高等数学 第四章 多元函数微积分
多元函数微积分(课件)
D {(r,h) | r＞0,h＞0} 。
二元以及二元以上的函数统称为多元函数。
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第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
2．二元函数的定义域 二元函数的定义域比较复杂，可以是坐标系中全部的区域，也可以是由曲线所围成的 部分区域。围成区域的曲线称为区域的边界。不包括边界的区域称为开区域，连同边 界在内的区域称为闭区域；开区域内的点称为内点，而边界上的点称为边界点。 如果一个区域 D 内任意两点之间的距离都不超过某一正常数 M ，则 D 称为有界区域， 否则称为无界区域。
、
【例 3】 求二元函数 z ln(x y) 的定义域 D 。 解 由对数函数性质可知 x 、 y 必须满足 x y＞0 。直线 x y 0 是它的边界，定义域 为不包括边界在内的开区域。
D {(x, y) | x y＞0}
二、多元函数的极限
定义 5.2 设二元函数 z f (x, y) ，如果当点 P(x, y) 以任意方式趋向于点 P0 (x0 , y0 ) 时，f (x, y) 总趋向于一个确定的常数 A ，则称 A 是二元函数 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限，记为
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第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
一、多元函数的概念 1．二元函数的定义
定义 5.1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于每个点 (x, y) D ，变量 z 按照一定的法 则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y 的二元函数，记为 z f (x, y) 。其中 x、y 称 为自变量， z 称为因变量，自变量 x、y 的取值范围 D 称为函数的定义域。 【例 1】设圆锥体的底面半径为 r ，高为 h ，则体积V 1 πr2h 。这是一个以 r 、h 为自变量，
高等数学多元函数微积分
高等数学多元函数微积分多元函数微积分是高等数学中的一个重要分支。
它研究在多变量空间中的单变元函数的微分和积分问题。
这对学习曲面、平面的渐变、凹凸和分界、曲面的体积、局部极值等问题具有重要意义。
一、基本概念1. 超曲面：一般讲，超曲面就是在n维空间中的一类曲面，它们由至少n+1个函数组成。
它是由n维变量组成的，因而可以容纳n维量空间中所有的事物，从而形成一个多维结构。
2. 多元函数微分：多元函数微分就是对在多元空间内变量中的一个函数进行微分的一类函数，它可以应用于求解曲面的斜率，曲面的凹凸和分界，比如计算椭圆曲线、抛物曲线等的曲率和斜率等问题。
3. 多元函数积分：多元函数积分是指在多元空间中的一个函数的积分运算，它可以用于计算曲面的体积，曲面的拉伸与缩小等问题，它也可以用于计算曲面的累积，例如计算三维抛物面、回旋曲线等曲率积分的体积等。
二、求解方法1. 黎曼微积分法：黎曼微积分法是指在进行多元函数微积分时，识别出包含所求函数的一组导函数，然后根据黎曼公式将这些导函数求和，不断缩小未知函数的范围，最终确定出未知函数的表达式的一类方法。
2. 光滑函数的变换法：光滑函数的变换法指的是在进行多变量函数积分时，先将所给函数进行光滑变换，然后根据变换法则和对称性，极限性和旋转对称性等等属性，运用变换法，不断将多变量函数转化为单变量函数，最后将单变量函数进行积分。
三、应用1. 力学中的应用：多元函数微积分在力学中有着重要的作用，通过多元函数微积分，可以研究分析物体的运动轨迹，甚至可以预测未来的物体的状态。
2. 热物理学的应用：多元函数微积分可以用来研究热物理学中各种复杂多变量的函数，如热力学量在温度和压力变化时的变化情况，揭示物质性质在热状态时的性质变化，以及热流、热量变化的关系等。
3. 数学建模的应用：多元函数微积分也可以用来进行数学建模，如多元微积分可以用来描述一个普通一般问题的结构特性，如一个多边形的周长、三角形的体积、四棱锥的表面积等。
2024考研高数各章难度排行
2024考研高数各章难度排行
作为2024年考研高数考试科目的考查内容,高数的每个章节都有着不同的难度,需要考生们根据自己的实际情况和掌握程度进行有针对性的复习和备考。
以下是2024年考研高数各章难度排行:
1. 第一章:极限与连续
本章的难度较小,主要考察考生对极限的概念和性质、连续函数的性质和常见求导法则的掌握程度。
这一章的知识点较为基础,需要考生们通过多练习和多总结来加深理解。
2. 第二章:微积分基本定理与导数
本章的难度适中,主要考察考生对微积分基本定理和导数的定义、性质和应用的掌握程度。
本章的知识点也较为基础,需要考生们通过多练习和多总结来加深理解。
3. 第三章:微积分应用
本章的难度较大,主要考察考生对微积分的实际应用能力,包括函数的图像和函数的基本性质、曲率和圆周率、微积分在几何中的应用等。
本章需要考生具备较为扎实的数学基础和较强的应用能力。
4. 第四章:多元函数微积分
本章的难度也较大,主要考察考生的多元函数极限、偏导数和连续函数的求导、多元函数微积分的基本应用等。
本章需要考生具备较为扎实的数学基础和较强的应用能力。
5. 第五章:常微分方程
本章的难度较低,主要考察考生的常微分方程基本概念和求解方法,包括一阶常微分方程和二阶常微分方程等。
本章需要考生掌握较为基本的常微分方程知识。
除了以上各章的难度排行,还可以结合历年真题和考试题型,对各个章节的难度有一个更加具体的判断和评估。
在复习备考过程中,建议考生们注重基础、踏实复习,多进行模拟考试和真题练习,不断提高自己的数学水平和应对能力。
高等数学基础--多元函数微积分与线性常微分方程
高等数学基础--多元函数微积分与线性常微分方程
高等数学中的多元函数微积分和线性常微分方程是重要的数学基础，在生物、物理、化学、经济学、工程学等多个领域有着重要的应用。
对于多元函数微积分而言，主要涉及到定义积分、泰勒级数、变量替
换法和线性空间等。
它不仅能够有助于应用者更好地理解多元函数的
变化和结构特征，而且可以更有效地计算函数的微分、数值的变化随
参数的变化等，从而推导求解许多复杂的问题。
线性常微分方程是微积分的重要组成部分，它定义了元函数的变化趋
势是线性的，并且可以用来求解特定系统的行为特征和解决行为模型
所产生的问题。
它的解决思路也和多元函数微积分有很大的联系。
它
通常会用到特征值和特征根，偏微分方程等解决方法，常见的模型包
括波动方程、拉格朗日方程和随机方程等。
在数学和科学的应用中，多元函数微积分和线性常微分方程是重要的
基础，可以用来分析不同现象的起源和发展趋势，为优化利用事物规律，提高技术利用效率提供重要依据和指导。
多元函数微积分和线性
常微分方程对尤其是非线性系统的数理建模、分析和应用有着重要作用。
医用高等数学-教案 第4章
2o 当(x, y)沿直线 y = kx 趋于( 0, 0)时,
lx i0m x2xyy2lx i0m x2k x k22x2
1
k k
2
yk x0
其值随 k 值的不同而变化,
故 f(x, y) 的极限不存在.
2020/1/30
《医用高等数学》第四章
第15页
补充例:
求证 lx i0m (x2y2)sin x2 1y20 y 0
第3页
4. 几类常见的方程
Ax + By + Cz + D = 0 (平面方程)
(x – x0) 2 + (y – y0) 2 + (z – z0) 2 = R 2 (球面方程)
x2+y2 =R2
(柱面方程)
z=x2+y2
(椭圆抛物面)
z2 = x 2 + y 2
2020/1/30
(圆锥面)
《医用高等数学》第四章
在(0,0)的连续性.
解 取 ykx
lim
x0
x
2
xy
y
2
lxim0 x2
kx2 k2
x2
1
k k
2
y0
ykx
其值随k的不同而变化, 极限不存在.
故 函数在(0,0)处不连续.
2020/1/30
《医用高等数学》第四章
第20页
多元初等函数： 由多元多项式及基本初等 函数经过有限次的四则运算和复合步骤所 构成的可用一个式子所表示的多元函数叫 多元初等函数.
lim
x0
x6
y 2 不存在.
y0
2020/1/30
《多元函数的微积分》课件
在资源分配和生产计划中，多元函数微积分可以用于求解最优化问 题，例如最大化利润或最小化成本等。
风险评估
在金融学中，多元函数微积分可以用于评估投资风险和回报，以及 制定风险管理策略。
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多元函数的定义域
函数中各个自变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y)，其定义域是x和y的所有可能取值的集合。
多元函数的值域
函数中因变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y) ，其值域是z的所有可能取值的集合。
多元函数的几何意义
平面上的曲线
对于二元函数z = f(x, y)，其图像 在二维平面上表现为一条曲线。 例如，函数z = x^2 + y^2表示 一个圆。
体积计算
通过多元函数微积分，可以计算出由曲面围成的三维空间的体积 ，这在工程和科学领域中具有广泛的应用。
曲线积分
在几何学中，曲线积分是计算曲线长度的一种方法，而多元函数 微积分可以提供更精确和更高效的计算方法。
多元函数微积分在物理上的应用
力学分析
在分析力学中，多元函数微积分 被广泛应用于解决质点和刚体的 运动问题，例如计算物体的速度 、加速度和力矩等。
三维空间中的曲面
对于三元函数z = f(x, y, z)，其图 像在三维空间中表现为一个曲面 。例如，函数z = x^2 + y^2表 示一个球面。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限
当自变量趋近于某个值时，函数值的趋近值。例如，lim (x, y) → (0, 0) (x^2 + y^2) = 0，表示当(x, y)趋近于(0, 0)时，函数x^2 + y^2的值趋近于0。
《多元函数的微积分》 ppt课件
多元函数的微积分
多元函数的微积分多元函数微积分指的是对多元函数进行求导和积分的过程。
多元函数是含有多个自变量的函数，通常表示为f(x1, x2, ..., xn)。
在多元函数的微积分中，我们可以将每个自变量分别进行求导，得到偏导数。
偏导数告诉我们函数在一些自变量上的变化率。
此外，我们还可以对多元函数进行积分来计算函数在一定范围内的总量。
一、多元函数的偏导数1.偏导数的定义偏导数是多元函数对一些自变量的求导结果。
记多元函数f(x1,x2, ..., xn)，则f对第i个自变量的偏导数定义为：∂f/∂xi = lim(h→0) (f(x1, x2, ..., xi + h, ..., xn) - f(x1,x2, ..., xi, ..., xn)) / h表示在其他自变量保持不变的条件下，f关于xi的变化率。
2.偏导数的计算对于多元函数的偏导数的计算，可以按照和一元函数求导的规则类似的方法进行。
对于每个自变量求导时，将其他自变量视为常数。
例如，对于二元函数f(x,y)=x^2+y^2，我们可以分别对x和y求偏导数。
对x求偏导数时，将y视为常数，得到∂f/∂x=2x。
对y求偏导数时，将x视为常数，得到∂f/∂y=2y。
3.偏导数的性质偏导数具有一些重要的性质。
例如，对于二阶连续可微函数，偏导数的次序可以交换，即：∂^2f/(∂x∂y)=∂^2f/(∂y∂x)这是因为二阶偏导数的定义中，先对x求导后对y求导与先对y求导后对x求导的结果是相等的。
二、多元函数的积分1.多元函数的积分概念2.定积分的计算对于多元函数的定积分，我们需要确定积分的区域或曲面，并进行适当的参数化和积分限的确定。
计算定积分时，可以按照类似于一元函数的积分法进行。
例如，对于二元函数f(x,y)，我们可以通过对x或y的积分将其化简为一元函数的积分。
例如，对于三元函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2，在三维空间中表示一个球体。
我们可以计算球体的体积，即球体上的函数f(x,y,z)在整个球体上的积分。
《多元函数的微积分》PPT课件
xy
kx2
k
lim
x0
x2
y2
lim x0
x2
k2x2
1 k2
.
6
y kx 0
例1 求lim sin(xy) . x0 x
y2
解： lim sin(xy) lim sin(xy) y
x0 x
x0 xy
y2
y2
sin(xy)
lim
lim y
x0 xy
x0
y2
y2
2 lim sin( xy) 2 . xy0 xy
时，函数都无限接近于A. (2) 如果当P以两种不同方式趋于P0时，函数
趋于不同的值，则函数的极限不存在．
例
xy
x2
y2
, x2 y2 0 .
f (x, y)
0 , x2 y2 0 .
当点P(x，y)沿 x 轴、y 轴趋于点(0，0)时函数的极限为
当点P(x，y)沿直线y=k x 趋于点(0，0)时
解： 如果 2 函数在单位圆上任何点都连续
若 2 在单位圆上任何点都不连续
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三. 偏导数的概念及简单计算
1. 偏导数的概念：
定义
设函数z f(x，y)在点(x0，y0)的某一邻域内有当y 固定
定在义y0 ，而x 在x0 处有增量 x 时相，应地函数有增量
f (x0（１）如果极限 0) ，x，y0) f(x0，y
y0
y
存在，
则称此极限为函数z f(x，y)在点(x0，y0)处对y 的偏
导数，
记作
z , x x0
y y y0
f ,
y x x0
y y0
z y , x x0 y y0
微积分(第三版)课件：多元函数微积分
轴的直准线 C 上.所以 的坐
z
标满足曲线 C 的方程 f (x , y)= 0 .
由于方程 f (x , y)= 0 不含 z，所以
y
点 M(x, y, z)也满足方程 f (x, y)= 0 . x
而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与 xoy 坐
标面的交点必不在曲线 C 上, 也就是说不在柱面上的
其中每个有序数组 的坐标，n个实数
称为 中的一个点，也称该点 就是这个点的坐标的分量.
n维空间中任意两点 为
与
间的距离定义
第二节 多元函数
一、二元函数 二、二元函数的极限与连续 三、多元函数
第二节 多元函数
导言：多元函数是多元函数微积分学研究的 对象，同一元函数类似对于多元函数也有极限、 连续等基本概念.这些内容作为一元函数在多元 函数中的推广，它与一元函数相关内容类似且 密切相关，在这部分内容的学习中应注意与一 元函数的对比.在研究方法上把握一般与特殊之 间辩证关系.
点的坐标不满足方程 f (x , y)= 0.
（2）以yOz 坐标面上曲线 C : g ( y , z ) = 0 为准线,
母线平行于x 轴的柱面方程为
（3）以zOx 坐标面上曲线 C : h ( x , z ) = 0 为准线,
母线平行于y 轴的柱面方程为
z
z
y
y
x
在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱 面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面的母线就 平行于哪一个坐标轴 .
区域：连通的开集称为开区域，简称区域.区域及 其它的边界所成的集合称为闭区域.
有界与无界区域：对于平面点集E，如果存在一个 以原点为圆心的圆盘D ，使 ，则称E为有界区域， 否则称E为无界区域.
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点
1.多元函数的极限：多元函数的极限是在多个自变量趋于一些点时函
数的极限。
多元函数的极限可以通过分量法、夹逼法等方法计算。
2.多元函数的连续性：多元函数的连续性是指函数在定义域内的任意
一点上都存在极限并与函数值相等。
可以利用多元函数的分量函数连续来
判断多元函数的连续性。
3.多元函数的偏导数：多元函数的偏导数是指多元函数对自变量的偏
导数。
求多元函数的偏导数时，只对一个自变量求导，把其他自变量视为
常数。
4.多元函数的全微分：多元函数的全微分是指函数在特定点的微分。
全微分可以理解为函数在该点的线性逼近。
5.多元函数的方向导数：方向导数是指多元函数在其中一点沿着给定
方向的变化速率。
方向导数的计算可以通过梯度来进行。
6.多元函数的梯度：梯度是多元函数在其中一点的导数，其方向与函
数在该点取得最大值的方向相同，数值上等于方向导数的最大值。
7.多元函数的积分：多元函数的积分是指对多元函数进行求和或求定
积分。
与一元函数积分类似，多元函数积分需要确定积分区域和积分方法。
8.曲线积分：曲线积分是指沿着曲线进行的积分，曲线积分可以对向
量场和标量场进行。
9.曲面积分：曲面积分是指对曲面上的函数进行积分。
曲面积分可以
对向量场和标量场进行。
10.格林定理：格林定理是指曲线与曲面积分之间的关系，即把曲面积分转化为曲线积分的定理。
11.斯托克斯定理：斯托克斯定理是格林定理的推广，是把曲线积分转化为曲面积分的定理。
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第四章多元函数微积分
教学要求
1.理解多元函数的概念。
2.了解二元函数的极限与连续性的概念。
3.理解偏导数和高阶偏导数的概念,掌握求偏导数的基本方法。
4.理解全微分的概念,会求函数的全微分.了解全微分存在的必要条件和充分条件。
5.掌握复合函数一阶偏导数的求法。
6.会求隐函数的偏导数。
7.理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。
8.了解条件极值的概念,会用拉格朗日乘数法求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
9.理解二重积分的概念,了解二重积分的性质。
10.掌握二重积分的计算方法(直角坐标﹑极坐标)。
11.了解二重积分的应用。
12.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
13.掌握计算两类曲线积分的方法。
14.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件。
教学重点
求二元函数的极限；求偏导数，求全微分，求二元函数的极值；用拉格朗日乘数法求解最值的应用问题；二重积分的计算。
教学难点
求二元函数的极限；求复合函数的高阶偏导数；用拉格朗日乘数法求解最值的应用问题；二重积分的的应用。
教学内容
第一节多元函数微分
一、多元函数的概念
1.预备知识；
2.多元函数的定义。
二、二元函数的极限与连续
1.二元函数的极限；
2.多元函数的连续性。
三、偏导数与全微分
1.偏导数；
2.高阶偏导数；
3.全微分；
4.多元复合函数的求导公式；
5.隐函数的求导公式。
四、多元函数的极值
1.多元函数的极值；
2.二元函数的最大最小值；
3.条件极值。
第二节多元函数积分
一、二重积分
1.二重积分的概念与性质；
2.二重积分的计算；
3.二重积分的应用举例。
二、曲线积分
1.对弧长的曲线积分；
2.对坐标的曲线积分；
3.格林公式；
4.平面上曲线积分与路径无关的条件。