求偏导得=3axy2－2sin(x+2y)，=6xy2－bsin(x+2y)，由于连续，所以，即3axy2－2sin(x+2y)=6xy2－bsin(x+2y)，故得a=2，b=2．知识模块：多元函数微分学10．设u(x，y)在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且则u(x，y)的( )A．最大值点和最小值点必定都在D的内部B．最大值点和最小值点必定都在D的边界上C．最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上D．最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上正确答案：B解析：令，由于B2－AC＞0，函数u(x，y)不存在无条件极值，所以，D的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在D的内部出现．但是u(x，y)连续，所以，在平面有界闭区域D上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在D的边界上．知识模块：多元函数微分学11．设函数z=(1+ey)cosx－yey，则函数z=f(x，y) ( )A．无极值点B．有有限个极值点C．有无穷多个极大值点D．有无穷多个极小值点正确答案：C解析：本题是二元具体函数求极值问题，由于涉及的三角函数是周期函数，故极值点的个数有可能无穷，给判别带来一定的难度，事实证明，考生对这类问题把握不好，请复习备考的同学们注意加强对本题的理解和记忆．由得驻点为(k π，coskπ－1)，k=0，±1，±2，…，又zˊˊxx－(1+ey)cosx，zˊˊxy=－eysinx，zˊˊyy=ey(cosx－2－y)．①当k=0，±2，±4，…时，驻点为(kπ，0)，从而A=zˊˊxx(kπ，0)=－2，B=zˊˊxy(kπ，0)=0，C=zˊˊyy(kπ，0)=－1，于是B2－AC=－2＜0，而A=－2＜0，即驻点(kπ，0)均为极大值点，因而函数有无穷多个极大值；②当k=±1，±3，…时，驻点为(kπ，－2)，此时A=z ˊˊxx(kπ，－2)=1+e－2，B=zˊˊxy(kπ，－2)=0，C=zˊˊyy(kπ，－2)=－e －2，于是B2－AC=(1+e－2)e－2＞0，即驻点(kπ，－2)为非极值点；综上所述，选(C)．知识模块：多元函数微分学填空题12．设f可微，则由方程f(cx－az，cy－bz)=0确定的函数z=z(x，y)满足azˊx+bzˊx=_________．正确答案：c解析：本题考查多元微分法，是一道基础计算题．方程两边求全微分，得f ˊ1(cdx－adz)+fˊ2(cdy－bdz)=0，即dz=，故azˊx+bzˊy==c．知识模块：多元函数微分学13．设函数z=z(x，y)由方程sinx+2y－z=ez所确定，则=________．正确答案：解析：方程两端对x求偏导数cosx+0－移项并解出即得．知识模块：多元函数微分学14．函数f(x，y，z)=－2x2在条件x2－y2－2z2=2下的极大值是_________．正确答案：－4解析：由拉格朗日乘数法即得．知识模块：多元函数微分学15．函数的定义域为_________．正确答案：≤｜z｜，且z≠0解析：由－1≤≤1即得．知识模块：多元函数微分学16．设z=esinxy，则dz=_________．正确答案：esinxycosxy(ydx+xdy)解析：zˊx=esinxycosxy.y，zˊy=esinxycosxy.x，则dz=esinxycosxy(ydx+xdy)．知识模块：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(二)
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(二)(总分：99.98，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：9，分数：18.00)1.设z=ln(x2+y)，则等于A． B． C． D（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算． [*](答案为B)2.设z=(lny)xy∙ A.xy(lny)xy-1∙ B.(lny)xy lnlny∙ C.y(lny)xy lnlny∙ D.x(lny)xy lnlny（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算． [*](答案为C)3.设z=sin(xy2)∙ A.-2xycos(xy2)∙ B.-y2cos(xy2)∙ C.2xycos(xy2)∙ D.y2cos(xy2)（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算． [*]．(答案为C)4.已知f(xy，x-y)=x2+y2∙ A.2+2y∙ B.2-2y∙ C.2x+2y∙ D.2x-2y（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算．f(xy，x-y)=x2+y2=(x-y)2+2xy，f(x，y)=2x+y2，[*]，[*]．(答案为A)5.函数z=3x2y+2xy3在点(1，1)处的全微分dz|(1，1)等于∙ A.4dx-3dy∙ B.4dx+3dy∙ C.8dx+9dy∙ D.8dx-9dy（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] [*]，[*]，dz|(1，1)8dx+9dy．(答案为C)6.______∙ A.{(x，y)|x2+y2≤4}∙ B.{(x，y)|x2+y2≤4且x≠0}∙ C.{(x，y)|x2+y2≤4且x≠0，y≠0}∙ D.{(x，y)|x2+y2≤4且y≠0}（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：7.______∙ A.{(x，y)|0＜x2+y2≤2}∙ B.{(x，y)|0≤x2+y2≤2}∙ C.{(x，y)|0＜x2+y2＜2}∙ D.{(x，y)|0≤x2+y2＜2}（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：8.设f(x，y)=，则=______ A． B． C． D（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：9.设，则f(x，y)=______A． B． C D．xe x（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：13，分数：26.00)10.，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] 根据二元函数的定义，函数关系只取决于定义域与对应法则，而与变量所选用的记号无关，如果函数表达式中的第一自变量用记号u表示，第二自变量用记号v表示，则给定的函数对应法则为[*]．如果将第一自变量u用[*]替换，第二自变量v用[*]替换，则有 [*]11.f(x，y)=2x2+y2，则f(xy，x2-y2)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：x4+y4）解析：[解析] f(xy，x2-y2)=2(xy)2+(x2-y2)2=x4+y4．12.f(x+y，x-y)=x2-y2，则f(x，y)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：xy）解析：[解析] 解法Ⅰ (置换法)令[*]解得[*]代入给定函数，则有 [*]，因为函数关系与变量所选用的记号无关，再用字母x，y代换字母u，v，则有f(x，y)=xy 解法Ⅱ (拼凑法)由于f(x+y，x-y)=(x+y)(x-y)，则有f(x，y)=xy13.f(xy，x-y)=x2+y2+xy，则f(x，y)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：3x+y2）解析：[解析] 由于f(xy，x-y)=x2+y2+xy=(x-y)2+3xy，则有f(x，y)=3x+y2．14.设函数z=x2+ye x．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：2x+ye x）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数．[*]=2x+ye x．15.设z=sin(x2y)．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：x2cos(x2y)）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数． [*]．16.设z=，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数．解法Ⅰ [*]，[*]．解法Ⅱ 由于是求函数[*]在点(1，0)处对x的偏导数，可先求出z(x，0)，即将y=0代入函数[*]，可得到关于x的一元函数，然后再求其在x=1处的导数．[*]，[*]．17.函数z=ln(1+x2-y2)的全微分dz=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] [*]， [*]．18.设z=ln(x+y2)．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：dx）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的一阶全微分．解法Ⅰ [*]，[*]，[*]．解法Ⅱ [*]，[*]．19.设z=x2y+siny．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：2x）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的二阶混合偏导数． [*]．20.函数z=z(x，y)是由方程x2z+2y2z2+y=0确定，则dz=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] 两种解法如下．解法Ⅰ (公式法)令F(x，y，z)=x2z+2y2z2+y，分别求出三元函数F(x，y，z)对x，y，z的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数．[*]，[*]解法Ⅱ (直接微分法)将方程两边同时求微分d(x2z)+d(2y2z2)+dy=0，2xdxz+x2dz+4ydy2+4y2zdz+dy=0，经整理，得(x2+4y2z)dz=-2xzdx-(4yz2+1)dy，即[*]．21.函数f(x，y)=4(x-y)-x2-y2的极大值点是______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：8）解析：[解析] 解方程组[*]得驻点(2，-2)，计算[*]，B2-AC=-4＜0，A=-2＜0，所以函数的极大值点为(2，-2)，极大值为f(2，-2)=8．22. 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：{(x，y)|1＜x2+y2≤2}）解析：三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：1，分数：56.00)求下列二元函数的定义域．（分数：55.98）3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于分式函数，要求分式的分母不为零，而对于根式函数，要求偶次方根号下的被开方式必须大于或等于零，则有[*]所以D={(x，y)|0＜x2+y2≤4}，此函数的定义域是以点(0，0)为圆心，以2为半径的圆周及圆周所围成的不含圆心、不含圆周上及圆周内的y轴部分的有界半开半闭区域(如下图)．[*])解析：(2).z=ln(y2-2x+1)．（分数：3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于对数函数，要求真数式必须大于零，则有y2-2x+1＞0，即y2＞2x-1．所以D={(x，y)|y2＞2x-1}，此函数的定义域是以点([*]，0)为顶点，以x为对称轴，开口向右的抛物线所围成的左侧无界开区域(如下图)．[*])解析：3.11）正确答案：(对于函数arcsinf(x，y)，arccosf(x，y)，要求|f(x，y)|≤1，则有 [*]即[*] 所以D={(x，y)|-2≤x≤2，-3≤y≤3}，此函数的定义域是直线x=-2，x=2，y=-3，y=3所围成的有界闭区域(如下图)．[*]) 解析：3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(要使函数解析式有意义，自变量x，y应同时满足[*]即[*]亦即[*]所以D={(x，y)|y2≤4x，x2+y2＜1且x≠0，y≠0}，此函数的定义域是抛物线y2=4x和圆x2+y2=1所围成的，但不含原点及抛物线间劣弧段的有界半开半闭区域(如下图)．[*])解析：(5).，求 3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：([*]， [*]．)解析：(6).设z=e u sinv，u=xy，v=x+y 3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(根据二元复合函数求导的链式法则，有[*]=e xy sin(x+y)y+e xy cos(x+y)=e xy[ysin(x+y)+cos(x+y)]，[*]=e xy sin(x+y)x+e xy cos(x+y)=e xy[xsin(x+y)+cos(x+y)]．)解析：(7).设z=f(u，v)，而u=x2y，，其中f(u，v) 3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(本题主要考查用二元复合函数的链式法则求偏导数． [*])解析：(8).设z=f(xy，x2+y2)，且f 3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(本题主要考查用二元复合函数的链式法则求偏导数．设z=f(u，v)，u=xy，v=x2+y2，[*])解析：(9).设函数z=arctan(xy)+2x2+y，求dz．（分数：3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(本题主要考查计算二元函数的全微分． [*])解析：(10).dz．（分数：3.11）正确答案：([*])解析：(11).设函数f(u，v)dz．（分数：3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题主要考查计算二元复合函数的全微分． [*]， [*])解析：(12).设函数z=ln(2-x+y) 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]．)解析：(13).设函数z=ln(1-x+y)+x2y 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]．)解析：(14).设函数，求 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(15).设函数z=z(x，y)是由方程x2+y2-xyz2=0 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令F(x，y，z)=x2+y3-xyz2，分别求出三元函数F(x，y，z)对x，y，z的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数．[*])解析：(16).设z=f(x，y)是由方程F(x+mz，y+nz)=0所确定，其中m、n为常数，F(u，v)为可微分函数，数：3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题主要考查计算二元函数的偏导数．设 F(u，v)=0，u=x+mz，v=y+nz， [*] [*])解析：(17).设z=z(x，y)是由方程yz+x2+z=0所确定，求dz．（分数：3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令F(x，y，z)=yz+x2+z，分别求出三元函数F(x，y，z)对x，y，z的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数．[*])解析：(18).设函数z=z(x，y)是由方程z=x+ye z 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令F(x，y，z)=x+ye z-z，[*])解析：。
第八讲：多元函数微分(二)
第八讲 多元函数微分二一、 例题选讲：12、 求21xyz y x=⎧⎨=⎩在（1，1，1）处的切线方程。
解：234213x y x yy y y z y z y --'⎧==⎧⎪⎪'=∴=⎨⎨⎪⎪'==-⎩⎩，切点（1，1，1），s ={2，1，-3}所以切线方程为：111213x y z ---==-。
3、 求曲面22az x y =+与x y z ==交点处的切平面方程。
解：交点为（0，0，0）与(,,)222a a a，设22(,,)F x y z x y az =+- 1{2,2,},(0,0,0){0,0,}n x y a n a ∴=-=- 在，在(,,)222a a a ，2(,,}n a a a =-切平面为：z=0和02ax y z +--=。
4、 证明曲面22()z f x y =+上任一点法线与z 轴相交，其中()0f u '≠。
解：2200(,,)(),{2,2,1}F x y z f x y z n x f y f ''=+-∴=-而混合积000002210010,x f y f x y z ''-=∴法线与z 轴相交。
5、 由22222880,x y z xz z +++-+=确定了z=f （x ，y ），求极值。
解：42880,4280x x x y y y x zz z xz z y zz xz z '''+++-=⎧⎨'''++-=⎩令00x y z z '=⎧⎨'=⎩，解得：48040x z y +=⎧⎨=⎩ 又22222880,x y z xz z +++-+=得驻点（167，0，87-），（-2，0，1） 再求二阶导：2242()288802288042()280x xx x x xx xx y x xy y xy xy y yy yy yy z zz z z xz z z z zz z xz z z zz xz z '''''''''⎧+++++-=⎪'''''''''+++-=⎨⎪'''''''+++-=⎩在（167，0，87-）A=244,0,,0,0,1515B C AC B A -==-∴=->< 极大值为87- 在（-2，0，1）A=244,0,,0,0,1515B C AC B A ==∴=->> 极小值为1。
考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷33(题后含答案及解析)
考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷33(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设则f(x,y)在（0,0）处（）。
A．连续但不可偏导B．可偏导但不连续C．可微D．一阶连续可偏导正确答案：C解析：知识模块：多元函数微分学2．对二元函数z=f(x,y)，下列结论正确的是（）。
A．z=f(x,y)可微的充分必要条件是z=f(x,y)有一阶连续的偏导数B．若z=f(x,y)可微，则z=f(x,y)的偏导数连续C．若z=f(x,y)偏导数连续，则z=f(x,y)一定可微D．若z=f(x,y)偏导数不连续，则z=f(x,y)一定不可微正确答案：C解析：因为若函数f(x,y)一阶连续可偏导，则f(x,y)一定可微，反之则不对，所以若函数f(x,y)偏导数不连续不一定不可微，选C. 知识模块：多元函数微分学3．设f(x,y)在有界闭区域D上二阶连续可偏导，且在区域D内恒有条件,,则（）。
A．f(x,y)的最大值点和最小值点都在D内B．f(x,y)的最大值点和最小值点都在D的边界上C．f(x,y)的最小值点在D内，最大值点在D的边界上D．f(x,y)的最大值点在D内，最小值点在D的边界上正确答案：B解析：若f(x,y)的最大点在D内，不妨设其为M0,则有,因为M0为最大值点，所以AC-B2非负，而在D内有,即AC-B2＜0,所以最大值点不可能在D内，同理最小值点也不可能在D内，正确答案为B. 知识模块：多元函数微分学填空题4．设z=xf(x+y)+g(xy,x2+y2),其中f,g分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则=_______.正确答案：f’+xf”+xy-1g’1+yxy-1lnxg’1+yx2y-1lnxg”11+2y2xy-1g”12+2xy+1lnxg”21+4xyg”22 解析：由z=xf(x+y)+g(xy,x2+y2),得=f(x+y)+xf’(x+y)+yxx-1g’1(xy,x2+y2)+2xg’2(xy,x2+y2)=f’+xf”+xy-1g’1+yxy-1lnx g’1+yx2y-1lnxg”11+2y2xy-1g”12+2xy+1lnxg”21+4xyg”22. 知识模块：多元函数微分学5．设f(u,v)一阶连续可偏导，f(tx,ty)=t3f(x,y)，且,则f(1,2)=________.正确答案：3解析：f(tx,ty)=t3f(x,y)两边对t求导得xf’1(tx,ty)+yf’2(tx,ty)=3t2f(x,y),取t=1,x=1,y=2得f’1(1,2)+2f’2(1,2)=3f(1,2),故f(1,2)=3. 知识模块：多元函数微分学6．设z=f(x,y)二阶可偏导，,且f(x,0)=1,f’y(x,0)=x,则f(x,y)=_________.正确答案：z=y2+xy+1解析：，因为f’y(x,0)=x,所以Φ（x)=x,即，z=y2+xy+C,因为f(x,0)=1,所以C=1，于是z=y2+xy+1. 知识模块：多元函数微分学7．设u=u(x,y)二阶连续可偏导，且,若u(x,3x)=x,u’x(x,3x)=x3,则u”xy(x,3x)=________.正确答案：解析：u(x,3x)=x两边对x求导得u’x(x,3x)+3u’y(x,3x)=1,再对x求导，得u”xx(x,3x)+6u”xy(x,3x)+9u”yy(x,3x)=0.由[*],得10u”xx(x,3x)+6u”xy(x,3x)=0,u’x(x,3x)=x3两边对x求导得，u”xx(x,3x)+3u”xy(x,3x)=3x2,解得u”xy(x,3x)=[*]6. 知识模块：多元函数微分学8．设（ay-2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy为某个二元函数的全微分，则a=_______,b=_______.正确答案：a=4,b=-2解析：令P(x,y)=ay-2xy2,Q(x,y)=bx2y+4x+3,因为（ay-2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，所以,于是a=4,b=-2. 知识模块：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(多元函数微积分)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
考研数学二（多元函数微积分）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2010年)设函数z＝z(χ，y)由方程F()＝0确定，其中F为可微函数，且F′2≠0，则【】A．χ．B．z．C．－χ．D．－z．正确答案：B解析：由隐函数求导公式得知识模块：多元函数微积分2．(2010年) 【】A．B．C．D．正确答案：D解析：知识模块：多元函数微积分3．(2011年)设函数f(χ)，g(χ)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f′(0)＝g′(0)＝0，则函数z＝f(χ)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是【】A．f〞(0)＜0，g〞(0)＞0．B．f〞(0)＜0，g〞(0)＜0．C．f〞(0)＞0，g〞(0)＞0．D．f〞(0)＞0，g〞(0)＜0．正确答案：A解析：则AC＝B2＞0 故z＝f(χ)g(y)在(0，0)点取极小值．应选A．知识模块：多元函数微积分4．(2012年)设函数f(χ，y)可微，且对任意χ，y都有型＜0，则使不等式f(χ1，y1)＜f(χ2，y2)成立的一个充分条件是【】A．χ1＞χ2，y1＜y2B．χ1＞χ2，y1＞y2C．χ1＜χ2，y1＜y2D．χ1＜χ2，y1＞y2正确答案：D解析：由于偏导数本质上就是一元函数导数，则由型可知，f(χ，y)关于变量χ是单调增的，关于变量y是单调减的．因此，当χ1＜χ2，y1＞y2时，f(χ1，y1)＜f(χ2，y1)，f(χ2，y1)＜f(χ2，y2) 则f(χ1，y1)＜f(χ2，y2) 故应选D．知识模块：多元函数微积分5．(2012年)设区域D由曲线y＝sinχ＝±，y＝1围成，则(χy5－1)dχdy ＝【】A．πB．2C．－2D．－π正确答案：D解析：作辅助线y＝－sinχ(－≤χ≤0)．如图，将区域D分为两部分D1和D2，其中D1关于χ轴对称，D2关于y轴对称，而χy5分别关于变量χ和y 都是奇函数，则知识模块：多元函数微积分6．(2013年)设z＝f(χy)，其中函数f可微，则【】A．2yf′(χy)．B．－2yf′(χy)．C．f(χy)．D．－f(χy)．正确答案：A解析：知识模块：多元函数微积分7．(2013年)设Dk是圆域D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤1)在第k象限的部分，记IK＝(y－χ)dχdy(k＝1，2，3，4)，则【】A．I1＞0．B．I2＞0．C．I3＞0．D．I4＞0．正确答案：B解析：由于D1和D3关于直线y＝χ对称，则而在D2上，y－χ＞0，在D4上y－χ＜0，则I2＞0，I4＜0 故应选B．知识模块：多元函数微积分8．(2014年)设函数u(χ，y)在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足≠0及＝0，则【】A．u(χ，y)的最大值和最小值都在D的边界上取得B．u(χ，y)的最大值和最小值都在D的内部取得C．u(χ，y)的最大值在D的内部取得，最小值都在D的边界上取得D．u(χ，y)的最小值在D的内部取得，最大值都在D的边界上取得正确答案：A解析：由题设可知，B≠0，A＋C＝0，则AC－B2＜0 故函数u(χ，y)在区域D内无极值点，因此，u(χ，y)的最大值和最小值都在D的边界上取得．故应选A．知识模块：多元函数微积分9．(2015年)设函数f(u，v)满足f(χ＋y，)＝χ2－y2，则依次是【】A．，0B．0，C．－，0D．0，－正确答案：D解析：故应选D．知识模块：多元函数微积分10．(2015年)设D是第一象限中由曲线2χy＝1，4χy＝1与直线y＝χ，y＝χ围成的平面区域，函数f(χ，y)在D上连续，则(χ，y)dχdy＝【】A．B．C．D．正确答案：B解析：由题设知积分域D如图所示，曲线2χy＝1，4χy＝1在极坐标下方程分别为2r2cosθsinθ＝1，4r2cosθsinθ＝1 即，直线y＝χ，y ＝χ在极坐标下的方程为，则故应选B．知识模块：多元函数微积分填空题11．(2014年)设z＝z(χ，y)是由方程e2yz＋χ＋y2＋z＝确定的函数，则dz＝_______．正确答案：－(dχ＋dy)．解析：将χ＝y＝代入e2yz＋χ＋y2＋z＝得知识模块：多元函数微积分12．(2015年)若函数z＝z(χ，y)由方程eχ＋2y＋3z＋χyz＝1确定，则dz｜(0，0)＝________．正确答案：－(dχ＋2dy)．解析：将χ＝0，y＝0代入eχ＋2y＋3z＋χyz＝1中得e3z＝1，则z＝0 方程eχ＋2y＋3z＋χyz＝1两端微分得eχ＋2y＋3z(dχ＋2dy＋3dz)＋yzdχ＋χzdy＋χydz＝0 将χ＝0，y＝0，z＝0代入上式得dχ＋2dy＋3dz＝0 则dz｜(1，0)＝－(dχ＋2dy)．知识模块：多元函数微积分13．(2011年)设平面区域D由直线y＝χ，圆χ2＋y2＝2y及y轴所围成，则二重积分χydσ＝_______．正确答案：解析：知识模块：多元函数微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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1）二重极限 的值为（D）
A、 B、 C、 D、不存在
提示：沿路径 接近点
2）二元函数 在点 的两个偏导数 都存在，则 （D）
A、在该点可微B、在该点连续可微
C、在该点任意方向的方向导数都存在D、以上都不对
3）函数 在 处（A）
A、不取极值B、取极小值C、取极大值D、是否取极值依赖于
4）已知 ，其中 为可微函数，则 。
5）已知曲面 上的点 处的法线 平行于直线 ，则该法线方程为 。
3、设 ，其中 均为二阶可微函数，求 。
解：
4、设 ，试以新变量 变换方程 ，其中 对各变量有二阶连续偏导数。
解：无妨设 ，则
在新变量 下方程 可变为 。
5、已知 ，其中 均为可微函数，求 。
解：利用全微分的不变形计算，方程两边微分可得
的所有切平面恒与向量 平行。
9、已知 为常数，且 ，求证：
证明：设 ，此问题变为求函数 满足条件 的最大值，其中 都大于零。考虑函数
解此方程组可得
所以所求最大值为
及有 时， 。
4）在曲线 的所有切线中，与平面 平行的切线（B）
A、只有1条B、恰有2条C、至少有3条D、不存在
5）设 ，其中 ，下面运算中（B）
A、 都不正确B、 正确， 不正确
C、 不正确， 正确D、 都正确
2、填空题（每小题3分）
1）已知理想气体状态方程 ，则 。
2）设 ，则 。
3）函数 在点 的梯度为 。
消去 可得
6、设 是曲面 在点 处指向外侧的法向量，求函数
在 点处沿方向 的方向导数。
解： 设
，如图容易看出 与 正方向的夹角为钝角，其 轴坐标为负，所以
，
7、在椭球面 上找一点，使过该点的切平面与三坐标平面所围成的四面体的体积最小。
解：设 为椭球面上在第一象限的一点，过此点的切平面方程为
化成截距式方程
此切平面与坐标面围成四面体的体积为 。（下面我们去掉下标0）
要求 满足条件 的最小值，只需求 满足条件 的最大值。
由拉格朗日乘数法，只需求以下函数的驻点
得
由此得 ，所以
当 时，有最小体积，最小体积为 。
8、试证光滑曲面 的所有切平面恒与一固定非零向量平行。
证明；设 ，其任意点处的切平面的法向量 为
取向量 ，则有 ，即 ，所以光曲面