微分中值定理与导数的应用教案
ch3微分中值定理与导数的应用
第三章微分中值定理与导数的应用主要是利用导数与微分这一方法来分析和研究函 这一切的理论基础即为在微分学中占有重要地位 论证过程中，中值定理有着广泛的应用。
一、教学目标与基本要求（一）知识1. 记住罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件和结论；2. 记住泰勒公式及其拉格朗日余项的表达式；3. 记住 e,sin （x ）,cos （x ）,ln （1+x ）,1/1+x 的 N 阶麦克劳林公式；4. 知道极限的末定式及其常见的几种类型的求法；5. 知道函数的极值点、驻点的定义以及它们之间的关系；6. 知道曲线的凹凸性与拐点的定义；7. 知道弧微分的定义与弧微分公式；8. 知道光滑曲线、曲率和曲率半径的定义； 9. 知道求方程的近似解的基本方法。
（二） 领会1•领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，领会罗尔定理、拉格 朗日中值定理的几何意义；2. 领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理之间的 联系；3. 领会洛必达法则；4. 领会函数的单调性与一阶导数之间的联系；5. 领会函数的极值与一、二阶导数之间的联系；6. 领会函数的极值和最值的定义以及它们之间的区别和联系；7. 领会曲线的凹凸性与二阶导数之间的联系。
（三） 运用1. 会用中值定理证明等式和不等式；2. 会用洛必达法则求末定式的极限；3. 会求一些函数的泰勒公式和利用泰勒公式求函数的极限及一些函数的近 似值；4. 会用导数求函数的单调区间和极值；5. 会用函数的单调性证明不等式；6. 会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点；7. 会求曲线的水平渐近线和铅直渐近线，会描绘函数的图形； 8. 会求一些最值应用问题； 9. 会求曲率和曲率半径；10. 会用二分法和切线法求一些方程实根的近似值。
（四） 分析综合1. 综合运用中值定理、介值定理和函数的单调性等证明方程实根的存在性和 惟一性；本章内容是上一章的延续， 数的性质及其图形和各种形态， 的几个微分中值定理。
微分中值定理与导数的应用教案
微分中值定理与导数的应用教案第一章：微分中值定理概述1.1 引言引入微分中值定理的概念和意义。
解释微分中值定理在数学分析和物理学中的应用。
1.2 罗尔定理介绍罗尔定理的定义和条件。
通过示例解释罗尔定理的应用。
1.3 拉格朗日中值定理阐述拉格朗日中值定理的表述和条件。
通过图形和示例解释拉格朗日中值定理的应用。
第二章：导数的应用2.1 函数的单调性引入函数的单调性的概念。
解释导数与函数单调性的关系。
通过示例说明如何利用导数判断函数的单调性。
2.2 函数的极值介绍极值的概念和分类。
解释导数与函数极值的关系。
通过示例说明如何利用导数找到函数的极值点。
2.3 函数的凹凸性引入函数凹凸性的概念。
解释导数与函数凹凸性的关系。
通过示例说明如何利用导数判断函数的凹凸性。
第三章：微分中值定理的应用3.1 洛必达法则介绍洛必达法则的定义和条件。
通过示例解释洛必达法则的应用。
3.2 泰勒公式阐述泰勒公式的定义和意义。
通过示例解释泰勒公式的应用。
3.3 微分中值定理在其他领域的应用举例说明微分中值定理在物理学、工程学等领域的应用。
第四章：导数在经济学的应用4.1 边际分析介绍边际分析的概念和意义。
解释如何利用导数进行边际分析。
通过示例说明导数在边际分析中的应用。
4.2 优化问题介绍优化问题的概念和分类。
解释如何利用导数解决优化问题。
通过示例说明导数在优化问题中的应用。
第五章：微分中值定理与导数的实际应用5.1 实际应用案例介绍介绍一个实际应用案例，如工程设计、经济决策等。
解释该案例中如何应用微分中值定理和导数。
5.2 学生实践项目分配一个实际应用项目给学生们。
指导学生如何利用微分中值定理和导数解决该项目。
5.3 项目成果展示与讨论让学生们展示他们的项目成果。
进行讨论和交流，分享各自的解题思路和经验。
第六章：导数与函数图像6.1 切线与导数解释导数在函数图像上的几何意义。
展示如何从函数的导数得到函数图像上的切线。
通过实例演示导数与切线的关系。
微分中值定理与导数的应用
微分中值定理与导数的应用引言微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它为我们研究函数的性质和应用提供了有力的工具。
本教案将通过分析微分中值定理及其应用，探讨导数在实际问题中的应用，旨在帮助学生深入理解微分中值定理的原理和导数的实际应用，提高他们的问题解决能力和数学建模能力。
第一节：微分中值定理的基本原理及应用1.1 微分中值定理的定义微分中值定理是微积分中的重要定理，它是基于导数的连续性和介值定理而得出的。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理等。
这些定理揭示了函数在一定条件下的性质，为我们研究函数的变化提供了便利。
1.2 拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理是微分中值定理中最基本的一种形式，它表明在某个开区间上，函数的导数在这个区间内取某个特定的值。
这个定理在实际问题中有广泛的应用，比如在物理学中用于描述物体的速度、加速度等问题。
1.3 柯西中值定理的应用柯西中值定理是微分中值定理中的另一种形式，它是拉格朗日中值定理的推广。
柯西中值定理表明在两个不同的点上，函数的导数取相同的值。
这个定理在实际问题中也有很多应用，比如在经济学中用于描述市场供求关系等问题。
1.4 罗尔中值定理的应用罗尔中值定理是微分中值定理中的一种特殊情况，它表明在某个闭区间上，函数的导数在两个端点处取相同的值。
这个定理在实际问题中也有很多应用，比如在工程学中用于描述物体的位移、速度等问题。
第二节：导数的应用2.1 导数与函数的变化率导数是函数在某一点上的变化率，它可以帮助我们研究函数的趋势和性质。
通过导数的计算和分析，我们可以得到函数的最值、拐点、极值等重要信息，进而应用到实际问题中。
2.2 导数与曲线的切线与法线导数还可以帮助我们研究曲线的切线和法线。
通过计算函数在某一点的导数，我们可以确定曲线在该点的切线方程和法线方程，进而研究曲线的几何性质。
2.3 导数与函数的最值问题导数在函数的最值问题中有重要的应用。
高等数学教案-第三章-微分中值定理与导数应用
例6. ( 型未定式)
当然,罗必达法则可与其它的方法结合起来用,对有些问题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ更简单(先化简).
例7. (先进行无穷小等价代换)
有些未定式,洛必达法则是无效的,但并不能说明极限不存在,可用其它方法来求.
例8.
………………………………………………………………………………………42分钟
注：称使 的点为驻点。
例2罗尔定理：如果函数 满足
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）上可导；
（3） .
则在（a,b）内至少有一点 ,使 .
几何解释:
二、拉格朗日中值定理
1.拉格朗日中值定理:如果函数 满足
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）上可导.
则在（a,b）内至少有一点 ,使等式
例10．判断 的凹凸性．
例11．判断 的凹凸性．
3．拐点
拐点定义（画图说明，注意拐点是连续点）：凹凸区间的分界点称为拐点．
拐点的判断：１二阶导数为零的点；２二阶导数不存在的点．
例12．求曲线 的拐点．
例13．求曲线 的凹凸区间与拐点．
例14．指出 是否有拐点．
例15．指出 的拐点．
………………………………………………………………………………………42分钟
（1）若 ，则 点是极大值点；
（2）若 ，则 点是极小值点。
（由凹凸性分析。）
求极值的步骤：
（1）求出一阶导数；
（2）求出一阶导数为零或不存在的点；
（3）判断上述可疑点处的二阶导数或其左右邻域的符号；
（4）判断出极值点并求出极值。
第三章 微分中值定理与导数应用教案教学设计
证明：不妨设 x ∈U(x )时， f (x) ≤ f (x ) （若 f (x) ≥ f (x ) ，可以类似地证明）.∆x ≤ 0∆x第三章 微分中值定理与导数应用第一节 微分中值定理教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。
教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。
教学内容：一、罗尔定理1. 罗尔定理几何意义：对于在 [a,b ] 上每一点都有不垂直于 x 轴的切线，且两端点的连线与 x 轴平行的不间断的曲线yf (x) 来说，至少存在一点 C ，使得其切线平行于 xC轴。
y = f ( x )ABoaξ ξ bx21从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。
为应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理费马引理 设函数 f (x) 在点 x 的某邻域U ( x ) 内有定义, 并且在 x 处可导, 如果对任意 x ∈U(x ), 有 f (x) ≤ f (x ) (或 f (x) ≥ f (x )), 那么 f ' (x ) = 0 .0 0 0 0于是对于 x + ∆x ∈U(x ) ,有 f (x + ∆x) ≤ f (x ) , 从而当 ∆x > 0 时, 0f (x + ∆x) - f (x ) ; 而当 ∆x < 0 时, f (x 0 + ∆x) - f (x 0 ) ≥ 0; 0例如 y = ⎨根据函数 f (x) 在 x 处可导及极限的保号性的得f ' (x 0 ) = f '+ (x 0 ) = lim f (x 0 + ∆x) - f (x 0 ) ≤ 0∆x →0+∆xf ' (x 0 ) = f '- (x 0 ) = lim f (x 0 + ∆x) - f (x 0) ≥ 0∆x →0-∆x所以 f ' (x ) = 0 , 证毕.定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点).罗尔定理 如果函数 f (x) 满足：（1）在闭区间 [a,b ] 上连续, （2）在开区间 (a, b ) 内可导,（3）在区间端点处的函数值相等，即f (a) = f (b ), 那么在 (a,b ) 内至少在一点ξ(a <ξ < b ) ,使得函数 f (x) 在该点的导数等于零，即 f ' (ξ ) = 0 .证明：由于 f (x) 在 [a,b ] 上连续，因此必有最大值 M 和最小值 m ，于是有两种可能的情形：（1） M = m ，此时 f (x) 在 [a,b ] 上必然取相同的数值 M ，即 f (x) = M .由此得 f '(x) = 0. 因此，任取 ξ ∈ (a, b ) ，有 f '(ξ ) = 0.（2） M > m ，由于 f (a) = f (b ) ，所以 M 和 m 至少与一个不等于 f ( x ) 在区间[a,b ] 端点处的函数值.不妨设 M ≠ f (a)(若 m ≠ f (a) ,可类似证明),则必定在 (a,b ) 有一点 ξ 使 f (ξ ) = M . 因此任取 x ∈[a,b ]有 f (x) ≤ f (ξ ) , 从而由费马引理有 f '(ξ ) = 0 . 证毕例 1 验证罗尔定理对 f ( x ) = x 2 - 2 x - 3 在区间[-1,3] 上的正确性解 显然 f ( x ) = x 2 - 2 x - 3 = ( x - 3)( x + 1)在 [-1,3] 上连续，在 (-1,3) 上可导，且f (-1) = f (3) = 0 , 又 f '( x ) = 2( x - 1) , 取 ξ = 1, (1 ∈ (-1,3)) ,有 f '(ξ ) = 0 .说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立;2 使得定理成立的ξ 可能多于一个，也可能只有一个.例如 y = x , x ∈ [-2,2]在 [-2,2] 上除 f '(0) 不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但 在区间 [-2,2] 内找不到一点能使 f '( x ) = 0 .⎧1 - x, x ∈ (0,1] ⎩0, x = 0除了 x = 0 点不连续外，在 [0,1] 上满足罗尔定理的一切条2 2,]满足定理的一切条件，而ξ = 0,πx ∈ (0,1) 使 f (x ) = 0 , 即 x 为方程的小于 1 的正实根. 0但 f '(x) = 5(x 4 -1) < 0, ( x ∈ (0,1)) , 矛盾, 所以 x 为方程的唯一实根..件，但在区间 [0,1] 上不存在使得 f '(ξ ) = 0 的点例如 y = x, x ∈ [0,1]. 除了 f (0) ≠ f (1) 外，在 [0,1] 上满足罗尔定理的一切条件，但在区间 [0,1] 上不存在使得 f '(ξ ) = 0 的点又例如 y = cos x,x ∈ [- π 3π2．罗尔定理的应用罗尔定理 1）可用于讨论方程只有一个根；2）可用于证明等式.例 2 证明方程 x 5 - 5 x + 1 = 0 有且仅有一个小于 1 的正实根.证明：设 f ( x ) = x 5 - 5x + 1 , 则f (x) 在 [0,1] 上连续，且 f (0) =1, f (1) = -3.由介值定理存在 0 0设另有x ∈ (0,1), x ≠ x , 使 f (x ) = 0. 因为 f (x) 在 x , x 之间满足罗尔定理1 1 0 1 0 1的条件, 所以至少存在一个 ξ （在 x , x 之间）使得 f '(ξ ) = 0 .1拉格朗日中值定理的证明就是罗尔定理证明等式的一个例子（见后面）二、拉格朗日（Lagrange ）中值定理1.拉格朗日中值定理在实际应用中，由于罗尔定理的条件（3）有时不能满足，使得其应用受到一定限制。
微分中值定理与导数的应用-教案
高等数学教学教案第3章微分中值定理与导数的应用授课序号01显然，这3个函数在相应的开区间内没有水平切线，即不存在内点ξ，使得()=0f ξ'. （2）即使罗尔定理的3个条件不满足，但定理的结论仍可能成立.例如函数3()f x x =，显然其在闭区间[11],-上连续，在开区间(11),-内可导，在区间[11],-的两端点处函数值不相等[(1)1f -=-，(1)1f =]，但仍存在0(1,1)ξ=∈-，使得()=0f ξ'[见图3.1（d ）].(a) (b)(c) (d)图3.1罗尔定理的几何意义：如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于x 轴的切线，且两端点处的纵坐标相等，那么其上至少有一条平行于x 轴的切线（见图3.2）.罗尔定理的代数意义：当()f x 可导时，在方程()0f x =的两个实根之间至少存在方程()0f x '=的一个实根．3.1.2拉格朗日中值定理定理3.2（拉格朗日中值定理） 如果函数()y f x =满足条件 (1)在闭区间],[b a 上连续； (2)在开区间),(b a 内可导；授课序号02.可以使用等价无穷小替换等方法进行化简，但该方法在有些极限计算中不一定是最授课序号03授课序号04小值）为函数)(x f 在开区间),(b a 内的最大值（或最小值），如图3.14和3.15所示.3.5.2 最值在实际问题中的应用1．在实际问题中求最值，需要先根据实际问题建立一个目标函数，求得实际定义域，若函数()f x 的定义域是开区间，且在此开区间内只有一个驻点0x ，根据实际问题的实际意义知最大值（或最小值）必存在，则可以直接确定该驻点0x 就是最大值点（或最小值点），0()f x 即为相应的最大值（或最小值）．2．在经济学中，总收入函数和总成本函数都可以表示为产量（销量）q 的函数，分别记为()R q 和()C q ，则总利润函数()L q 表示为()()()L q R q C q =-．为使总利润最大，需满足最大利润原则，即满足下面两个条件： ①()()()0L q R q C q '''=-=，解得驻点0q q =； ②000()()()0L q R q C q ''''''=-<. 例题讲解例3.28 求函数796)(23++-=x x x x f 在]5,1[-上的最大值和最小值例3.29 求函数123()(1)1f x x =-+的最值．例3.30 一块边长为24cm 的正方形铁皮，在其四角各截去一块面积相等的小正方形，以做成无盖的铁盒．问：截去的小正方形边长为多少时，做出的铁盒容积最大？例3.31 要做一个容积为V 的圆柱形罐头筒，问：怎样设计才能使所用材料最省？例3.32 某工厂每月生产某种商品的个数x 与需要的总费用的函数关系为21024x x ++（费用单位：万元）.若将这些商品以每个9万元售出，问：每月生产多少个商品时利润最大?最大利润是多少?授课序号05授课序号06。
教案微分中值定理
微分中值定理教案章节一：引言与预备知识【教学目标】1. 理解微分中值定理的概念和意义。
2. 掌握基本函数的求导法则。
【教学内容】1. 介绍微分中值定理的背景和应用。
2. 复习基本函数的求导法则，包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的求导。
【教学活动】1. 教师讲解微分中值定理的概念和意义，引导学生理解其重要性。
2. 学生自主学习基本函数的求导法则，并进行练习。
教案章节二：罗尔定理【教学目标】1. 理解罗尔定理的表述和证明。
2. 掌握罗尔定理在实际问题中的应用。
【教学内容】1. 介绍罗尔定理的表述和证明方法。
2. 通过例题讲解罗尔定理在实际问题中的应用。
【教学活动】1. 教师讲解罗尔定理的表述和证明，引导学生理解其原理。
2. 学生跟随例题学习罗尔定理的应用，并进行练习。
教案章节三：拉格朗日中值定理【教学目标】1. 理解拉格朗日中值定理的表述和证明。
2. 掌握拉格朗日中值定理在实际问题中的应用。
【教学内容】1. 介绍拉格朗日中值定理的表述和证明方法。
2. 通过例题讲解拉格朗日中值定理在实际问题中的应用。
【教学活动】1. 教师讲解拉格朗日中值定理的表述和证明，引导学生理解其原理。
2. 学生跟随例题学习拉格朗日中值定理的应用，并进行练习。
教案章节四：柯西中值定理【教学目标】1. 理解柯西中值定理的表述和证明。
2. 掌握柯西中值定理在实际问题中的应用。
【教学内容】1. 介绍柯西中值定理的表述和证明方法。
2. 通过例题讲解柯西中值定理在实际问题中的应用。
【教学活动】1. 教师讲解柯西中值定理的表述和证明，引导学生理解其原理。
2. 学生跟随例题学习柯西中值定理的应用，并进行练习。
教案章节五：微分中值定理的应用【教学目标】1. 理解微分中值定理在实际问题中的应用。
2. 掌握利用微分中值定理解决实际问题的方法。
【教学内容】1. 介绍微分中值定理在实际问题中的应用，如求函数的单调区间、极值和最值等。
2. 通过例题讲解如何利用微分中值定理解决实际问题。
《高等数学(上)》教学教案—03微分中值定理与导数的应用
第3章微分中值定理与导数的应用授课序号01授课序号02授课序号03!n +!n +()()!n x n +!n +!n +[cos ((2x m θ+=+21)2!!x n α-++)(1(1)!n n αθ-++()nx R x +授课序号04（1）在生产实践和工程技术中，经常会遇到求在一定条件下，怎样才能使“成本最低”、“利润最高”、“原材料最省”等问题．这类问题在数学上可以归结为建立一个目标函数，求这个函数的最大值或最小值问题.（2）对于实际问题，往往根据问题的性质就可以断定函数()f x 在定义区间内部存在着最大值或最小值．理论上可以证明这样一个结论：在实际问题中，若函数()f x 的定义域是开区间，且在此开区间内只有一个驻点0x ，而最值又存在，则可以直接确定该驻点0x 就是最值点，0()f x 即为相应的最值． 四．例题讲解例1.讨论函数32()29123f x x x x =-+-的单调增减区间． 例2.判断函数3()=f x x 的单调性.例3.设3,0,()arctan ,0.x x f x x x x ⎧-<=⎨≥⎩确定()f x 的单调区间.例4.证明：当0x >时，e 1x x >+． 例5.求函数32()(1)f x x x =-的极值．例6.求函数22()ln f x x x =-的极值．例7.求函数233()2f x x x =+在区间1[8]8-，上的最大值与最小值．例8.水槽设计问题有一块宽为2a 的长方形铁皮如图3.8所示，将宽所在的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，问横截面的高取何值时水槽的流量最大（流量与横截面积成正比）． 图3.8例9.用料最省问题要做一圆柱形无盖铁桶，要求铁桶的容积V 是一定值，问怎样设计才能使制造铁桶的用料最省？ 例10.面积最大问题将一长为2L 的铁丝折成一个长方形，问如何折才能使长方形的面积最大．授课序号05授课序号06教学基本指标教学课题第3章第6节弧微分与曲率课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点曲率的计算公式教学难点曲率的计算参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
高等数学教案第四章
第四章 微分中值定理和导数的应用本章知识◆ 微分中值定理 ◆ 洛必达法则◆ 函数单调性的判定 ◆ 函数的极值及其求法 ◆ 函数的最值及其应用 ◆ 曲线的凹凸性和拐点 ◆ 曲线的渐近线◆ 导数在经济分析中的应用本章重点：拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数单调性的判定，函数极值、最值的求法和实际应用本章难点：函数最值的应用，弹性函数 4.1微分中值定理 4.1.1罗尔定理定理（罗尔（Rolle ）中值定理）：若 f (x)满足： （1）在[a, b]上连续， （2）在(a, b)内可导， （3）f (a) = f (b)，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0.f ξ'=罗尔中值定理的几何意义两端高度相同的一段连续曲线上，若除端点外它在每一点都有不垂直于x 轴的切线，则在其中必至少有一条切线平行于x 轴.4.1.2拉格朗日(Lagrange)中值定理定理：拉格朗日(Lagrange)中值定理若 f (x)满足： （1）在[a, b]上连续，（2）在(a, b)内可导，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()().f b f a f b a ξ-'=-拉格朗日(Lagrange)中值定理的几何意义在曲线弧AB 上，至少存在一点C ，该点的切线平行于AB 。
拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.'(,),()0,()()x a b f x f x c c ∈==推论：如果对于任意有则为常数()()(,)()()()x a b f x g x f x g x c c ''∈=+/推论：如果对于任意，有=则为常数4.2洛必达法则洛必达法则型型及基本不定式:001.2.4∞∞()(),()(),()0lim .()0x a x x a x f x g x f x g x →→∞→→∞∞∞如果当或时两个函数与都趋于零或都趋于无穷大那么极限称为或型未定式 定理 (洛必达法则)：(),()(1),()();(2)(),()()()0;()(3)lim ();()()()lim lim .()(),.()().x a x a x a f x g x x a f x g x a a f x g x g x f x g x f x f x g x g x x f x g x →→→→'''≠'''='→∞设满足：当时函数及都趋于零在点的某领域内点本身可以除外及都存在且存在或为无穷大那么当时该法则仍然成立当及都趋于无穷大时，该法则仍注1：注2然成立：注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，与其它求极限方法结合使用，效果更好.()()()()()()()()()()()()x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x x x x x x x x x x ''''=''=''∞∞''∞∞→→→→→00000lim lim lim 00lim 200lim1续使用洛必达法则，即仍满足定理，则可以继，”型不定式，且函数”或“还是“）若”型不定式”或“必须是“）注意使用洛必达法则是必须4.2.2其他不定式000,,0,1,∞⋅∞∞-∞∞型未定式解法关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型。
第三章微分中值定理与导数的应用
第三章微分中值定理与导数的应用教学目的：1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
6、知道方程近似解的二分法及切线性。
教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。
教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。
§3. 1 微分中值定理一、教学目的与要求：1．掌握罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的条件和结论，强调定理的条件是充分而非必要的；2．会验证中值定理的正确性，掌握用拉格朗日中值定理证明不等式的方法（关键是构造辅助函数）；3．理解三个中值定理之间的关系。
二、重点、难点：中值定理的应用三、主要外语词汇：Fermat ，Rolle ，Lagrange，Cauchy，Medium value axioms,Leada reason,shut zone,open zone.四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改）五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版一、罗尔定理费马引理设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,并且在x0处可导,如果对任意x∈U(x0),有f(x)≤f(x0) (或f(x)≥f(x0)),那么f'(x0)=0.罗尔定理如果函数y=f(x)在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且有f(a)=f(b),那么在(a, b)内至少在一点ξ,使得f'(ξ)=0.简要证明: (1)如果f(x)是常函数,则f'(x)≡0,定理的结论显然成立.(2)如果f(x)不是常函数,则f(x)在(a,b)内至少有一个最大值点或最小值点,不妨设有一最大值点ξ∈(a,b).于是0)()(lim )()(≥--='='-→-ξξξξξx f x f f f x ,0)()(lim )()(≤--='='+→+ξξξξξx f x f f f x ,所以f '(x )=0.罗尔定理的几何意义:二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 那么在(a , b )内至少有一点ξ(a <ξ<b ), 使得等式f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )成立.拉格朗日中值定理的几何意义:f '(ξ)=ab a f b f --)()(,定理的证明: 引进辅函数 令 ϕ(x )=f (x )-f (a )-ab a f b f --)()((x -a ).容易验证函数f (x )适合罗尔定理的条件: ϕ(a )=ϕ(b )=0, ϕ(x )在闭区间[a , b ] 上连续在开区间(a , b )内可导, 且ϕ '(x )=f '(x )-a b a f b f --)()(.根据罗尔定理, 可知在开区间(a , b )内至少有一点ξ, 使ϕ '(ξ)=0, 即f '(ξ)-ab a f b f --)()(=0.由此得ab a f b f --)()(= f '(ξ) ,即 f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ). 定理证毕.f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b <a 也成立. 拉格朗日中值公式的其它形式:设x 为区间[a , b ]内一点, x +∆x 为这区间内的另一点(∆x >0或∆x <0), 则在[x , x +∆x ] (∆x >0)或[x +∆x , x ] (∆x <0)应用拉格朗日中值公式, 得f (x +∆x )-f (x )=f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).如果记f (x )为y , 则上式又可写为∆y =f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).试与微分d y =f '(x ) ⋅∆x 比较: d y =f '(x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的近似表达式, 而 f '(x +θ∆x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下定理:定理 如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零, 那么f (x )在区间I 上是一个常数. 证 在区间I 上任取两点x 1, x 2(x 1<x 2), 应用拉格朗日中值定理, 就得f (x 2)-f (x 1)=f '(ξ)(x 2 - x 1) (x 1<ξ< x 2).由假定, f '(ξ)=0, 所以f (x 2)-f (x 1)=0, 即f (x 2)=f (x 1).因为x 1, x 2是I 上任意两点, 所以上面的等式表明: f (x )在I 上的函数值总是相等的, 这就是说, f (x )在区间I 上是一个常数.例2. 证明当x >0时,x x xx <+<+)1ln(1. 证 设f (x )=ln(1+x ), 显然f (x )在区间[0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有 f (x )-f (0)=f '(ξ)(x -0), 0<ξ<x 。
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二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
y
y f (x)
y
f (b ) f ( a ) x ba
y
y f (x)
O a
b x
在曲线弧AB上至少有一点C , 在该点处的切线是水平的.
在( a , b ) 内至少存在一点
使 f ( ) 0.
证: M 和最小值 m . 若M=m,则
故在[ a , b ]上取得最大值
因此
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若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 使 则至少存在一点 不妨设
f (b) f (a ) f ( )(b a ), (a , b )
解题思路：构造有关的函数
确定应用区间 计算导数后的等式
应用Lagrange定理
转化为不等式
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设a b 0, n 1 ，证明:
练习4：P134 9
nb n1 (a b ) a n b n na n1 (a b ) n 证: 设 f ( x ) x ,
5 在( , )上可导 , 且 f ( ) f ( 5 ) ln 1 , 6 6 6 6 2
5
f ( x )在[ , ]上满足罗尔定理的条件 6 6 5 至少存在一点 ( , )，使f ( ) 0. 由罗尔定理可知：
又 f ( x ) cos x , 令f ( ) 0, 得 ( , 5 ). sin x 2 6 6
f ( a ) A与f ( b) B不相等 , 那么对于 A与 B之间的任意 一个数C , 在开区间( a , b ) 内至少存在一点 (a b ), 使 f ( ) C .
推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值与最小值之间的任何值.
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第一节 中值定理
中值定理条件, 因此应有 即 又 因此 即
0<b< <a ,且 n >1,
所以
bn1< n1< an1
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arctan a arctan b a b
证 设f(x)=arctan x ,不妨设a<b . 因此arctan x在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件. 可知必定存在一点 (a, b) , 使得 f (b) f (a) f ( )(b a) . 1 (b a), a b . 即 arctan b arctan a 2 1 由于1 2 1 ，因此
则由费马引理得 f ( ) 0 . 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定 O a 成立. 例如,
b x
y
y f (x)
y
y
1
y
1 x
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O
x
1 O
O
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1
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x
2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为
在 ( a , b ) 内可导, 且
x a
lim f ( x) lim f ( x)
f (0) 1,则f ( x )=ex , x , .
分析
证：
要证f x e ,
x
练习3：P134 14
f ( x) 即证 x 1. e
( x ) C ,
即 C 1.
f ( x )=e x , x , .
x ,
f ( x0 ) 0, 即方程有小于-11 的正根 -2
2) 唯一性 . 假设另有
-10 -20
1
2
f (x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
但
矛盾, 故假设不真!
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a0 x n +a1 x n1 .. an1 x 0 有一个正根 x x0 ， 若方程
b x (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 f (b) f (a ) . 至少存在一点 使 f ( ) ba f (b) f (a ) 0 证: 问题转化为证 f ( )
ba 显然 , 在[a, b] 上连续, 在(a, b)内可导, 且 b f (a ) a f (b) (a) (b) , 由罗尔定理知至少存在一点 ba 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 即定理结论成立 . 证毕
●
f ( x) f ( ) 0 x
f ( ) 0
f ( x) f ( ) 0 x
f ( ) 0
f ( ) 0
这说明：在极 大值或极小值 点处,函数的导 数为0. 几何意义是： 在极值点处的 切线平行于AB 的连线或x轴.
B
f min , f ( ) 0
练习2：P134 7
证明方程 a0nxn1 +a1 (n 1) xn2 .. an1 0 必有一个小于 x0 的正根. 证: 令 f ( x ) a0 x n +a1 x n1 .. an1 x , f ( x ) C[0, x0 ]， f ( x )在( 0, x0 )内可导，
f ( x)在[0, x0 ]上满足罗尔定理的条件，
故在(0,1)内至少存在一点 (0, x0 ), 使f ( ) 0,
即方程a0nxn1 +a1 (n 1) xn2 .. an1 0在(0, x0 )内
必有小于x0的正根.
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5. 设函数f (x) = (x +1) (x1) (x2) (x3)，
第三章 微分中值定理 与导数的应用
罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 应用
推广
泰勒公式
(第三节)
研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
回顾闭区间上连续函数的性质 1.有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的 函数在该区间上有界且 一定能取得它的最大值和最小值。
设 2.零点定理： f ( x )在闭区间[a , b]上连续,且f (a )与f (b ) 异号(即f (a ) f (b) 0),那么在开区间(a , b )内至少有一 点 (a b), 使f ( ) 0. 设 3.介值定理： f ( x )在闭区间[a , b]上连续, 且端点值
上成立.
经验: 欲证 x I 时 f ( x) C0 , 只需证在 I 上 f ( x) 0,
且 x0 I , 使 f ( x0 ) C0 . π 自证: arctan x arc cot x , x ( , ) 2
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证明: 设函数f ( x )在 , 内，满足关系式f ( x ) f ( x ) ,且
f (0) 又 (0) 0 1 e
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x ln(1 x) x ( x 0) . 例3 只须证： x ln(1 x ) ln(1 0) x 1 x
1 ln(1 x ) ln(1 0) 1 ( x 0) 只须证： 1 x x0
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一、罗尔( Rolle )定理
费马(fermat)引理
且 证: 设 则
存在
(或 )
y O 0 0
费马 目录 上页 下页
x0
x
证毕
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•典型情形的证明思想
y
f ( x) f ( ) x
f max
f ( x) f ( ) x
中值定理条件, 因此应有
即
因为
故
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方法：设辅助函数、选区间、应用定理、放大缩小 用拉格朗日定理证明不等式的关键是构造一个辅 助函数,并定出一个适当的区间,使该辅助函数在区间 上满足定理的条件,然后由中值ξ所在的位置,放大或 缩小 f ( ) ,推出要证的不等式. 放大或缩小
●
A
O
a
(
●
)
b
x
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可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在 该点的导数值为零. 通常称导数为零的点为函数驻点（或称 为稳定点，临界点）。
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罗尔（ Rolle ）定理 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )
x b
在( a , b ) 内至少存在一点
使
证明提示: 设
证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
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练习1：P134 1
验证罗尔定理对函数y ln sin x在区间[ , ]上的正确性. 6 6 5 f ( x ) lnsin x 在[ , ]上连续, 6 6
证明方程f (x)=0有三个实根， 并指出它们所在的区间。
证：显然, f (x)分别在闭区间[1, 1], [1, 2], [2, 3]上连续， 在开区间 (1, 1), (1, 2), (2, 3) 内可导， 且 f (1) = f (1) = f (2) = f (3). 由罗尔定理，